河北省泊头市文宇中学2026届高三上学期12月月考数学试题
1．（2025高三上·泊头月考）已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2025高三上·泊头月考）某企业对一种特殊零部件进行招标，共有7个厂商参与竞标.将7个厂商的报价整理得到如下数据（单位：元/个）：，则这组数据的第70百分位数为（ ）
A．5.8 B．5.9 C．6.0 D．6.1
3．（2025高三上·泊头月考）已知平面向量，，且与共线，则（ ）
A．1 B．-1 C． D．
4．（2025高三上·泊头月考）设全集是小于9的平方数}，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高三上·泊头月考）已知函数是定义在上且周期为4的奇函数，当时，则（ ）
A． B．0 C． D．
6．（2025高三上·泊头月考）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高三上·泊头月考）如图，在正六棱台中，，，四边形的面积为，则该正六棱台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高三上·泊头月考）已知函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高三上·泊头月考）设正数满足为与的等差中项，为与的等比中项，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若为整数，则不为整数 D．若为整数，则可能不为整数
10．（2025高三上·泊头月考）设实数，满足，则的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
11．（2025高三上·泊头月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距为2，短轴长为，点为在第一象限部分上的一点，过点且与相切的直线分别交轴、轴于，两点，设为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．若点，则的最小值为
C．的面积不小于
D．
12．（2025高三上·泊头月考）记为双曲线：的右焦点，则的渐近线方程为
13．（2025高三上·泊头月考）已知某随机变量X服从正态分布，且，则 ，
14．（2025高三上·泊头月考）在中，，以各边为直径分别向外作三个半圆，为三个半圆上任意两点，则的最大值是 ．
15．（2025高三上·泊头月考）已知函数，点和是曲线相邻的两个对称中心.
（1）求的解析式；
（2）探究在区间上有几条平行于轴且被曲线无限逼近的直线.
16．（2025高三上·泊头月考）已知与为公差相同的等差数列，且，.
（1）求与的通项公式；
（2）设为数列的前项和，证明：.
17．（2025高三上·泊头月考）设函数，.
（1）若存在大于0的零点，求a的取值范围；
（2）设点在曲线的任意一点的切线上，证明：.
18．（2025高三上·泊头月考）如图，在等腰梯形中，，，垂足为E，且，延长线段至点P，使得.将沿翻折至的位置，D到达的位置，使得.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与所成角的大小；
（3）求三棱锥与三棱锥所围成的公共部分的外接球的表面积.
19．（2025高三上·泊头月考）在平面直角坐标系中，点为抛物线：的焦点，A，B，C为E上三点，且F为的垂心.
（1）若点A的纵坐标为，求直线的斜率；
（2）若，求的面积；
（3）证明：为定值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，
故答案为：A.
【分析】根据复数乘除法运算法则得到复数z，再利用复数的几何意义等差复数在复平面内对应的点所在的象限.
2．【答案】D
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大进行排列得到：，
由可知，第70百分位数为第5个数，即6.1.
故答案为：D.
【分析】由百分位数的求法得出这组数据的第70百分位数.
3．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意，可得，，
由与共线，可得，
解得.
故答案为：C.
【分析】根据平面向量共线的坐标表示，从而得出实数m的值.
4．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：由题意，可得，
由，得，解得，
又因为，所以，
则，所以.
故答案为：A.
【分析】先根据已知条件确定全集，利用分式不等式求解方法和元素与集合的关系，从而求出集合，再利用交集的运算法则和补集的运算法则，从而得出集合.
5．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：由函数是定义在上且周期为4的奇函数，
当时，，
得.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和函数的周期性以及函数的奇偶性，从而求出函数的值.
6．【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：在的展开式中，的系数为，的系数为，
所以，在的展开式中，的系数为.
故答案为：B.
【分析】利用二项式定理得出二项式的展开式的通项公式，从而得出的系数.
7．【答案】D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：如图，
在正六边形中，，
因为，由，
可得，则，
又因为，所以.
