人教版（2024）八年级上册 16.3 乘法公式 寒假巩固（含答案）

人教版（2024）八年级上册 16.3 乘法公式 寒假巩固
【题型1】平方差公式的结构特征
【典型例题】下列算式能用平方差公式计算的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【举一反三1】下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
下列算式：①(2a＋b)(2b－a)；②；③(3x－y)(－3x＋y)；④(－m－n)(－m＋n)，能用平方差公式计算的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三3】与多项式(2 x +1)能构成平方差公式的是( )
A.(2x-1) B.(-2x-1) C.(x-2) D.(x-1)
【举一反三4】在横线上填入适当的整式，使原多项式与填入的多项式能构成平方差公式的结构特征：
(1) ；
(2) ；
(3)．
(4)( )
【举一反三5】在横线上填入适当的整式，使原多项式与填入的多项式能构成平方差公式的结构特征：
(1) ；
(2) ；
(3)．
(4)( )
【举一反三6】在下列（　　）里填上适当的项，使其符合的形式．
(1)；
(2)．
【题型2】用平方差公式计算
下列计算正确的是(　　)
A.(a＋3b)(a－3b)＝a2－3b2 B.(－a＋3b)(a－3b)＝－a2－9b2 C.(－a－3b)(a－3b)＝－a2＋9b2 D.(－a－3b)(a＋3b)＝a2－9b2
若等式(3a＋5b)(　　)＝9a2－25b2成立，则括号内所填的代数式是(　　)
A.3a＋5b B.－3a＋5b C.3a－5b D.－3a－5b
【举一反三2】若（x+y+z）（x﹣y+z）＝（A+B）（A﹣B），且B＝y，则A＝　 　．
【举一反三3】计算
（1）（﹣x）（+x2）（x+）；
（2）（x+3）（x-3）﹣（x+2）（x﹣2）．
【举一反三4】计算：．
【题型3】平方差公式与几何图形面积
【典型例题】小明家承包了一个长方形的鱼塘，原来长为5x米，宽为(5x－4)米，现将这个鱼塘的长和宽都增加2米，则其面积增加了(　　)
A.(20x＋4)平方米 B.(20x－4)平方米 C.4平方米 D.20x平方米
【举一反三1】如图，点D，C，H，G分别在长方形的边上，点E，F在上，若正方形的面积等于20，图中阴影部分的面积总和为8，则正方形的面积等于（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【举一反三2】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是x米，下底都是y米，高都是米，请你帮小刚家算一算菜地的面积是 平方米．
【举一反三4】如图是由边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形．把图剪开后，再拼成一个四边形，可以用来验证公式：．

(1)请你通过对图的剪拼，画出三种不同拼法的示意图．要求：
①拼成的图形是四边形；
②在图上画剪切线（用虚线表示）；
③在拼出的图形上标出已知的边长．
(2)感受平方差公式的无字证明，并用公式巧算下题：
①；
②．
【题型4】平方差公式与其它运算的综合
【典型例题】计算＝( )
A. B. C. D.
【举一反三1】已知x+y＝6，x﹣y＝﹣2，则x2﹣y2的值为（　　）
A.2 B.4 C.12 D.﹣12
【举一反三2】化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】计算：(x＋1)(x－1)－(x－2)(x＋2)＝________.
【举一反三4】如果（3m+2）（3m﹣2）＝77，那么m的值为 　 　．
【举一反三5】化简：
(1)；
(2)；
(3)；
(4) ；
(5)．
【题型5】用完全平方公式计算
代数式(－x＋3y)(x＋3y)化简的结果是(　　)
A.x2＋9y2 B.－x2＋9y2 C.x2－9y2 D.－x2－9y2
【举一反三1】下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】计算：（5x+2y）2＝　 　．
【举一反三3】计算= ．
【举一反三4】（教材改编）运用乘法公式计算：
（1）；（2）.
