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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第六章：平行四边形
一、选择题（共30分）
1．（本题3分）在中，下列结论错误的是（ ）．
A． B． C． D．
解：如图，∵四边形是平行四边形，
∴，，，，，
观察四个选项，选项D符合题意，
故选：D．
2．（本题3分）下列图形中，一定是轴对称图形的是（ ）
A．直角三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．梯形
解：A.直角三角形不一定是轴对称图形（如含30°的直角三角形），故A不符合；
B.平行四边形不一定是轴对称图形（如一般平行四边形），故B不符合；
C.等腰梯形一定是轴对称图形（有一条对称轴），故C符合；
D.梯形不一定是轴对称图形（如直角梯形），故D不符合．
故选：C．
3．（本题3分）如图，在△ABC中，，，，E，F分别是和的中点，则（ ）
A． B． C． D．
解：∵分别是和的中点，
∴是△ABC的中位线，
∴，
故选：A．
4．（本题3分）如图所示，某数学小组为测量池塘两侧、两点之间的距离，在空地上另取一点，并找到，的中点，，通过测量得，则（ ）
A． B． C． D．
解：、为，的中点，
是△ABC的中位线，
，
，
．
故选．
5．（本题3分）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．四边形的内角和是
B．投掷一枚图钉，一定是钉尖朝上
C．射击运动员射击一次，一定命中靶心
D．投掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上一定为5次
解：∵任意四边形的内角和都等于（平面几何基本性质），
∴选项A是必然事件；
B项：投掷图钉时钉尖朝向不确定；
C项：射击命中靶心不确定；
D项：投掷硬币正面朝上次数不确定，
故选：A．
6．（本题3分）已知正多边形的一个内角为，则这个多边形是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形
解：∵正多边形的一个内角是，
∴正多边形的一个外角是，
∴这个正多边形的边数为，
即正多边形是正十二边形，
故选D．
7．（本题3分）如图，在正五边形中，延长，交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
解：∵为正五边形的外角，
∴，
∴；
故选：C．
8．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过（ ）秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分．
A．3秒 B．秒 C．5秒 D．6秒
解：连接，交于点，当经过点时，该直线可将平行四边形的面积平分，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∵直线平行于，
∴，
∴，
将点代入，
解得，
∴直线的解析式为，
∴直线要向下平移个单位，
∴时间为秒，
故选：D．
9．（本题3分）如图，在中，点在边上，且，连接并延长交的延长线于点，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
解：连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴ △ABE≌△DFE
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故选：C．
10．（本题3分）已知四边形中．与交于点，如果只给出条件“”，那么可以判定四边形是平行四边形的是（ ）
①再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形．
②再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形．
③再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形．
④再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形．
A．①和② B．①和③和④ C．②和③ D．②和③和④
解：如图，
∵，
①若，四边形可能为等腰梯形，不一定是平行四边形，故①错误．
②若，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故②正确．
③若，
∵，
∴，，
，
∴（），
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，故③正确．
④若，该条件不足以证明平行四边形，可能存在反例（如等腰梯形），故④错误．
∴正确条件为②和③，
故选：C．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）已知直线a，b，c互相平行，直线a，b之间的距离是3cm，直线b，c之间的距离是4cm，那么直线a，c之间的距离为 ．
解：有两种情况，如图：
（1）直线与的距离是；
（2）直线与的距离是；
故答案为：或.
