人教版（2024）八年级上册 16.2 整式的乘法 寒假巩固（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版（2024）八年级上册 16.2 整式的乘法 寒假巩固（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 550.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-04 00:00:00 | ||
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文档简介
人教版（2024）八年级上册 16.2 整式的乘法 寒假巩固
【题型1】单项式乘单项式
【典型例题】计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列运算正确的是（ ）
A.2a2b 3ab2＝5a3b2 B.（﹣2m3n）2＝4m5n2 C.3ab2c·ab＝3bc D.2m3n·m3n＝2m6n2
【举一反三2】计算： ．
【举一反三3】(教材改编)计算：
（1）；（2）；（3）；（4）.
【题型2】用单项式乘单项式求字母或代数式的值
若(mx4)·(4xk)＝－12x12，则适合条件的m，k的值分别是( )
A.m＝－3，k＝8 B.m＝3，k＝8 C.m＝8，k＝3 D.m＝－3，k＝3
【举一反三1】已知M 4x2y3＝8x4y6，则整式M＝（ ）
A.4x2y2 B.2x2y2 C.4x2y3 D.2x2y3
【举一反三2】如果单项式﹣22x2my3与23x4yn+1的差是一个单项式，则这两个单项式的积是 ．
【举一反三3】若(mx4) (4xk)=12x12，则m= ，k= ．
【举一反三4】(1)先化简，再求值：2x2y·(-2xy2)3+(2xy)3·(-xy2)2，其中x=4，y=；
(2)已知·=x4y9，求m，n的值.
【题型3】单项式乘单项式的实际应用
【典型例题】如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，王老师把家里的密码设置成了数学问题．吴同学来王老师家做客，看到图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地密码连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密码是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】若一个长方体的长为5.4×102 mm，宽为100 mm，高为2×102 mm，则此长方体的体积为( )
A.1.08×105 mm3 B.1.08×106 mm3 C.1.08×107 mm3 D.1.08×108 mm3
【举一反三3】长方形的宽是a×103 cm，长是宽的2倍，则长方形的面积为 cm2.
【举一反三4】福厦高铁车速为千米/时，高铁行驶 3b小时的路程为 千米．
【举一反三5】有一块长为x2ym(x＞0，y＞0)，宽为xy3m的长方形空地，现在要在这块空地中规划一块长为x2y m，宽为xy3m的长方形空地用于绿化，求绿化后剩余部分的面积．
【题型4】单项式乘多项式
计算a(a＋b－c)的结果是( )
A.a2＋ab＋ac B.a2＋ab－ac C.a＋ab＋ac D.a＋b－ac
【举一反三1】课后小明拿出数学笔记本复习，发现一道题被墨水污染了：，则“”处应填写的式子是( )
A. B. C. D.
计算的结果是 ．
计算：(1)(－3x2)2·(－x2＋2x－1)；
(2)(－2ab)2·.
【题型5】用单项式乘多项式求字母或代数式的值
【典型例题】已知：(x4-n+ym+3) xn=x4+x2y7，则m+n的值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【举一反三1】定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论：
①；
②；
③；
④若，则或．
其中结论正确的序号是（ ）
A.①④ B.①③ C.②③④ D.①②④
【举一反三2】要使的展开式中不含的项，则的值是（ ）
A. B.0 C.2 D.3
【举一反三3】若对于m、n定义一种新运算：，例：，则 ．
【举一反三4】已知x（x﹣m）+n（x+m）＝x2+5x﹣6对任意数都成立，求m（n﹣1）+n（m+1）的值．
【题型6】单项式乘多项式的化简与求值
【典型例题】当a＝﹣2时，代数式3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4)的值是( )
A.﹣98 B.﹣62 C.﹣2 D.98
【举一反三1】当时，代数式的值是（ ）
A. B. C. D.98
【举一反三2】若，则的值为（ ）
A.16 B.12 C.8 D.0
【举一反三3】已知时，则代数式的值为 ．
如果a2－2a－1＝0，那么代数式2a(a－2)＋3的值为 .
【举一反三5】先化简，再求值：，其中．
【题型7】单项式乘多项式的实际应用
【典型例题】若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x﹣4，则长方体的体积为（ ）
A.3x3﹣4x2 B.6x2﹣8x C.6x3﹣8x2 D.6x3﹣8x
【举一反三1】李老师做了个长方形教具，其中一边长为2a+b，另一边长为a，则该长方形的面积为（ ）
A.3a+b B.2a2+b C.2a+ab D.2a2+ab
【举一反三2】一长方体的长、宽、高分别是3x-4，2x，x，它的体积等于 .(写最简结果)
【举一反三3】如图所示，四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式： ．
【举一反三4】一家住房的平面结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？
【举一反三5】如图，请计算阴影部分的面积．
【题型8】多项式乘多项式
【典型例题】计算（x﹣y+3）（x+y﹣3）时，下列各变形中正确的是（ ）
A.[（x﹣y）+3][（x+y）﹣3]
B.[（x+3）﹣y][（x﹣3）+y]
C.[x﹣（y+3）][x+（y﹣3）]
D.[x﹣（y﹣3）][x+（y﹣3）]
【举一反三1】计算（2x+1）（x﹣5）的结果是（ ）
A.2x2﹣9x﹣5 B.2x2﹣9x+5 C.2x2﹣11x﹣5 D.2x2﹣11x+5
【举一反三2】计算：(2x+1)(3x-1)= ．
【举一反三3】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
计算：
(1)(2x＋1)(x＋3)；
(2)(m＋2n)(3n－m)；
(3)(a－1)2；
(4)(2x2－1)(x－4).
【题型9】用多项式乘多项式求字母或代数式的值
【典型例题】已知，…，均为正数，且满足，则之间的关系是（ ）
A. B. C. D.不确定
【举一反三1】若(x﹣15)(x+20)＝x2+mx+n，则m，n的值分别为( )
A.﹣5，﹣300 B.35，﹣300 C.35，300 D.5，﹣300
【举一反三2】如(x+m)与(x-4)的乘积中一次项是5x，则常数项为( )
A.9 B.-9 C.36 D.-36
【举一反三3】设，则 ．
【举一反三4】若，则 ．
【举一反三5】小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了．
(1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：；
(2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？
【题型10】形如(x+p)(x+q)型多项式的乘法
【典型例题】若，则（ ）
A. B.1 C. D.12
【举一反三1】计算（a+3）（﹣a+1）的结果是（ ）
A.﹣a2﹣2a+3 B.﹣a2+4a+3 C.﹣a2+4a﹣3 D.a2﹣2a﹣3
【举一反三2】两整式相乘的结果为a2﹣a﹣12 的是（ ）
A.（a+3）（a﹣4） B.（a﹣3）（a+4） C.（a+6）（a﹣2） D.（a﹣6）（a+2）
【举一反三3】若，则 ．
【举一反三4】计算下列各式，然后回答问题：
_______；_______；
_______；_______．
(1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为
________；
(2)运用上面的规律，直接写出下式的结果：
①_______；
②_______；
(3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______．
【举一反三5】先观察下列各式，再解答后面问题：
；
；
；
．
(1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？
(2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来；
(3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果．
①_____________；
②_____________．
【题型11】多项式乘多项式的化简与求值
【典型例题】已知，则（ ）
A.3 B. C. D.2
【举一反三1】若，则的值为（ ）
A. B.9 C. D.不确定
【举一反三2】已知，则的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三3】若，则代数式的值为 ．
【举一反三4】先化简，再求值：，其中．
【举一反三5】先化简，再求值：，其中．
【题型12】多项式乘多项式与图形面积问题
如图，在数学兴趣活动中，小吴将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为S1，S2，则S1－S2的值是( )
A.16m B.16m＋27 C.27 D.3
【举一反三1】如图1，将一张长方形纸板的四角各剪去一个边长为a的小正方形（阴影部分），制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为，则图2中纸盒底部长方形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处为宽的弯曲小路，则这块草地的面积为 ．
【举一反三3】图中阴影部分的面积用整式表示为 ．
如图，某中学校园内有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为(a＋b)米的正方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化.
(1)求绿化的面积；(用含a，b的代数式表示)
(2)当a＝1，b＝2时，求绿化的面积.
【举一反三5】在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．
请你利用上述方法解决下列问题：
(1)请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式．
(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示．
(3)提出问题：，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以为例：
①画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．
②分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，的矩形面积或的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即，用文字表述的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．
请你参照上述几何建模步骤，计算，要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）．
(4)归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）： ，证明上述速算方法的正确性．
【题型13】已知整式乘积中不含某项，求字母的值
【典型例题】已知A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5，若A B+C的值与x的取值无关，当x＝﹣4时，A的值为( )
A.0 B.4 C.﹣4 D.2
【举一反三1】已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，则的值为（ ）
A. B.1 C.0 D.4
【举一反三2】若关于x的多项式展开后不含有x一次项，则实数k的值为 ．
已知在(x2＋ax＋b)(x－1)的积中，含x2项的系数为2，不含x项，则a＋b的值为 .
【举一反三4】若关于x的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为20，求a，b的值．
【举一反三5】已知代数式化简后，不含项和常数项，求的值．
【题型14】整式乘法中看错或抄错或遮盖某项求字母的值
【典型例题】小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“+”写成“-”，得到的结果为．则（ ）
A.7 B.9 C.13 D.15
【举一反三1】在一次数学课上，学习了单项式乘多项式．小明回家后拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：－3x(－2x2＋3x－1)＝6x3＋□＋3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写( )
A.9x2 B.－9x2 C.9x D.－9x
【举一反三2】甲、乙两人共同计算一道整式：(x+a)(2x+b)，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．则(﹣2a+b)(a+b)的值为 ．
【举一反三3】在计算(2x+a)(x+b)时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x﹣24，乙错把a看成了﹣a，得到的结果是2x2+14x+20．
(1)求a，b的值；
(2)将a，b的值代入(2x+a)(x+b)并化简，求出正确的结果．
【题型15】整式乘法与新定义型和规律型问题
【典型例题】观察下列多项式的乘法计算：
(1)(x+3)(x+4)=x2+7x+12；
(2)(x+3)(x-4)=x2-x-12；
(3)(x-3)(x+4)=x2+x-12；
(4)(x-3)(x-4)=x2-7x+12
根据你发现的规律，若(x+p)(x+q)=x2-8x+15，则p+q的值为( )
A.-8 B.-2 C.2 D.8
【举一反三1】定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论：
①；
②；
③；
④若，则或．
其中结论正确的序号是（ ）
A.①④ B.①③ C.②③④ D.①②④
【举一反三2】，则 ．
【举一反三3】（1）填空：
（x﹣y）（x+y）＝ ；
（x﹣y）（x2+xy+y2）＝ ；
（x﹣y）（x3+x2y+xy2+y3）＝ ．
（2）猜想：（x﹣y）（xn﹣1+﹣xn﹣2y+…+xyn﹣2+yn﹣1）＝ ．
【举一反三4】【知识背景】在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”，此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律：
【题型16】整式乘法的混合运算
【典型例题】计算：（﹣x）2﹣x（x﹣1）＝（ ）
A.2x2 B.﹣2x2 C.﹣x D.x
【举一反三1】下列多项式的运算中,结果正确的是 ( )
A.
B.
C.
D.
【举一反三2】下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
【举一反三3】计算：（x﹣1）（x+3）﹣x（x﹣2）＝ ．
【举一反三4】化简（x﹣3）（x﹣2）﹣（x+9）（x﹣1）＝ ．
【举一反三5】计算：
（1）﹣3xy2z （x2y）2；
（2）（﹣3xy2）2 2xy （﹣2xy）3；
（3）（﹣6x2）2+（﹣3x）3 x；
（4）2x （﹣3x2）+x2 （﹣2x）；
（5）（3a）2 （﹣2a）﹣（﹣9a） （﹣a2）+4a （﹣a2）．
【举一反三6】求式子10a （﹣ab）﹣4a2 （﹣b）+8ab （﹣a）的值，其中a=-3，b=．
【题型17】同底数幂的除法
【典型例题】计算的结果是（ ）
A. B. C. D.1
【举一反三1】计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】计算：
① ；② ；③ ．
【举一反三4】计算：(1)x8÷x2；(2)(ab)5÷(ab)2.
【题型18】同底数幂除法的逆向应用
【典型例题】已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】已知均为正整数，且，则（ ）
A.4 B.8 C.16 D.64
【举一反三2】已知，则的值是（ ）
A.10 B.36 C.96 D.100
【举一反三3】若，m和n为正整数，则 ．
【举一反三4】已知.
(1)当时，求a的值；
(2)求的值．
【举一反三5】已知xm=3，xn=6，求xm-n，x3m-2n的值．
【题型19】同底数幂除法与幂的乘法运算及同类项的综合
【典型例题】下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列运算正确的是( )
A.a6÷a2=a3 B.(a2)3=a5 C.a2 a3=a6 D.3a2-2a2=a2
【举一反三2】下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】（幂的运算及逆用）
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6）已知，则 值 ；
【举一反三4】若am=an(a>0且a≠1，m，n是正整数)，则m=n.
利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果2÷8x·16x=25，求x的值；
(2)如果22x+4-22x+2=96，求x的值.
