高2027届高二上期期末教学质量监测
数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分58分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．根据数列，，，,…的前4项，求出数列的一个通项公式
A． B． C． D．
2．已知是空间直角坐标系中的一点，与点关于平面对称的点是
A． B． C． D．
3．袋中有8个大小质地完全相同的球，其中3个红球、5个黄球.从中任取3个球，那么“至
少有1个红球”的对立事件是
A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球
C．都是黄球 D．至多1个红球
4．求经过点，且与直线平行的直线方程为
A． B．
C． D．
5．已知直线恒过定点,点为抛物线的焦点，则=
A．-2 B． C．1 D．2
6．与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹为
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
7．已知双曲线：与直线有唯一的公共点，过点
且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点．当点运动时，可得点
的轨迹为双曲线（去掉两个顶点），则的离心率为
A． B． C．3 D．
8．已知数列、满足：，，这两个数列的项组成一个集合.集合
中的数按从小到大的顺序排列组成新数列，的前项和为，则
A．5014 B．5040 C．5041 D．5051
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．已知事件，满足，,则下列说法正确的是.
A．若，则
B．若与相互独立，则
C．若，则与相互独立
D．若与互斥，则
10．若直线与抛物线相交于两点，则下列说法正确的是
A．若直线过抛物线焦点，则
B．若直线过抛物线的焦点，过两点分别向准线作垂线，垂足分别为，
则
C．若直线过点，则 ；
D．若三角形为直角三角形，过作，垂足为，则点的轨迹
方程为：；
在正方体中，点满足：，其中，
，则下列说法正确的是
A．当时，
B．当时，点在棱上
C．当时，三棱锥的体积为定值
D．时，存在两个点，使得
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．城市足球联赛“川超”火爆出圈，甲乙两支队进行一场比赛，若甲获胜的概率为0.4，甲、乙踢成平局的概率为0.3，则甲不输的概率为 ▲ ．
13．已知直线：圆.若圆上有四个点与直线距离为1.则的取值范围为 ▲ ．
14．在平行六面体中，，，，则 ▲ ．
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．）
15．骰子是一种古老而又受欢迎的游戏工具.抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，（）表示一次试验的结果,设“两个点数之和等于7”,“至少有一颗骰子的点数为4”
（1）求事件的概率；
（2）求事件的概率.
▲
16．设数列满足：，.
（1）证明：数列为等比数列
（2）若，求数列的前项和.
▲
17．已知圆过点，圆心在直线上.
（1）求的标准方程；
（2）直线与交于两点，点为上任意一点，求面积的
最大值．
▲
如图，平面，，
.
（1）证明：∥平面；
（2）若.
（i）求平面与平面所成角的余弦值;
（ii）判断在线段上是否存在一点，使得三棱锥的体积为 若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由。
▲
19．已知椭圆的离心率为是的等比中项.
（1）求的方程.
（2）过内点的直线与交于两点，设直线的斜率分别为
（i）若，点，求的值.
（ii）若点是直线上的一个动点, 证明:成等差数列.
▲
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数学试题参考答案
一、单选题（每个5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C B D C B A
二、多选题（每个6分，共18分。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
题号 9 10 11
答案 ACD ABD AC
三 填空题（每小题5分，共20分．）
12．0.7 13． 14．3
四、解答题（本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16、17题15分，
第18、19题17分)
15．解：该试验的样本空间可表示为，共有36个样本点
（1），
有6个样本点，所以；.............3分
，
有11个样本点，所以.............6分
（2），有2个样本点，所以；.............9分
所以..............13分
16．解：（1）由，即，.............2分
又，.............3分,
所以，
即数列是以2为首项，2为公比的等比数列.............5分
由（1）知，，............7分
所以............8分，
∴，①
，②...........11分
①②得
，13分
所以．............15分
17．解：（1）由题意设圆心为，半径为，
则圆的标准方程为．
由题意得，解得，………………………5分
所以圆的标准方程为． ……………………7分
由（1）知圆的圆心为，半径为，则圆心到直线的距离为：则，…………………………11分
要使面积的最大，只需圆上点到直线的距离最大，即最大值为， ...............................................................................................13分
故面积的最大值为……………………15分
18．（1）法一：证明：平面ADE,AE平面ADE,则CF//平面ADE
同理：BC//平面ADE…………………2分
BCCF=C,BC平面BCF,CF平面BCF
则平面BCF//平面ADE…………………3分
又BF平面BCF
BF//平面ADE…………………4分
法二：证明：依题意，建立以A为原点，分别以为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系(如图)，
可得.
设，则.……………………1分
（1）依题意，是平面ADE的一个法向量；2分
又因为，可得，……………3分
又因为直线平面，所以平面.…………4分
（2）(i)有（1）可得：
……5分
设分别为平面和平面的法向量。
，令，
所以，是平面的一个法向量……………………6分
，令，
所以，是平面的一个法向量…………………… —7分
设平面和平面的夹角为，二面角的平面角为
…………………… 9分
由图知，二面角为锐角，
，即二面角的余弦值为……………………10分
（ii）存在，点为线段上靠近的三等分点。…………11分
假设存在这样的点，且满足：
,…………………12分
又因为是平面的一个法向量。
所以点到平面的距离为，………………14分
所以，……………………………15分
因为，
符合题意……………………16分
所以，，即点为线段上靠近的三等分点,……………………17分
19．解：（1）由椭圆的离心率为，是的等比中项
则，结合，得，
故椭圆的方程：…………………………3分
（2）（i）当直线 的斜率为 0 时,, ,
则 …………………………………………5分
当直线的斜率不为 0 时, 设 ,
由 , 得 , 故………7分
则 ，结合
得
………………………………………9分
把代入得
…………10分
（ii）直线 的斜率为 0 时, ,
则 ；
即，于是成等差数列.……………………………………12分
当直线的斜率不为 0 时, 设 ,
由 , 得 , 故……14分
则 ，结合
得
把代入得
…………16分
而即故：成等差 .………………17分
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