12．（本题3分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是各边的中点，连接DE，DF，随机向中掷一粒米，则这粒米落在阴影部分的概率为 ．
解：设三角形面积为1．
∵△ABC中，分别是各边的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵是的对角线，
，
同理，
，
∴阴影部分的面积的面积的，
∴米粒落到阴影区域内的概率是．
故答案为：．
13．（本题3分）如图，桐桐从点出发，前进到点处后向右转，再前进3m到点处后又向右转，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点时，一共走了
解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个每条边都相等的多边形，
由于多边形的外角和是，且每一个外角为，
，
所以它是一个十八边形，且每条边都相等，
因此所走的路程为，
故答案为：．
14．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“关联点”．若已知，，则点，中为线段的“关联点”的是 （填，即可）；若点在第一象限且点是线段的“关联点”，则线段长度的取值范围为 ．
解：如图：
设，
∵，
∴的中点为，
∵四边形为平行四边形，
∴是的中点，
∴点坐标为，
∴点在直线上，
∴在直线上，不在直线上，
∴不是线段的“关联点”，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴不在直线上，
∴是线段的“关联点”，
对于直线，当时，，
∴
∴，
∵点在第一象限且点是线段的“关联点”，
∴当点与点重合时，线段长度取得最小值，
∴线段长度的取值范围为，
故答案为：，．
15．（本题3分）如图1，平面上两条直线，相交于点O，对于平面上任意一点M，若点M到直线的距离为p，到直线l2的距离为q，则称有序实数对为点M的“距离坐标”，例如，图1中点O的“距离坐标”为，点N的“距离坐标”为．
（1）如图2，点A的“距离坐标”为 ，点B的“距离坐标”为 ；
（2）如图3，点C，D分别在直线，上，则C，D两个点中，“距离坐标”为的点是 ；
（3）平面上“距离坐标”为的点有 个，“距离坐标”为的点有 个．
解：（1）点到直线的距离分别是和，点到直线的距离分别是和．
故答案为：
（2）“距离坐标”的两个有序数对的第一个数和第二个数分别表示点到直线的距离，所以，“距离坐标”为是指到直线的距离分别是3，0．
结合已知图形，可知满足条件的为点．
故答案为：．
（3）代表点到直线的距离分别是0和5，则所求点在直线上，且到的距离为5，这样的点在两侧各有一个．
如图，直线且相邻两条直线距离为5，直线，且相邻两条直线距离为四点的“距离坐标”．
故答案为：2，4．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，分别求出各图形中x的值．
解：根据题意可得：
（1）
故的值为65．
（2）
解得．
17．（本题7分）如图，在直角坐标系中：
(1)描出、、、四点；
(2)顺次连接、、、，计算得到的图形周长．
（1）解：如图：点、、、为所求．
（2）∵、、、，
∴，，，
，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，
∴得到的图形周长为．
18．（本题8分）某学校的劳动菜园的平面示意图是 ，如图1所示，两条主路，交于点O，经测量，请你解决以下问题：
(1)求劳动菜园的面积；
(2)如图2，综合实践李老师提出，准备再修建两条小道，对菜园进行分割．小明提出的方案为点M在上，点N在上，且（点M与点O，D不重合），李老师对这个与众不同的方案表示支持，并计划在与两块菜地所在区域种植草莓，求种植草莓区域的面积；
（1）解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
在△AOB中，过点B作于点H，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴公园的面积为；
（2）解：连接，如图：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴种植草莓区域的面积为．
19．（本题8分）如图，中，分别是和的平分线，相交于点O．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
又分别是和的平分线，
，
，
．
（2）解：四边形是平行四边形．
，
的周长．
，
的周长为16．
20．（本题8分）如图，在△ABC中，平分，点是的中点，连接，将沿着翻折得到，且，点是上一点，连接并延长交于点．
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
（1）证明：∵，
∴；
由翻折可知：；
∴∠ACB=∠ABC，
∴，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：，理由如下：
∵△ABC是等腰三角形，平分，
∴是△ABC的中线，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵是△ABC的中线，点是的中点，
∴是△ABC的中位线，
∴，
即：；
21．（本题9分）如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动．在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为．
(1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出的图象与直线的图象只有1个公共点时的取值范围．
（1）解：过点A作于点M，
∵四边形是平行四边形，且，
∴，，，
∴，
∴，
即，
∴，
当点P在上时，则，
∴；
当点P在上时，
同理可得：，
即；
（2）解：当时，，当时，，当时，，
根据上述3点坐标描点、连线绘制图象如下：
从图象看，函数的最小值为3（答案不唯一）；
（3）解：∵
∴直线恒过点；
当时，直线过点，则，
解得，
∴当时，直线的图象与的图象只有1个公共点；
当时，直线过点，则，
解得；
直线过点，则，
解得；
∴当时，直线的图象与的图象只有1个公共点．
综上，当或时，直线的图象与的图象只有1个公共点．
22．（本题9分）【阅读材料】我们知道：探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题．如图①，四边形是凸四边形，探索其内角和的方法是：连结对角线，则四边形的内角和就转化为和的内角和，即为．
【解决问题】
(1)如图②，四边形是凹四边形，请探究与、、之间的数量关系．小明得出的结论是，请你帮小明写出证明过程．
(2)图③和图④所示的图形都是一笔画成的，即从图形的某一顶点出发，连续不断且不重复经过图形上所有部分画成的，请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题：
图③中，的度数为______；