【题型6】求完全平方式中字母系数的值
【典型例题】若(ax+3y)2=4x2-12xy+by2，则a，b的值分别为(　　)
A.2，9 B.2，-9 C.-2，9 D.-4，9
【举一反三1】若mx2+kx+9=(2x-3)2，则m，k的值分别是(　　)
A.m=-2，k=6 B.m=2，k=12 C.m=-4，k=-12 D.m=4，k=-12
【举一反三2】若是一个完全平方式，则的值是　　．
【举一反三3】已知4x2-100x+m是完全平方式，求m的值并说明理由．
【题型7】利用完全平方公式变形求字母系数或代数式的值
【典型例题】已知，则代数式的值是（ ）
A.16 B.20 C.25 D.30
【举一反三1】已知，则的值是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【举一反三2】已知，，则的值等于（ ）
A. B. C.1 D.2
【举一反三3】已知，，则 ．
【举一反三4】当x＝－2时，代数式x2＋4x＋2 024的值是________．
【举一反三5】已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．
【举一反三6】化简求值：已知x2＋x－5＝0，求代数式(x－1)2－x(x－3)＋(x＋2)(x－2)的值．
【题型8】完全平方公式与几何图形面积
【典型例题】如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】在学习完《整式的乘法》后，数学兴趣小组探究了这样一个问题：如图，现有甲、乙两张正方形纸片．小勇将甲正方形移至乙正方形的左上角按方式一摆放，小伟将甲、乙正方形并列放置在一个更大的正方形中按方式二摆放．若按方式一摆放时阴影小正方形部分的面积为2，按方式二摆放时阴影部分的面积为8，则甲、乙两张正方形纸片的面积之和为（ ）
A. B. C.8 D.6
【举一反三2】如图，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是 ．
【举一反三3】一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加39cm2，这个正方形的边长是多少.
【题型9】添括号
【典型例题】下列添括号正确的是（　　）
A.﹣a﹣b=﹣（a﹣b）
B.﹣2x+4y=﹣2（x﹣4y）
C.﹣m+2=+（﹣m+2）
D.x﹣y﹣1=x﹣（y﹣1）
【举一反三1】下列添括号所得结果正确的是（　　）
A.x2﹣2x﹣1=x2﹣（2x﹣1）
B.x2﹣2x﹣1=x2﹣（﹣2x+1）
C.x2+2x+1=x2﹣（﹣2x﹣1）
D.x2﹣2x+1=x2﹣（2x+1）
【举一反三2】（a+b﹣c）（a﹣b+c）＝[a+（　 　）] [a﹣（　 　）]．
【举一反三3】 需要先变形为　　　　　　　　，然后再利用完全平方公式计算.
【举一反三4】计算：(a-2b-3c)2.
【题型10】添括号与整体代入思想
如果(a－b－3)(a－b＋3)＝40，那么a－b的值为(　　)
A.49 B.7 C.－7 D.7或－7
【举一反三1】已知，则的值是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三2】若，则多项式的值是 ．
【举一反三3】阅读材料：我们知道，．类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用：
(1)把看成一个整体，求出的结果；
(2)已知，求的值；
(3)已知，求的值．
【题型11】整式的混合运算
【典型例题】下列运算结果正确的是（ ）
A.3a-2a=1 B.a2·a3=a6 C. (-a)4=-a4 D.(a+3)(a-3)=a2-9
【举一反三1】化简（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知，则代数式 ．
【举一反三3】计算：
（1）（﹣xy）2 x5＝　 　；
（2）（a6﹣2a3）÷a3＝　 　．
【举一反三4】计算题：
(1)
(2)
(3)
(4)
【题型12】整式混合运算的化简求值
【典型例题】若a2﹣a﹣1＝0，则式子a（a﹣1）（a+1）﹣a的值是（　　）
A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2
【举一反三1】若式子y2﹣2x＝1，则（x﹣1）2﹣（x﹣y）（x+y）的值是（　　）
A.﹣2 B.0 C.1 D.2
【举一反三2】已知，则代数式的值为 ．
【举一反三3】先化简，再求值：
(1)，其中，．
(2)，其中，
【题型13】整式混合运算与几何图形面积及实际问题
【典型例题】如图，长方形ABCD中，8＜AB＜12，8＜AD＜12，放入两个边长都为4的正方形AEFG，正方形DJIH及一个边长为8的正方形KCML，S1，S2分别表示对应阴影部分的面积，若S1＝S2，则长方形ABCD的周长是（　　）
A.36 B.40 C.44 D.48
【举一反三1】若将四张都是长为a，宽为b的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为a+b的正方形，则图中阴影部分的面积为（　　）
A.2ab﹣b2 B.2ab﹣2b2 C.a2﹣4b2 D.2b2﹣ab
【举一反三2】如图，长方形内的阴影部分是由四个半圆围成的图形，则阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【举一反三3】如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足的数量关系为 　 　．
【举一反三4】如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．

(1)图②中阴影部分的正方形的边长等于__________；
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：
方法一：__________；
方法二：__________；
(3)根据（2）写出，这三个代数式之间的等量关系，通过计算说明该等量关系的正确性．
【题型14】整式混合运算与新定义型及规律性问题
【典型例题】若一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“扬帆数”．则下列各数中是“扬帆数”的是（ ）
A.224 B.220 C.198 D.154
南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a＋b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”.
