高三数学 参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.
1．C 2．B 3．A 4．B 5．D 6．B 7．D 8.A
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．
9．BCD 10．BC 11．ABD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
1
12．4 13． 2 7 14．[ , 2]2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．
15.（本小题满分 13分)
3 π π
【详解】（1）因为 f 0 ，所以 sin0 3 sin sin 3 .又 0 2 ，所以 .2 2 2 3
（2）因为 f (x) sin2x sin(2x
π
) sin2x sin2xcos π cos2xsin π
3 3 3
3 sin2x 3
π
cos2x 3(sin2x 3 cos 2x 1 ) 3sin(2x ) .
2 2 2 2 6
所以函数 f x π最小值为 3，当 2x 2kπ π π ， k Z ，即 x kπ ， k Z 时取最小值.
6 2 3
由 2kπ
π π π π π
2x 2kπ ， k Z kπ x kπ ， k Z ；
2 6 2 3 6
π π
所以函数 f x 的单调增区间为[kπ , kπ ]， k Z .
3 6
说明：函数 f x 解析式恒等变换也可直接用和差化积公式.
16. （本小题满分 15分）【详解】（1）点 A 2,1 关于坐标原点的对称点为 B 2, 1 ，设 P(x, y)，
k y 1 ,k y 1 k k y 1 y 1 1则 PA PB ，且 x 2，∵ PA PB x 2x 2 x 2 x 2 x ，且 ，∴整理得 2 4
x2 y2 x2 y2
1 x 2 .∴C的方程为 1(x 2)．
8 2 8 2
1 1 1
（2）∵点 A 2,1 关于坐标原点的对称点为 B 2, 1 ，kAB 2 2 2 ，
∴ AB的垂直平分线过原点且斜率为 2，故 AB的垂直平分线的方程
为 y 2x .∴以 AB为底边的等腰三角形的顶点 P在直线 y 2x上，
y 2x
x2 8
17 2 10
联立 2 2 ，解得 ．故 OP x
2 y2 ，又
x y 1 y2
32
17
8 2 17
2 1 1 2 10 10 34AB 2 2 1 1 2 2 5 .∴ S△PAB OP AB 2 5 .2 2 17 17
试卷第 1页，共 4页
17.（本小题满分 15分）【详解】（1）在矩形 ABCD中， AB 2， AD 4， E为 AD的中点，
所以CE BE 2 2，所以CE 2 BE 2 16 BC 2，所以CE BE，
因为平面 PBE 平面 BCDE，平面PBE 平面BCDE BE，CE 平面 BCDE，所以CE 平面 PBE .
又PB 平面 PBE，所以CE PB .
（2）取 BE的中点O， BC的中点 F，连接OP，OF，则OF / /CE，所以OF 平面 PBE，
由题可得 PB PE，所以OP BE，所以 BE，OF，OP两两垂直，
以O为原点，OB，OF，OP所在直线分别为 x， y， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 P 0,0, 2 ， B 2,0,0 ，C 2,2 2,0 ，D 2 2, 2,0 ，
所以 PB 2,0, 2 ，DC 2, 2,0 ， PD 2 2, 2, 2 .
设平面 PCD的一个法向量为n x, y, z ，
n
PD 2 2x 2y 2z 0
则
n
，取 x 1，得 y 1， z 3，所以
DC 2x 2y 0
n 1, 1, 3 .设直线 PB与平面 PCD所成角为 ，
PB n 2 3 2
所以 sin cosPB ,n
2 22 ，PB n 2 11 11
PB 2 22所以直线 与平面 PCD所成角的正弦值为 .
11
说明：第（2）问也可用几何性质借助等体积法求解.
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2
18.（本小题满分 17分）【详解】（1）当 a 1时， f x ln x 1 x x的定义域为 x x 1 ，
x 2x 1 1
求导 f x 1 2x 1 ，令 f x 0，解得 x 0或 x ，
x 1 x 1 2
当 x ( 1,
1
)时，f x 0，f x ( 1 1在 1, )上单调递增，当 x ( , 0)时，f x 0，f x ( 1在 ,0)
2 2 2 2
上单调递减，当 x 0, 时， f x 0， f x 在 0, 上单调递增，
1
综上， f x 在 ( 1, )和 0, 1上单调递增，在 ( ,0)
2 2
上单调递减.
1 1
（2） f (x) 2ax 1，设h(x) 2ax 1,h (x)
1
2a
x 1 x 1 (x 1)2
.
若 a 0，则当 x 0时，h (x) 0, f (x)在 (0, )上单调递减，f (x) f (0) 0，所以 f (x)在 (0, )上
单调递减， f (x) f (0) = 0 0 a
1
0 x 1 1 1．若 2，则当 时，
h (x) 0，所以 f (x)在 (0, 1)
2a 2a
1
上单调递减， f (x) f (0) 0，所以 f (x)在 (0, 1)上单调递减， f (x) f (0) 0．
2a
a 1若 ，则当 x 0时，h (x) 0, f (x)在 (0, )上单调递增， f (x) f (0) 0，所以 f (x)在 (0, )
2
1
上单调递增， f (x) f (0) 0．综上， a的取值范围是[ , )．
2
说明：也可用分离参数法求解，还可以用必要性解题最后反代验证.