【举一反三5】(1)x x5+(﹣2x2)3+x9÷x3；
(2)3×(2a2)3+a5 a﹣a8÷a2．
【题型20】零指数幂
【典型例题】的值为（ ）
A.﹣1 B. C.1 D.2
【举一反三1】在推导过程：对于非零实数a，∵am□am＝〇，∴a0＝1，要使推导过程成立，则□和〇中分别应填（ ）
A.+，1 B.﹣，0 C.÷，0 D.÷，1
【举一反三2】计算：|﹣2|﹣20240＝ ．
【举一反三3】若＞20240，则正整数a可以为 ．
【举一反三4】已知（x+1）x+3＝1，求x的值．
【题型21】单项式除以单项式
【典型例题】计算28x4y2÷7x3y的结果是（ ）
A.4xy B.﹣4xy C.4x2y D.4xy2
【举一反三1】若，则括号里应填的单项式是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】计算：（﹣6m2n3）2÷9m3n3＝ ．
【举一反三3】计算-4x5÷2x3的结果等于 ．
【举一反三4】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【举一反三5】计算：
（1）（﹣b）7÷（﹣b）2；
（2）（a2b）3÷（a2b）；
（3）（x﹣y）3÷（y﹣x）2；
（4）y12÷（﹣y）4÷（﹣y）3；
（5）（﹣9）11÷[﹣32×（﹣3）3]．
【题型22】单项式除以单项式的实际应用
【典型例题】一颗人造地球卫星的速度为2.88×107米/时，一架喷气式飞机的速度为1.8×106米/时，则这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的( )
A.1600倍 B.160倍 C.16倍 D.1.6倍
长方形的面积为，宽为，则它的长为( )
A. B.18 C. D.
一个三角形的面积是，它的一边长是，那么这条边上的高为( )
A. B. C. D.
【举一反三3】地球质量大约为5.98×1021T，木星质量大约为1.9×1024T，则木星的质量是地球质量的 倍(结果精确到个位)．
【举一反三4】木星的质量约是1.9×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？(结果保留整数)
【题型23】多项式除以单项式
【典型例题】计算(-8m4n+12m3n2-4m2n3)÷(-4m2n)的结果等于( )
A.2m2n-3mn+n2 B.2n2-3mn2+n2 C.2m2-3mn+n2 D.2m2-3mn+n
【举一反三1】已知，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】计算（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】，则（ ）里的整式为 ．
【举一反三4】在中，多项式 ．
【举一反三5】观察下列各式：
(x2-1)÷(x-1)= x +1；
(x3-1)÷(x-1)=x2+x+1；
(x4-1)÷(x-1)=x3+x2+x+1；
根据你发现的规律解答下列各题：
(1)直接写出结果： ；
(2)根据你发现的规律，计算1+2+22+23+…+22020+22021的值．
【题型24】多项式除以单项式的实际应用
【典型例题】某小区为了便民购物，计划在小区外一块长方形空地上建一座大型超市，已知长方形空地的面积为，宽为，则这块空地的长为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】若长方形面积是2a2-2ab+6a，一边长为2a，则这个长方形的周长是( )
A.6a-2b+6 B.2a-2b+6 C.6a-2b D.3a-b+3
某小区为了便民购物，计划在小区外一块长方形空地上建一座大型超市，已知长方形空地的面积为(6y2＋y)平方米，宽为y米，则这块空地的长为( )
A.6xy米 B.(6y＋1)米 C.(6y＋y)米 D.(6xy3＋y2)米
【举一反三3】小黄去水果店买元/斤的凤梨，共花费元，则他买了 斤凤梨．
已知长方形的面积为2a2b－4a2＋6a，宽为2a，则长方形的长为 .
【举一反三5】如图，一个柱体工件的体积为．其形状和部分尺寸如图所示，求工件的长．（用含的式子表示）
【题型25】多项式除以单项式与其它运算的综合
【典型例题】已知，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三2】下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三3】阅读材料：多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式计算，如图：
所以除以，商式为，余式为0．
请根据阅读材料回答下列问题：
若能被整除，则 ．
计算：(1)(3a＋b)(a－2b)；
(2)(7x2y3z－2xy)÷(xy).
【举一反三5】先化简，再求值：，其中．
人教版（2024）八年级上册 16.2 整式的乘法 寒假巩固（参考答案）
【题型1】单项式乘单项式
【典型例题】计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：．
【举一反三1】下列运算正确的是（ ）
A.2a2b 3ab2＝5a3b2 B.（﹣2m3n）2＝4m5n2 C.3ab2c·ab＝3bc D.2m3n·m3n＝2m6n2
【答案】D
【解析】解：A．2a2b 3ab2＝6a3b3，故此选项不合题意；
B．（﹣2m3n）2＝4m6n2，故此选项不合题意；
C．3ab2c·ab＝3a2b3c，故此选项不符合题意；
D．2m3n·m3n＝2m6n2，故此选项不合题意．
故选：D．
【举一反三2】计算： ．
【答案】
【解析】解：．
【举一反三3】(教材改编)计算：
（1）；（2）；（3）；（4）.
【答案】解：
（1）
（2）
（3）.
（4）.
【题型2】用单项式乘单项式求字母或代数式的值
若(mx4)·(4xk)＝－12x12，则适合条件的m，k的值分别是( )
A.m＝－3，k＝8 B.m＝3，k＝8 C.m＝8，k＝3 D.m＝－3，k＝3
【答案】A
【解析】
∵(mx4)·(4xk)＝4mx4+k＝－12x12，
∴4m＝－12，4＋k＝12，
∴m＝－3，k＝8.
【举一反三1】已知M 4x2y3＝8x4y6，则整式M＝（ ）
A.4x2y2 B.2x2y2 C.4x2y3 D.2x2y3
【答案】D
【解析】解：∵M 4x2y3＝8x4y6，
∴M＝2x2y3，
故选：D．
【举一反三2】如果单项式﹣22x2my3与23x4yn+1的差是一个单项式，则这两个单项式的积是 ．
【答案】﹣32x8y6．
【解析】解：∵单项式﹣22x2my3与23x4yn+1的差是一个单项式，
∴单项式﹣22x2my3与23x4yn+1是同类项，
∴2m＝4，n+1＝3，
解得：m＝2，n＝2，
则﹣22x4y3 23x4y3＝﹣32x8y6，
故答案为：﹣32x8y6．
【举一反三3】若(mx4) (4xk)=12x12，则m= ，k= ．
【答案】3 8
【解析】∵(mx4) (4xk)=12x12，
∴4mx4+k=12x12，
∴4m=12，4+k=12，
解得m=3，k=8．
故答案为3；8．
【举一反三4】(1)先化简，再求值：2x2y·(-2xy2)3+(2xy)3·(-xy2)2，其中x=4，y=；
(2)已知·=x4y9，求m，n的值.
【答案】解 (1)原式=2x2y·(-8x3y6)+8x3y3·x2y4=-16x5y7+8x5y7=-8x5y7，
当x=4，y=时，原式=-8×45×=-.
(2)因为(x2y3)m·=x2m+2y3m+2n+2=x4y9，
所以
解得
【题型3】单项式乘单项式的实际应用
【典型例题】如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：余下的阴影部分面积为
．
【举一反三1】如图，王老师把家里的密码设置成了数学问题．吴同学来王老师家做客，看到图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地密码连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密码是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：根据前面两个等式，
王=，
安，
得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成．
∴宁．
【举一反三2】若一个长方体的长为5.4×102 mm，宽为100 mm，高为2×102 mm，则此长方体的体积为( )
A.1.08×105 mm3 B.1.08×106 mm3 C.1.08×107 mm3 D.1.08×108 mm3
【答案】C
【解析】解：这个水箱的容积是5.4×102×100×2×102=1.08×107mm3．
故选C.
【举一反三3】长方形的宽是a×103 cm，长是宽的2倍，则长方形的面积为 cm2.
【答案】2a2 ×106
【解析】∵长方形的宽是a×103 cm，长是宽的2倍，
∴长方形的长为2a×103 cm，
∴长方形的面积为(2a×103)×(a×103)=2a2 ×106(cm2).
【举一反三4】福厦高铁车速为千米/时，高铁行驶 3b小时的路程为 千米．
【答案】/
【解析】解：由题意得，(千米)．
【举一反三5】有一块长为x2ym(x＞0，y＞0)，宽为xy3m的长方形空地，现在要在这块空地中规划一块长为x2y m，宽为xy3m的长方形空地用于绿化，求绿化后剩余部分的面积．
【答案】解 由题意得x2y xy3x2y xy3＝x3y4x3y4x3y4(m2)．
∴绿化后剩余部分的面积为x3y4 m2．
【题型4】单项式乘多项式
计算a(a＋b－c)的结果是( )
A.a2＋ab＋ac B.a2＋ab－ac C.a＋ab＋ac D.a＋b－ac
【答案】B
【举一反三1】课后小明拿出数学笔记本复习，发现一道题被墨水污染了：，则“”处应填写的式子是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵，
∴．
计算的结果是 ．
【答案】
【解析】
.
计算：(1)(－3x2)2·(－x2＋2x－1)；
(2)(－2ab)2·.
【答案】
解 (1)(－3x2)2·(－x2＋2x－1)
＝9x4(－x2＋2x－1)
＝－9x6＋18x5－9x4.
(2)(－2ab)2·
＝4a2b2·ab2－4a2b2·3ab＋4a2b2·a
＝3a3b4－12a3b3＋a3b2.
【题型5】用单项式乘多项式求字母或代数式的值
【典型例题】已知：(x4-n+ym+3) xn=x4+x2y7，则m+n的值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】D
【解析】解：(x4-n+ym+3) xn =x4+xnym+3=x4+x2y7，
∴n=2，m+3=7，即m=4，n=2，
则m+n=4+2=6．故选D.
【举一反三1】定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论：
①；
②；
③；
④若，则或．
其中结论正确的序号是（ ）
A.①④ B.①③ C.②③④ D.①②④
【答案】A
【解析】解：根据题目中的新定义计算方法可得，
①，①正确；
②，故与不一定相等，②错误；
③，③错误；
④若，则或，④正确．
【举一反三2】要使的展开式中不含的项，则的值是（ ）
A. B.0 C.2 D.3
【答案】C
【解析】解：
，
∵的展开式中不含的项，
∴，
∴．
【举一反三3】若对于m、n定义一种新运算：，例：，则 ．
【答案】
【解析】解：由题意得.
【举一反三4】已知x（x﹣m）+n（x+m）＝x2+5x﹣6对任意数都成立，求m（n﹣1）+n（m+1）的值．
【答案】解：x（x﹣m）+n（x+m）
＝x2﹣mx+nx+mn
＝x2+（n﹣m）x+mn，
∴
则m（n﹣1）+n（m+1）＝n﹣m+2mn＝5﹣12＝﹣7．
【题型6】单项式乘多项式的化简与求值
【典型例题】当a＝﹣2时，代数式3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4)的值是( )
A.﹣98 B.﹣62 C.﹣2 D.98
【答案】A
【解析】3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4)
＝3a×2a2﹣3a×4a+3×3a﹣2a2×3a﹣4×(2a2)
＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2
＝﹣20a2+9a，
当a＝﹣2时，
原式＝﹣20×4+9×(﹣2)＝﹣98．
【举一反三1】当时，代数式的值是（ ）
A. B. C. D.98
【答案】A
【解析】
当时，
原式．
【举一反三2】若，则的值为（ ）
A.16 B.12 C.8 D.0
【答案】A
【解析】解：原式，
当时，，
原式．
【举一反三3】已知时，则代数式的值为 ．
【答案】
【解析】解：∵
.
当时，原式.
如果a2－2a－1＝0，那么代数式2a(a－2)＋3的值为 .
【答案】
5
【解析】
原式＝2a2－4a＋3＝2(a2－2a)＋3，
由条件可知a2－2a＝1，
所以原式＝2×1＋3＝5.
【举一反三5】先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
∵
∴原式．
【题型7】单项式乘多项式的实际应用
【典型例题】若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x﹣4，则长方体的体积为（ ）
A.3x3﹣4x2 B.6x2﹣8x C.6x3﹣8x2 D.6x3﹣8x
【答案】C
【解析】解：由题意知，V长方体＝（3x﹣4） 2x x＝6x3﹣8x2．
故选：C．
【举一反三1】李老师做了个长方形教具，其中一边长为2a+b，另一边长为a，则该长方形的面积为（ ）
A.3a+b B.2a2+b C.2a+ab D.2a2+ab
【答案】D
【解析】解：长方形的面积为＝a（2a+b）＝2a2+ab，
故选：D．
【举一反三2】一长方体的长、宽、高分别是3x-4，2x，x，它的体积等于 .(写最简结果)
【答案】6x3-8x2
【解析】·2x·x=2x2·=6x3-8x2.
【举一反三3】如图所示，四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式： ．
【答案】m（m+a）＝m2+ma（答案不唯一）．
【解析】解：由题意得：m（m+a）＝m2+ma，
故答案为：m（m+a）＝m2+ma（答案不唯一）．
【举一反三4】一家住房的平面结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？
【答案】解：由题意得y(4x－x－2x)＋x(4y－2y)＋2x×4y
＝xy＋2xy＋8xy
＝11xy(平方米)，
故至少需要11xy平方米的瓷砖．
【举一反三5】如图，请计算阴影部分的面积．
【答案】解：b（2b﹣a）﹣a（2a﹣b）
＝2b2﹣ab﹣2a2+ab
＝2b2﹣2a2．
【题型8】多项式乘多项式
【典型例题】计算（x﹣y+3）（x+y﹣3）时，下列各变形中正确的是（ ）
A.[（x﹣y）+3][（x+y）﹣3]
B.[（x+3）﹣y][（x﹣3）+y]
C.[x﹣（y+3）][x+（y﹣3）]
D.[x﹣（y﹣3）][x+（y﹣3）]
【答案】D
【解析】解：（x﹣y+3）（x+y﹣3）＝[x﹣（y﹣3）][x+（y﹣3）]，
故选：D．
【举一反三1】计算（2x+1）（x﹣5）的结果是（ ）
A.2x2﹣9x﹣5 B.2x2﹣9x+5 C.2x2﹣11x﹣5 D.2x2﹣11x+5
【答案】A
【解析】解：（2x+1）（x﹣5）
＝2x2﹣10x+x﹣5
＝2x2﹣9x﹣5，
故选：A．
【举一反三2】计算：(2x+1)(3x-1)= ．
【答案】6x2+x-1
【解析】解：原式=6x2-2x+3x-1=6x2+x-1，故答案为6x2+x-1.
