华师大版（2024）八年级上册 12.2 三角形全等的判定 寒假巩固（含答案）

华师大版（2024）八年级上册 12.2 三角形全等的判定 寒假巩固
【题型1】全等三角形的定义
【典型例题】如图，在四边形中，，点为上的点(不与重合)，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，第5个图中有(　　)对全等三角形．
A.15 B.16 C.18 D.21
【举一反三1】如图，是一个的正方形网格．根据图中标示的各点位置，在下列三角形中，与全等的是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三2】全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形．
下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有 ．
【举一反三3】把绕点旋转，得到．图中的两个三角形全等吗？
【题型2】全等三角形的对应元素
【典型例题】如图，，和，和是对应边，则的对应角是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三1】已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是(　　)
A.与是对应边 B.与是对应边 C.与是对应边 D.不能确定 的对应边
【举一反三2】如图,△ABC≌△DBC,且∠A和∠D,∠ABC和∠DBC是对应角,其对应边: .
【举一反三3】如图，，请写出图中的对应角，对应边．

①的对应角为(　　)；②的对应角为(　　)；③的对应角为(　　)；④的对应边为(　　)；⑤的对应边为(　　)．
【举一反三4】如图，，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．

【举一反三5】如图，已知，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写出这两个三角形的对应边和对应角．

【题型3】全等三角形的性质
【典型例题】如图，AB⊥CD，△ABC≌△ADE，∠C＝53°，则∠D＝(　　)
A.47° B.35° C.37° D.53°
【举一反三1】如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三2】如图，已知△ABE≌△ACD，∠B和∠C是对应角，AB和AC是对应边，BD＝1.1 cm，CD＝3.3 cm，则DE的长度为(　　)
A.2.1 cm B.2.2 cm C.2.3 cm D.3 cm
【举一反三3】如图，△ABC≌△A′B′C，点A与点A'，点B与点B'为对应顶点，A'B'交AC于点D，若∠A'DC＝90°，∠B'CB＝35°，则∠A＝　　°．
【举一反三4】如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F．
(1)当DE＝9，BC＝5时，线段AE的长为 　　；
(2)已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC的度数．
【举一反三5】如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE．
(1)你能说明BD、DE、CE之间的数量关系吗？
(2)请你猜想△ABD满足什么条件时，BD∥CE？
【题型4】全等三角形判定条件的探索
【典型例题】如图，是一个的正方形网格．根据图中标示的各点位置，在下列三角形中，与全等的是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在四边形中，，点为上的点(不与重合)，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，第5个图中有(　　)对全等三角形．
A.15 B.16 C.18 D.21
【举一反三2】全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形．
下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有 ．
【举一反三3】如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，△ABC是格点三角形(即顶点恰好是小方格的顶点)．若格点△ACP与△ABC全等(不与△ABC重合)，则所有满足条件的点P有
个．
【举一反三4】如图，在中，于点D，．完成下面说明的理由的过程．
解：∵(已知)，
∴___________(垂直的定义)．
当把图形沿AD对折时，射线DB与DC___________．
∵(___________)
点B与点___________重合，
与___________，
___________(全等三角形的定义)，
(___________)．
【题型5】用SAS判定三角形全等
【典型例题】如图，在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，BC＝EF，根据“S.A.S.”判定△ABC≌△DEF，还需要的条件是(　　)
A.∠A＝∠D B.∠B＝∠DEF C.∠ACB＝∠F D.以上均可以
【举一反三1】如图，已知△ABC六个元素，则下列甲．乙．丙三个三角形中与△ABC全等的三角形是(　　)
A.甲乙 B.甲丙 C.乙丙 D.乙
【举一反三2】如图，，可得的依据是 ．

【举一反三3】如图，为上一点，，点在上，连接，，，．求证：．

【题型6】SAS与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图，在 中，，，，，平分 ，交 于点，，是 ，上的动点，则 的最小值为(　　)

A. B.3 C.4 D.
【举一反三1】如图，在和中，，，，，则的长为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三2】如图所示，为的角平分线，且，则的大小是(　　)．
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，，，，，，则 ．
【举一反三4】如图，在和中，，，，则 ．
【举一反三5】如图，已知在和中，，，．求证：．
【题型7】SAS的实际应用
【典型例题】如图，A，B，C，D是四个村庄，其中B，D，C在一条直线上，，且，村庄A，B之间有一个小湖．为方便通行，现要在湖面上建一座桥，测得，，，则建造的桥长至少为(　　)
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，小亮要测量池塘，两端的距离，他设计了一个测量方案． 先在平地上取可以直接到达点和点的，两点，与相交于点，且，，又测得的周长为，则，两端的距离为(　　)
A. B. C. D.
【举一反三2】要测量A，B间的距离(无法直接测出)，两位同学提供了如下测量方案：
对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是(　　)
A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C.Ⅰ、Ⅱ都不可行 D.Ⅰ、Ⅱ都可行
【举一反三3】如图，海岸上有两个观测点，点在点的正东方，海岛在观测点正北方. 海岛在观测点所在海岸的同一侧. 如果从观测点看海岛的视角与从观测点看海岛的视角相等，海岛分别到观测点的距离相等，问海岛在观测点的正北方吗 请说明理由： .
【举一反三4】如图，公园有一条“Z”字形道路，其中，在点E，M，F处各有一个小石凳，且米，米，点M为的中点，连接，，石凳M到石凳E的距离米．求石凳M到石凳F的距离．
【举一反三5】如图，阅读下列材料，回答问题．