(a＋b)0＝1，
(a＋b)1＝a＋b，
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4，
(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5，
…，
则(a＋b)10中，第三项系数为(　　)
A.45 B.50 C.55 D.60
【举一反三2】定义一种新运算：ad﹣bc．如：2×5﹣3×4＝﹣2．若的值与x的取值无关，则的值为 　 　 ．
【举一反三3】对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：，例如．
（1）若，求x的值；
（2）若的值与x无关，求mn值．
【举一反三4】用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：．解答下列问题：
(1)若，求的值；
(2)若，，判断与的大小关系，并说明理由．
人教版（2024）八年级上册 16.3 乘法公式 寒假巩固（参考答案）
【题型1】平方差公式的结构特征
【典型例题】下列算式能用平方差公式计算的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：A、原式，故原式不能用平方差公式进行计算，此选项不符合题意；
B、原式，故原式不能用平方差公式进行计算，此选项不符合题意；
C、原式，故原式不能用平方差公式进行计算，此选项不符合题意；
D、原式，原式能用平方差公式进行计算，此选项符合题意．
【举一反三1】下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A、，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
B、，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
C、，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
D、，不能用平方差公式进行计算，故本选项正确．
下列算式：①(2a＋b)(2b－a)；②；③(3x－y)(－3x＋y)；④(－m－n)(－m＋n)，能用平方差公式计算的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】A
【举一反三3】与多项式(2 x +1)能构成平方差公式的是( )
A.(2x-1) B.(-2x-1) C.(x-2) D.(x-1)
【答案】A
【解析】解：在平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2中，左边两个因式中，有一项是完全相同的项，有一项是互为相反的项，右边是完全相同的项的平方，减去互为相反的项的平方；在以上四个选项中，只有(2x-1)符合题意，所以选A.
【举一反三4】在横线上填入适当的整式，使原多项式与填入的多项式能构成平方差公式的结构特征：
(1) ；
(2) ；
(3)．
(4)( )
【答案】(1)；(2)；(3)；(4).
【解析】解：根据，
（1）当a=，可得=，
（2）当a=，可得．
（3）当a=，．
（4）当a=，．
【举一反三5】在横线上填入适当的整式，使原多项式与填入的多项式能构成平方差公式的结构特征：
(1) ；
(2) ；
(3)．
(4)( )
【答案】(1)；(2)；(3)；(4).
【解析】解：根据，
（1）当a=，可得=，
（2）当a=，可得．
（3）当a=，．
（4）当a=，．
【举一反三6】在下列（　　）里填上适当的项，使其符合的形式．
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；(2)，，，
【解析】解：（1），
（2）．
【题型2】用平方差公式计算
下列计算正确的是(　　)
A.(a＋3b)(a－3b)＝a2－3b2 B.(－a＋3b)(a－3b)＝－a2－9b2 C.(－a－3b)(a－3b)＝－a2＋9b2 D.(－a－3b)(a＋3b)＝a2－9b2
【答案】C
若等式(3a＋5b)(　　)＝9a2－25b2成立，则括号内所填的代数式是(　　)
A.3a＋5b B.－3a＋5b C.3a－5b D.－3a－5b
【答案】C
【举一反三2】若（x+y+z）（x﹣y+z）＝（A+B）（A﹣B），且B＝y，则A＝　 　．
【答案】x+z．
【解析】解：∵（x+y+z）（x﹣y+z），
＝（x+z+y）（x+z﹣y），
＝[（x+z）+y][（x+z）﹣y]，
＝（A+B）（A﹣B），
∵B＝y，
∴A＝x+z．
【举一反三3】计算
（1）（﹣x）（+x2）（x+）；
（2）（x+3）（x-3）﹣（x+2）（x﹣2）．
【答案】解：（1）原式＝（﹣x）（+x）（+x2）
＝（﹣x2）（+x2）
＝﹣x4；
（2）原式＝x2-9﹣x2+4
＝-5．
【举一反三4】计算：．
【答案】解　原式
．
【题型3】平方差公式与几何图形面积
【典型例题】小明家承包了一个长方形的鱼塘，原来长为5x米，宽为(5x－4)米，现将这个鱼塘的长和宽都增加2米，则其面积增加了(　　)
A.(20x＋4)平方米 B.(20x－4)平方米 C.4平方米 D.20x平方米
【答案】B
【解析】解：增加的面积=新长方形面积-原长方形的面积
=
故选B.