【举一反三3】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】解：（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
计算：
(1)(2x＋1)(x＋3)；
(2)(m＋2n)(3n－m)；
(3)(a－1)2；
(4)(2x2－1)(x－4).
【答案】
解 (1)原式＝2x2＋6x＋x＋3＝2x2＋7x＋3.
(2)原式＝3mn－m2＋6n2－2mn＝mn－m2＋6n2.
(3)原式＝(a－1)(a－1)＝a2－a－a＋1＝a2－2a＋1.
(4)原式＝2x3－8x2－x＋4.
【题型9】用多项式乘多项式求字母或代数式的值
【典型例题】已知，…，均为正数，且满足，则之间的关系是（ ）
A. B. C. D.不确定
【答案】B
【解析】解：设，
则，
，
∴
，
∵，…，均为正数，
∴，
∴，故B正确．
【举一反三1】若(x﹣15)(x+20)＝x2+mx+n，则m，n的值分别为( )
A.﹣5，﹣300 B.35，﹣300 C.35，300 D.5，﹣300
【答案】D
【解析】(x﹣15)(x+20)＝x2+5x﹣300，
由原式可得，x2+mx+n＝x2+5x﹣300，
m＝5，n＝﹣300.
【举一反三2】如(x+m)与(x-4)的乘积中一次项是5x，则常数项为( )
A.9 B.-9 C.36 D.-36
【答案】D
【解析】解：根据题意得：(x+m)(x-4)=x2+(m-4)x-4m，由一次项为5x，得到m-4=5，即m=9，则常数项为-36，故选D.
【举一反三3】设，则 ．
【答案】
【解析】解：令，则①；
令，则②；
，
∴．
【举一反三4】若，则 ．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
∴．
【举一反三5】小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了．
(1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：；
(2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？
【答案】解：（1）
.
（2）设被遮住的一次项系数为，
即
，
∵这个题目的正确答案不含一次项的，
∴，
解得，
∴被遮住的一次项系数为．
【题型10】形如(x+p)(x+q)型多项式的乘法
【典型例题】若，则（ ）
A. B.1 C. D.12
【答案】D
【解析】解：∵，
∴．
∴．
【举一反三1】计算（a+3）（﹣a+1）的结果是（ ）
A.﹣a2﹣2a+3 B.﹣a2+4a+3 C.﹣a2+4a﹣3 D.a2﹣2a﹣3
【答案】A
【解析】解：（a+3）（﹣a+1）
＝﹣a2﹣3a+a+3
＝﹣a2﹣2a+3．
故选：A．
【举一反三2】两整式相乘的结果为a2﹣a﹣12 的是（ ）
A.（a+3）（a﹣4） B.（a﹣3）（a+4） C.（a+6）（a﹣2） D.（a﹣6）（a+2）
【答案】A
【解析】解：A、（a+3）（a﹣4）＝a2﹣a﹣12，正确；
B、（a﹣3）（a+4）＝a2+a﹣12，故本选项错误；
C、（a+6）（a﹣2）＝a2+4a﹣12，故本选项错误；
D、（a﹣6）（a+2）＝a2﹣4a﹣12，故本选项错误．
故选：A．
【举一反三3】若，则 ．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
解得，
∴．
【举一反三4】计算下列各式，然后回答问题：
_______；_______；
_______；_______．
(1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为
________；
(2)运用上面的规律，直接写出下式的结果：
①_______；
②_______；
(3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______．
【答案】解：（1）；；
；；
∴.
（2）①.
②.
（3）∵，
∴，
∵均为整数，
∴当或时，；
当或时，；
当或时，；
当或时，；
当或时，；
当或时，；
综上所述，满足条件的k的值可以是19，11，9，．
【举一反三5】先观察下列各式，再解答后面问题：
；
；
；
．
(1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？
(2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来；
(3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果．
①_____________；
②_____________．
【答案】解：（1）乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系为：两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项.
（2）公式为.
（3）①
.
②
．
【题型11】多项式乘多项式的化简与求值
【典型例题】已知，则（ ）
A.3 B. C. D.2
【答案】C
【解析】解：
．
当时，
原式
．
【举一反三1】若，则的值为（ ）
A. B.9 C. D.不确定
【答案】C
【解析】解：∵，
∴，
∴
.
【举一反三2】已知，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵，
∴．
【举一反三3】若，则代数式的值为 ．
【答案】3
【解析】解：∵，
∴
．
【举一反三4】先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【举一反三5】先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式.
【题型12】多项式乘多项式与图形面积问题
如图，在数学兴趣活动中，小吴将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为S1，S2，则S1－S2的值是( )
A.16m B.16m＋27 C.27 D.3
【答案】D
【解析】
由题意，得铁丝的长度为2(m＋3＋m＋5)＝2(2m＋8)＝4m＋16，
S1＝(m＋3)(m＋5)
＝m2＋5m＋3m＋15
＝m2＋8m＋15，
图乙中长方形的长为[(4m＋16)－2(m＋2)]×
＝(4m＋16－2m－4)×
＝(2m＋12)×
＝m＋6，
∴S2＝(m＋6)(m＋2)
＝m2＋2m＋6m＋12
＝m2＋8m＋12，
∴S1－S2
＝(m2＋8m＋15)－(m2＋8m＋12)
＝m2＋8m＋15－m2－8m－12
＝3.
【举一反三1】如图1，将一张长方形纸板的四角各剪去一个边长为a的小正方形（阴影部分），制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为，则图2中纸盒底部长方形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：设纸盒底部长方形的宽为x，
依题意得
∴，
故纸盒底部长方形的周长为．
【举一反三2】如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处为宽的弯曲小路，则这块草地的面积为 ．
【答案】
【解析】解：根据题意得，阴影面积等于长为，宽为的长方形的面积，
即这块草地的面积为．
【举一反三3】图中阴影部分的面积用整式表示为 ．
【答案】
【解析】解：阴影部分的面积大长方形的面积空白部分长方形的面积
．
如图，某中学校园内有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为(a＋b)米的正方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化.
(1)求绿化的面积；(用含a，b的代数式表示)
(2)当a＝1，b＝2时，求绿化的面积.
【答案】
解 (1)依题意得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2
＝(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)(a＋b)
＝6a2＋3ab＋2ab＋b2－a2－2ab－b2
＝(5a2＋3ab)平方米.
即绿化面积是(5a2＋3ab)平方米.
(2)当a＝1，b＝2时，
5a2＋3ab＝5×12＋3×1×2＝5＋6＝11(平方米).
即绿化面积是11平方米.
【举一反三5】在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．
请你利用上述方法解决下列问题：
(1)请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式．
(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示．
(3)提出问题：，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以为例：
①画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．
②分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，的矩形面积或的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即，用文字表述的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．
请你参照上述几何建模步骤，计算，要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）．
(4)归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）： ，证明上述速算方法的正确性．
【答案】解：（1）根据题意，图（1）所表示的代数恒等式：，
图（2）所表示的代数恒等式：
图（3）所表示的代数恒等式：；
（2）根据题意，几何图形如图所示.
（3）示意图如图.
用文字表述的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果，即.
（4）十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；
故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果．
证明：设两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数的十位数为a，个位数分别是b和
则这两个数为分别为，
∴这两个数的乘积为；
即十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，
故速算方法正确．
【题型13】已知整式乘积中不含某项，求字母的值
【典型例题】已知A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5，若A B+C的值与x的取值无关，当x＝﹣4时，A的值为( )
A.0 B.4 C.﹣4 D.2
【答案】B
【解析】∵A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5，
∴A B+C
＝(x2+3x﹣a)(﹣x)+(x3+3x2+5)
＝﹣x3﹣3x2+ax+x3+3x2+5
＝ax+5，
∵A B+C的值与x的取值无关，
∴a＝0，
∴A＝x2+3x﹣a＝x2+3x，
当x＝﹣4时，A＝(﹣4)2+3×(﹣4)＝4.
【举一反三1】已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，则的值为（ ）
A. B.1 C.0 D.4
【答案】A
【解析】解：∵，
又∵展开式中不含x的一次项，且常数项为，
∴，
解得，
∴．
【举一反三2】若关于x的多项式展开后不含有x一次项，则实数k的值为 ．
【答案】2
【解析】解：
，
∵关于x的多项式展开后不含有x一次项，
∴，
∴．
已知在(x2＋ax＋b)(x－1)的积中，含x2项的系数为2，不含x项，则a＋b的值为 .
【答案】
6
【解析】
(x2＋ax＋b)(x－1)＝x3－x2＋ax2－ax＋bx－b＝x3＋(a－1)x2＋(b－a)x－b，
∵含x2项的系数为2，不含x项，
∴
解得
∴a＋b＝6.
【举一反三4】若关于x的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为20，求a，b的值．
【答案】解：∵
,
∴由题意得，
∴，
把代入得，，
解得，
∴a，b的值分别为．
【举一反三5】已知代数式化简后，不含项和常数项，求的值．
【答案】解：
，
∵化简后不含项和常数项，
∴，
解得．
【题型14】整式乘法中看错或抄错或遮盖某项求字母的值
【典型例题】小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“+”写成“-”，得到的结果为．则（ ）
A.7 B.9 C.13 D.15
【答案】A
【解析】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【举一反三1】在一次数学课上，学习了单项式乘多项式．小明回家后拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：－3x(－2x2＋3x－1)＝6x3＋□＋3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写( )
A.9x2 B.－9x2 C.9x D.－9x
【答案】B
【举一反三2】甲、乙两人共同计算一道整式：(x+a)(2x+b)，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．则(﹣2a+b)(a+b)的值为 ．
【答案】﹣14
【解析】由题意得(x﹣a)(2x+b)＝2x2﹣7x+3且(x+a)(x+b)＝x2+2x﹣3，
∴
∴(﹣2a+b)(a+b)＝﹣7×2＝﹣14.
【举一反三3】在计算(2x+a)(x+b)时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x﹣24，乙错把a看成了﹣a，得到的结果是2x2+14x+20．
(1)求a，b的值；
(2)将a，b的值代入(2x+a)(x+b)并化简，求出正确的结果．
【答案】解 (1)(2x+a)(x+6)
＝2x2+12x+ax+6a
＝2x2+(12+a)x+6a，
∵计算(2x+a)(x+b)时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x﹣24，
∴6a＝﹣24，
∴a＝﹣4，
(2x+4)(x+b)
＝2x2+2bx+4x+4b
＝2x2+(2b+4)x+4b，
由条件可知4b＝20，
∴b＝5．
(2)(2x﹣4)(x+5)
＝2x2+10x﹣4x﹣20
＝2x2+6x﹣20．
【题型15】整式乘法与新定义型和规律型问题
【典型例题】观察下列多项式的乘法计算：
(1)(x+3)(x+4)=x2+7x+12；
(2)(x+3)(x-4)=x2-x-12；
(3)(x-3)(x+4)=x2+x-12；
(4)(x-3)(x-4)=x2-7x+12
根据你发现的规律，若(x+p)(x+q)=x2-8x+15，则p+q的值为( )
A.-8 B.-2 C.2 D.8
【答案】A
【解析】解:(x+p)(x+q)=x2-8x+15，p+q=-8，故选A．
【举一反三1】定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论：
①；
②；
③；
④若，则或．
其中结论正确的序号是（ ）
A.①④ B.①③ C.②③④ D.①②④
【答案】A
【解析】解：根据题目中的新定义计算方法可得，
①，①正确；
②，故与不一定相等，②错误；
③，③错误；
④若，则或，④正确．
【举一反三2】，则 ．
【答案】
【解析】解：∵
，
∴，
∴．
【举一反三3】（1）填空：
（x﹣y）（x+y）＝ ；
（x﹣y）（x2+xy+y2）＝ ；
（x﹣y）（x3+x2y+xy2+y3）＝ ．
（2）猜想：（x﹣y）（xn﹣1+﹣xn﹣2y+…+xyn﹣2+yn﹣1）＝ ．
【答案】（1）x2﹣y2；x3﹣y3；x4﹣y4．
（2）xn﹣yn．
【解析】解：（1）（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2；（x﹣y）（x2+xy+y2）＝x3﹣y3；（x﹣y）（x3+x2y+xy2+y3）＝x4﹣y4．
故答案为：x2﹣y2；x3﹣y3；x4﹣y4．
（2）猜想（x﹣y）（xn﹣1+xn﹣2y+…+xyn﹣2+yn﹣1）＝xn﹣yn．
故答案为：xn﹣yn．
【举一反三4】【知识背景】在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”，此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律：
【答案】解：（1）根据题意，得
故．
（2）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图，
当时，有2项；所有项的系数和为；
当时，有项；所有项的系数和为；
当时，有项；所有项的系数和为；
，
故找到规律为共项，所有项系数的和为，
故的展开式中共有8项，所有项的系数和为．
（3）今天是星期五，过了天后是星期六．理由如下：
∵根据题意，得 ，
且都能被7整除， ，
∴除以7余1，
∴如果今天是星期五，过了天后是星期六．
【题型16】整式乘法的混合运算
【典型例题】计算：（﹣x）2﹣x（x﹣1）＝（ ）
A.2x2 B.﹣2x2 C.﹣x D.x
【答案】D
【解析】解：（﹣x）2﹣x（x﹣1）
＝x2﹣x2+x
＝x，
故选：D．
【举一反三1】下列多项式的运算中,结果正确的是 ( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意；
B.，故选项B计算错误，不符合题意；
C.，故选项C计算错误，不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意.