[任务]如图1，测量车祸现场A、B两点之间的距离．车祸现场因保护需要，测量不能进入场内．
[工具]如图2，一把皮尺(测量长度略小于的两倍)和一个量角器，皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度)；量角器的功能是测量以内的角．除笔纸和上述工具外，再无任何工具可借用．

小明利用皮尺测量，求出了车祸现场A、B两点之间的距离，测量及求解过程如下：
①[测量过程]如图3，在车祸场地外选点C，测量米，取中点O，测量米，并将皮尺延长至D，使米，测量米．
②[求解过程]由测量知，，，
，，(米)．
答：A、B两点之间的距离为c米．
(1)小明求得，用到的几何知识是____________________；
(2)小明仅利用皮尺，通过4次测量，求得．请你同时利用皮尺和量角器，通过测量长度(用字母a、b、c…表示)和角度(用字母、表示)，并利用初二年上学期所学知识，求出车祸现场A、B两点之间的距离，并写出你的测量及求解过程．
【题型8】ASA判定三角形全等
【典型例题】如图，在的两边上截取，点C．D在和上，下列条件中不能判定的是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，有两个三棱锥，其中，，则下列说法正确的是(　　)
A.，
B.，与不全等
C.与不全等，
D.与全等，与不全等
【举一反三2】如图，，，可得的依据是 .

【举一反三3】如图，在中，，于D，，交于M，过点N作交于F，交于H．与全等的三角形为 ．

【举一反三4】如图，，，，在同一条直线上，，，．求证：．
【题型9】ASA与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图，AB和CF，E为DF的中点，若AB＝7 cm，CF＝5 cm，则BD是(　　)
A.2 cm B.2.5 cm C.3 cm D.3.5 cm
【举一反三1】如图，将两块相同的三角板(含30°角)按图中所示位置摆放，若BE交CF于D，AC交BE于M，AB交CF于N，则下列结论中错误的是(　　)
A.∠EAC＝∠FAB B.∠EAF＝∠EDF C.△ACN≌△ABM D.AM＝AN
【举一反三2】已知，如图，在△ABC中，∠CAD＝∠EAD，∠ADC＝∠ADE，CB＝5 cm，BD＝3 cm，则ED的长为 　　 cm．
【举一反三3】已知：如图，，，．求证：．
【题型10】ASA的实际应用
【典型例题】有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是(　　)

A.①② B.②③ C.②④ D.①④
【举一反三1】如图，王华站在河边的A处，在河对面(王华的正北方向)的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了25步到达电线杆C处，接着再向前走了25步到达D处，然后转向正南方向直行，当他看到电线塔B、电线杆C与所处位置在一条直线上时，他共计走了100步，若王华步长约为0.4米，则A处与电线塔B的距离约为(　　)
A.20米 B.22米 C.25米 D.30米
【举一反三2】小江做限时练中的试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，她想在一块白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，她作图的依据是 ．

【举一反三3】沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度　　．
【举一反三4】小光的爷爷为我们讲述了一个他亲身经历的故事：
在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日军碉堡，需要测出我军阵地到日军碉堡的距离，由于没有任何测量工具，我军战士为此尽脑汁．这时，一位聪明的战士想出了办法，成功炸毁了碉堡．
(1)你认为他是怎样做到的？
(2)你能根据战士所用的方法，画出相应的图形吗？
①画出相应的图形．
②战士用的方法中，已知条件是什么？战士要测的是什么？(结合图形写出)
③请用所学的数学知识说明战士这样测的理由．
【举一反三5】如图，小明同学站在一条河堤岸的B点处，正对他的A点有一棵树(简称A树)．他想知道A树距离他有多远，计划实施如下方案：首先，他在B点处沿河岸直走到达另一棵树C处，又继续前行到达D处；接着，从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达E处时，A树正好被C树遮挡住，则停止行走(即点A、C、E在同一条直线上)；最后，他测得的长为．
请根据以上信息，回答下面问题：
(1)小明同学在B点时与A树的距离为_______m(直接写出结果)；
(2)请用学过的数学知识说明小明同学方案的正确性．
【题型11】用AAS判定三角形全等
【典型例题】如图所示，在中，，，，点F在边上，连接，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定与全等的是(　　)

A. B. C. D.
【举一反三1】已知的六个元素，下面甲．乙．丙三个三角形中标出了某些元素，则与全等的三角形是(　　)

A.只有乙 B.只有丙 C.甲和乙 D.乙和丙
【举一反三2】如图，点在外部，点在的边上，交于点，若，，则(　　)
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，点B．F．C．E在同一条直线上，，，，可以判断出，则判断的理由是： ．
【举一反三4】两个全等的直角三角尺和)按如图摆放，，，，在同一条直线上．

(1)求证：；
(2)若，请找出图中与此条件相关的一对全等三角形，并给予证明．
【题型12】AAS与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图，已知与相交于点，，点为中点，若，，则 ．

【举一反三1】如图，，，垂足分别为B，D．，则图中和相等的线段是 ．
【举一反三2】如图，，，，，垂足分别为点，点，，，求的长．
【举一反三3】如图，在中，，将边绕点逆时针旋转得到，过点作，交的延长线于点．求证：

(1)；
(2)．
【题型13】AAS的实际应用
【典型例题】太阳光线和是平行的，在同一时刻两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下，其影子一样长.这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断的依据是 .
【举一反三1】如图，用7块长为8 cm，宽为3 cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(，，点A，B，C，D，E在同--平面内)，点B在上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 .

