人教版（2024）八年级上册 18.5 分式方程 寒假巩固（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版（2024）八年级上册 18.5 分式方程 寒假巩固（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 510.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-04 00:00:00 | ||
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文档简介
人教版（2024）八年级上册 18.5 分式方程 寒假巩固
【题型1】分式方程的辨别
【典型例题】下列方程：①x2﹣2x＝；②；③x4﹣2x2＝0；④x2﹣1＝0．其中分式方程是（ ）
A.①②③ B.①② C.①③ D.①②④
【举一反三1】下列方程属于分式方程的是（ ）
A.+5=0 B.+2=0 C.3x2+x﹣3=0 D.﹣x=1
下列方程：①＝1；②＝2；③；④＝5；⑤＝4.其中是分式方程的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②③④
【举一反三3】下列方程：（填写“整式”或“分式”）
①，属于 方程；
②=2，属于 方程；
③y=x，属于 方程；
④=，属于 方程；
⑤y+1=，属于 方程；
⑥1+3（x﹣2）=7﹣x，属于 方程；
⑦y2﹣3=，属于 方程．
【举一反三4】判断下列方程是不是分式方程，并说明理由．
（1）＝8；
（2）＝；
（3）＝1；
（4）＝；
（5）﹣2＝x（a为非零常数）．
【题型2】分式方程的一般解法
【典型例题】解方程，两边同乘（x﹣1）后得到的式子为（ ）
A.2﹣3＝﹣x B.2﹣3（x﹣1）＝﹣x C.2﹣3（x﹣1）＝x D.2+3（x﹣1）＝﹣x
【举一反三1】分式方程的解是（ ）
A.x＝1 B.x＝﹣2 C. D.x＝2
【举一反三2】要把分式方程化为整式方程，方程两边需要同时乘以最简公分母（ ）
A.x B.x+1 C.x（x+1） D.2x（x+1）
【举一反三3】分式方程的解为x＝ ．
【举一反三4】解方程：
（1）；
（2）．
解分式方程：
(1)；(2)＝2＋.
【题型3】用换元法解分式方程
【典型例题】用换元法解方程时若设，则可得到整式方程是（ ）
A.3y2﹣11y+8=0 B.3y2+8y=11 C.8y2﹣11y+3=0 D.8y2+3y=11
【举一反三1】知实数x满足，则的值为（ ）
A.2 B.﹣1 C.﹣2 D.2或﹣1
【举一反三2】在分式方程1中，令y，则原方程可化为关于y的方程是 ．
【举一反三3】解方程组：．
【举一反三4】解方程组：．
【题型4】含字母系数分式方程的解法
若分式与的值相等，则m的值不可能是( )
A.－3 B.0 C.－1 D.－2
若分式方程 的解为负数，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【举一反三2】关于x的方程（m≠1）的解是 ．
【举一反三3】在式子 中（R2≠R） 用含R，R2的式子表示R1为 ．
【举一反三4】解方程求x：.（m≠n，mn≠0）
【题型5】分式方程与新定义型及规律型问题
定义一种运算：当 时，；当 时，.若 ，则 的值是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【举一反三1】对于非零的两个实数a、b，规定a b=，若3 （2x﹣1）=1，则x的值为（ ）
A. B. C. D.﹣
定义运算m※n＝1＋，如：1※2＝1＋，则方程x※的解为 .
【举一反三3】阅读：
对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为x1＝a，x2＝b．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程有两个解，分别为x1＝2，x2＝ ．
（2）关于x的方程的两个解分别为x1＝2，x2＝ ．
（3）关于x的方程的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．
如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”，如分式M＝，N＝，M＋N＝＝1，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1.
(1)已知分式A＝，B＝，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；
(2)已知分式C＝，D＝，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3，若x为正整数，分式D的值为正整数t.
①求G所代表的代数式；
②求x的值；
(3)在(2)的条件下，已知分式P＝，Q＝，且P＋Q＝t，若该关于x的方程无解，求实数m的值.