图④中，的度数为______．
（1）证明：连结，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：图③中，连结，设与相交于点M，
，且，
，
又，
，
．故答案为：．
图④中，连结，设与相交于点M，
根据图③的相关推理，同理可得，
根据阅读材料部分“四边形的内角和转化为和的内角和，即为”，可知，在图④中，，，
．故答案为：．
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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第六章：平行四边形
一、选择题（共30分）
1．（本题3分）在中，下列结论错误的是（ ）．
A． B． C． D．
2．（本题3分）下列图形中，一定是轴对称图形的是（ ）
A．直角三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．梯形
3．（本题3分）如图，在△ABC中，，，，E，F分别是和的中点，则（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图所示，某数学小组为测量池塘两侧、两点之间的距离，在空地上另取一点，并找到，的中点，，通过测量得，则（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．四边形的内角和是
B．投掷一枚图钉，一定是钉尖朝上
C．射击运动员射击一次，一定命中靶心
D．投掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上一定为5次
6．（本题3分）已知正多边形的一个内角为，则这个多边形是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形
7．（本题3分）如图，在正五边形中，延长，交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过（ ）秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分．
A．3秒 B．秒 C．5秒 D．6秒
9．（本题3分）如图，在中，点在边上，且，连接并延长交的延长线于点，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）已知四边形中．与交于点，如果只给出条件“”，那么可以判定四边形是平行四边形的是（ ）
①再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形．
②再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形．
③再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形．
④再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形．
A．①和② B．①和③和④ C．②和③ D．②和③和④
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）已知直线a，b，c互相平行，直线a，b之间的距离是3cm，直线b，c之间的距离是4cm，那么直线a，c之间的距离为 ．
12．（本题3分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是各边的中点，连接DE，DF，随机向中掷一粒米，则这粒米落在阴影部分的概率为 ．
13．（本题3分）如图，桐桐从点出发，前进到点处后向右转，再前进3m到点处后又向右转，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点时，一共走了
14．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“关联点”．若已知，，则点，中为线段的“关联点”的是 （填，即可）；若点在第一象限且点是线段的“关联点”，则线段长度的取值范围为 ．
15．（本题3分）如图1，平面上两条直线，相交于点O，对于平面上任意一点M，若点M到直线的距离为p，到直线l2的距离为q，则称有序实数对为点M的“距离坐标”，例如，图1中点O的“距离坐标”为，点N的“距离坐标”为．
（1）如图2，点A的“距离坐标”为 ，点B的“距离坐标”为 ；
（2）如图3，点C，D分别在直线，上，则C，D两个点中，“距离坐标”为的点是 ；
（3）平面上“距离坐标”为的点有 个，“距离坐标”为的点有 个．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，分别求出各图形中x的值．
17．（本题7分）如图，在直角坐标系中：
(1)描出、、、四点；
(2)顺次连接、、、，计算得到的图形周长．
18．（本题8分）某学校的劳动菜园的平面示意图是 ，如图1所示，两条主路，交于点O，经测量，请你解决以下问题：
(1)求劳动菜园的面积；
(2)如图2，综合实践李老师提出，准备再修建两条小道，对菜园进行分割．小明提出的方案为点M在上，点N在上，且（点M与点O，D不重合），李老师对这个与众不同的方案表示支持，并计划在与两块菜地所在区域种植草莓，求种植草莓区域的面积；
19．（本题8分）如图，中，分别是和的平分线，相交于点O．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
20．（本题8分）如图，在△ABC中，平分，点是的中点，连接，将沿着翻折得到，且，点是上一点，连接并延长交于点．
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
21．（本题9分）如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动．在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为．
(1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出的图象与直线的图象只有1个公共点时的取值范围．
22．（本题9分）【阅读材料】我们知道：探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题．如图①，四边形是凸四边形，探索其内角和的方法是：连结对角线，则四边形的内角和就转化为和的内角和，即为．
【解决问题】
(1)如图②，四边形是凹四边形，请探究与、、之间的数量关系．小明得出的结论是，请你帮小明写出证明过程．
(2)图③和图④所示的图形都是一笔画成的，即从图形的某一顶点出发，连续不断且不重复经过图形上所有部分画成的，请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题：
图③中，的度数为______；
图④中，的度数为______．
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