【举一反三2】如图所示，海岛上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？为什么？
【举一反三3】如图，AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB的长度，欢欢在D处立上一竹竿CD，并保证CD⊥AD，然后在竿顶C处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子CE的长度，使得CE＝AD，此时他测得DE＝2米，求DB的长度．
【题型14】用SSS判定三角形全等
【典型例题】如图，，，这样可以证明．其依据是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三1】图中是全等的三角形是(　　)
A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁
【举一反三2】如图，，，则，应用的判定方法是 ．
【举一反三3】如图，是上一点，．求证：．
【举一反三4】如图，，求证：．
【题型15】SSS与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图，是的中点，，则下列结论错误的是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三1】已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为(　　)
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，点D在线段BC上．若，，，，则(　　)
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ．
【举一反三4】如图，，，M，N分别是，的中点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为 ．

【举一反三5】如图，AB＝CD，BC＝DA，求证：ABCD．
【题型16】SSS的实际应用
【典型例题】如图1是一乐谱架，利用立杆可进行离度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是(　　)

A.S. B. C. D.
【举一反三1】将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是(　　)
A.S.S.S. B.S.A.S. C.A.S.A. D.A.A.S.
【举一反三2】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是(　　)
A.S. B. C. D.
【举一反三3】如图，小明家的衣柜上镶有两块形状和大小完全相同的三角形玻璃装饰物，其中一块被打碎了，妈妈想让小明到玻璃店配一块回来，请把小明该测量△ABC的边或角写下来 ．(写出一种即可)
【举一反三4】如图1，在中，已知是角平分线，，．
(1)求和的度数；
(2)若于点，求的度数．
(3)如图2，工人师傅要检查人字梁的和是否相等，但他手边没有量角器，只有一把刻度尺，他是这样操作的：①分别在，上取；②在上取；③量出的长为米，的长为米，如果，则说明和是相等的．他的这种做法合理吗？为什么？
【题型17】用HL判定直角三角形全等
【典型例题】如图，在中，，于点D，点E，F在上，且，则图中共有全等三角形(　　)

A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
【举一反三1】如图，于点C，于点D，要根据“”直接证明与全等，则还需要添加一个条件是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，，要根据“”判定，则需添加的条件是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，已知，，，要使，且需用“”进行判定，可补充的一个条件是： ．
【举一反三4】如图，是的高，且，求证：.

【题型18】HL与全等三角形的性质的综合
【典型例题】在数学拓展课上，有两个全等的含角的直角三角板，重叠在一起．李老师将三角板绕点顺时针旋转(保持，延长线段，与线段的延长线交于点(如图所示)，随着的增大，的值(　　)

A.一直变小 B.保持不变 C.先变小，后变大 D.一直变大
【举一反三1】如图，在中，，于点D，，若 cm，则的值为(　　)
A.7 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm
【举一反三2】如图所示，，，，则(　　)

A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在中，交于点．

(1)与是否全等？ ；(填“是”或“否”)
(2)若，则的度数为 ．
【举一反三4】如图，已知在中，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，∠1=∠2，则四个结论：①AR=AS；②PQ∥AB；③；④BP=CP中，正确的是 ．
【举一反三5】将两个全等的和按图1方式摆放，其中，点E落在AB上，DE所在直线交直线AC于点F．
(1)求证：；
(2)若将图1中绕点B按顺时针方向旋转到图2位置，其他条件不变(如图2)，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并加以证明．
【举一反三6】如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一点，BE＝AC＝5，S△ABC＝14，BE的延长线交AC于点F．
(1)求证：△BDE≌△ADC；
(2)求证：BE⊥AC；
(3)求EF与AE的长．
华师大版（2024）八年级上册 12.2 三角形全等的判定 寒假巩固（参考答案）
【题型1】全等三角形的定义
【典型例题】如图，在四边形中，，点为上的点(不与重合)，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，第5个图中有(　　)对全等三角形．
A.15 B.16 C.18 D.21
【答案】D
【解析】根据题意，图1中有3对全等三角形，
图2中有6对全等三角形，
图3中有10对全等三角形，
…
第个图中，有对全等三角形，
∴第5个图中有对全等三角形．
故选：D．
【举一反三1】如图，是一个的正方形网格．根据图中标示的各点位置，在下列三角形中，与全等的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由图可知：点与点关于对称，
由轴对称的性质可知： ，
故选：C．
【举一反三2】全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形．
下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有 ．
【答案】①③
【解析】根据题意得：①③运动方向相反，
∴属于镜面合同三角形的有①③．
故答案为：①③
【举一反三3】把绕点旋转，得到．图中的两个三角形全等吗？
【答案】解　全等．理由如下：
∵绕点旋转得到，
∴图形的位置变了，但是形状 ．大小都没有变，
∴．
【题型2】全等三角形的对应元素
【典型例题】如图，，和，和是对应边，则的对应角是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴∠的对应角是，
故选：．
【举一反三1】已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是(　　)
A.与是对应边 B.与是对应边 C.与是对应边 D.不能确定 的对应边
【答案】A
【解析】∵与是对应角，和是对应角，
∴和是对应角，
∴与是对应边，
故选A．
【举一反三2】如图,△ABC≌△DBC,且∠A和∠D,∠ABC和∠DBC是对应角,其对应边: .
【答案】BC和BC,CD和CA,BD和AB
【解析】∵△ABC≌DBC，且∠A和∠D，∠ABC和∠DBC是对应角，
∴对应边是BC和BC，CD和CA，BD和AB，
故答案为：BC和BC，CD和CA，BD和AB.
【举一反三3】如图，，请写出图中的对应角，对应边．