【题型6】判断分式方程的解
【典型例题】分式与互为相反数，则x的值为（ ）
A.1 B.﹣1 C.﹣2 D.﹣3
【举一反三1】关于x的方程x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝，x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝；x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝，则关于x的方程x+＝a+的两个解为（ ）
A.x1＝a，x2＝ B.x1＝a，x2＝ C.x1＝a，x2＝ D.x1＝a，x2＝
【举一反三2】若式子和的值相等，则x等于（ ）
A.1 B.2 C.﹣2 D.﹣1
【举一反三3】下列解是x=2的分式方程是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】分式方程的解为 ( )
A.x=3 B.x=2 C.x=1 D.x=-1
【题型7】分式方程有解求参数值或参数取值范围
【典型例题】已知关于x的方程的解是x＝﹣2，则a的值为（ ）
A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣2
【举一反三1】如果关于x的方程＝1有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的整数a有（ ）个．
A.0 B.1 C.2 D.3
分式方程＝1－的解为正数，则m的取值范围( )
A.m>－3 B.m>－3且m≠－2 C.m<3 D.m<3且m≠－2
【举一反三3】已知关于x的分式方程+＝﹣2．
（1）如果该方程的解是x＝2，那么m的值等于 ；
（2）如果该方程的解为正数，那么m的取值范围是 ．
当c= 时，方程 与方程 有相同解.
【举一反三5】阅读：
对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则x=a或x=b.又因为==x+-(a+b)，所以关于x的方程x+=a+b有两个解，分别为x1=a，x2=b.
应用上面的结论解答下列问题：
(1)方程x+=6有两个解，分别为x1=2，x2= ；
(2)关于x的方程x+=的两个解分别为x1=2，x2= ；
(3)关于x的方程2x+=2n的两个解分别为x1，x2，求的值.
若关于x的分式方程的解大于1，求m的取值范围.
【题型8】分式方程无解求参数值
若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三1】分式方程-1=无解,则m的值为 ( )
A.0和3 B.1 C.1和-2 D.3
已知关于x的分式方程－2＝无解，则k的值为( )
A.k＝2或k＝－1 B.k＝－2 C.k＝2或k＝1 D.k＝－1
若关于x的方程无解，则m的值是 ．
已知关于x的分式方程＝1.
(1)若分式方程的根是x＝5，求a的值；
(2)若分式方程无解，求a的值.
【题型9】列分式方程（只列不解）
【典型例题】甲乙两地相距50km，A骑自行车从甲地到乙地，出发3小时20分钟后，B骑摩托车也从甲地去乙地，已知B的速度是A的速度的3倍，结果两人同时到达乙地，设A的速度是x km/h，根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
一组学生组织春游，预计共需要费用120元，后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元，设原来这组学生有x人，则可列方程为( )
A.＝3 B.＝3－ C.＝3 D.＝3－
【举一反三2】据悉，成渝高速路复线将于今年底建成通车．成渝高速路复线全线长约250公里，比目前的成渝高速路里程缩短约90公里，设计时速提高20%，运行时间缩短1.5小时．设原时速为每小时x公里，则下面所列方程正确的是（ ）
A.1.5 B.1.5 C.1.5 D.1.5
【举一反三3】6月进入了毕业季，某校九年级班主任准备给自己的学生买一些相册，并把初中三年来学生的照片放进去，这些照片记录了他们初中三年的点点滴滴．目前有A，B两款相册比较合适，其中A款相册的单价比B款相册的单价贵3元，用1000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数量的2倍，求B款相册的单价．若设B款相册的单价为x元，则根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
浦模东校七年级全体师生共340人进行社会考察活动．如果租用中客车若干辆，则还有20位学生没有座位坐；如果租用大客车，那么同样多的车辆，就会有60个座位没人坐．已知每辆大客车载客人数比中客车的载客人数多10，设每辆中客车的载客人数为x，列出方程是 ．
浦模东校七年级全体师生共340人进行社会考察活动．如果租用中客车若干辆，则还有20位学生没有座位坐；如果租用大客车，那么同样多的车辆，就会有60个座位没人坐．已知每辆大客车载客人数比中客车的载客人数多10，设每辆中客车的载客人数为x，列出方程是 ．
为了防止流感，学校决定拿出3 000元分两次购进4 400个口罩免费发放给学生.已知两次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次的1.2倍.若设第二次购买口罩的单价为x元/个，根据题意可列方程为 .