【举一反三1】如图，点D，C，H，G分别在长方形的边上，点E，F在上，若正方形的面积等于20，图中阴影部分的面积总和为8，则正方形的面积等于（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】解：设正方形和正方形的边长分别为，，
则有，阴影部分面积为，
即，
可得，
正方形的面积等于
即所求面积是4．
【举一反三2】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形，
∴剩余部分的面积是，
又拼成的长方形的面积是，
∴根据剩余部分的面积相等得．
【举一反三3】如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是x米，下底都是y米，高都是米，请你帮小刚家算一算菜地的面积是 平方米．
【答案】
【解析】解：由题意得菜地的面积为．
【举一反三4】如图是由边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形．把图剪开后，再拼成一个四边形，可以用来验证公式：．

(1)请你通过对图的剪拼，画出三种不同拼法的示意图．要求：
①拼成的图形是四边形；
②在图上画剪切线（用虚线表示）；
③在拼出的图形上标出已知的边长．
(2)感受平方差公式的无字证明，并用公式巧算下题：
①；
②．
【答案】解：（1）拼法一：

拼法二：

拼法三：

（2）①
；
②
．
【题型4】平方差公式与其它运算的综合
【典型例题】计算＝( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：原式
．
【举一反三1】已知x+y＝6，x﹣y＝﹣2，则x2﹣y2的值为（　　）
A.2 B.4 C.12 D.﹣12
【答案】D
【解析】解：∵x+y＝6，x﹣y＝﹣2，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝6×（﹣2）＝﹣12，
故选：D．
【举一反三2】化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：
．
【举一反三3】计算：(x＋1)(x－1)－(x－2)(x＋2)＝________.
【答案】3
【解析】解：原式＝(x2－1)－(x2－4)＝3.
【举一反三4】如果（3m+2）（3m﹣2）＝77，那么m的值为 　 　．
【答案】±3．
【解析】解：∵（3m+2）（3m﹣2）＝77，
∴9m2﹣4＝77，
9m2＝77+4，
9m2＝81，
m2＝9，
m＝±3，
故答案为：±3．
【举一反三5】化简：
(1)；
(2)；
(3)；
(4) ；
(5)．
【答案】解：（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
（5）
．
【题型5】用完全平方公式计算
代数式(－x＋3y)(x＋3y)化简的结果是(　　)
A.x2＋9y2 B.－x2＋9y2 C.x2－9y2 D.－x2－9y2
【答案】B
【举一反三1】下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A．，即该选项错误，不符合题意；
B．，即该选项错误，不符合题意；
C．，即该选项错误，不符合题意；
D．，即该选项正确，符合题意．
【举一反三2】计算：（5x+2y）2＝　 　．
【答案】25x2+20xy+4y2．
【解析】解：由完全平方公式，可得（5x+2y）2＝25x2+20xy+4y2．
故答案为：25x2+20xy+4y2．
【举一反三3】计算= ．
【答案】
【解析】解∶原式
．
【举一反三4】（教材改编）运用乘法公式计算：
（1）；（2）.
【答案】解：
（1）
.
（2）
.
【题型6】求完全平方式中字母系数的值
【典型例题】若(ax+3y)2=4x2-12xy+by2，则a，b的值分别为(　　)
A.2，9 B.2，-9 C.-2，9 D.-4，9
【答案】C
【解析】解：∵(ax+3y)2=a2x2+6axy+9y2，
∴a2x2+6axy+9y2=4x2-12xy+by2，
∴6a=-12，b=9，
解得a=-2，b=9．
故选C．
【举一反三1】若mx2+kx+9=(2x-3)2，则m，k的值分别是(　　)
A.m=-2，k=6 B.m=2，k=12 C.m=-4，k=-12 D.m=4，k=-12
【答案】D
【解析】解：∵若mx2+kx+9=(2x-3)2，∴m=4，k=-12，故选D.