不妨记该棱台的高为，易知为梯形的高，
则，解得，
记点A在下底面的射影为M，则点在上，.
易知，则.
过A作，垂足为N，则，
所以，
则梯形的面积为，
所以，该棱台的表面积为.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合图形，先求出正六棱台的上底面边长，从而得到对角线长，再利用四边形的面积得出棱台的高，从而求出侧棱长，再分别求出正棱台的侧面积和两底面面积，从而求和得出该正六棱台的表面积.
8．【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由，
可得，
因此在区间上有两个零点，
可等价转化为与在有两个交点，
设函数，
则
，即.
由恒成立结合，
则，
所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减，
则当时，的最大值为，
又因为且时，，
所以要使函数与函数在上有两个交点，
则，
故答案为：A.
【分析】利用函数零点与两函数交点的横坐标的等价关系，先将函数的零点问题转化为常函数与函数的交点问题，再通过两个函数图象在上有两个交点得出实数a的取值范围.
9．【答案】A,B,D
【知识点】等比中项；等差中项
【解析】【解答】解：由题意，可得成等差数列，
则，成等比数列，所以，
若，则，所以，故A正确；
若，则，所以，故B正确；
若为整数，则为整数，
所以为整数，故C错误；
若分别取3，4，5，，此时可满足条件，
但不为整数，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由等差中项公式和等比中项公式，从而得到和之间的关系式，再根据已知条件判断出选项A和选项B；由等差数列的项之间的关系和整数的定义，则判断出选项C；取特殊值检验结合整数的定义，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：由，
得，
因为，
所以，
解得.
故答案为：AD.
【分析】将已知式子进行化简得到，再利用将代入，从而解不等式得出ab的取值范围可解.
11．【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，根据题意，得，，
则，
所以，椭圆的离心率为，故A正确；
对于B，因为椭圆：，设点，
则，
将代入，得，
当时，取得最小值，故B错误；
对于C，设切线的方程为，
联立得，
所以，则，
所以，则，
将代入直线方程中，得，
又因为点在直线上，所以，
则，所以，，
易知，，
因此的面积为，
又因为，
所以，则，当且仅当时等号成立，故C正确；
对于D，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
因为，，
所以，
要证，
只要证明即可，
当时，
，，，
所以，
将代入，得，
所以，
因为，，所以，
则，
当时，轴，此时点，直线方程为，
因为，，，
所以，则，
则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件和焦距、短轴长的定义以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出的值，再利用椭圆的离心率公式判断出选项A；利用两点间距离公式可判断选项B；先求出切线方程，再结合三角形面积公式和基本不等式求最值的方法，则可判断选项C；要证，只要证明即可，再分为和两种情况，再结合二倍角的正切公式、直线的斜率与直线倾斜角的关系式、两角和的正切公式，从而得出，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：对于双曲线，易知，解得，
则双曲线：，又因为，
所以，双曲线E的渐近线方程为.
故答案为：.
【分析】先根据双曲线的标准方程和焦点的位置以及双曲线中a，b，c三者的关系式，利用点为双曲线：的右焦点，从而求出的值，再根据双曲线的性质求出双曲线E的渐近线方程.
13．【答案】0.1；0.8
【知识点】正态密度曲线的特点；条件概率
【解析】【解答】解：由题意，可知，
因为，所以，
由对称性，可知，
则，
所以.
故答案为：，.
【分析】利用正态分布对应的密度函数曲线的对称性对称性得出的值；再利用条件概率公式得出的值.
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；平面内两点间距离公式的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：设边的中点分别为，当位于两个不同的半圆上时，
例如点P在以BC为直径的半圆上，点Q在以AB为直径的半圆上，
则，当且仅当共线时等号成立，
当在同一半圆上时，最大距离为该半圆的直径，
根据三角形两边之和大于第三边可知，半周长大于任意一边，
则的最大值是的半周长，即.
方法一：在中，由余弦定理，
得，
因为当且仅当时，等号成立，
所以，
则，即，
所以，
当且仅当时，的最大值，此时，取得最大值.