【题型10】行程问题
【典型例题】端午期间，班主任王老师带领全班同学去距离学校25km的公园做活动，男生在班长的带领下，骑自行车提前80分钟出发，女生在王老师的带领下乘公交车出发，结果两队同时到达，若公交车的速度是自行车速度的3倍，设男生队骑车的速度是x km/h，则方程为（ ）
A. B. C. D.
某校学生去距离学校12 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是自行车的速度的2倍，则自行车的速度是( )
A.0.3 km/min B.0.6 km/min C.0.8 km/min D.1.2 km/min
【举一反三2】一汽车从甲地出发开往相距500km的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后以原来速度的2倍匀速行驶，比原计划提前20min到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．若设汽车出发后第1小时内的行驶速度是x千米/小时，则根据题意列方程为 ．
【举一反三3】小刚要到距家1200米的学校上学，一天，小刚出发10分钟后，小刚的妈妈立即去追小刚，且在距离学校60米的地方追上了他．已知妈妈的速度是小刚速度的1.5倍，求小刚的速度．若设小刚速度是x米/分，则根据题意列方程为 ．
【举一反三4】为了缅怀革命先烈，传承红色精神，云南省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校30km的烈士陵园扫墓．一部分师生乘坐公交车先走，过了15min后，其余师生乘大巴车沿着相同的路径出发，结果他们同时到达．已知大巴车的速度是公交车速度的1.5倍，求公交车行驶的速度．
A，B两港之间的距离为150千米．
(1)若从A港口到B港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快15千米/时，顺流所用时间比逆流少用4小时，求水流的速度；
(2)若轮船在静水中的速度为v千米/时，水流速度为u千米/时，该船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为；若轮船从A港航行到B港再返回到A港均为静水航行，且所用时间为，请比较 与的大小，并说明理由．
【题型11】工程问题（总工作量为单位1）
【典型例题】甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下：
如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（ ）小时．
A.20 B.21 C.19 D.19
【举一反三1】某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元．指挥中心的负责人根据甲乙两厂的投标测算，可有三种施工方案：
方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；
方案②：乙队单独完成这项任务比规定日期多用5天；
方案③：若甲乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成．
在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是（ ）
A.方案① B.方案② C.方案③ D.方案①和方案③
【举一反三2】两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工1周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了5天，隧道被挖通．记总工程量为1．
（1）甲队单独施工1天完成总工程的 ；
（2）设乙队单独施工挖通隧道需要x天，根据题意，列出方程为 ．
两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工1周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了5天，隧道被挖通.记总工程量为1.
(1)甲队单独施工1天完成总工程的 ；
(2)设乙队单独施工挖通隧道需要x天，根据题意，列出方程为 .
【举一反三4】中国移动通信公司为了稳步推进5G网络建设，深化共建共享，现有甲、乙两个工程队参与5G基站建设工程．甲队单独施工20天完成了该工程的，此时乙队参与进来，两队又共同工作了15天后，总工程全部完成，求乙队单独施工需多少天能完成这项工程？
【举一反三5】长春冰雪新天地是美丽春城的一道亮丽的风影线，它的设计和造型每年都有变化．在2025年长春冰雪新天地的建造过程中，某工程公司承担了为某项建设取720吨冰块的任务，由于任务紧急，实际取冰时的工作效率比原计划提高了20%，结果提前1天完成任务，该公司原计划每天取冰块多少吨？
【题型12】工作效率问题（求单位时间内完成的具体工作量）
【典型例题】某校计划对教室进行多媒体安装改造，现安排两家公司共同完成．已知A公司的工作效率是B公司工作效率的1.2倍，B公司安装30间教室比A公司安装同样数量的教室多用2天．若设B公司每天安装x间教室，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】某市为“加快推进污水管网建设，着力提升居民生活品质”，需要铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设原计划每天铺设x米管道，则根据题意，下列方程中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】某物流仓储公司用A、B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克物品，A型机器人搬运1000千克物品所用时间与B型机器人搬运800千克物品所用时间相等，设A型机器人每小时搬运物品x千克，列出关于x的方程为 ．
【举一反三3】江西赣州是全国有名的“脐橙之乡”．某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学区帮助某果园的果农采摘脐橙，任务都是完成720千克脐橙的采摘、运送、包装三项工作，已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，且知每人每小时可采摘60千克．