【举一反三2】下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：A，根据单项式乘单项式法则，系数相乘，同底数幂相乘，，该选项正确；
B，根据积的乘方法则，，则，该选项错误；
C，根据单项式乘多项式法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，，该选项错误；
D，根据多项式乘多项式法则，用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，，该选项错误．
【举一反三3】计算：（x﹣1）（x+3）﹣x（x﹣2）＝ ．
【答案】4x﹣3．
【解析】解：（x﹣1）（x+3）﹣x（x﹣2）＝x2+3x﹣x﹣3﹣x2+2x＝4x﹣3
故答案为：4x﹣3．
【举一反三4】化简（x﹣3）（x﹣2）﹣（x+9）（x﹣1）＝ ．
【答案】﹣13x+15．
【解析】解：（x﹣3）（x﹣2）﹣（x+9）（x﹣1）
=x2﹣5x+6﹣（x2+8x﹣9）
=﹣13x+15
故答案为：﹣13x+15．
【举一反三5】计算：
（1）﹣3xy2z （x2y）2；
（2）（﹣3xy2）2 2xy （﹣2xy）3；
（3）（﹣6x2）2+（﹣3x）3 x；
（4）2x （﹣3x2）+x2 （﹣2x）；
（5）（3a）2 （﹣2a）﹣（﹣9a） （﹣a2）+4a （﹣a2）．
【答案】（1）原式＝﹣3x5y4z．
（2）原式＝9x2y4×2xy×（﹣8x3y3）
＝18x3y5×（﹣8x3y3）
＝﹣144x6y8．
（3）原式＝36x4+（﹣27x4）
＝9x4．
（4）原式＝﹣6x3+（﹣2x3）
＝﹣8x3．
（5）原式＝﹣18a3﹣4a3+（﹣4a3）
＝﹣22a3+（﹣4a3）
＝﹣26a3．
【举一反三6】求式子10a （﹣ab）﹣4a2 （﹣b）+8ab （﹣a）的值，其中a=-3，b=．
【答案】解：原式＝﹣6a2b+2a2b﹣6a2b＝﹣10a2B．
当a=-3，b=时，原式=-10×（-3）2×=-150.
【题型17】同底数幂的除法
【典型例题】计算的结果是（ ）
A. B. C. D.1
【答案】A
【解析】解：．
【举一反三1】计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：
．
【举一反三2】下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A，，故此选项不符合题意；
B，，故此选项符合题意；
C，，故此选项不符合题意；
D，，故此选项不符合题意．
【举一反三3】计算：
① ；② ；③ ．
【答案】；；
【解析】解：①；
②；
③．
【举一反三4】计算：(1)x8÷x2；(2)(ab)5÷(ab)2.
【答案】解：(1)x8÷x2＝x8－2＝x6.
(2)(ab)5÷(ab)2＝(ab)5－2＝(ab)3＝a3b3.
【题型18】同底数幂除法的逆向应用
【典型例题】已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵，
∴.
【举一反三1】已知均为正整数，且，则（ ）
A.4 B.8 C.16 D.64
【答案】D
【解析】解：∵，
∴．
【举一反三2】已知，则的值是（ ）
A.10 B.36 C.96 D.100
【答案】D
【解析】解：∵，
∴，即，
∵，
∴．
【举一反三3】若，m和n为正整数，则 ．
【答案】2
【解析】解：由题意得，
∵ ，
∴，
∴=4，
∵n为正整数，
∴为正整数，
∴(负值舍去)．
【举一反三4】已知.
(1)当时，求a的值；
(2)求的值．
【答案】解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴.
（2）∵，
∴，
∴
．
【举一反三5】已知xm=3，xn=6，求xm-n，x3m-2n的值．
【答案】解：∵xm=3，xn=6，∴xm-n=xm÷xn =12；
x3m-2n=x3m÷x2n=(xm)3÷(xn)2=27÷36=．
【题型19】同底数幂除法与幂的乘法运算及同类项的综合
【典型例题】下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A，，故本选项不合题意；
B，，故本选项不合题意；
C，，故本选项不合题意；
D，，故本选项符合题意．
【举一反三1】下列运算正确的是( )
A.a6÷a2=a3 B.(a2)3=a5 C.a2 a3=a6 D.3a2-2a2=a2
【答案】D
【解析】解：A中，a6÷a2=a4，故A错误；
B中，(a2)3=a6，故B错误；
C中，a2 a3=a5，故C错误；
D中，3a2-2a2=a2，故D正确．
故选D．
【举一反三2】下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A．，原式计算错误，故该选项不符合题意；
B． ，原式计算错误，故该选项不符合题意；
C．，原式计算错误，故该选项不符合题意；
D．，原式计算正确，故该选项符合题意．
【举一反三3】（幂的运算及逆用）
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6）已知，则 值 ；
【答案】；； ；；；432
【解析】解：（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）∵，
∴．
【举一反三4】若am=an(a>0且a≠1，m，n是正整数)，则m=n.
利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果2÷8x·16x=25，求x的值；
(2)如果22x+4-22x+2=96，求x的值.
【答案】解 (1)∵2÷8x·16x=25，
∴2÷·=25，
∴2÷23x·24x=25，
∴21-3x+4x=25，
∴21+x=25，
∴1+x=5，
∴x=4.
(2)∵22x+4-22x+2=96，
∴22x·24-22x·22=96，
∴22x×16-22x×4=96，
∴22x×12=96，
∴22x=8=23，
∴2x=3，
∴x=.
【举一反三5】(1)x x5+(﹣2x2)3+x9÷x3；
(2)3×(2a2)3+a5 a﹣a8÷a2．
【答案】解 (1)﹣6x6. (2)24a6.
【题型20】零指数幂
【典型例题】的值为（ ）
A.﹣1 B. C.1 D.2
【答案】C
【解析】解：＝1，
故选：C．
【举一反三1】在推导过程：对于非零实数a，∵am□am＝〇，∴a0＝1，要使推导过程成立，则□和〇中分别应填（ ）
A.+，1 B.﹣，0 C.÷，0 D.÷，1
【答案】D
【解析】解：∵am÷am＝1，
∴a0＝1，
∴□和〇中分别应填÷和1，
故选：D．
【举一反三2】计算：|﹣2|﹣20240＝ ．
【答案】1．
【解析】解：|﹣2|﹣20240＝2﹣1＝1．
故答案为：1．
【举一反三3】若＞20240，则正整数a可以为 ．
【答案】2 （答案不唯一，大于1的整数即可）．
【解析】解：∵，
∴，
∴正整数a可以为2，
故答案为：2 （答案不唯一，大于1的整数即可）．
【举一反三4】已知（x+1）x+3＝1，求x的值．
【答案】解：∵（x+1）x+3＝1，
当x+1＝1时，解得：x＝0，此时（x+1）x+3＝1，
当x+1＝﹣1时，解得：x＝﹣2，则x+3＝1，此时（x+1）x+3＝﹣1，
当x+3＝0时，即x＝﹣3时，（x+1）x+3＝1．
∴x的值为：0或﹣3．
【题型21】单项式除以单项式
【典型例题】计算28x4y2÷7x3y的结果是（ ）
A.4xy B.﹣4xy C.4x2y D.4xy2
【答案】A
【解析】解：原式＝4xy，
故选：A．
【举一反三1】若，则括号里应填的单项式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵，
∴括号内应填的单项式为．
【举一反三2】计算：（﹣6m2n3）2÷9m3n3＝ ．
【答案】4mn3．
【解析】解：原式＝36m4n6÷9m3n3
＝（36÷9）m4﹣3n6﹣3
＝4mn3，
故答案为：4mn3．
【举一反三3】计算-4x5÷2x3的结果等于 ．
【答案】-2x2
【解析】解：-4x5÷2x3=-2x2．故答案为-2x2．
【举一反三4】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】解：（1） .
（2）．
（3）
，
．
（4）
.
【举一反三5】计算：
（1）（﹣b）7÷（﹣b）2；
（2）（a2b）3÷（a2b）；
（3）（x﹣y）3÷（y﹣x）2；
（4）y12÷（﹣y）4÷（﹣y）3；
（5）（﹣9）11÷[﹣32×（﹣3）3]．
【答案】解：（1）（﹣b）7÷（﹣b）2
＝（﹣b）5
＝﹣b5；
（2）（a2b）3÷（a2b）
＝a6b3÷a2b
＝a4b2；
（3）（x﹣y）3÷（y﹣x）2
＝（x﹣y）3÷（x﹣y）2
＝x﹣y；
（4）y12÷（﹣y）4÷（﹣y）3
＝y12÷y4÷（﹣y）3
＝﹣y5；
（5）（﹣9）11÷[﹣32×（﹣3）3]
＝﹣322÷35
＝﹣317．
【题型22】单项式除以单项式的实际应用
【典型例题】一颗人造地球卫星的速度为2.88×107米/时，一架喷气式飞机的速度为1.8×106米/时，则这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的( )
A.1600倍 B.160倍 C.16倍 D.1.6倍
【答案】C
【解析】解：(2.88×107)÷(1.8×106)
=(2.88÷1.8)×(107÷106)
=1.6×10，=16，
则这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的16倍．
故选C．
长方形的面积为，宽为，则它的长为( )
A. B.18 C. D.
【答案】D
【解析】
长方形的面积为，宽为，
它的长为.
一个三角形的面积是，它的一边长是，那么这条边上的高为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题意，三角形的面积边高，高面积边．又一个三角形的面积是，它的一边长是，
这条边上的高为．
【举一反三3】地球质量大约为5.98×1021T，木星质量大约为1.9×1024T，则木星的质量是地球质量的 倍(结果精确到个位)．
【答案】318
【解析】解：(1.9×1024)÷(5.98×1021)=(1.9÷5.98)×(1024÷1021)≈0.318×103=318．故答案为318．
【举一反三4】木星的质量约是1.9×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？(结果保留整数)
【答案】解：(1.90×1024)÷(5.98×1021)=0.318×103=318(倍)．
答：木星的质量约为地球质量的318倍.
【题型23】多项式除以单项式
【典型例题】计算(-8m4n+12m3n2-4m2n3)÷(-4m2n)的结果等于( )
A.2m2n-3mn+n2 B.2n2-3mn2+n2 C.2m2-3mn+n2 D.2m2-3mn+n
【答案】C
【解析】解：(-8m4n+12m3n2-4m2n3)÷(-4m2n)
=-8m4n÷(-4m2n)+12m3n2÷(-4m2n)-4m2n3÷(-4m2n)
=2m2-3mn+n2．故选C．
【举一反三1】已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：，
．
【举一反三2】计算（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：
．
【举一反三3】，则（ ）里的整式为 ．
【答案】
【解析】解：由题意可得，
．
【举一反三4】在中，多项式 ．
【答案】
【解析】解：由题意可知．
【举一反三5】观察下列各式：
(x2-1)÷(x-1)= x +1；
(x3-1)÷(x-1)=x2+x+1；
(x4-1)÷(x-1)=x3+x2+x+1；
根据你发现的规律解答下列各题：
(1)直接写出结果： ；
(2)根据你发现的规律，计算1+2+22+23+…+22020+22021的值．
【答案】解 (1).
(2)1+2+22+23+…+22020+22021
．
【题型24】多项式除以单项式的实际应用
【典型例题】某小区为了便民购物，计划在小区外一块长方形空地上建一座大型超市，已知长方形空地的面积为，宽为，则这块空地的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵长方形空地的面积为，宽为，
∴长为．
【举一反三1】若长方形面积是2a2-2ab+6a，一边长为2a，则这个长方形的周长是( )
A.6a-2b+6 B.2a-2b+6 C.6a-2b D.3a-b+3
【答案】A
【解析】根据题意得：(2a2-2ab+6a)÷(2a)=a-b+3，则这个长方形的周长为2(2a+a-b+3)=6a-2b+6，故选A.
某小区为了便民购物，计划在小区外一块长方形空地上建一座大型超市，已知长方形空地的面积为(6y2＋y)平方米，宽为y米，则这块空地的长为( )
A.6xy米 B.(6y＋1)米 C.(6y＋y)米 D.(6xy3＋y2)米
【答案】B
【举一反三3】小黄去水果店买元/斤的凤梨，共花费元，则他买了 斤凤梨．
【答案】
【解析】解：依题意，斤，
则他买了斤凤梨．
已知长方形的面积为2a2b－4a2＋6a，宽为2a，则长方形的长为 .
【答案】
ab－2a＋3
【解析】
∵长方形的面积为2a2b－4a2＋6a，宽为2a，
∴长方形的长为(2a2b－4a2＋6a)÷(2a)＝ab－2a＋3.
【举一反三5】如图，一个柱体工件的体积为．其形状和部分尺寸如图所示，求工件的长．（用含的式子表示）
【答案】解：根据题意得，工件的长
．
【题型25】多项式除以单项式与其它运算的综合
【典型例题】已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：，
．
【举一反三1】下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：A，，原式计算错误，不符合题意；
B，，原式计算错误，不符合题意；
C，，原式计算正确，符合题意；
D，，原式计算错误，不符合题意．
【举一反三2】下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：∵，原选项错误，
故A不合题意；
∵，原选项错误，
∴B不合题意；
∵，原选项错误，
∴C不合题意；
∵，
∴D合题意．
【举一反三3】阅读材料：多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式计算，如图：
所以除以，商式为，余式为0．
请根据阅读材料回答下列问题：
若能被整除，则 ．
【答案】2
【解析】解：设商式为，
则有,
,
,
, ,
．
计算：(1)(3a＋b)(a－2b)；
(2)(7x2y3z－2xy)÷(xy).
【答案】
解 (1)(3a＋b)(a－2b)
＝3a2－6ab＋ab－2b2
＝3a2－5ab－2b2.