方法二：根据正弦定理，
得，
所以
则=.
所以
因为，所以，则，
所以，
当且仅当时，取得最大值，
此时取得最大值所以的最大值为.
故答案为：
【分析】将求的最大值转化为求的周长的一半的最大值，再利用两种方法得出的最大值.
方法一：利用，从而将求的最大值转化为的最大值，再根据余弦定理结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值即可得出的最大值.
方法二：根据正弦定理将的最大值转化成求的最大值，再根据正弦型函数性质，从而得出的最大值.
15．【答案】（1）解：由题意，可知，，其中T是的最小正周期，
则.
又因为点是曲线的对称中心，
所以，，则，，
结合，可知，
因此.
（2）解：因为平行于y轴且被曲线无限逼近的直线的方程满足，，
解得，，
在区间上解，
可得，共四个取值，
所以在区间上有4条平行于轴且被曲线无限逼近的直线.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）利用正切型函数最小正周期公式和对称性，再利用的取值范围，从而得出函数的解析式.
（2）利用平行于y轴且被曲线无限逼近的直线的方程满足，，从而得出，，再利用x的取值范围，从而得出k的值，进而探究出在区间上平行于轴且被曲线无限逼近的直线条数.
（1）由题可知，，其中T是的最小正周期，故.
又因为点是曲线的对称中心，
所以，，即，，
结合可知.
因此.
（2）平行于y轴且被曲线无限逼近的直线的方程满足，.
解得，.
在区间上解，可得，共四个取值，
所以在区间上有4条平行于轴且被曲线无限逼近的直线.
16．【答案】（1）解：设，则，，，
由题意，可得，
解得，
则数列的首项为3，公差为2；数列的首项为1，公差为2，
则，.
（2）证明：由（1）得，，
则，
所以
则.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）设，对进行赋值，利用两数列公差相同得出的值，从而得出两数列的首项和公差，再利用等差数列的通项公式写出数列的通项公式与数列的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式与数列的通项公式，从而求出数列的通项公式，利用裂项相消法得出数列的前项和，再利用放缩法证出不等式成立.
（1）设，则，，，
由题意可得，解得，
则的首项为3，公差为2，的首项为1，公差为2，
故，.
（2）由（1）得，，
故，
则，
故.
17．【答案】（1）解：易知函数在R上单调递增，且时，，
若存在大于0的零点，则，
所以.
令，易知函数在R上单调递增，
因为，要使，
只需，则实数的取值范围为.
（2）证明：由题意，易知，设切点为，
则切线为，
因为是切线上一点，所以，
要证，即证，
等价于证明，
设，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
又因为，所以，
则.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由函数的单调性结合零点存在性定理，从而得出，再构造函数，再根据函数的单调性得出实数a的取值范围.
（2）设切点坐标，根据导数的几何意义得出切线的斜率，结合点斜式方程得出曲线的切线方程，再将问题转化为证明，构造函数，证明函数的最小值大于等于0即可.
（1）易知函数在R上单调递增，且时，，
若存在大于0的零点，则，即.
令，易知函数在R上单调递增，
因为，所以要使，只需，
即的取值范围为.
（2）易知，设切点为，
则切线为，
由于是切线上一点，故，
要证，即证，
等价于证明，
设，则.
当时，，单调递减，当时，，单调递增.
又，故，
也即得证.
18．【答案】（1）证明：由题意，得，，
在中，因为，
所以，同理可得，
因为，平面，
所以平面.
又因为平面，所以.
在中，因为，，
所以，则，
又因为，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）解：以E为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设直线与所成的角为，
则，
又因为，
所以直线与所成角为.
（3）解：如图，设，
则三棱锥为所求的公共部分，
易知，
则是等腰直角三角形，所以，
设的外接圆半径为，三棱锥的外接球半径为，
因为，所以，
则，
由正弦定理，得，
则，
所以，外接球的表面积.