（1）周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，那么问每人每小时运送、包装各多少千克？
（2）得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后，然后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相等的时间内还有80千克的脐橙还没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？
【举一反三4】在学习“可化为一元一次方程的分式方程”后，老师提出了如下问题，小明和小亮都列出了对应的方程．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小明所列方程，x表示 ，列方程所依据的等量关系是 ；
（2）小亮所列方程，y表示 ，列方程所依据的等量关系是 ；
（3）请你在两个方程中任选一个，完整解答本题．
【题型13】消费问题
【典型例题】6月8日是世界海洋日，班级为组织海洋知识竞赛购买了奖品．其中水笔共花费30元，铅笔共花费40元，水笔比铅笔少10根，水笔单价是铅笔的1.5倍．若设铅笔的单价为x元，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】某商品的进货成本为每件200元，促销期间，这种商品按原售价的8折出售，此时每卖出一件这种商品，只能获得10%的利润，设这种商品的原来售价是x元，所列方程正确的是（ ）
A.×100%=10% B.×100%=10% C.×100%=10% D.×100%=10%
【举一反三2】某物美超市同时卖出了两个进价不同的冰墩墩A和B，售价均为90元，按成本计算，超市人员发现冰墩墩A盈利了50%，而冰墩墩B却亏损了40%，则这次超市是（ ）
A.不赚不赔 B.赚了 C.赔了 D.无法判断
【举一反三3】受各种因素的影响，猪肉价格不断上升，据调查今年5月份的价格是1月份猪肉价格的1.25倍．小瑛妈妈用20元钱在5月份购得的猪肉比在1月份购得的猪肉少0.4斤，设今年1月份的猪肉每斤是x元．根据题意，列出方程是 ．
【举一反三4】水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的，小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3米3．设该市去年居民用水价格为x元/米3，则可列分式方程为 ．
【举一反三5】某超市用5 000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9 000元资金购进该种干果，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了5元，购进干果数量是第一次的1.5倍.
(1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？
(2)如果超市按每千克40元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的100千克按售价的6折售完，超市销售这种干果共盈利多少元？
【举一反三6】截至2025年3月15日，《哪吒2》全球累计票房（含预售及海外）超150.19亿元，超越《星球大战：原力觉醒》，位列全球影史票房榜第五．随着《哪吒2》的大火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价贵5元，按售价购买，600元购买的“哪吒”手办的数量是用250元购买“敖丙”手办的数量的2倍．
（1）求每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是多少元？
（2）某班级3月准备爱心义卖，筹集资金帮扶“自闭症儿童”，于是准备从该玩具公司购进一批手办进行售卖，且将每个“哪吒”手办售价定为45元，每个“敖丙”手办的售价定为36元．若本次购进“敖丙”手办的数量比购进“哪吒”手办的数量的2倍还少10个，两种手办全部售出后总获利不少于1000元，求该班级本次购进“哪吒”手办至少是多少个？
【题型14】和差倍分及其它问题
【典型例题】某边防哨卡运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果．若设该哨卡共有x名战士，则所列方程为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】随着5G网络建设的不断发展，目前5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的100倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快4秒，设4G网络的峰值速率为每秒传输x光数据，依题意，可列方程是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本，求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】新郑红枣是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜”的盛赞，某生态示范园计划种植一批枣树，原计划总产值为3.2万公斤，为满足市场需求，示范园决定改良枣树品种，改良后平均亩产量是原来的1.6倍，总产量比原计划增加了0.8万公斤，种植亩数减了14亩，设原来平均亩产量为x万公斤，根据题意，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，全长1241cm，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.6m，宽为0.6m的矩形，装裱后的长与宽的比是11：3，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为x（m），根据题意可列方程（ ）