①的对应角为(　　)；②的对应角为(　　)；③的对应角为(　　)；④的对应边为(　　)；⑤的对应边为(　　)．
【答案】
【解析】∵，
∴①的对应角为；
②的对应角为；
③的对应角为；
④的对应边为；
⑤的对应边为；
故答案为：，，，，．
【举一反三4】如图，，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．

【答案】解　∵，
∴对应边：与，与，与，
对应角：与，与，与．
【举一反三5】如图，已知，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写出这两个三角形的对应边和对应角．

【答案】解　∵，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点，
∴这两个三角形的对应边是：和，和，和；
对应角是：和，和，和．
【题型3】全等三角形的性质
【典型例题】如图，AB⊥CD，△ABC≌△ADE，∠C＝53°，则∠D＝(　　)
A.47° B.35° C.37° D.53°
【答案】C
【解析】∵AB⊥CD，
∴∠CAB＝90°，
∵∠C＝53°，
∴∠B＝90°﹣∠C＝37°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠D＝∠B＝37°．
故选：C．
【举一反三1】如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】A
【解析】∵△ABC≌△DCB，
∴BD＝AC＝7，
∵BE＝5，
∴DE＝BD﹣BE＝2，
故选：A．
【举一反三2】如图，已知△ABE≌△ACD，∠B和∠C是对应角，AB和AC是对应边，BD＝1.1 cm，CD＝3.3 cm，则DE的长度为(　　)
A.2.1 cm B.2.2 cm C.2.3 cm D.3 cm
【答案】B
【解析】∵△ABE≌△ACD，CD＝3.3 cm，
∴BE＝CD＝3.3 cm，
∵BD＝1.1 cm，
∴DE＝3.3﹣1.1＝2.2( cm)，
故选：B．
【举一反三3】如图，△ABC≌△A′B′C，点A与点A'，点B与点B'为对应顶点，A'B'交AC于点D，若∠A'DC＝90°，∠B'CB＝35°，则∠A＝　　°．
【答案】55
【解析】∵△ABC≌△A′B′C，
∴∠ACB＝∠A′CB′，∠A＝∠A′，
∴∠B'CB＝∠A′CA＝35°，
∵∠A′DC＝90°，
∴∠A′＝90°﹣∠A′DAC＝55°，
∴∠A＝∠A′＝55°．
故答案为：55．
【举一反三4】如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F．
(1)当DE＝9，BC＝5时，线段AE的长为 　　；
(2)已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC的度数．
【答案】解　(1)∵△ABC≌△DEB，DE＝9，BC＝5，
∴AB＝DE＝9，BC＝BE＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝9﹣5＝4．
故答案为：4．
(2)∵△ABC≌△DEB，∠C＝60°，∠D＝35°，
∴∠C＝∠DBE＝60°，∠A＝∠D＝35°，
∵∠D＝35°，
∠AEF＝∠ABD+∠D＝60°+35°＝95°，
∴∠DBC＝∠AEF﹣∠D＝95°﹣35°＝60°．
【举一反三5】如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE．
(1)你能说明BD、DE、CE之间的数量关系吗？
(2)请你猜想△ABD满足什么条件时，BD∥CE？
【答案】解　(1)BD＝DE+CE，
理由：∵△BAD≌△ACE，
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴BD＝AE＝AD+DE＝CE+DE，
即BD＝DE+CE．
(2)△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE，
理由是：∵△BAD≌△ACE，
∴∠E＝∠ADB＝90°(添加的条件是∠ADB＝90°)，
∴∠BDE＝180°﹣90°＝90°＝∠E，
∴BD∥CE．
【题型4】全等三角形判定条件的探索
【典型例题】如图，是一个的正方形网格．根据图中标示的各点位置，在下列三角形中，与全等的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由图可知：点与点关于对称，
由轴对称的性质可知： ，
故选：C．
【举一反三1】如图，在四边形中，，点为上的点(不与重合)，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，第5个图中有(　　)对全等三角形．
A.15 B.16 C.18 D.21
【答案】D
【解析】根据题意，图1中有3对全等三角形，
图2中有6对全等三角形，
图3中有10对全等三角形，
…
第个图中，有对全等三角形，
∴第5个图中有对全等三角形．
故选：D．
【举一反三2】全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形．
下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有 ．
【答案】①③
【解析】根据题意得：①③运动方向相反，
∴属于镜面合同三角形的有①③．
故答案为：①③
【举一反三3】如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，△ABC是格点三角形(即顶点恰好是小方格的顶点)．若格点△ACP与△ABC全等(不与△ABC重合)，则所有满足条件的点P有
个．
【答案】3
【解析】如图，把沿直线对折可得：
把 沿直线对折可得：
∴
所以符合条件的点有3个，
故答案为：3.
【举一反三4】如图，在中，于点D，．完成下面说明的理由的过程．
解：∵(已知)，
∴___________(垂直的定义)．
当把图形沿AD对折时，射线DB与DC___________．
∵(___________)
点B与点___________重合，
与___________，
___________(全等三角形的定义)，
(___________)．
【答案】解　∵(已知)，
(垂直的定义)．
当把图形沿AD对折时，射线DB与DC重合．
(已知)
点B与点C重合，
与重合，
(全等三角形的定义)，
(全等三角形的性质)．
故答案为：；重合；已知；C；重合；；全等三角形的性质．
【题型5】用SAS判定三角形全等
【典型例题】如图，在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，BC＝EF，根据“S.A.S.”判定△ABC≌△DEF，还需要的条件是(　　)
A.∠A＝∠D B.∠B＝∠DEF C.∠ACB＝∠F D.以上均可以
【答案】B
【解析】∵AB＝DE，BC＝EF，
∴根据“S.A.S.”判定△ABC≌△DEF，还需要的条件是∠B＝∠DEF，
故选：B．
【举一反三1】如图，已知△ABC六个元素，则下列甲．乙．丙三个三角形中与△ABC全等的三角形是(　　)
A.甲乙 B.甲丙 C.乙丙 D.乙
【答案】D
【解析】由图形可知，甲有一边一角，不能判断两三角形全等，
乙有两边及其夹角，能判断两三角形全等，
丙得出两角及其一角对边，原图中是两角及其夹边，不能判断两三角形全等，
根据全等三角形的判定得，乙正确．
故选：D．
【举一反三2】如图，，可得的依据是 ．