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用翻折的性质结合勾股定理，从而得出，，再结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，从而证出平面平面.
（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和，从而得出直线与所成角的大小.
（3）先确定三棱锥与三棱锥所围成的公共部分，由两三角形相似得出的长，根据正弦定理得出底面外接圆半径，再利用三棱锥的外接球性质计算出外接球的半径，结合球的表面积公式计算可得.
（1）由题意得，，
在中，因为，
所以，同理可得.
因为，平面，所以平面.
因为平面，所以.
在中，因为，，所以，即.
又，平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）以E为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设直线与所成的角为，
则，
又，故直线与所成角为.
（3）如图，设，则三棱锥即为所求的公共部分，
易知，
则是等腰直角三角形，即，
设的外接圆半径为，三棱锥的外接球半径为，
因为，所以，则，
由正弦定理得，故，
所以外接球的表面积.
19．【答案】（1）解：由抛物线的焦点为，
得抛物线方程为，
由，得点，
则直线的斜率为，
由为的垂心，得，
所以直线的斜率为.
（2）解：由，得点为坐标原点，此时轴，
设，则，
由，得，
解得，
则的面积为.
（3）证明：设，其中两两相异，
因为为垂心，所以，
又因为，
所以，
则，
又因为，所以，
则，
同理可得，
则，
又因为，
所以，
则，
又因为，
所以.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用抛物线的焦点得出抛物线的标准方程，从而得出点的坐标，再利用两点求斜率公式和三角形的垂心，从而得出，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出直线的斜率.
（2）由确定点的位置，再由三角形的垂心和两直线垂直斜率之积等于-1求出点的坐标，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积.
（3）利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而证出为定值.
（1）由抛物线的焦点为，得抛物线方程为，
由，得点，直线的斜率为，
由为的垂心，得，所以直线的斜率为.
（2）由，得点为坐标原点，此时轴，
设，则，由，得，解得，
从而的面积为.
（3）设，其中两两相异.
因为为垂心，故，
而，故，
故，而，故，
故，同理，
故，
而，故即，
而，
故.
1 / 1河北省泊头市文宇中学2026届高三上学期12月月考数学试题
1．（2025高三上·泊头月考）已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，
故答案为：A.
【分析】根据复数乘除法运算法则得到复数z，再利用复数的几何意义等差复数在复平面内对应的点所在的象限.
2．（2025高三上·泊头月考）某企业对一种特殊零部件进行招标，共有7个厂商参与竞标.将7个厂商的报价整理得到如下数据（单位：元/个）：，则这组数据的第70百分位数为（ ）
A．5.8 B．5.9 C．6.0 D．6.1
【答案】D
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大进行排列得到：，
由可知，第70百分位数为第5个数，即6.1.
故答案为：D.
【分析】由百分位数的求法得出这组数据的第70百分位数.
3．（2025高三上·泊头月考）已知平面向量，，且与共线，则（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意，可得，，
由与共线，可得，
解得.
故答案为：C.
【分析】根据平面向量共线的坐标表示，从而得出实数m的值.
4．（2025高三上·泊头月考）设全集是小于9的平方数}，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：由题意，可得，
由，得，解得，
又因为，所以，
则，所以.
故答案为：A.
【分析】先根据已知条件确定全集，利用分式不等式求解方法和元素与集合的关系，从而求出集合，再利用交集的运算法则和补集的运算法则，从而得出集合.
5．（2025高三上·泊头月考）已知函数是定义在上且周期为4的奇函数，当时，则（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：由函数是定义在上且周期为4的奇函数，
当时，，
得.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和函数的周期性以及函数的奇偶性，从而求出函数的值.
6．（2025高三上·泊头月考）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：在的展开式中，的系数为，的系数为，
所以，在的展开式中，的系数为.
故答案为：B.
【分析】利用二项式定理得出二项式的展开式的通项公式，从而得出的系数.
7．（2025高三上·泊头月考）如图，在正六棱台中，，，四边形的面积为，则该正六棱台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：如图，
在正六边形中，，
因为，由，
可得，则，
又因为，所以.