【举一反三2】若是一个完全平方式，则的值是　　．
【答案】
【解析】是一个完全平方式，
∴m=±2×2×3，
.
【举一反三3】已知4x2-100x+m是完全平方式，求m的值并说明理由．
【答案】解：m=25．
理由如下：∵4x2-100x+m是完全平方式，
∴100x=2×2x×，
解得 m=625．
【题型7】利用完全平方公式变形求字母系数或代数式的值
【典型例题】已知，则代数式的值是（ ）
A.16 B.20 C.25 D.30
【答案】C
【解析】解：，
，
．
【举一反三1】已知，则的值是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
【解析】解：∵，
∴，
∴
．
【举一反三2】已知，，则的值等于（ ）
A. B. C.1 D.2
【答案】D
【解析】解：∵，，
∴，
即，
解．
【举一反三3】已知，，则 ．
【答案】1
【解析】解：∵，，
∴，
即，
，
．
【举一反三4】当x＝－2时，代数式x2＋4x＋2 024的值是________．
【答案】2 033
【解析】解：∵x＝－2，∴x＋2＝，
∴(x＋2)2＝13，
∴x2＋4x＋4＝13，
∴x2＋4x＝9.
∴x2＋4x＋2 024＝2 033.
【举一反三5】已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．
【答案】解：∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝52，即a2+2ab+b2＝25．
∵ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19．
【举一反三6】化简求值：已知x2＋x－5＝0，求代数式(x－1)2－x(x－3)＋(x＋2)(x－2)的值．
【答案】解：∵x2＋x－5＝0，
∴x2＋x＝5，
原式＝x2－2x＋1－x2＋3x＋x2－4
＝x2＋x－3.
∵x2＋x＝5，
∴原式＝5－3＝2.
【题型8】完全平方公式与几何图形面积
【典型例题】如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：长方形面积为，正方形面积为，
∴绿化面积为
．
即绿化的面积是平方米．
【举一反三1】在学习完《整式的乘法》后，数学兴趣小组探究了这样一个问题：如图，现有甲、乙两张正方形纸片．小勇将甲正方形移至乙正方形的左上角按方式一摆放，小伟将甲、乙正方形并列放置在一个更大的正方形中按方式二摆放．若按方式一摆放时阴影小正方形部分的面积为2，按方式二摆放时阴影部分的面积为8，则甲、乙两张正方形纸片的面积之和为（ ）
A. B. C.8 D.6
【答案】B
【解析】解：设甲的边长为，乙的边长为，
依题意得，方式一中，，即；
方式二中，，即，
∴．
【举一反三2】如图，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是 ．
【答案】
【解析】如图，根据题意，，
∴，
则
，
∵，，
∴．
【举一反三3】一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加39cm2，这个正方形的边长是多少.
【答案】解：设原正方形的边长为x cm，则变化后的正方形边长为（x+3）cm，由题意得，
（x+3）2﹣x2＝39，
解得x＝5，
故这个正方形的边长是5．
【题型9】添括号
【典型例题】下列添括号正确的是（　　）
A.﹣a﹣b=﹣（a﹣b）
B.﹣2x+4y=﹣2（x﹣4y）
C.﹣m+2=+（﹣m+2）
D.x﹣y﹣1=x﹣（y﹣1）
【答案】C
【解析】解：A．﹣a﹣b=﹣（a+b），故该项不符合题意；
B．﹣2x+4y=﹣2（x﹣2y），故该项不符合题意；
C．﹣m+2=+（﹣m+2），故该项符合题意；
D．x﹣y﹣1=x﹣（y+1），故该项不符合题意．
故选：C．
【举一反三1】下列添括号所得结果正确的是（　　）
A.x2﹣2x﹣1=x2﹣（2x﹣1）
B.x2﹣2x﹣1=x2﹣（﹣2x+1）
C.x2+2x+1=x2﹣（﹣2x﹣1）
D.x2﹣2x+1=x2﹣（2x+1）
【答案】C
【解析】解：A．x2﹣2x﹣1=x2﹣（2x+1），因此选项A不符合题意；
B．x2﹣2x﹣1=x2﹣（2x+1），因此选项B不符合题意；
C．x2+2x+1=x2﹣（﹣2x﹣1），因此选项C符合题意；
D．x2﹣2x+1=x2﹣（2x-1），因此选项D不符合题意．
故选：C．
【举一反三2】（a+b﹣c）（a﹣b+c）＝[a+（　 　）] [a﹣（　 　）]．
【答案】B﹣c；b﹣C．
【解析】解：（a+b﹣c）（a﹣b+c）＝[a+（b﹣c）] [a﹣（b﹣c）]．
故答案为：b﹣c；b﹣C．
【举一反三3】 需要先变形为　　　　　　　　，然后再利用完全平方公式计算.