【答案】
【解析】由，可得，证明，然后作答即可．
∵，
∴，
∵，，，
∴，
故答案为：．
【举一反三3】如图，为上一点，，点在上，连接，，，．求证：．

【答案】证明　，
．
在和中，
，
．
【题型6】SAS与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图，在 中，，，，，平分 ，交 于点，，是 ，上的动点，则 的最小值为(　　)

A. B.3 C.4 D.
【答案】D
【解析】如图，过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，

∵平分 ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，
∵，
∴，
即的最小值为，
故选：D．
【举一反三1】如图，在和中，，，，，则的长为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】，，
，
，，
又，
，
在和中，
，
，
，
故选：C．
【举一反三2】如图所示，为的角平分线，且，则的大小是(　　)．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∵，
∴
∵为的角平分线，
∴，即
在和，
,
∴，
∴，
∴．
故选A．
【举一反三3】如图，，，，，，则 ．
【答案】
【解析】∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
．
故答案为：．
【举一反三4】如图，在和中，，，，则 ．
【答案】45
【解析】和中
，
，
，
，
故答案为：45．
【举一反三5】如图，已知在和中，，，．求证：．
【答案】证明　，
，
，
在和中，
，
，
．
【题型7】SAS的实际应用
【典型例题】如图，A，B，C，D是四个村庄，其中B，D，C在一条直线上，，且，村庄A，B之间有一个小湖．为方便通行，现要在湖面上建一座桥，测得，，，则建造的桥长至少为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知：，
∵在和中，
，
∴，
∴，
故斜拉桥至少有(千米)．
故选：B．
【举一反三1】如图，小亮要测量池塘，两端的距离，他设计了一个测量方案． 先在平地上取可以直接到达点和点的，两点，与相交于点，且，，又测得的周长为，则，两端的距离为(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴，即，
∵
∴，
∴，
故选：C．
【举一反三2】要测量A，B间的距离(无法直接测出)，两位同学提供了如下测量方案：
对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是(　　)
A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C.Ⅰ、Ⅱ都不可行 D.Ⅰ、Ⅱ都可行
【答案】D
【解析】方案Ⅰ：∵，，，
∴，
∴；
方案Ⅱ：
∵，，，
∴，
∴；
综上分析可知，Ⅰ、Ⅱ都可行．
故选：D．
【举一反三3】如图，海岸上有两个观测点，点在点的正东方，海岛在观测点正北方. 海岛在观测点所在海岸的同一侧. 如果从观测点看海岛的视角与从观测点看海岛的视角相等，海岛分别到观测点的距离相等，问海岛在观测点的正北方吗 请说明理由： .
【答案】证明得出，即海岛在观测点的正北方
【解析】由题意得：，，
海岛分别到观测点的距离相等，
，
在和中，
，
，
，
海岛在观测点的正北方，
故答案为：证明得出，即海岛在观测点的正北方．
【举一反三4】如图，公园有一条“Z”字形道路，其中，在点E，M，F处各有一个小石凳，且米，米，点M为的中点，连接，，石凳M到石凳E的距离米．求石凳M到石凳F的距离．
【答案】解　 ，
又点M为中点，
米，
在和中，
，
，
米，
答：石凳M到石凳F的距离为12米．
【举一反三5】如图，阅读下列材料，回答问题．

[任务]如图1，测量车祸现场A、B两点之间的距离．车祸现场因保护需要，测量不能进入场内．
[工具]如图2，一把皮尺(测量长度略小于的两倍)和一个量角器，皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度)；量角器的功能是测量以内的角．除笔纸和上述工具外，再无任何工具可借用．

小明利用皮尺测量，求出了车祸现场A、B两点之间的距离，测量及求解过程如下：
①[测量过程]如图3，在车祸场地外选点C，测量米，取中点O，测量米，并将皮尺延长至D，使米，测量米．
②[求解过程]由测量知，，，
，，(米)．
答：A、B两点之间的距离为c米．
(1)小明求得，用到的几何知识是____________________；
(2)小明仅利用皮尺，通过4次测量，求得．请你同时利用皮尺和量角器，通过测量长度(用字母a、b、c…表示)和角度(用字母、表示)，并利用初二年上学期所学知识，求出车祸现场A、B两点之间的距离，并写出你的测量及求解过程．
【答案】解　(1)根据题意可知：小明求得，用到的几何知识是全等三角形判定与性质．
故答案为：全等三角形判定与性质．
(2)如图：测量过程：在场外选择点C，用皮尺从点A起到C再到B拉直摆放．
①测量米，
②测量，
然后将量角器沿翻折，将皮尺绕点C旋转至D，
③使需要测量，由旋转所得，不需要测量)
④最后测量米就是的距离．
求解过程：
在与中，
，
∴中，
米．

【题型8】ASA判定三角形全等
【典型例题】如图，在的两边上截取，点C．D在和上，下列条件中不能判定的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A．根据，，，由可判定，故此选项不符合题意；
B．根据，，，不能判定，故此选项符合题意；
C．根据，，由可判定，故此选项不符合题意；
D．根据可以得出，再根据，，由可判定，故此选项不符合题意；
故选：B．
【举一反三1】如图，有两个三棱锥，其中，，则下列说法正确的是(　　)
A.，
B.，与不全等
C.与不全等，
D.与全等，与不全等
【答案】B
【解析】在和中，
∵，
∴，
在和中，
，，
∵，
∴，
∴与不全等，
故选：．
【举一反三2】如图，，，可得的依据是 .