不妨记该棱台的高为，易知为梯形的高，
则，解得，
记点A在下底面的射影为M，则点在上，.
易知，则.
过A作，垂足为N，则，
所以，
则梯形的面积为，
所以，该棱台的表面积为.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合图形，先求出正六棱台的上底面边长，从而得到对角线长，再利用四边形的面积得出棱台的高，从而求出侧棱长，再分别求出正棱台的侧面积和两底面面积，从而求和得出该正六棱台的表面积.
8．（2025高三上·泊头月考）已知函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由，
可得，
因此在区间上有两个零点，
可等价转化为与在有两个交点，
设函数，
则
，即.
由恒成立结合，
则，
所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减，
则当时，的最大值为，
又因为且时，，
所以要使函数与函数在上有两个交点，
则，
故答案为：A.
【分析】利用函数零点与两函数交点的横坐标的等价关系，先将函数的零点问题转化为常函数与函数的交点问题，再通过两个函数图象在上有两个交点得出实数a的取值范围.
9．（2025高三上·泊头月考）设正数满足为与的等差中项，为与的等比中项，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若为整数，则不为整数 D．若为整数，则可能不为整数
【答案】A,B,D
【知识点】等比中项；等差中项
【解析】【解答】解：由题意，可得成等差数列，
则，成等比数列，所以，
若，则，所以，故A正确；
若，则，所以，故B正确；
若为整数，则为整数，
所以为整数，故C错误；
若分别取3，4，5，，此时可满足条件，
但不为整数，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由等差中项公式和等比中项公式，从而得到和之间的关系式，再根据已知条件判断出选项A和选项B；由等差数列的项之间的关系和整数的定义，则判断出选项C；取特殊值检验结合整数的定义，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2025高三上·泊头月考）设实数，满足，则的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：由，
得，
因为，
所以，
解得.
故答案为：AD.
【分析】将已知式子进行化简得到，再利用将代入，从而解不等式得出ab的取值范围可解.
11．（2025高三上·泊头月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距为2，短轴长为，点为在第一象限部分上的一点，过点且与相切的直线分别交轴、轴于，两点，设为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．若点，则的最小值为
C．的面积不小于
D．
【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，根据题意，得，，
则，
所以，椭圆的离心率为，故A正确；
对于B，因为椭圆：，设点，
则，
将代入，得，
当时，取得最小值，故B错误；
对于C，设切线的方程为，
联立得，
所以，则，
所以，则，
将代入直线方程中，得，
又因为点在直线上，所以，
则，所以，，
易知，，
因此的面积为，
又因为，
所以，则，当且仅当时等号成立，故C正确；
对于D，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
因为，，
所以，
要证，
只要证明即可，
当时，
，，，
所以，
将代入，得，
所以，
因为，，所以，
则，
当时，轴，此时点，直线方程为，
因为，，，
所以，则，
则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件和焦距、短轴长的定义以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出的值，再利用椭圆的离心率公式判断出选项A；利用两点间距离公式可判断选项B；先求出切线方程，再结合三角形面积公式和基本不等式求最值的方法，则可判断选项C；要证，只要证明即可，再分为和两种情况，再结合二倍角的正切公式、直线的斜率与直线倾斜角的关系式、两角和的正切公式，从而得出，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
12．（2025高三上·泊头月考）记为双曲线：的右焦点，则的渐近线方程为
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：对于双曲线，易知，解得，
则双曲线：，又因为，
所以，双曲线E的渐近线方程为.
故答案为：.
【分析】先根据双曲线的标准方程和焦点的位置以及双曲线中a，b，c三者的关系式，利用点为双曲线：的右焦点，从而求出的值，再根据双曲线的性质求出双曲线E的渐近线方程.
13．（2025高三上·泊头月考）已知某随机变量X服从正态分布，且，则 ，
【答案】0.1；0.8
【知识点】正态密度曲线的特点；条件概率
【解析】【解答】解：由题意，可知，
因为，所以，
由对称性，可知，
则，
所以.