(2)(7x2y3z－2xy)÷(xy)
＝7xy2z－2.
【举一反三5】先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
．
当时，
原式．
【题型1】单项式乘单项式
【典型例题】计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列运算正确的是（ ）
A.2a2b 3ab2＝5a3b2 B.（﹣2m3n）2＝4m5n2 C.3ab2c·ab＝3bc D.2m3n·m3n＝2m6n2
【举一反三2】计算： ．
【举一反三3】(教材改编)计算：
（1）；（2）；（3）；（4）.
【题型2】用单项式乘单项式求字母或代数式的值
若(mx4)·(4xk)＝－12x12，则适合条件的m，k的值分别是( )
A.m＝－3，k＝8 B.m＝3，k＝8 C.m＝8，k＝3 D.m＝－3，k＝3
【举一反三1】已知M 4x2y3＝8x4y6，则整式M＝（ ）
A.4x2y2 B.2x2y2 C.4x2y3 D.2x2y3
【举一反三2】如果单项式﹣22x2my3与23x4yn+1的差是一个单项式，则这两个单项式的积是 ．
【举一反三3】若(mx4) (4xk)=12x12，则m= ，k= ．
【举一反三4】(1)先化简，再求值：2x2y·(-2xy2)3+(2xy)3·(-xy2)2，其中x=4，y=；
(2)已知·=x4y9，求m，n的值.
【题型3】单项式乘单项式的实际应用
【典型例题】如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，王老师把家里的密码设置成了数学问题．吴同学来王老师家做客，看到图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地密码连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密码是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】若一个长方体的长为5.4×102 mm，宽为100 mm，高为2×102 mm，则此长方体的体积为( )
A.1.08×105 mm3 B.1.08×106 mm3 C.1.08×107 mm3 D.1.08×108 mm3
【举一反三3】长方形的宽是a×103 cm，长是宽的2倍，则长方形的面积为 cm2.
【举一反三4】福厦高铁车速为千米/时，高铁行驶 3b小时的路程为 千米．
【举一反三5】有一块长为x2ym(x＞0，y＞0)，宽为xy3m的长方形空地，现在要在这块空地中规划一块长为x2y m，宽为xy3m的长方形空地用于绿化，求绿化后剩余部分的面积．
【题型4】单项式乘多项式
计算a(a＋b－c)的结果是( )
A.a2＋ab＋ac B.a2＋ab－ac C.a＋ab＋ac D.a＋b－ac
【举一反三1】课后小明拿出数学笔记本复习，发现一道题被墨水污染了：，则“”处应填写的式子是( )
A. B. C. D.
计算的结果是 ．
计算：(1)(－3x2)2·(－x2＋2x－1)；
(2)(－2ab)2·.
【题型5】用单项式乘多项式求字母或代数式的值
【典型例题】已知：(x4-n+ym+3) xn=x4+x2y7，则m+n的值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【举一反三1】定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论：
①；
②；
③；
④若，则或．
其中结论正确的序号是（ ）
A.①④ B.①③ C.②③④ D.①②④
【举一反三2】要使的展开式中不含的项，则的值是（ ）
A. B.0 C.2 D.3
【举一反三3】若对于m、n定义一种新运算：，例：，则 ．
【举一反三4】已知x（x﹣m）+n（x+m）＝x2+5x﹣6对任意数都成立，求m（n﹣1）+n（m+1）的值．
【题型6】单项式乘多项式的化简与求值
【典型例题】当a＝﹣2时，代数式3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4)的值是( )
A.﹣98 B.﹣62 C.﹣2 D.98
【举一反三1】当时，代数式的值是（ ）
A. B. C. D.98
【举一反三2】若，则的值为（ ）
A.16 B.12 C.8 D.0
【举一反三3】已知时，则代数式的值为 ．
如果a2－2a－1＝0，那么代数式2a(a－2)＋3的值为 .
【举一反三5】先化简，再求值：，其中．
【题型7】单项式乘多项式的实际应用
【典型例题】若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x﹣4，则长方体的体积为（ ）
A.3x3﹣4x2 B.6x2﹣8x C.6x3﹣8x2 D.6x3﹣8x
【举一反三1】李老师做了个长方形教具，其中一边长为2a+b，另一边长为a，则该长方形的面积为（ ）
A.3a+b B.2a2+b C.2a+ab D.2a2+ab
【举一反三2】一长方体的长、宽、高分别是3x-4，2x，x，它的体积等于 .(写最简结果)
【举一反三3】如图所示，四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式： ．
【举一反三4】一家住房的平面结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？
【举一反三5】如图，请计算阴影部分的面积．
【题型8】多项式乘多项式
【典型例题】计算（x﹣y+3）（x+y﹣3）时，下列各变形中正确的是（ ）
A.[（x﹣y）+3][（x+y）﹣3]
B.[（x+3）﹣y][（x﹣3）+y]
C.[x﹣（y+3）][x+（y﹣3）]
D.[x﹣（y﹣3）][x+（y﹣3）]
【举一反三1】计算（2x+1）（x﹣5）的结果是（ ）
A.2x2﹣9x﹣5 B.2x2﹣9x+5 C.2x2﹣11x﹣5 D.2x2﹣11x+5
【举一反三2】计算：(2x+1)(3x-1)= ．
【举一反三3】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
计算：
(1)(2x＋1)(x＋3)；
(2)(m＋2n)(3n－m)；
(3)(a－1)2；
(4)(2x2－1)(x－4).
【题型9】用多项式乘多项式求字母或代数式的值
【典型例题】已知，…，均为正数，且满足，则之间的关系是（ ）
A. B. C. D.不确定
【举一反三1】若(x﹣15)(x+20)＝x2+mx+n，则m，n的值分别为( )
A.﹣5，﹣300 B.35，﹣300 C.35，300 D.5，﹣300
【举一反三2】如(x+m)与(x-4)的乘积中一次项是5x，则常数项为( )
A.9 B.-9 C.36 D.-36
【举一反三3】设，则 ．
【举一反三4】若，则 ．
【举一反三5】小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了．
(1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：；
(2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？
【题型10】形如(x+p)(x+q)型多项式的乘法
【典型例题】若，则（ ）
A. B.1 C. D.12
【举一反三1】计算（a+3）（﹣a+1）的结果是（ ）
A.﹣a2﹣2a+3 B.﹣a2+4a+3 C.﹣a2+4a﹣3 D.a2﹣2a﹣3
【举一反三2】两整式相乘的结果为a2﹣a﹣12 的是（ ）
A.（a+3）（a﹣4） B.（a﹣3）（a+4） C.（a+6）（a﹣2） D.（a﹣6）（a+2）
【举一反三3】若，则 ．
【举一反三4】计算下列各式，然后回答问题：
_______；_______；
_______；_______．
(1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为
________；
(2)运用上面的规律，直接写出下式的结果：
①_______；
②_______；
(3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______．
【举一反三5】先观察下列各式，再解答后面问题：
；
；
；
．
(1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？
(2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来；
(3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果．
①_____________；
②_____________．
【题型11】多项式乘多项式的化简与求值
【典型例题】已知，则（ ）
A.3 B. C. D.2
【举一反三1】若，则的值为（ ）
A. B.9 C. D.不确定
【举一反三2】已知，则的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三3】若，则代数式的值为 ．
【举一反三4】先化简，再求值：，其中．
【举一反三5】先化简，再求值：，其中．
【题型12】多项式乘多项式与图形面积问题
如图，在数学兴趣活动中，小吴将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为S1，S2，则S1－S2的值是( )
A.16m B.16m＋27 C.27 D.3
【举一反三1】如图1，将一张长方形纸板的四角各剪去一个边长为a的小正方形（阴影部分），制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为，则图2中纸盒底部长方形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处为宽的弯曲小路，则这块草地的面积为 ．
【举一反三3】图中阴影部分的面积用整式表示为 ．
如图，某中学校园内有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为(a＋b)米的正方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化.
(1)求绿化的面积；(用含a，b的代数式表示)
(2)当a＝1，b＝2时，求绿化的面积.
【举一反三5】在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．
请你利用上述方法解决下列问题：
(1)请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式．
(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示．
(3)提出问题：，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以为例：
①画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．
②分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，的矩形面积或的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即，用文字表述的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．
请你参照上述几何建模步骤，计算，要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）．
(4)归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）： ，证明上述速算方法的正确性．
【题型13】已知整式乘积中不含某项，求字母的值
【典型例题】已知A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5，若A B+C的值与x的取值无关，当x＝﹣4时，A的值为( )
A.0 B.4 C.﹣4 D.2
【举一反三1】已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，则的值为（ ）
A. B.1 C.0 D.4
【举一反三2】若关于x的多项式展开后不含有x一次项，则实数k的值为 ．
已知在(x2＋ax＋b)(x－1)的积中，含x2项的系数为2，不含x项，则a＋b的值为 .
【举一反三4】若关于x的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为20，求a，b的值．
【举一反三5】已知代数式化简后，不含项和常数项，求的值．
【题型14】整式乘法中看错或抄错或遮盖某项求字母的值
【典型例题】小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“+”写成“-”，得到的结果为．则（ ）
A.7 B.9 C.13 D.15
【举一反三1】在一次数学课上，学习了单项式乘多项式．小明回家后拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：－3x(－2x2＋3x－1)＝6x3＋□＋3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写( )
A.9x2 B.－9x2 C.9x D.－9x
【举一反三2】甲、乙两人共同计算一道整式：(x+a)(2x+b)，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．则(﹣2a+b)(a+b)的值为 ．
【举一反三3】在计算(2x+a)(x+b)时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x﹣24，乙错把a看成了﹣a，得到的结果是2x2+14x+20．
(1)求a，b的值；
(2)将a，b的值代入(2x+a)(x+b)并化简，求出正确的结果．
【题型15】整式乘法与新定义型和规律型问题
【典型例题】观察下列多项式的乘法计算：
(1)(x+3)(x+4)=x2+7x+12；
(2)(x+3)(x-4)=x2-x-12；
(3)(x-3)(x+4)=x2+x-12；
(4)(x-3)(x-4)=x2-7x+12
根据你发现的规律，若(x+p)(x+q)=x2-8x+15，则p+q的值为( )
A.-8 B.-2 C.2 D.8
【举一反三1】定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论：
①；
②；
③；
④若，则或．
其中结论正确的序号是（ ）
A.①④ B.①③ C.②③④ D.①②④
【举一反三2】，则 ．
【举一反三3】（1）填空：
（x﹣y）（x+y）＝ ；
（x﹣y）（x2+xy+y2）＝ ；
（x﹣y）（x3+x2y+xy2+y3）＝ ．
（2）猜想：（x﹣y）（xn﹣1+﹣xn﹣2y+…+xyn﹣2+yn﹣1）＝ ．
【举一反三4】【知识背景】在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”，此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律：
【题型16】整式乘法的混合运算
【典型例题】计算：（﹣x）2﹣x（x﹣1）＝（ ）
A.2x2 B.﹣2x2 C.﹣x D.x
【举一反三1】下列多项式的运算中,结果正确的是 ( )
A.
B.
C.
D.
【举一反三2】下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
【举一反三3】计算：（x﹣1）（x+3）﹣x（x﹣2）＝ ．
【举一反三4】化简（x﹣3）（x﹣2）﹣（x+9）（x﹣1）＝ ．
【举一反三5】计算：
（1）﹣3xy2z （x2y）2；
（2）（﹣3xy2）2 2xy （﹣2xy）3；
（3）（﹣6x2）2+（﹣3x）3 x；
（4）2x （﹣3x2）+x2 （﹣2x）；
（5）（3a）2 （﹣2a）﹣（﹣9a） （﹣a2）+4a （﹣a2）．
【举一反三6】求式子10a （﹣ab）﹣4a2 （﹣b）+8ab （﹣a）的值，其中a=-3，b=．
【题型17】同底数幂的除法
【典型例题】计算的结果是（ ）
A. B. C. D.1
【举一反三1】计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】计算：
① ；② ；③ ．
【举一反三4】计算：(1)x8÷x2；(2)(ab)5÷(ab)2.
【题型18】同底数幂除法的逆向应用
【典型例题】已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】已知均为正整数，且，则（ ）
A.4 B.8 C.16 D.64
【举一反三2】已知，则的值是（ ）
A.10 B.36 C.96 D.100
【举一反三3】若，m和n为正整数，则 ．
【举一反三4】已知.
(1)当时，求a的值；
(2)求的值．
【举一反三5】已知xm=3，xn=6，求xm-n，x3m-2n的值．
【题型19】同底数幂除法与幂的乘法运算及同类项的综合
【典型例题】下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列运算正确的是( )
A.a6÷a2=a3 B.(a2)3=a5 C.a2 a3=a6 D.3a2-2a2=a2
【举一反三2】下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】（幂的运算及逆用）
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6）已知，则 值 ；
【举一反三4】若am=an(a>0且a≠1，m，n是正整数)，则m=n.
利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果2÷8x·16x=25，求x的值；
(2)如果22x+4-22x+2=96，求x的值.