A. B. C. D.
【举一反三5】一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中80次摸到黑球，估计盒中大约有白球 个．
【举一反三6】某校组织八年级师生共400名去春游，为安全起见，每名师生均有座位且每一辆客车均不得超载．现学校决定向客运公司租用大小客车若干辆前往，若每辆客车均坐满，结果全部租用大客车所用车辆数比全部租用小客车所用车辆数少2辆，已知每辆大客车比每辆小客车乘客座位数多25%，求大、小客车的乘客座位数．
人教版（2024）八年级上册 18.5 分式方程 寒假巩固（参考答案）
【题型1】分式方程的辨别
【典型例题】下列方程：①x2﹣2x＝；②；③x4﹣2x2＝0；④x2﹣1＝0．其中分式方程是（ ）
A.①②③ B.①② C.①③ D.①②④
【答案】B
【解析】解：方程①是分式方程，符合题意；
方程②分母中含有未知数，符合题意；
方程③整式方程，不符合题意；
方程④是整式方程，不符合题意；
故选：B．
【举一反三1】下列方程属于分式方程的是（ ）
A.+5=0 B.+2=0 C.3x2+x﹣3=0 D.﹣x=1
【答案】B
【解析】解：A.+5=0不是分式方程，是整式方程，故此选项错误；
B.是分式方程，故此选项正确；
C.是整式方程，故此选项错误；
B.不是分式方程，故此选项错误；
故选B．
下列方程：①＝1；②＝2；③；④＝5；⑤＝4.其中是分式方程的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②③④
【答案】D
【举一反三3】下列方程：（填写“整式”或“分式”）
①，属于 方程；
②=2，属于 方程；
③y=x，属于 方程；
④=，属于 方程；
⑤y+1=，属于 方程；
⑥1+3（x﹣2）=7﹣x，属于 方程；
⑦y2﹣3=，属于 方程．
【答案】①整式 ②分式 ③整式 ④分式 ⑤分式 ⑥整式 ⑦整式
【解析】解：下列方程：①，③y=x，⑥1+3（x﹣2）=7﹣x，⑦y2﹣3=是整式方程；
②=2，④=，⑤y+1=是分式方程.
【举一反三4】判断下列方程是不是分式方程，并说明理由．
（1）＝8；
（2）＝；
（3）＝1；
（4）＝；
（5）﹣2＝x（a为非零常数）．
【答案】解：（1）＝8不是分式方程，因为分母中不含有未知数；
（2）＝是分式方程，因为分母中含有未知数；
（3）＝1是分式方程，因为分母中含有未知数；
（4）＝是分式方程，因为分母中含有未知数；
（5）﹣2＝x（a为非零常数）不是分式方程，因为分母中虽然有未知数a，当a为非零常数，不是未知数．
【题型2】分式方程的一般解法
【典型例题】解方程，两边同乘（x﹣1）后得到的式子为（ ）
A.2﹣3＝﹣x B.2﹣3（x﹣1）＝﹣x C.2﹣3（x﹣1）＝x D.2+3（x﹣1）＝﹣x
【答案】B
【解析】解：，
两边同乘（x﹣1）后得：2﹣3（x﹣1）＝﹣x，
故选：B．
【举一反三1】分式方程的解是（ ）
A.x＝1 B.x＝﹣2 C. D.x＝2
【答案】A
【解析】解：，
x+1＝2x，
x＝1，
检验，当x＝1时，x（x+1）≠0，
∴x＝1是原分式方程的解，
故选：A．
【举一反三2】要把分式方程化为整式方程，方程两边需要同时乘以最简公分母（ ）
A.x B.x+1 C.x（x+1） D.2x（x+1）
【答案】C
【解析】解：的最简公分母是x（x+1）．
故选C．
【举一反三3】分式方程的解为x＝ ．
【答案】．
【解析】解：方程两边同时乘以x（x﹣2）得，（x﹣2）2﹣3x＝x（x﹣2），
去括号得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x，
移项得：﹣4x﹣3x+2x＝﹣4，
合并同类项得：﹣5x＝﹣4，
把x的系数化为1得：，
检验：当时，，
∴分式方程的解为，
故答案为：．
【举一反三4】解方程：
（1）；
（2）．
【答案】解：（1），
方程可化为，
方程两边同乘1﹣2x，得3x﹣2+2（1﹣2x）＝x﹣2，
解得x＝1，
检验：当x＝1时，1﹣2x≠0，
所以原分式方程的解是x＝1；
（2），
方程可化为，
方程两边同乘（x+2）（x﹣2），得（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝16，
解得x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0，所以x＝﹣2不是分式方程的解，
所以原分式方程无解．
解分式方程：
(1)；(2)＝2＋.
【答案】
解 (1)，
方程两边乘x(x－3)，得7x＝5(x－3)，
去括号，得7x＝5x－15，
2x＝－15，x＝－7.5，
检验：当x＝－7.5时，x(x－3)≠0，
所以x＝－7.5是原分式方程的解.
(2)＝2＋，
方程两边乘(x－2)，得
1－2x＝2(x－2)－3，
去括号，得1－2x＝2x－4－3，
－4x＝－8，x＝2，
检验：当x＝2时，x－2＝0，
所以原分式方程无解.