故答案为：，.
【分析】利用正态分布对应的密度函数曲线的对称性对称性得出的值；再利用条件概率公式得出的值.
14．（2025高三上·泊头月考）在中，，以各边为直径分别向外作三个半圆，为三个半圆上任意两点，则的最大值是 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；平面内两点间距离公式的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：设边的中点分别为，当位于两个不同的半圆上时，
例如点P在以BC为直径的半圆上，点Q在以AB为直径的半圆上，
则，当且仅当共线时等号成立，
当在同一半圆上时，最大距离为该半圆的直径，
根据三角形两边之和大于第三边可知，半周长大于任意一边，
则的最大值是的半周长，即.
方法一：在中，由余弦定理，
得，
因为当且仅当时，等号成立，
所以，
则，即，
所以，
当且仅当时，的最大值，此时，取得最大值.
方法二：根据正弦定理，
得，
所以
则=.
所以
因为，所以，则，
所以，
当且仅当时，取得最大值，
此时取得最大值所以的最大值为.
故答案为：
【分析】将求的最大值转化为求的周长的一半的最大值，再利用两种方法得出的最大值.
方法一：利用，从而将求的最大值转化为的最大值，再根据余弦定理结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值即可得出的最大值.
方法二：根据正弦定理将的最大值转化成求的最大值，再根据正弦型函数性质，从而得出的最大值.
15．（2025高三上·泊头月考）已知函数，点和是曲线相邻的两个对称中心.
（1）求的解析式；
（2）探究在区间上有几条平行于轴且被曲线无限逼近的直线.
【答案】（1）解：由题意，可知，，其中T是的最小正周期，
则.
又因为点是曲线的对称中心，
所以，，则，，
结合，可知，
因此.
（2）解：因为平行于y轴且被曲线无限逼近的直线的方程满足，，
解得，，
在区间上解，
可得，共四个取值，
所以在区间上有4条平行于轴且被曲线无限逼近的直线.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）利用正切型函数最小正周期公式和对称性，再利用的取值范围，从而得出函数的解析式.
（2）利用平行于y轴且被曲线无限逼近的直线的方程满足，，从而得出，，再利用x的取值范围，从而得出k的值，进而探究出在区间上平行于轴且被曲线无限逼近的直线条数.
（1）由题可知，，其中T是的最小正周期，故.
又因为点是曲线的对称中心，
所以，，即，，
结合可知.
因此.
（2）平行于y轴且被曲线无限逼近的直线的方程满足，.
解得，.
在区间上解，可得，共四个取值，
所以在区间上有4条平行于轴且被曲线无限逼近的直线.
16．（2025高三上·泊头月考）已知与为公差相同的等差数列，且，.
（1）求与的通项公式；
（2）设为数列的前项和，证明：.
【答案】（1）解：设，则，，，
由题意，可得，
解得，
则数列的首项为3，公差为2；数列的首项为1，公差为2，
则，.
（2）证明：由（1）得，，
则，
所以
则.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）设，对进行赋值，利用两数列公差相同得出的值，从而得出两数列的首项和公差，再利用等差数列的通项公式写出数列的通项公式与数列的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式与数列的通项公式，从而求出数列的通项公式，利用裂项相消法得出数列的前项和，再利用放缩法证出不等式成立.
（1）设，则，，，
由题意可得，解得，
则的首项为3，公差为2，的首项为1，公差为2，
故，.
（2）由（1）得，，
故，
则，
故.
17．（2025高三上·泊头月考）设函数，.
（1）若存在大于0的零点，求a的取值范围；
（2）设点在曲线的任意一点的切线上，证明：.
【答案】（1）解：易知函数在R上单调递增，且时，，
若存在大于0的零点，则，
所以.
令，易知函数在R上单调递增，
因为，要使，
只需，则实数的取值范围为.