【举一反三5】(1)x x5+(﹣2x2)3+x9÷x3；
(2)3×(2a2)3+a5 a﹣a8÷a2．
【题型20】零指数幂
【典型例题】的值为（ ）
A.﹣1 B. C.1 D.2
【举一反三1】在推导过程：对于非零实数a，∵am□am＝〇，∴a0＝1，要使推导过程成立，则□和〇中分别应填（ ）
A.+，1 B.﹣，0 C.÷，0 D.÷，1
【举一反三2】计算：|﹣2|﹣20240＝ ．
【举一反三3】若＞20240，则正整数a可以为 ．
【举一反三4】已知（x+1）x+3＝1，求x的值．
【题型21】单项式除以单项式
【典型例题】计算28x4y2÷7x3y的结果是（ ）
A.4xy B.﹣4xy C.4x2y D.4xy2
【举一反三1】若，则括号里应填的单项式是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】计算：（﹣6m2n3）2÷9m3n3＝ ．
【举一反三3】计算-4x5÷2x3的结果等于 ．
【举一反三4】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【举一反三5】计算：
（1）（﹣b）7÷（﹣b）2；
（2）（a2b）3÷（a2b）；
（3）（x﹣y）3÷（y﹣x）2；
（4）y12÷（﹣y）4÷（﹣y）3；
（5）（﹣9）11÷[﹣32×（﹣3）3]．
【题型22】单项式除以单项式的实际应用
【典型例题】一颗人造地球卫星的速度为2.88×107米/时，一架喷气式飞机的速度为1.8×106米/时，则这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的( )
A.1600倍 B.160倍 C.16倍 D.1.6倍
长方形的面积为，宽为，则它的长为( )
A. B.18 C. D.
一个三角形的面积是，它的一边长是，那么这条边上的高为( )
A. B. C. D.
【举一反三3】地球质量大约为5.98×1021T，木星质量大约为1.9×1024T，则木星的质量是地球质量的 倍(结果精确到个位)．
【举一反三4】木星的质量约是1.9×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？(结果保留整数)
【题型23】多项式除以单项式
【典型例题】计算(-8m4n+12m3n2-4m2n3)÷(-4m2n)的结果等于( )
A.2m2n-3mn+n2 B.2n2-3mn2+n2 C.2m2-3mn+n2 D.2m2-3mn+n
【举一反三1】已知，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】计算（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】，则（ ）里的整式为 ．
【举一反三4】在中，多项式 ．
【举一反三5】观察下列各式：
(x2-1)÷(x-1)= x +1；
(x3-1)÷(x-1)=x2+x+1；
(x4-1)÷(x-1)=x3+x2+x+1；
根据你发现的规律解答下列各题：
(1)直接写出结果： ；
(2)根据你发现的规律，计算1+2+22+23+…+22020+22021的值．
【题型24】多项式除以单项式的实际应用
【典型例题】某小区为了便民购物，计划在小区外一块长方形空地上建一座大型超市，已知长方形空地的面积为，宽为，则这块空地的长为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】若长方形面积是2a2-2ab+6a，一边长为2a，则这个长方形的周长是( )
A.6a-2b+6 B.2a-2b+6 C.6a-2b D.3a-b+3
某小区为了便民购物，计划在小区外一块长方形空地上建一座大型超市，已知长方形空地的面积为(6y2＋y)平方米，宽为y米，则这块空地的长为( )
A.6xy米 B.(6y＋1)米 C.(6y＋y)米 D.(6xy3＋y2)米
【举一反三3】小黄去水果店买元/斤的凤梨，共花费元，则他买了 斤凤梨．
已知长方形的面积为2a2b－4a2＋6a，宽为2a，则长方形的长为 .
【举一反三5】如图，一个柱体工件的体积为．其形状和部分尺寸如图所示，求工件的长．（用含的式子表示）
【题型25】多项式除以单项式与其它运算的综合
【典型例题】已知，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三2】下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三3】阅读材料：多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式计算，如图：
所以除以，商式为，余式为0．
请根据阅读材料回答下列问题：
若能被整除，则 ．
计算：(1)(3a＋b)(a－2b)；
(2)(7x2y3z－2xy)÷(xy).
【举一反三5】先化简，再求值：，其中．
人教版（2024）八年级上册 16.2 整式的乘法 寒假巩固（参考答案）
【题型1】单项式乘单项式
【典型例题】计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：．
【举一反三1】下列运算正确的是（ ）
A.2a2b 3ab2＝5a3b2 B.（﹣2m3n）2＝4m5n2 C.3ab2c·ab＝3bc D.2m3n·m3n＝2m6n2
【答案】D
【解析】解：A．2a2b 3ab2＝6a3b3，故此选项不合题意；
B．（﹣2m3n）2＝4m6n2，故此选项不合题意；
C．3ab2c·ab＝3a2b3c，故此选项不符合题意；
D．2m3n·m3n＝2m6n2，故此选项不合题意．
故选：D．
【举一反三2】计算： ．
【答案】
【解析】解：．
【举一反三3】(教材改编)计算：
（1）；（2）；（3）；（4）.
【答案】解：
（1）
（2）
（3）.
（4）.
【题型2】用单项式乘单项式求字母或代数式的值
若(mx4)·(4xk)＝－12x12，则适合条件的m，k的值分别是( )
A.m＝－3，k＝8 B.m＝3，k＝8 C.m＝8，k＝3 D.m＝－3，k＝3
【答案】A
【解析】
∵(mx4)·(4xk)＝4mx4+k＝－12x12，
∴4m＝－12，4＋k＝12，
∴m＝－3，k＝8.
【举一反三1】已知M 4x2y3＝8x4y6，则整式M＝（ ）
A.4x2y2 B.2x2y2 C.4x2y3 D.2x2y3
【答案】D
【解析】解：∵M 4x2y3＝8x4y6，
∴M＝2x2y3，
故选：D．
【举一反三2】如果单项式﹣22x2my3与23x4yn+1的差是一个单项式，则这两个单项式的积是 ．
【答案】﹣32x8y6．
【解析】解：∵单项式﹣22x2my3与23x4yn+1的差是一个单项式，
∴单项式﹣22x2my3与23x4yn+1是同类项，
∴2m＝4，n+1＝3，
解得：m＝2，n＝2，
则﹣22x4y3 23x4y3＝﹣32x8y6，
故答案为：﹣32x8y6．
【举一反三3】若(mx4) (4xk)=12x12，则m= ，k= ．
【答案】3 8
【解析】∵(mx4) (4xk)=12x12，
∴4mx4+k=12x12，
∴4m=12，4+k=12，
解得m=3，k=8．
故答案为3；8．
【举一反三4】(1)先化简，再求值：2x2y·(-2xy2)3+(2xy)3·(-xy2)2，其中x=4，y=；
(2)已知·=x4y9，求m，n的值.
【答案】解 (1)原式=2x2y·(-8x3y6)+8x3y3·x2y4=-16x5y7+8x5y7=-8x5y7，
当x=4，y=时，原式=-8×45×=-.
(2)因为(x2y3)m·=x2m+2y3m+2n+2=x4y9，
所以
解得
【题型3】单项式乘单项式的实际应用
【典型例题】如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：余下的阴影部分面积为
．
【举一反三1】如图，王老师把家里的密码设置成了数学问题．吴同学来王老师家做客，看到图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地密码连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密码是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：根据前面两个等式，
王=，
安，
得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成．
∴宁．
【举一反三2】若一个长方体的长为5.4×102 mm，宽为100 mm，高为2×102 mm，则此长方体的体积为( )
A.1.08×105 mm3 B.1.08×106 mm3 C.1.08×107 mm3 D.1.08×108 mm3
【答案】C
【解析】解：这个水箱的容积是5.4×102×100×2×102=1.08×107mm3．
故选C.
【举一反三3】长方形的宽是a×103 cm，长是宽的2倍，则长方形的面积为 cm2.
【答案】2a2 ×106
【解析】∵长方形的宽是a×103 cm，长是宽的2倍，
∴长方形的长为2a×103 cm，
∴长方形的面积为(2a×103)×(a×103)=2a2 ×106(cm2).
【举一反三4】福厦高铁车速为千米/时，高铁行驶 3b小时的路程为 千米．
【答案】/
【解析】解：由题意得，(千米)．
【举一反三5】有一块长为x2ym(x＞0，y＞0)，宽为xy3m的长方形空地，现在要在这块空地中规划一块长为x2y m，宽为xy3m的长方形空地用于绿化，求绿化后剩余部分的面积．
【答案】解 由题意得x2y xy3x2y xy3＝x3y4x3y4x3y4(m2)．
∴绿化后剩余部分的面积为x3y4 m2．
【题型4】单项式乘多项式
计算a(a＋b－c)的结果是( )
A.a2＋ab＋ac B.a2＋ab－ac C.a＋ab＋ac D.a＋b－ac
【答案】B
【举一反三1】课后小明拿出数学笔记本复习，发现一道题被墨水污染了：，则“”处应填写的式子是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵，
∴．
计算的结果是 ．
【答案】
【解析】
.
计算：(1)(－3x2)2·(－x2＋2x－1)；
(2)(－2ab)2·.
【答案】
解 (1)(－3x2)2·(－x2＋2x－1)
＝9x4(－x2＋2x－1)
＝－9x6＋18x5－9x4.
(2)(－2ab)2·
＝4a2b2·ab2－4a2b2·3ab＋4a2b2·a
＝3a3b4－12a3b3＋a3b2.
【题型5】用单项式乘多项式求字母或代数式的值
【典型例题】已知：(x4-n+ym+3) xn=x4+x2y7，则m+n的值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】D
【解析】解：(x4-n+ym+3) xn =x4+xnym+3=x4+x2y7，
∴n=2，m+3=7，即m=4，n=2，
则m+n=4+2=6．故选D.
【举一反三1】定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论：
①；
②；
③；
④若，则或．
其中结论正确的序号是（ ）
A.①④ B.①③ C.②③④ D.①②④
【答案】A
【解析】解：根据题目中的新定义计算方法可得，
①，①正确；
②，故与不一定相等，②错误；
③，③错误；
④若，则或，④正确．
【举一反三2】要使的展开式中不含的项，则的值是（ ）
A. B.0 C.2 D.3
【答案】C
【解析】解：
，
∵的展开式中不含的项，
∴，
∴．
【举一反三3】若对于m、n定义一种新运算：，例：，则 ．
【答案】
【解析】解：由题意得.
【举一反三4】已知x（x﹣m）+n（x+m）＝x2+5x﹣6对任意数都成立，求m（n﹣1）+n（m+1）的值．
【答案】解：x（x﹣m）+n（x+m）
＝x2﹣mx+nx+mn
＝x2+（n﹣m）x+mn，
∴
则m（n﹣1）+n（m+1）＝n﹣m+2mn＝5﹣12＝﹣7．
【题型6】单项式乘多项式的化简与求值
【典型例题】当a＝﹣2时，代数式3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4)的值是( )
A.﹣98 B.﹣62 C.﹣2 D.98
【答案】A
【解析】3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4)
＝3a×2a2﹣3a×4a+3×3a﹣2a2×3a﹣4×(2a2)
＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2
＝﹣20a2+9a，
当a＝﹣2时，
原式＝﹣20×4+9×(﹣2)＝﹣98．
【举一反三1】当时，代数式的值是（ ）
A. B. C. D.98
【答案】A
【解析】
当时，
原式．
【举一反三2】若，则的值为（ ）
A.16 B.12 C.8 D.0
【答案】A
【解析】解：原式，
当时，，
原式．
【举一反三3】已知时，则代数式的值为 ．
【答案】
【解析】解：∵
.
当时，原式.
如果a2－2a－1＝0，那么代数式2a(a－2)＋3的值为 .
【答案】
5
【解析】
原式＝2a2－4a＋3＝2(a2－2a)＋3，
由条件可知a2－2a＝1，
所以原式＝2×1＋3＝5.
【举一反三5】先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
∵
∴原式．
【题型7】单项式乘多项式的实际应用
【典型例题】若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x﹣4，则长方体的体积为（ ）
A.3x3﹣4x2 B.6x2﹣8x C.6x3﹣8x2 D.6x3﹣8x
【答案】C
【解析】解：由题意知，V长方体＝（3x﹣4） 2x x＝6x3﹣8x2．
故选：C．
【举一反三1】李老师做了个长方形教具，其中一边长为2a+b，另一边长为a，则该长方形的面积为（ ）
A.3a+b B.2a2+b C.2a+ab D.2a2+ab
【答案】D
【解析】解：长方形的面积为＝a（2a+b）＝2a2+ab，
故选：D．
【举一反三2】一长方体的长、宽、高分别是3x-4，2x，x，它的体积等于 .(写最简结果)
【答案】6x3-8x2
【解析】·2x·x=2x2·=6x3-8x2.
【举一反三3】如图所示，四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式： ．
【答案】m（m+a）＝m2+ma（答案不唯一）．
【解析】解：由题意得：m（m+a）＝m2+ma，
故答案为：m（m+a）＝m2+ma（答案不唯一）．
【举一反三4】一家住房的平面结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？
【答案】解：由题意得y(4x－x－2x)＋x(4y－2y)＋2x×4y
＝xy＋2xy＋8xy
＝11xy(平方米)，
故至少需要11xy平方米的瓷砖．
【举一反三5】如图，请计算阴影部分的面积．
【答案】解：b（2b﹣a）﹣a（2a﹣b）
＝2b2﹣ab﹣2a2+ab
＝2b2﹣2a2．
【题型8】多项式乘多项式
【典型例题】计算（x﹣y+3）（x+y﹣3）时，下列各变形中正确的是（ ）
A.[（x﹣y）+3][（x+y）﹣3]
B.[（x+3）﹣y][（x﹣3）+y]
C.[x﹣（y+3）][x+（y﹣3）]
D.[x﹣（y﹣3）][x+（y﹣3）]
【答案】D
【解析】解：（x﹣y+3）（x+y﹣3）＝[x﹣（y﹣3）][x+（y﹣3）]，
故选：D．
【举一反三1】计算（2x+1）（x﹣5）的结果是（ ）
A.2x2﹣9x﹣5 B.2x2﹣9x+5 C.2x2﹣11x﹣5 D.2x2﹣11x+5
【答案】A
【解析】解：（2x+1）（x﹣5）
＝2x2﹣10x+x﹣5
＝2x2﹣9x﹣5，
故选：A．
【举一反三2】计算：(2x+1)(3x-1)= ．
【答案】6x2+x-1
【解析】解：原式=6x2-2x+3x-1=6x2+x-1，故答案为6x2+x-1.