2
（3）g (x) ( 1, ),g (x) 2ax 2ax 1的定义域为 .由题设关于 x的方程 2ax2 2ax 1 0在 ( 1, )
x 1
1
有两个不同实数根 x1, x2，且 x1 x2 1, x x 21 2 ，设 k(x) 2ax 2ax 1，则 k (x)图象关于直线2a
a 0
x 1 2
2对称，因为
k(0) 1 0，所以 4a 8a 0，解得a 2．所以
k( 1) 0
g x1 g x2 ln x1 1 ax 21 ln x2 1 ax 22 ln(x x x x 21 2 1 2 1) a(x1 x2 ) ln
1
a[(x x )22 1 2 2x1x2 ]2a
F(a) ln 2a a 1 F (a) a 1 ln 2a a 1.设 ，则当a 2时， 0，
a
所以 F(a)
e e
单调递增，所以 F(a) F(2) ln .所以 g x1 g x2 的取值范围是 (ln , )．4 4
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19.（本小题满分 17分）【详解】（1）解：记事件M i为“ A,B通过第一次加密后字节 1的个
数为 i”， i 0,1, 2，事件N为“ A,B通过第二次加密后字节 1的个数为 2”，
P M P M (1 2 1则 0 2 ) ，P M1
1 1
2 ( )2 ，
2 4 2 2
P N M 1 2 4∣ 0 ,P N∣M1 ,P N∣M 2 ，9 9 9
则 P N P M0 P N∣M0 P M1 P N∣M1 P M 2 P N∣M 2
1
，
4
P M N P M 2N P M2 P N∣M 2 4故 ∣2 P N P N 9 .
1 2 1 1 2 1
（2）解：由题意知，随机变量 X 0,1, 2，由（1）知P X 2 p p 1 p (1 p) ，
4 2 4 4
1 1 1 1
同理可得 P X 1 C12 p 1 p 2 p (1 p)
2 C
1
2 p 1 p ，4 2 4 2
则 P X 1 0 1 P X 1 P X 2 ，所以 X 的信息熵
4
H f (1) f (1) f (1) 2 ( 1 1 1 log2 ) log
1 3
4 2 4 4 4 2 2
.
2 2
n 1
（3）解：由题知 P Y n (1 p) p，其中 n 1, 2,3, ，
n n
则 E Y (1 p)0 p 2(1 p)1 p n(1 p)n 1 p，因为 ip(1 p)i 1 p i(1 p)i 1，
i 1 i 1
n
i(1 p)i 1 (1 p)0 2(1 p)1 3(1 p)2 (n 1)(1 p)n 2 n(1 p)n 1，
i 1
n
(1 p) i(1 p)i 1 (1 p)1 2(1 p)2 3(1 p)3 (n 1) (1 p)n 1 n(1 p)n，
i 1
n
i 1 0 1 2 n 1 n
两式相减得 p i(1 p) (1 p) (1 p) (1 p) (1 p) n(1 p)
i 1
1 (1 p)n 1 (1 p) n
n(1 p)n，所以 E Y n (1 p )n，
p p
n 1当 无限增大时， (1 p)n和 n(1 p)n都无限趋近于 0，且 (1 p)n 0,n(1 p)n 0，所以E Y p .
试卷第 4页，共 4页高三年级数学学科试题
二；送择题：本题共3小哑，每小还6分，共18分，在每小物拾出的选项中，有多项符合夏
考生效知：
目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有迭错的得0分.
1.本铁共4重消分1瑞分，#试时闪10分机
名.竺匹前，在老忌处折启区地境写红领、处名、场号、东位女及带考任号并流徐相交卷字
9.已知正项等比激列a的前n项和为8，且8，-5，S-255:则
子.所h答案必铁写在容燃纸上，在试浓上无热
4。试站束后，只盾上交客题纸
4,数列{，}是年羽生过数列B。g-6
一，选择思：本亚共8小短。年小题5分，共相分在每小题给出的四个选项中，只节一项
C,,=1023
D.gm-2
是符合顺目要求的.
1.数招1，工3,59的方定为
10。已知)定文在R上的帝爵敕.且对任忘rR,有f4-利-，当%列时，
A.2.4
B.1
C.8
D.9
0树-2-，则
2.已知复领云满足兰-l-,咖x十
A.的是以4为周期的周期涵数
B.点4，)是两数的一个州环中心
4.1
B.2
C.
D.2
C,/0225+/〔2026-8
3.已知集合-b=*,=yp=,则nr-
D.两嫩=对-体-2)有1个安京
A.顶+
B.②
C.R
D.K.
1山。设下火是以神线C兰-景-a>Q>0小内六、右杰a.过写作C的一条消近益的亚战1，
4,不爷式产-12>0的解集为
x+1
垂层为片，且与双曲统右支相交于点P,并R5-},-,则下列说法止珀
A.〔-Lt)B.2,t)
C.〔-L2
0.〔-，-10w02,t)
的是
《)
5.已知0cm<8,受=5，则ma
25
4,口-2
B.双血然的离心率为正
2
月
号
c月
D.7
C.点P到：祉的距高为2w匝
D.西边形0邓的百积为15
13
6.已知纸{a)为管竺数列，c]的前n项和为3，4+如+a-1,3-5,则品=〔》
4,-]
e号
c.寺
D,3
三、填空恩，本题共3小纸，每小题5分，共15分，
T.已知抛物找C:y2-4标，直就y=5(x-)与C交于d,B网点（点A在第一象限），与C的沛线
12.在AC中，已有丽=花-，且丽-限4.则-一
交于点，则明-
13.在18C中，角么此，C所州的诚分州为8,4e,若-空，5+e-6,m-2im,则4一
A.4
8.
11.对函效心r,若u,d,ecR,f@,f,为某一个二作形时边长，则称f0为“三
C.2
.}
准霸数”.已知了心灯-等+”为“三角形西数”则实数四的取值包闲是
8。如阁，向一个高为1且底而水平放指的正四棱维容鉴注水，
2◆1
水面青度为2时停止注水（不考也容济平度》.常北四校挂
容器倒置附，水而度为
()
h.25
R25
C.4
D.3
2
试第1买，共4真
试卷择2项，共+买