（2）证明：由题意，易知，设切点为，
则切线为，
因为是切线上一点，所以，
要证，即证，
等价于证明，
设，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
又因为，所以，
则.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由函数的单调性结合零点存在性定理，从而得出，再构造函数，再根据函数的单调性得出实数a的取值范围.
（2）设切点坐标，根据导数的几何意义得出切线的斜率，结合点斜式方程得出曲线的切线方程，再将问题转化为证明，构造函数，证明函数的最小值大于等于0即可.
（1）易知函数在R上单调递增，且时，，
若存在大于0的零点，则，即.
令，易知函数在R上单调递增，
因为，所以要使，只需，
即的取值范围为.
（2）易知，设切点为，
则切线为，
由于是切线上一点，故，
要证，即证，
等价于证明，
设，则.
当时，，单调递减，当时，，单调递增.
又，故，
也即得证.
18．（2025高三上·泊头月考）如图，在等腰梯形中，，，垂足为E，且，延长线段至点P，使得.将沿翻折至的位置，D到达的位置，使得.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与所成角的大小；
（3）求三棱锥与三棱锥所围成的公共部分的外接球的表面积.
【答案】（1）证明：由题意，得，，
在中，因为，
所以，同理可得，
因为，平面，
所以平面.
又因为平面，所以.
在中，因为，，
所以，则，
又因为，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）解：以E为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设直线与所成的角为，
则，
又因为，
所以直线与所成角为.
（3）解：如图，设，
则三棱锥为所求的公共部分，
易知，
则是等腰直角三角形，所以，
设的外接圆半径为，三棱锥的外接球半径为，
因为，所以，
则，
由正弦定理，得，
则，
所以，外接球的表面积.
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用翻折的性质结合勾股定理，从而得出，，再结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，从而证出平面平面.
（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和，从而得出直线与所成角的大小.
（3）先确定三棱锥与三棱锥所围成的公共部分，由两三角形相似得出的长，根据正弦定理得出底面外接圆半径，再利用三棱锥的外接球性质计算出外接球的半径，结合球的表面积公式计算可得.
（1）由题意得，，
在中，因为，
所以，同理可得.
因为，平面，所以平面.
因为平面，所以.
在中，因为，，所以，即.
又，平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）以E为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设直线与所成的角为，
则，
又，故直线与所成角为.
（3）如图，设，则三棱锥即为所求的公共部分，
易知，
则是等腰直角三角形，即，
设的外接圆半径为，三棱锥的外接球半径为，
因为，所以，则，
由正弦定理得，故，
所以外接球的表面积.
19．（2025高三上·泊头月考）在平面直角坐标系中，点为抛物线：的焦点，A，B，C为E上三点，且F为的垂心.
（1）若点A的纵坐标为，求直线的斜率；
（2）若，求的面积；
（3）证明：为定值.
【答案】（1）解：由抛物线的焦点为，
得抛物线方程为，
由，得点，
则直线的斜率为，
由为的垂心，得，
所以直线的斜率为.
（2）解：由，得点为坐标原点，此时轴，
设，则，
由，得，
解得，
则的面积为.
（3）证明：设，其中两两相异，
因为为垂心，所以，
又因为，
所以，
则，
又因为，所以，
则，
同理可得，
则，
又因为，
所以，
则，
又因为，
所以.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用抛物线的焦点得出抛物线的标准方程，从而得出点的坐标，再利用两点求斜率公式和三角形的垂心，从而得出，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出直线的斜率.
（2）由确定点的位置，再由三角形的垂心和两直线垂直斜率之积等于-1求出点的坐标，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积.
（3）利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而证出为定值.
（1）由抛物线的焦点为，得抛物线方程为，
由，得点，直线的斜率为，
由为的垂心，得，所以直线的斜率为.
（2）由，得点为坐标原点，此时轴，
设，则，由，得，解得，
从而的面积为.
（3）设，其中两两相异.
因为为垂心，故，
而，故，
故，而，故，
故，同理，
故，
而，故即，
而，
故.
1 / 1
