高二数学期末试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A C C B D D BCD ABD
题号 11
答案 ACD
12． 13． 14．2
5．C
【详解】由题意可得， ,……
所以， .
所以，
所以， + + +…+
6．B
【详解】设今后 10 年每年的销售额为 ，
因为超市去年的销售额为 a 万元，计划在今后 10 年内每年比上一年增加 .
所以今年的销售额为 ，今后第 年与第年的关系为 ，
所以今后 10 年每年的销售 额构成等比数列，
公比为 1.1，首项为 .
所以今年起 10 年内这家超市的总销售额为
故从今年起 10 年内这家超市的总销售额为万元 .
7．D
【详解】因为椭圆 的两个焦点分别为 ，则
，
答案第 1 页，共 2 页
又上顶点为 P，且 ，所以 ，所以 .
8．D
【详解】由于等差数列的前 项和 的形式，图象是由经过坐标原点的抛物线上
的横坐标为正整数的所有点构成，由 ， 可知抛物线的开口向上，且大于
零的零点在区间(2025,2026)之间，因此对称轴在区间 之间，离对称轴最近的
横坐标为整数的点的横坐标为 ,
∴ 取得最小值时 n 的值为 1013．
11．ACD
【详解】对于 A,由圆锥曲线 的离心率为 ，则曲线 的轨迹为椭圆，
可得 ，则 ，
则可得 ，解得 ，，所以 A 正确；
对于 B，由 A 得椭圆 的方程为 ，可得 ，
又由椭圆的定义，可得 的周长为 ，所以 B 错误；
对于 C，由 面积为 ，因为 ，
所以当点 为短轴的端点时， 面积取得最大值，
可得 面积的最大值为 ，所以 C 正确；
对于 D，设点 的坐标为 ，其中 ，则 ，所以 ，
因为 ，可得 ，
则 ，
因为 ，可得 ，即 取值范围为 ，所以 D 正确.
12．
【详解】由题意得： ， ， ，
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所以数列是周期为 3 的周期数列，
所以 .
13． .
【详解】当直线 与双曲线 的渐近线 平行时， ，
此时直线与双曲线的其中一支有一个交点，
若直线 与双曲线 的左、右两支各有一个交点，
可得直线 一定在两渐近线之间，
则 k 的取值范围为 .
14．2
【详解】法一：设该等比数列为 ， 是其前 项和，则 ，
设 的公比为 ，
当 时， 3，即 ，则 ，显然不成立，舍去；
当 时，则 ，
两式相除得 ，即 ，
则 ，所以 ，
所以该等比数列公比为 2.
法二：设该等比数列为 ， 是其前 项和，则 ，
设 的公比为 ，
所以 ，
，
所以 ，则 ，所以 ，
所以该等比数列公比为 2.
15．(1) ；
答案第 1 页，共 2 页
(2)30 .
【详解】（1）设等差数列的公差为 ，
由题意可得 ，解得 ，所以 .
（2）由（1）可得 ，
所以
.
16．(1)标准方程为 .准线方程为 ;
(2) .
【详解】（1）由题可知： .
当直线 轴时，可得 ， .所以
.
因为 ，所以 ，解得 ，
故抛物线 的标准方程为 .准线方程为 .
（2）由（1）知： ，所以直线 .
联立直线 与抛物线 方程 ，得 ，
设点 ， ，则 ， ，
所以 .
所以 的面积 .
17．(1) ， ;
(2) .
【详解】（1）对于数列 ，由 可得 ，又 ，
所以 ，
所以数列 是首项为 3，公比为 3 的等比数列，
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故 ，得 .
对于数列 ，设 ，
则当 时， ，得 ，
时验证成立，故 .
（2）新数列 为： 后插 1 项， 后插 3 项， 后插 项，到 为止总项数为
.
当 时，到 共 项，
前共插入 到 共 36 项，
新数列 的第 50 项为 后插的第 7 项，
即 ，则 ，
18．(1) ；
(2)（ⅰ） ；（ⅱ） .
【详解】（1）因为椭圆 的焦点在 轴上，所以设椭圆 的标准方程为
.
依题意可得 ，又
所以 ，则 .
故椭圆 的标准方程为 ，则椭圆的离心率
（2）（ⅰ）设 ， .
联立 ，整理得 .
由 ，解得 或 .
即 的取值范围为 .
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（ⅱ）由（ⅰ）可得， ， ，（*）
则 .
因为 ，所以 ，
则得 ，
将（*）代入，可得 .
解得 ，满足 .
所以 的值为 .
19．(1) , ;
(2)① ; ② .
【详解】（1）因为不超过正整数 且与 互素的正整数只有 ，所以 ，
因为不超过正整数 且与 互素的正整数只有 ，所以 .