【答案】(答案不唯一)
【举一反三4】计算：(a-2b-3c)2.
【答案】解　原式=
=(a-2b)2-2×(a-2b)×3c+9c2
=a2-4ab+4b2-6c(a-2b)+9c2
=a2-4ab+4b2-6ac+12bc+9c2.
【题型10】添括号与整体代入思想
如果(a－b－3)(a－b＋3)＝40，那么a－b的值为(　　)
A.49 B.7 C.－7 D.7或－7
【答案】D
【举一反三1】已知，则的值是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】D
【解析】解：∵，
∴=8-（a-3b）=8-3=5，
故选：D.
【举一反三2】若，则多项式的值是 ．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴多项式的值是．
【举一反三3】阅读材料：我们知道，．类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用：
(1)把看成一个整体，求出的结果；
(2)已知，求的值；
(3)已知，求的值．
【答案】解：（1）
．
（2）∵，
∴
．
（3）∵，
∴，
∴．
【题型11】整式的混合运算
【典型例题】下列运算结果正确的是（ ）
A.3a-2a=1 B.a2·a3=a6 C. (-a)4=-a4 D.(a+3)(a-3)=a2-9
【答案】D
【解析】解：A.3a-2a=a，该选项错误，不合题意；
B.a2·a3=a5，该选项错误，不合题意；
C. (-a)4=a4，该选项错误，不合题意；
D.(a+3)(a-3)=a2-9，该选项正确，符合题意；
故选：D．
【举一反三1】化简（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：
．
【举一反三2】已知，则代数式 ．
【答案】4047
【解析】解：，
．
【举一反三3】计算：
（1）（﹣xy）2 x5＝　 　；
（2）（a6﹣2a3）÷a3＝　 　．
【答案】（1）x7y2；（2）a3﹣2．
【解析】解：（1）原式＝x2y2 x5＝x7y2，
故答案为：x7y2；
（2）原式＝a6÷a3﹣2a3÷a3＝a3﹣2，
故答案为：a3﹣2．
【举一反三4】计算题：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
【题型12】整式混合运算的化简求值
【典型例题】若a2﹣a﹣1＝0，则式子a（a﹣1）（a+1）﹣a的值是（　　）
A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2
【答案】A
【解析】解：∵a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣a＝1，
∴a（a﹣1）（a+1）﹣a
＝（a2﹣a）（a+1）﹣a
＝a+1﹣a
＝1，
故选：A．
【举一反三1】若式子y2﹣2x＝1，则（x﹣1）2﹣（x﹣y）（x+y）的值是（　　）
A.﹣2 B.0 C.1 D.2
【答案】D
【解析】解：∵y2﹣2x＝1，
∴（x﹣1）2﹣（x﹣y）（x+y）
＝x2﹣2x+1﹣x2+y2
＝y2﹣2x+1
＝1+1
＝2，
故选：D．
【举一反三2】已知，则代数式的值为 ．
【答案】
【解析】解：∵，
∴,
∴
．
【举一反三3】先化简，再求值：
(1)，其中，．
(2)，其中，
【答案】解：（1）原式
，
当，时，原式．
（2）
当，时，
原式
．
【题型13】整式混合运算与几何图形面积及实际问题
【典型例题】如图，长方形ABCD中，8＜AB＜12，8＜AD＜12，放入两个边长都为4的正方形AEFG，正方形DJIH及一个边长为8的正方形KCML，S1，S2分别表示对应阴影部分的面积，若S1＝S2，则长方形ABCD的周长是（　　）
A.36 B.40 C.44 D.48
【答案】B
【解析】解：设AB＝CD＝x，AD＝BC＝y，
则EH＝y﹣8，DK＝x﹣8，LN＝KJ＝4﹣DK＝4﹣（x﹣8）＝12﹣x，FN＝4﹣GN＝4﹣（y﹣8）＝12﹣y，
∵S1＝S2，
∴（y﹣8）（x﹣8）＝（12﹣x）（12﹣y），
整理得4（x+y）＝80，
∴2（x+y）＝40，
则长方形 ABCD的周长是40，
故选：B．
【举一反三1】若将四张都是长为a，宽为b的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为a+b的正方形，则图中阴影部分的面积为（　　）
A.2ab﹣b2 B.2ab﹣2b2 C.a2﹣4b2 D.2b2﹣ab
【答案】B
【解析】解：由题意得：图中阴影部分的面积＝（a+b）2﹣2×ab﹣2×（b+a+b） b﹣（a﹣b）2