【答案】
【解析】，，
，，且，
，
故答案为：.
【举一反三3】如图，在中，，于D，，交于M，过点N作交于F，交于H．与全等的三角形为 ．

【答案】
【解析】与全等的三角形为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
故答案为：．
【举一反三4】如图，，，，在同一条直线上，，，．求证：．
【答案】证明　 ，
，
在和中，
，
．
【题型9】ASA与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图，AB和CF，E为DF的中点，若AB＝7 cm，CF＝5 cm，则BD是(　　)
A.2 cm B.2.5 cm C.3 cm D.3.5 cm
【答案】A
【解析】∵AB∥FC，
∴∠ADE＝∠EFC，
∵E是DF的中点，
∴DE＝EF，
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE(A.S.A.)，
∴AD＝CF＝5 cm，
∴BD＝AB﹣AD＝7﹣5＝2(cm)．
故选：A．
【举一反三1】如图，将两块相同的三角板(含30°角)按图中所示位置摆放，若BE交CF于D，AC交BE于M，AB交CF于N，则下列结论中错误的是(　　)
A.∠EAC＝∠FAB B.∠EAF＝∠EDF C.△ACN≌△ABM D.AM＝AN
【答案】B
【解析】∵△ABE≌△AFC，
∴∠EAB＝∠CAF，AC＝AB，∠C＝∠B，
∴∠EAC＝∠FAB，故A正确；
在△ACN与△ABM中，
∴△ACN≌△ABM，故C正确；
∴AM＝AN，故D正确；
故选：B．
【举一反三2】已知，如图，在△ABC中，∠CAD＝∠EAD，∠ADC＝∠ADE，CB＝5 cm，BD＝3 cm，则ED的长为 　　 cm．
【答案】2．
【解析】在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED(A.S.A.)，
∴CD＝DE，
∵CB＝5 cm，BD＝3 cm，
∴CD＝BC﹣BD＝5﹣3＝2(cm)，
∴DE＝CD＝2 cm，
故答案为：2．
【举一反三3】已知：如图，，，．求证：．
【答案】证明　，
，
，，
，
，
，
即，
又，
，
，
．
【题型10】ASA的实际应用
【典型例题】有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是(　　)

A.①② B.②③ C.②④ D.①④
【答案】D
【解析】想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是①④或③④，
满足的为①④，
故选D．
【举一反三1】如图，王华站在河边的A处，在河对面(王华的正北方向)的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了25步到达电线杆C处，接着再向前走了25步到达D处，然后转向正南方向直行，当他看到电线塔B、电线杆C与所处位置在一条直线上时，他共计走了100步，若王华步长约为0.4米，则A处与电线塔B的距离约为(　　)
A.20米 B.22米 C.25米 D.30米
【答案】A
【解析】如图，设王华走了100步时到达点E处，则E、C、B三点在同一条直线上，
连接BE，则点C在BE上，∠DCE＝∠ACB，
由题意得DC＝AC＝25步，DE+DC+AC＝100步，∠D＝∠A＝90°，
∴DE+25+25＝100，
解得DE＝50，
∵0.4×50＝20(米)，
∴DE＝20米，
在△DEC和△ABC中，
，
∴△DEC≌△ABC(A.S.A.)，
∴DE＝AB，
∴AB＝20米，
∴A处与电线塔B的距离约为20米，
故选：A．
【举一反三2】小江做限时练中的试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，她想在一块白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，她作图的依据是 ．

【答案】
【解析】小江书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，
他根据的定理是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
故答案为：．
【举一反三3】沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度　　．
【答案】16米
【解析】∵AB∥CD，
∴∠ABP＝∠CDP，
∵PD⊥CD，
∴∠CDP＝90°，
∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴PD＝PB，
在△ABP与△CDP中，
，
∴△ABP≌△CDP(A.S.A.)，
∴CD＝AB＝16(米)，
故答案为：16米．
【举一反三4】小光的爷爷为我们讲述了一个他亲身经历的故事：
在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日军碉堡，需要测出我军阵地到日军碉堡的距离，由于没有任何测量工具，我军战士为此尽脑汁．这时，一位聪明的战士想出了办法，成功炸毁了碉堡．
(1)你认为他是怎样做到的？
(2)你能根据战士所用的方法，画出相应的图形吗？
①画出相应的图形．
②战士用的方法中，已知条件是什么？战士要测的是什么？(结合图形写出)
③请用所学的数学知识说明战士这样测的理由．
【答案】解　(1)方法是：战士面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时，视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离．
(2)①如图，
②已知条件是，．
③战士要测的是．
理由：，
，
在与中，
，
，
．
【举一反三5】如图，小明同学站在一条河堤岸的B点处，正对他的A点有一棵树(简称A树)．他想知道A树距离他有多远，计划实施如下方案：首先，他在B点处沿河岸直走到达另一棵树C处，又继续前行到达D处；接着，从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达E处时，A树正好被C树遮挡住，则停止行走(即点A、C、E在同一条直线上)；最后，他测得的长为．
请根据以上信息，回答下面问题：
(1)小明同学在B点时与A树的距离为_______m(直接写出结果)；
(2)请用学过的数学知识说明小明同学方案的正确性．
【答案】解　(1)连接，如图所示：