【举一反三3】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】解：（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
计算：
(1)(2x＋1)(x＋3)；
(2)(m＋2n)(3n－m)；
(3)(a－1)2；
(4)(2x2－1)(x－4).
【答案】
解 (1)原式＝2x2＋6x＋x＋3＝2x2＋7x＋3.
(2)原式＝3mn－m2＋6n2－2mn＝mn－m2＋6n2.
(3)原式＝(a－1)(a－1)＝a2－a－a＋1＝a2－2a＋1.
(4)原式＝2x3－8x2－x＋4.
【题型9】用多项式乘多项式求字母或代数式的值
【典型例题】已知，…，均为正数，且满足，则之间的关系是（ ）
A. B. C. D.不确定
【答案】B
【解析】解：设，
则，
，
∴
，
∵，…，均为正数，
∴，
∴，故B正确．
【举一反三1】若(x﹣15)(x+20)＝x2+mx+n，则m，n的值分别为( )
A.﹣5，﹣300 B.35，﹣300 C.35，300 D.5，﹣300
【答案】D
【解析】(x﹣15)(x+20)＝x2+5x﹣300，
由原式可得，x2+mx+n＝x2+5x﹣300，
m＝5，n＝﹣300.
【举一反三2】如(x+m)与(x-4)的乘积中一次项是5x，则常数项为( )
A.9 B.-9 C.36 D.-36
【答案】D
【解析】解：根据题意得：(x+m)(x-4)=x2+(m-4)x-4m，由一次项为5x，得到m-4=5，即m=9，则常数项为-36，故选D.
【举一反三3】设，则 ．
【答案】
【解析】解：令，则①；
令，则②；
，
∴．
【举一反三4】若，则 ．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
∴．
【举一反三5】小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了．
(1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：；
(2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？
【答案】解：（1）
.
（2）设被遮住的一次项系数为，
即
，
∵这个题目的正确答案不含一次项的，
∴，
解得，
∴被遮住的一次项系数为．
【题型10】形如(x+p)(x+q)型多项式的乘法
【典型例题】若，则（ ）
A. B.1 C. D.12
【答案】D
【解析】解：∵，
∴．
∴．
【举一反三1】计算（a+3）（﹣a+1）的结果是（ ）
A.﹣a2﹣2a+3 B.﹣a2+4a+3 C.﹣a2+4a﹣3 D.a2﹣2a﹣3
【答案】A
【解析】解：（a+3）（﹣a+1）
＝﹣a2﹣3a+a+3
＝﹣a2﹣2a+3．
故选：A．
【举一反三2】两整式相乘的结果为a2﹣a﹣12 的是（ ）
A.（a+3）（a﹣4） B.（a﹣3）（a+4） C.（a+6）（a﹣2） D.（a﹣6）（a+2）
【答案】A
【解析】解：A、（a+3）（a﹣4）＝a2﹣a﹣12，正确；
B、（a﹣3）（a+4）＝a2+a﹣12，故本选项错误；
C、（a+6）（a﹣2）＝a2+4a﹣12，故本选项错误；
D、（a﹣6）（a+2）＝a2﹣4a﹣12，故本选项错误．
故选：A．
【举一反三3】若，则 ．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
解得，
∴．
【举一反三4】计算下列各式，然后回答问题：
_______；_______；
_______；_______．
(1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为
________；
(2)运用上面的规律，直接写出下式的结果：
①_______；
②_______；
(3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______．
【答案】解：（1）；；
；；
∴.
（2）①.
②.
（3）∵，
∴，
∵均为整数，
∴当或时，；
当或时，；
当或时，；
当或时，；
当或时，；
当或时，；
综上所述，满足条件的k的值可以是19，11，9，．
【举一反三5】先观察下列各式，再解答后面问题：
；
；
；
．
(1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？
(2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来；
(3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果．
①_____________；
②_____________．
【答案】解：（1）乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系为：两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项.
（2）公式为.
（3）①
.
②
．
【题型11】多项式乘多项式的化简与求值
【典型例题】已知，则（ ）
A.3 B. C. D.2
【答案】C
【解析】解：
．
当时，
原式
．
【举一反三1】若，则的值为（ ）
A. B.9 C. D.不确定
【答案】C
【解析】解：∵，
∴，
∴
.
【举一反三2】已知，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵，
∴．
【举一反三3】若，则代数式的值为 ．
【答案】3
【解析】解：∵，
∴
．
【举一反三4】先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【举一反三5】先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式.
【题型12】多项式乘多项式与图形面积问题
如图，在数学兴趣活动中，小吴将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为S1，S2，则S1－S2的值是( )
A.16m B.16m＋27 C.27 D.3
【答案】D
【解析】
由题意，得铁丝的长度为2(m＋3＋m＋5)＝2(2m＋8)＝4m＋16，
S1＝(m＋3)(m＋5)
＝m2＋5m＋3m＋15
＝m2＋8m＋15，
图乙中长方形的长为[(4m＋16)－2(m＋2)]×
＝(4m＋16－2m－4)×
＝(2m＋12)×
＝m＋6，
∴S2＝(m＋6)(m＋2)
＝m2＋2m＋6m＋12
＝m2＋8m＋12，
∴S1－S2
＝(m2＋8m＋15)－(m2＋8m＋12)
＝m2＋8m＋15－m2－8m－12
＝3.
【举一反三1】如图1，将一张长方形纸板的四角各剪去一个边长为a的小正方形（阴影部分），制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为，则图2中纸盒底部长方形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：设纸盒底部长方形的宽为x，
依题意得
∴，
故纸盒底部长方形的周长为．
【举一反三2】如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处为宽的弯曲小路，则这块草地的面积为 ．
【答案】
【解析】解：根据题意得，阴影面积等于长为，宽为的长方形的面积，
即这块草地的面积为．
【举一反三3】图中阴影部分的面积用整式表示为 ．
【答案】
【解析】解：阴影部分的面积大长方形的面积空白部分长方形的面积
．
如图，某中学校园内有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为(a＋b)米的正方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化.
(1)求绿化的面积；(用含a，b的代数式表示)
(2)当a＝1，b＝2时，求绿化的面积.
【答案】
解 (1)依题意得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2
＝(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)(a＋b)
＝6a2＋3ab＋2ab＋b2－a2－2ab－b2
＝(5a2＋3ab)平方米.
即绿化面积是(5a2＋3ab)平方米.
(2)当a＝1，b＝2时，
5a2＋3ab＝5×12＋3×1×2＝5＋6＝11(平方米).
即绿化面积是11平方米.
【举一反三5】在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．
请你利用上述方法解决下列问题：
(1)请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式．
(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示．
(3)提出问题：，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以为例：
①画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．
②分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，的矩形面积或的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即，用文字表述的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．
请你参照上述几何建模步骤，计算，要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）．
(4)归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）： ，证明上述速算方法的正确性．
【答案】解：（1）根据题意，图（1）所表示的代数恒等式：，
图（2）所表示的代数恒等式：
图（3）所表示的代数恒等式：；
（2）根据题意，几何图形如图所示.
（3）示意图如图.
用文字表述的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果，即.
（4）十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；
故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果．
证明：设两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数的十位数为a，个位数分别是b和
则这两个数为分别为，
∴这两个数的乘积为；
即十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，
故速算方法正确．
【题型13】已知整式乘积中不含某项，求字母的值
【典型例题】已知A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5，若A B+C的值与x的取值无关，当x＝﹣4时，A的值为( )
A.0 B.4 C.﹣4 D.2
【答案】B
【解析】∵A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5，
∴A B+C
＝(x2+3x﹣a)(﹣x)+(x3+3x2+5)
＝﹣x3﹣3x2+ax+x3+3x2+5
＝ax+5，
∵A B+C的值与x的取值无关，
∴a＝0，
∴A＝x2+3x﹣a＝x2+3x，
当x＝﹣4时，A＝(﹣4)2+3×(﹣4)＝4.
【举一反三1】已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，则的值为（ ）
A. B.1 C.0 D.4
【答案】A
【解析】解：∵，
又∵展开式中不含x的一次项，且常数项为，
∴，
解得，
∴．
【举一反三2】若关于x的多项式展开后不含有x一次项，则实数k的值为 ．
【答案】2
【解析】解：
，
∵关于x的多项式展开后不含有x一次项，
∴，
∴．
已知在(x2＋ax＋b)(x－1)的积中，含x2项的系数为2，不含x项，则a＋b的值为 .
【答案】
6
【解析】
(x2＋ax＋b)(x－1)＝x3－x2＋ax2－ax＋bx－b＝x3＋(a－1)x2＋(b－a)x－b，
∵含x2项的系数为2，不含x项，
∴
解得
∴a＋b＝6.
【举一反三4】若关于x的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为20，求a，b的值．
【答案】解：∵
,
∴由题意得，
∴，
把代入得，，
解得，
∴a，b的值分别为．
【举一反三5】已知代数式化简后，不含项和常数项，求的值．
【答案】解：
，
∵化简后不含项和常数项，
∴，
解得．
【题型14】整式乘法中看错或抄错或遮盖某项求字母的值
【典型例题】小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“+”写成“-”，得到的结果为．则（ ）
A.7 B.9 C.13 D.15
【答案】A
【解析】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【举一反三1】在一次数学课上，学习了单项式乘多项式．小明回家后拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：－3x(－2x2＋3x－1)＝6x3＋□＋3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写( )
A.9x2 B.－9x2 C.9x D.－9x
【答案】B
【举一反三2】甲、乙两人共同计算一道整式：(x+a)(2x+b)，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．则(﹣2a+b)(a+b)的值为 ．
【答案】﹣14
【解析】由题意得(x﹣a)(2x+b)＝2x2﹣7x+3且(x+a)(x+b)＝x2+2x﹣3，
∴
∴(﹣2a+b)(a+b)＝﹣7×2＝﹣14.
【举一反三3】在计算(2x+a)(x+b)时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x﹣24，乙错把a看成了﹣a，得到的结果是2x2+14x+20．
(1)求a，b的值；
(2)将a，b的值代入(2x+a)(x+b)并化简，求出正确的结果．
【答案】解 (1)(2x+a)(x+6)
＝2x2+12x+ax+6a
＝2x2+(12+a)x+6a，
∵计算(2x+a)(x+b)时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x﹣24，
∴6a＝﹣24，
∴a＝﹣4，
(2x+4)(x+b)
＝2x2+2bx+4x+4b
＝2x2+(2b+4)x+4b，
由条件可知4b＝20，
∴b＝5．
(2)(2x﹣4)(x+5)
＝2x2+10x﹣4x﹣20
＝2x2+6x﹣20．
【题型15】整式乘法与新定义型和规律型问题
【典型例题】观察下列多项式的乘法计算：
(1)(x+3)(x+4)=x2+7x+12；
(2)(x+3)(x-4)=x2-x-12；
(3)(x-3)(x+4)=x2+x-12；
(4)(x-3)(x-4)=x2-7x+12
根据你发现的规律，若(x+p)(x+q)=x2-8x+15，则p+q的值为( )
A.-8 B.-2 C.2 D.8
【答案】A
【解析】解:(x+p)(x+q)=x2-8x+15，p+q=-8，故选A．
【举一反三1】定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论：
①；
②；
③；
④若，则或．
其中结论正确的序号是（ ）
A.①④ B.①③ C.②③④ D.①②④
【答案】A
【解析】解：根据题目中的新定义计算方法可得，
①，①正确；
②，故与不一定相等，②错误；
③，③错误；
④若，则或，④正确．
【举一反三2】，则 ．
【答案】
【解析】解：∵
，
∴，
∴．
【举一反三3】（1）填空：
（x﹣y）（x+y）＝ ；
（x﹣y）（x2+xy+y2）＝ ；
（x﹣y）（x3+x2y+xy2+y3）＝ ．
（2）猜想：（x﹣y）（xn﹣1+﹣xn﹣2y+…+xyn﹣2+yn﹣1）＝ ．
【答案】（1）x2﹣y2；x3﹣y3；x4﹣y4．
（2）xn﹣yn．
【解析】解：（1）（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2；（x﹣y）（x2+xy+y2）＝x3﹣y3；（x﹣y）（x3+x2y+xy2+y3）＝x4﹣y4．
故答案为：x2﹣y2；x3﹣y3；x4﹣y4．
（2）猜想（x﹣y）（xn﹣1+xn﹣2y+…+xyn﹣2+yn﹣1）＝xn﹣yn．
故答案为：xn﹣yn．
【举一反三4】【知识背景】在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”，此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律：
【答案】解：（1）根据题意，得
故．
（2）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图，
当时，有2项；所有项的系数和为；
当时，有项；所有项的系数和为；
当时，有项；所有项的系数和为；
，
故找到规律为共项，所有项系数的和为，
故的展开式中共有8项，所有项的系数和为．
（3）今天是星期五，过了天后是星期六．理由如下：
∵根据题意，得 ，
且都能被7整除， ，
∴除以7余1，
∴如果今天是星期五，过了天后是星期六．
【题型16】整式乘法的混合运算
【典型例题】计算：（﹣x）2﹣x（x﹣1）＝（ ）
A.2x2 B.﹣2x2 C.﹣x D.x
【答案】D
【解析】解：（﹣x）2﹣x（x﹣1）
＝x2﹣x2+x
＝x，
故选：D．
【举一反三1】下列多项式的运算中,结果正确的是 ( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意；
B.，故选项B计算错误，不符合题意；
C.，故选项C计算错误，不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意.