＝a2+2ab+b2﹣ab﹣b（a+2b）﹣（a2﹣2ab+b2）
＝a2+2ab+b2﹣ab﹣ba﹣2b2﹣a2+2ab﹣b2
＝2ab﹣2b2，
故选：B．
【举一反三2】如图，长方形内的阴影部分是由四个半圆围成的图形，则阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：根据题意得阴影部分的面积大圆的面积小圆的面积，
∵大圆的直径为，小圆的直径为，
∴阴影部分的面积为．
【举一反三3】如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足的数量关系为 　 　．
【答案】A＝3B．
【解析】解：如图，左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，
∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝3b+PC，
∴AE+a＝3b+PC，
∴AE＝3b+PC﹣a，
∴阴影部分面积之差S＝AE AF﹣PC CG＝3bAE﹣aPC＝3b（3b+PC﹣a）﹣aPC＝（3b﹣a）PC+9b2﹣3ab，
则3b﹣a＝0，即a＝3B．
故答案为：a＝3B．
【举一反三4】如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．

(1)图②中阴影部分的正方形的边长等于__________；
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：
方法一：__________；
方法二：__________；
(3)根据（2）写出，这三个代数式之间的等量关系，通过计算说明该等量关系的正确性．
【答案】解：（1）由题意得，小长方形的长为m，宽为n，
∴图②中阴影部分的正方形的边长等于，
故答案为：；
（2）根据正方形的面积等于边长的平方，得阴影的正方形的面积为；
根据大正方形的面积减去四个小长方形的面积可得阴影正方形的面积为；
故答案为：；；
（3）由（2）得，
理由：∵，
，
∴，
∴该等量关系正确．
【题型14】整式混合运算与新定义型及规律性问题
【典型例题】若一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“扬帆数”．则下列各数中是“扬帆数”的是（ ）
A.224 B.220 C.198 D.154
【答案】B
【解析】解：设两个连续偶数为和（k为正整数），
∴，
若，解得，
∵k为正整数，
∴A选项不符合题意；
若，解得，
∵k为正整数，
∴B选项符合题意；
若，解得，
∵k为正整数，
∴C选项不符合题意；
若，解得，
∵k为正整数，
∴D选项不符合题意．
南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a＋b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”.
(a＋b)0＝1，
(a＋b)1＝a＋b，
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4，
(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5，
…，
则(a＋b)10中，第三项系数为(　　)
A.45 B.50 C.55 D.60
【答案】A
【举一反三2】定义一种新运算：ad﹣bc．如：2×5﹣3×4＝﹣2．若的值与x的取值无关，则的值为 　 　 ．
【答案】﹣4．
【举一反三3】对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：，例如．
（1）若，求x的值；
（2）若的值与x无关，求mn值．
【答案】解：（1）若，
则（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）＝9，
整理得：2x+5＝9，
解得：x＝2；
（2）原式＝（2x+1）（nx﹣1）﹣（x+m）（x﹣1）
＝2nx2﹣2x+nx﹣1﹣（x2﹣x+mx﹣m）
＝2nx2﹣2x+nx﹣1﹣x2+x﹣mx+m
＝（2n﹣1）x2+（n﹣m﹣1）x+m﹣1，
∵原式的值与x无关，
∴2n﹣1＝0，n﹣m﹣1＝0，
解得：n＝0.5，m＝﹣0.5，
则mn＝﹣0.5×0.5＝﹣0.25．
【举一反三4】用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：．解答下列问题：
(1)若，求的值；
(2)若，，判断与的大小关系，并说明理由．
【答案】解：（1）根据题意，
解．
（2）．
理由：，
，
，
．