由题意可得，点A、C、E在同一条直线上，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
所以小明同学在B点时与A树的距离；
(2)由(1)知道，
那么全等三角形的对应边相等，即，
所以用学过的数学知识能说明小明同学方案是正确的．
【题型11】用AAS判定三角形全等
【典型例题】如图所示，在中，，，，点F在边上，连接，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定与全等的是(　　)

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A．∵，
∴．
∵，
∴，又
∴，故本选项不符合题意；
B．∵，，
∴，
∵
∴，
又∵，
∴，故本选项不符合题意；
C．由证不出，故本选项符合题意；
D．∵，，
∴，故本选项不符合题意．
故选：C．
【举一反三1】已知的六个元素，下面甲．乙．丙三个三角形中标出了某些元素，则与全等的三角形是(　　)

A.只有乙 B.只有丙 C.甲和乙 D.乙和丙
【答案】D
【解析】甲的边的夹角和的边的夹角不对应，故甲三角形与不全等；
甲的与的夹边和的与的夹边对应相等，故可利用证明乙三角形与全等；
丙的角和边与的角和边对应相等，故可利用证明丙三角形与全等，
甲．乙．丙三个三角形中和全等的是乙和丙，
故选：D．
【举一反三2】如图，点在外部，点在的边上，交于点，若，，则(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意得：
，
，，
，，
在和中，
，
，
故选：．
【举一反三3】如图，点B．F．C．E在同一条直线上，，，，可以判断出，则判断的理由是： ．
【答案】
【解析】∵，，，
∴，
故答案为：．
【举一反三4】两个全等的直角三角尺和)按如图摆放，，，，在同一条直线上．

(1)求证：；
(2)若，请找出图中与此条件相关的一对全等三角形，并给予证明．
【答案】(1)证明　由题意得，，，
∴，
∴，
∴．
(2)解　∵，，
∴，
∴在和，
，
∴．
【题型12】AAS与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图，已知与相交于点，，点为中点，若，，则 ．

【答案】4
【解析】，
，，
点为中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：4．
【举一反三1】如图，，，垂足分别为B，D．，则图中和相等的线段是 ．
【答案】
【解析】 ，，
，
在，中，
，
，
．
故答案为：．
【举一反三2】如图，，，，，垂足分别为点，点，，，求的长．
【答案】解　，
，
，
中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
.
【举一反三3】如图，在中，，将边绕点逆时针旋转得到，过点作，交的延长线于点．求证：

(1)；
(2)．
【答案】证明　(1)∵，
∴，
∵将边绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在与中，
，
∴；
(2)∵由(1)得，
∴，，
又∵，
∴．
【题型13】AAS的实际应用
【典型例题】太阳光线和是平行的，在同一时刻两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下，其影子一样长.这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断的依据是 .
【答案】
【解析】∵，
∴，
∵，
∴
故答案为：.
【举一反三1】如图，用7块长为8 cm，宽为3 cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(，，点A，B，C，D，E在同--平面内)，点B在上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 .

【答案】
【解析】，，
，
，
，
在和中，
，
依题意可得：，
，
，
故答案为：.
【举一反三2】如图所示，海岛上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？为什么？
【答案】解　相等．
理由：
∵∠CAD＝∠CBD，∠COA＝∠DOB(对顶角)，
∴由内角和定理，得∠C＝∠D，
又∵∠CAB＝∠DBA＝90°，
在△CAB和△DBA中，
，
∴△CAB≌△DBA(A.A.S.)，
∴CA＝DB，
∴海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等．
【举一反三3】如图，AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB的长度，欢欢在D处立上一竹竿CD，并保证CD⊥AD，然后在竿顶C处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子CE的长度，使得CE＝AD，此时他测得DE＝2米，求DB的长度．
【答案】解　如图，延长CE交AB于F，
则∠A+∠1＝90°，∠C+∠2＝90°，
∵∠1＝∠2(对顶角相等)，
∴∠A＝∠C，
在△ABD和△CDE中，
，
∴△ABD≌△CDE(A.A.S.)，
∴DB＝DE，
∵DE＝2米，
∴DB的长度是2米．
【题型14】用SSS判定三角形全等
【典型例题】如图，，，这样可以证明．其依据是(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，，，
∴，
故选：A．
【举一反三1】图中是全等的三角形是(　　)
A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁
【答案】B
【解析】比较三角形的三边长度，发现乙和丁的长度完全一样，即为全等三角形，
故选：B．
【举一反三2】如图，，，则，应用的判定方法是 ．
【答案】S.S.S.
【解析】在和中，
，
．
故答案为：．
【举一反三3】如图，是上一点，．求证：．
【答案】证明　，
，
即．
在中，
，
．
【举一反三4】如图，，求证：．
【答案】证明　∵，
∴，即，
在和中，
，
∴．
【题型15】SSS与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图，是的中点，，则下列结论错误的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，，故选项正确，不符合题意，
∵不是对应边，
∴与不一定相等，故D选项错误，符合题意，
故选：D．
【举一反三1】已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，
由图可知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选C．
【举一反三2】如图，点D在线段BC上．若，，，，则(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在和中，
，
．
，
．
故选：B.
【举一反三3】如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ．
【答案】
【解析】连接，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【举一反三4】如图，，，M，N分别是，的中点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】3
【解析】如图，连接，