【举一反三2】下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：A，根据单项式乘单项式法则，系数相乘，同底数幂相乘，，该选项正确；
B，根据积的乘方法则，，则，该选项错误；
C，根据单项式乘多项式法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，，该选项错误；
D，根据多项式乘多项式法则，用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，，该选项错误．
【举一反三3】计算：（x﹣1）（x+3）﹣x（x﹣2）＝ ．
【答案】4x﹣3．
【解析】解：（x﹣1）（x+3）﹣x（x﹣2）＝x2+3x﹣x﹣3﹣x2+2x＝4x﹣3
故答案为：4x﹣3．
【举一反三4】化简（x﹣3）（x﹣2）﹣（x+9）（x﹣1）＝ ．
【答案】﹣13x+15．
【解析】解：（x﹣3）（x﹣2）﹣（x+9）（x﹣1）
=x2﹣5x+6﹣（x2+8x﹣9）
=﹣13x+15
故答案为：﹣13x+15．
【举一反三5】计算：
（1）﹣3xy2z （x2y）2；
（2）（﹣3xy2）2 2xy （﹣2xy）3；
（3）（﹣6x2）2+（﹣3x）3 x；
（4）2x （﹣3x2）+x2 （﹣2x）；
（5）（3a）2 （﹣2a）﹣（﹣9a） （﹣a2）+4a （﹣a2）．
【答案】（1）原式＝﹣3x5y4z．
（2）原式＝9x2y4×2xy×（﹣8x3y3）
＝18x3y5×（﹣8x3y3）
＝﹣144x6y8．
（3）原式＝36x4+（﹣27x4）
＝9x4．
（4）原式＝﹣6x3+（﹣2x3）
＝﹣8x3．
（5）原式＝﹣18a3﹣4a3+（﹣4a3）
＝﹣22a3+（﹣4a3）
＝﹣26a3．
【举一反三6】求式子10a （﹣ab）﹣4a2 （﹣b）+8ab （﹣a）的值，其中a=-3，b=．
【答案】解：原式＝﹣6a2b+2a2b﹣6a2b＝﹣10a2B．
当a=-3，b=时，原式=-10×（-3）2×=-150.
【题型17】同底数幂的除法
【典型例题】计算的结果是（ ）
A. B. C. D.1
【答案】A
【解析】解：．
【举一反三1】计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：
．
【举一反三2】下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A，，故此选项不符合题意；
B，，故此选项符合题意；
C，，故此选项不符合题意；
D，，故此选项不符合题意．
【举一反三3】计算：
① ；② ；③ ．
【答案】；；
【解析】解：①；
②；
③．
【举一反三4】计算：(1)x8÷x2；(2)(ab)5÷(ab)2.
【答案】解：(1)x8÷x2＝x8－2＝x6.
(2)(ab)5÷(ab)2＝(ab)5－2＝(ab)3＝a3b3.
【题型18】同底数幂除法的逆向应用
【典型例题】已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵，
∴.
【举一反三1】已知均为正整数，且，则（ ）
A.4 B.8 C.16 D.64
【答案】D
【解析】解：∵，
∴．
【举一反三2】已知，则的值是（ ）
A.10 B.36 C.96 D.100
【答案】D
【解析】解：∵，
∴，即，
∵，
∴．
【举一反三3】若，m和n为正整数，则 ．
【答案】2
【解析】解：由题意得，
∵ ，
∴，
∴=4，
∵n为正整数，
∴为正整数，
∴(负值舍去)．
【举一反三4】已知.
(1)当时，求a的值；
(2)求的值．
【答案】解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴.
（2）∵，
∴，
∴
．
【举一反三5】已知xm=3，xn=6，求xm-n，x3m-2n的值．
【答案】解：∵xm=3，xn=6，∴xm-n=xm÷xn =12；
x3m-2n=x3m÷x2n=(xm)3÷(xn)2=27÷36=．
【题型19】同底数幂除法与幂的乘法运算及同类项的综合
【典型例题】下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A，，故本选项不合题意；
B，，故本选项不合题意；
C，，故本选项不合题意；
D，，故本选项符合题意．
【举一反三1】下列运算正确的是( )
A.a6÷a2=a3 B.(a2)3=a5 C.a2 a3=a6 D.3a2-2a2=a2
【答案】D
【解析】解：A中，a6÷a2=a4，故A错误；
B中，(a2)3=a6，故B错误；
C中，a2 a3=a5，故C错误；
D中，3a2-2a2=a2，故D正确．
故选D．
【举一反三2】下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A．，原式计算错误，故该选项不符合题意；
B． ，原式计算错误，故该选项不符合题意；
C．，原式计算错误，故该选项不符合题意；
D．，原式计算正确，故该选项符合题意．
【举一反三3】（幂的运算及逆用）
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6）已知，则 值 ；
【答案】；； ；；；432
【解析】解：（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）∵，
∴．
【举一反三4】若am=an(a>0且a≠1，m，n是正整数)，则m=n.
利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果2÷8x·16x=25，求x的值；
(2)如果22x+4-22x+2=96，求x的值.
【答案】解 (1)∵2÷8x·16x=25，
∴2÷·=25，
∴2÷23x·24x=25，
∴21-3x+4x=25，
∴21+x=25，
∴1+x=5，
∴x=4.
(2)∵22x+4-22x+2=96，
∴22x·24-22x·22=96，
∴22x×16-22x×4=96，
∴22x×12=96，
∴22x=8=23，
∴2x=3，
∴x=.
【举一反三5】(1)x x5+(﹣2x2)3+x9÷x3；
(2)3×(2a2)3+a5 a﹣a8÷a2．
【答案】解 (1)﹣6x6. (2)24a6.
【题型20】零指数幂
【典型例题】的值为（ ）
A.﹣1 B. C.1 D.2
【答案】C
【解析】解：＝1，
故选：C．
【举一反三1】在推导过程：对于非零实数a，∵am□am＝〇，∴a0＝1，要使推导过程成立，则□和〇中分别应填（ ）
A.+，1 B.﹣，0 C.÷，0 D.÷，1
【答案】D
【解析】解：∵am÷am＝1，
∴a0＝1，
∴□和〇中分别应填÷和1，
故选：D．
【举一反三2】计算：|﹣2|﹣20240＝ ．
【答案】1．
【解析】解：|﹣2|﹣20240＝2﹣1＝1．
故答案为：1．
【举一反三3】若＞20240，则正整数a可以为 ．
【答案】2 （答案不唯一，大于1的整数即可）．
【解析】解：∵，
∴，
∴正整数a可以为2，
故答案为：2 （答案不唯一，大于1的整数即可）．
【举一反三4】已知（x+1）x+3＝1，求x的值．
【答案】解：∵（x+1）x+3＝1，
当x+1＝1时，解得：x＝0，此时（x+1）x+3＝1，
当x+1＝﹣1时，解得：x＝﹣2，则x+3＝1，此时（x+1）x+3＝﹣1，
当x+3＝0时，即x＝﹣3时，（x+1）x+3＝1．
∴x的值为：0或﹣3．
【题型21】单项式除以单项式
【典型例题】计算28x4y2÷7x3y的结果是（ ）
A.4xy B.﹣4xy C.4x2y D.4xy2
【答案】A
【解析】解：原式＝4xy，
故选：A．
【举一反三1】若，则括号里应填的单项式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵，
∴括号内应填的单项式为．
【举一反三2】计算：（﹣6m2n3）2÷9m3n3＝ ．
【答案】4mn3．
【解析】解：原式＝36m4n6÷9m3n3
＝（36÷9）m4﹣3n6﹣3
＝4mn3，
故答案为：4mn3．
【举一反三3】计算-4x5÷2x3的结果等于 ．
【答案】-2x2
【解析】解：-4x5÷2x3=-2x2．故答案为-2x2．
【举一反三4】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】解：（1） .
（2）．
（3）
，
．
（4）
.
【举一反三5】计算：
（1）（﹣b）7÷（﹣b）2；
（2）（a2b）3÷（a2b）；
（3）（x﹣y）3÷（y﹣x）2；
（4）y12÷（﹣y）4÷（﹣y）3；
（5）（﹣9）11÷[﹣32×（﹣3）3]．
【答案】解：（1）（﹣b）7÷（﹣b）2
＝（﹣b）5
＝﹣b5；
（2）（a2b）3÷（a2b）
＝a6b3÷a2b
＝a4b2；
（3）（x﹣y）3÷（y﹣x）2
＝（x﹣y）3÷（x﹣y）2
＝x﹣y；
（4）y12÷（﹣y）4÷（﹣y）3
＝y12÷y4÷（﹣y）3
＝﹣y5；
（5）（﹣9）11÷[﹣32×（﹣3）3]
＝﹣322÷35
＝﹣317．
【题型22】单项式除以单项式的实际应用
【典型例题】一颗人造地球卫星的速度为2.88×107米/时，一架喷气式飞机的速度为1.8×106米/时，则这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的( )
A.1600倍 B.160倍 C.16倍 D.1.6倍
【答案】C
【解析】解：(2.88×107)÷(1.8×106)
=(2.88÷1.8)×(107÷106)
=1.6×10，=16，
则这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的16倍．
故选C．
长方形的面积为，宽为，则它的长为( )
A. B.18 C. D.
【答案】D
【解析】
长方形的面积为，宽为，
它的长为.
一个三角形的面积是，它的一边长是，那么这条边上的高为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题意，三角形的面积边高，高面积边．又一个三角形的面积是，它的一边长是，
这条边上的高为．
【举一反三3】地球质量大约为5.98×1021T，木星质量大约为1.9×1024T，则木星的质量是地球质量的 倍(结果精确到个位)．
【答案】318
【解析】解：(1.9×1024)÷(5.98×1021)=(1.9÷5.98)×(1024÷1021)≈0.318×103=318．故答案为318．
【举一反三4】木星的质量约是1.9×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？(结果保留整数)
【答案】解：(1.90×1024)÷(5.98×1021)=0.318×103=318(倍)．
答：木星的质量约为地球质量的318倍.
【题型23】多项式除以单项式
【典型例题】计算(-8m4n+12m3n2-4m2n3)÷(-4m2n)的结果等于( )
A.2m2n-3mn+n2 B.2n2-3mn2+n2 C.2m2-3mn+n2 D.2m2-3mn+n
【答案】C
【解析】解：(-8m4n+12m3n2-4m2n3)÷(-4m2n)
=-8m4n÷(-4m2n)+12m3n2÷(-4m2n)-4m2n3÷(-4m2n)
=2m2-3mn+n2．故选C．
【举一反三1】已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：，
．
【举一反三2】计算（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：
．
【举一反三3】，则（ ）里的整式为 ．
【答案】
【解析】解：由题意可得，
．
【举一反三4】在中，多项式 ．
【答案】
【解析】解：由题意可知．
【举一反三5】观察下列各式：
(x2-1)÷(x-1)= x +1；
(x3-1)÷(x-1)=x2+x+1；
(x4-1)÷(x-1)=x3+x2+x+1；
根据你发现的规律解答下列各题：
(1)直接写出结果： ；
(2)根据你发现的规律，计算1+2+22+23+…+22020+22021的值．
【答案】解 (1).
(2)1+2+22+23+…+22020+22021
．
【题型24】多项式除以单项式的实际应用
【典型例题】某小区为了便民购物，计划在小区外一块长方形空地上建一座大型超市，已知长方形空地的面积为，宽为，则这块空地的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵长方形空地的面积为，宽为，
∴长为．
【举一反三1】若长方形面积是2a2-2ab+6a，一边长为2a，则这个长方形的周长是( )
A.6a-2b+6 B.2a-2b+6 C.6a-2b D.3a-b+3
【答案】A
【解析】根据题意得：(2a2-2ab+6a)÷(2a)=a-b+3，则这个长方形的周长为2(2a+a-b+3)=6a-2b+6，故选A.
某小区为了便民购物，计划在小区外一块长方形空地上建一座大型超市，已知长方形空地的面积为(6y2＋y)平方米，宽为y米，则这块空地的长为( )
A.6xy米 B.(6y＋1)米 C.(6y＋y)米 D.(6xy3＋y2)米
【答案】B
【举一反三3】小黄去水果店买元/斤的凤梨，共花费元，则他买了 斤凤梨．
【答案】
【解析】解：依题意，斤，
则他买了斤凤梨．
已知长方形的面积为2a2b－4a2＋6a，宽为2a，则长方形的长为 .
【答案】
ab－2a＋3
【解析】
∵长方形的面积为2a2b－4a2＋6a，宽为2a，
∴长方形的长为(2a2b－4a2＋6a)÷(2a)＝ab－2a＋3.
【举一反三5】如图，一个柱体工件的体积为．其形状和部分尺寸如图所示，求工件的长．（用含的式子表示）
【答案】解：根据题意得，工件的长
．
【题型25】多项式除以单项式与其它运算的综合
【典型例题】已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：，
．
【举一反三1】下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：A，，原式计算错误，不符合题意；
B，，原式计算错误，不符合题意；
C，，原式计算正确，符合题意；
D，，原式计算错误，不符合题意．
【举一反三2】下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：∵，原选项错误，
故A不合题意；
∵，原选项错误，
∴B不合题意；
∵，原选项错误，
∴C不合题意；
∵，
∴D合题意．
【举一反三3】阅读材料：多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式计算，如图：
所以除以，商式为，余式为0．
请根据阅读材料回答下列问题：
若能被整除，则 ．
【答案】2
【解析】解：设商式为，
则有,
,
,
, ,
．
计算：(1)(3a＋b)(a－2b)；
(2)(7x2y3z－2xy)÷(xy).
【答案】
解 (1)(3a＋b)(a－2b)
＝3a2－6ab＋ab－2b2
＝3a2－5ab－2b2.
(2)(7x2y3z－2xy)÷(xy)
＝7xy2z－2.
【举一反三5】先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
．
当时，
原式．
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