（2）①所有不超过正整数 的正整数有 个，
其中与 不互素的正整数有 ， ， ， ， ，共 个，
所以所有不超过正整数 ，且与 互素的正整数的个数为 个，即
，
所以 ，
所以
两式相减得
所以 ；
②由①可知 ，所以 ，
所以由 得 恒成立，
令 ，则 ，
答案第 1 页，共 2 页
所以可得 ；
当 时， 即 ，
所以 的最大值为 ，
故 .
答案第 1 页，共 2 页此椭圆长轴长为（
）
宁夏育才中学 2025-2026 学年第一学期高二年级期末考试
数 学 试 卷
A．
B．6
C．
D．
8．已知等差数列
的前 n 项和为 ，若
，
，则当 最小时，n 的值为（
）
A．1010
B．1011
C．1012
D．1013
(试卷满分 150 分，考试时间 150 分钟)
注意事项：
1
2
3
．答卷前，考生务必将信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡指定位置。
．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
．考试结束后，将答题卡交回，试卷保留。
二、多选题（每小题 6 分,合计 18 分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得 6 分，部分
选对的得部分，有选错的得 0 分.）
9．若等比数列
的公比为 ，前 项和
，则（ ）
一、单选题（每小题 5 分，合计 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.）
A．
B．
C．
1
D．
1
．已知数列
，
，
，3，
，…，则
是这个数列的第（ ）项
1
0．已知数列
A．
的前 n 项和为
，
，
，则下列说法正确的是（
是递减数列
）
A．10
B．11
C．12
D．13
2
．以
A．
为焦点的抛物线标准方程是（
）
B．
D．
，
B．
C．
D．
C．当
时，
3
4
．在实数 和 (
A．15
)之间插入 4 个不同的数，这 6 个数恰好构成公差为 3 的等差数列，则
的值为（
）
11．已知圆锥曲线
的离心率为
，
分别为曲线 的左，右焦点， 为曲线 上一点，则下
B．12
C．
，双曲线 上有一点 ，若
C．2 或 10 D．14
D．
列结论正确的是（
）
．已知双曲线
的两个焦点为
，则
（
）
A．
B．
的周长为 16
A．10
B．2
C．
面积的最大值为
D．
的取值范围是
5
．南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，
如图是一个三角垛，最顶层有 1 个小球，第二层有 3 个小球，第三层有 6 个小球，第四层有 10 个小球……设第 n 层
三、填空题（每小题 5 分,合计 15 分.）
有 an 个小球，则
+
+
+…+
的值为（
）
1
1
2．已知数列
满足
，且
，则
的左、右两支各有一个交点，则实数 k 的取值范围是
A．
B．
3．若直线
与双曲线
.
C．
D．
1
.
4．若一个等比数列的各项均为正数，且前 3 项的和等于 3，前 6 项的和等于 27，则这个数列的公比等于
6
．某超市去年的销售额为 a 万元，计划在今后 10 年内每年比上一年增加 10%．从今年起 10 年内这家超市的总销售
额为（ ）万元．
A．
B．
C．
D．
7
．已知椭圆
的两个焦点分别为
，上顶点为 P，且
，则
试卷第 1 页，共 2 页
四、解答题（本题共 5 小题，合计 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
5．（13 分）已知等差数列 的前 项和为 ，满足
1
，
．
1
8．（17 分）在平面直角坐标系
中，椭圆 的两个焦点分别是
，
，并且经过点
.
(1)求数列
的通项公式；
，求
(1)求椭圆 的离心率；
(2)设
．
(2)直线 ：
与椭圆 交于不同的两点
.
（
（
ⅰ）求 的取值范围；
ⅱ）若 ，求 的值.
1
6．（15 分）开口向上的抛物线
的焦点为 ，过点 作直线 与抛物线 交于 ， 两点， 为坐
标原点.当直线
轴时，
.
1
9．（17 分）人教 A 版选择性必修二第 8 页中提到：欧拉函数
互素的正整数的个数，例如
(1)求 的值；
(2)已知数列 满足
的函数值等于所有不超过正整数 且与
(1)求抛物线 的标准方程及准线方程；
，
.
(2)若直线
的斜率为 2，求
的面积.
，
.
①
②
求
的前 项和
；
记数列
的前 项和为 ，若对任意
，均有不等式
恒成立，求
1
7．（15 分）已知数列
满足
的通项公式；
中的项按从小到大的顺序插入
，
，数列
满足
.
实数 的取值范围.
(1)求
(2)将
和
中，且在任意的
，
之间插入
项，从而构成一个新数列
，
求
.
试卷第 1 页，共 2 页