在和中，
，
∴，
∴，
∵M，N分别是，的中点，
∴，，
∴阴影部分的面积，
∵的面积为，
∴阴影部分的面积，
故答案为：3．
【举一反三5】如图，AB＝CD，BC＝DA，求证：ABCD．
【答案】证明　在和中，
，
，
，
．
【题型16】SSS的实际应用
【典型例题】如图1是一乐谱架，利用立杆可进行离度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是(　　)

A.S. B. C. D.
【答案】B
【解析】点E，F分别为，中点，
，，
，
，
在和中
，
)，
故答案：B．
【举一反三1】将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是(　　)
A.S.S.S. B.S.A.S. C.A.S.A. D.A.A.S.
【答案】A
【解析】三根木条即为三角形的三边长，
即为利用确定三角形，
故选：A．
【举一反三2】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是(　　)
A.S. B. C. D.
【答案】D
【解析】在和中，
，
，
故选：D．
【举一反三3】如图，小明家的衣柜上镶有两块形状和大小完全相同的三角形玻璃装饰物，其中一块被打碎了，妈妈想让小明到玻璃店配一块回来，请把小明该测量△ABC的边或角写下来 ．(写出一种即可)
【答案】a，b，c
【解析】分别测量原来三角形玻璃装饰物的三条边的长度，可以画到一样的三角形玻璃装饰物．
故答案为：a，b，c
【难度】基础题
【举一反三4】如图1，在中，已知是角平分线，，．
(1)求和的度数；
(2)若于点，求的度数．
(3)如图2，工人师傅要检查人字梁的和是否相等，但他手边没有量角器，只有一把刻度尺，他是这样操作的：①分别在，上取；②在上取；③量出的长为米，的长为米，如果，则说明和是相等的．他的这种做法合理吗？为什么？
【答案】解　(1)∵， ，
∴ ，
∵平分 ，
∴ ，
∴ ，
；
(2)∵ ，
∴；
(3)合理．理由：
由已知条件得在和中，
，
∴ ，
∴．
【题型17】用HL判定直角三角形全等
【典型例题】如图，在中，，于点D，点E，F在上，且，则图中共有全等三角形(　　)

A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
【答案】C
【解析】∵，，，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴；
∴，
∵，，
∴；
∵，，，
∴，
∴，
∴；
∴全等三角形共有4对，
故选：C．
【举一反三1】如图，于点C，于点D，要根据“”直接证明与全等，则还需要添加一个条件是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，，
∴当时，．
当时，．
故选D．
【举一反三2】如图，，要根据“”判定，则需添加的条件是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】添加条件：，
在和中，
，
∴，
故选：B．
【举一反三3】如图，已知，，，要使，且需用“”进行判定，可补充的一个条件是： ．
【答案】
【解析】补充条件：．
理由：∵，，
∴，
在和中
，
∴
故答案为：．
【举一反三4】如图，是的高，且，求证：.

【答案】证明　∵是的高，
∴，
在和中，，
∴．
【题型18】HL与全等三角形的性质的综合
【典型例题】在数学拓展课上，有两个全等的含角的直角三角板，重叠在一起．李老师将三角板绕点顺时针旋转(保持，延长线段，与线段的延长线交于点(如图所示)，随着的增大，的值(　　)

A.一直变小 B.保持不变 C.先变小，后变大 D.一直变大
【答案】B
【解析】如图，在上截取，连接，，
由题意得：，，，
在和中，
，
)，
，
，
的值保持不变．
故选：B．
【举一反三1】如图，在中，，于点D，，若 cm，则的值为(　　)
A.7 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm
【答案】B
【解析】∵，
∴
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
故选：B．
【举一反三2】如图所示，，，，则(　　)

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴和都是直角三角形，
在和中，
∵，
∴，
∴，
则，
故选：A．
【举一反三3】如图，在中，交于点．

(1)与是否全等？ ；(填“是”或“否”)
(2)若，则的度数为 ．
【答案】(1)是　　
【解析】(1)∵，
∴，
在和中
，
∴，
(2)∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：是；．
【举一反三4】如图，已知在中，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，∠1=∠2，则四个结论：①AR=AS；②PQ∥AB；③；④BP=CP中，正确的是 ．
【答案】①②
【解析】在和中，
，
，
，①正确，
∴，
，
，
，②正确，
和中，只有一个条件，再没有其余条件可以证明 ，故③④错误；
故答案是：①②．
【举一反三5】将两个全等的和按图1方式摆放，其中，点E落在AB上，DE所在直线交直线AC于点F．
(1)求证：；
(2)若将图1中绕点B按顺时针方向旋转到图2位置，其他条件不变(如图2)，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并加以证明．
【答案】(1)证明　如图，连接BF，
∵
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
(2)解　线段AF、EF与DE之间的关系为：．理由如下：
如图，连接BF，
由旋转和全等可知：，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
【举一反三6】如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一点，BE＝AC＝5，S△ABC＝14，BE的延长线交AC于点F．
(1)求证：△BDE≌△ADC；
(2)求证：BE⊥AC；
(3)求EF与AE的长．
【答案】(1)证明　∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
，
∴．
(2)证明　∵，
∴∠EBD＝∠CAD，
∵∠BED＝∠AEF，
∴∠AFE＝∠ADB＝90°，
∴BE⊥AC．
(3)解　∵S△ABC＝AD BC＝14，AD＝4，
∴BC＝7，
∵BD＝4，
∴CD＝3，
∵，
∴ED＝CD＝3，
∴AE＝AD－ED＝4－3＝1，
∵S△ABC＝BF AC＝14，BE＝AC＝5，
∴BF＝，
∴EF＝BF－BE＝－5＝．