【题型3】用换元法解分式方程
【典型例题】用换元法解方程时若设，则可得到整式方程是（ ）
A.3y2﹣11y+8=0 B.3y2+8y=11 C.8y2﹣11y+3=0 D.8y2+3y=11
【答案】A
【解析】解：把代入原方程，得：+3y=11．
方程两边同乘以y得：3y2﹣11y+8=0．
故选A．
【举一反三1】知实数x满足，则的值为（ ）
A.2 B.﹣1 C.﹣2 D.2或﹣1
【答案】A
【解析】解：设x+=a，方程变形为a2﹣a﹣2=0，
分解因式得：（a﹣2）（a+1）=0，
解得：a=2或a=﹣1，
经检验是分式方程的解，
则x+=2或﹣1．
当x+=﹣1时，无解．
故选A．
【举一反三2】在分式方程1中，令y，则原方程可化为关于y的方程是 ．
【答案】y2﹣y+2＝0
【解析】解：设y，则原方程可化为y1，
即y2﹣y+2＝0，
故答案为：y2﹣y+2＝0．
【举一反三3】解方程组：．
【答案】解：设，，
则原方程组可化为，
①+②得：3b＝6，
解得：b＝2，
将b＝2代入②得，a＝3，
∴，，
∴，，
∴，
③+④得：，
解得：，
将代入③得，，
经检验：，，是原方程组的解，
∴方程组的解为：．
【举一反三4】解方程组：．
【答案】解：令m，n，
则原方程组化为，
解得：，
则，
解得：，
经检验，是原方程组的解．
【题型4】含字母系数分式方程的解法
若分式与的值相等，则m的值不可能是( )
A.－3 B.0 C.－1 D.－2
【答案】C
【解析】
由题意得，解得x＝－m.
又∵x≠1，∴－m≠1，则m≠－1.
若分式方程 的解为负数，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【答案】B
【解析】
，代入得，
，
解得 ，即 .
解为负数：.
分母不为零：.
综上，c的取值范围c>8.
【举一反三2】关于x的方程（m≠1）的解是 ．
【答案】x=
【解析】解：去分母，得x+m=mx﹣3m，
移项，得mx﹣x=4m，
合并同类项，得（m﹣1）x=4m，
化系数为1，得x=.
【举一反三3】在式子 中（R2≠R） 用含R，R2的式子表示R1为 ．
【答案】
【解析】解：去分母得：R1R2=RR1+RR2，
移项得：R1R2﹣RR1=RR2，
R1（R2﹣R）=RR2，
【举一反三4】解方程求x：.（m≠n，mn≠0）
【答案】解：去分母得：mx+m﹣nx=0，
移项合并得：（m﹣n）x=﹣m，
∵m≠n，mn≠0，
∴m﹣n≠0，
解得：x=﹣，
∵m≠0，∴﹣≠0，且x+1=﹣+1=≠0，
经检验是分式方程的解．
【题型5】分式方程与新定义型及规律型问题
定义一种运算：当 时，；当 时，.若 ，则 的值是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
分两种情况：
若 ，则 ，得 ，即 ，，.但 ，不满足 ，舍去.
若 ，则 ，得 ，即 ，，，.
检验：，满足条件，且 ，正确.
【举一反三1】对于非零的两个实数a、b，规定a b=，若3 （2x﹣1）=1，则x的值为（ ）
A. B. C. D.﹣
【答案】B
【解析】解：根据题中的新定义得：3 （2x﹣1）=﹣=1，
去分母得：3﹣2x+1=6x﹣3，
移项合并得：8x=7，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解，故选B．
定义运算m※n＝1＋，如：1※2＝1＋，则方程x※的解为 .
【答案】
x＝
【解析】
∵x※，
∴1＋，
∴，
方程两边都乘2，得2＝2x＋1，
解得x＝，
经检验，x＝是原分式方程的解.
【举一反三3】阅读：
对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为x1＝a，x2＝b．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程有两个解，分别为x1＝2，x2＝ ．
（2）关于x的方程的两个解分别为x1＝2，x2＝ ．
（3）关于x的方程的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．
【答案】解：（1）∵2×4＝8，2+4＝6，
∴方程的两个解分别为x1＝2，x2＝4．
故答案为：4．
（2）方程变形得：，
由题中的结论得：方程有一根为2，另一个根为；
则x1＝2，x2＝；
故答案为：．
（3）方程整理得：，
得2x﹣1＝n﹣1或2x﹣1＝n，
可得x1＝，x2＝，
则原式＝．
如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”，如分式M＝，N＝，M＋N＝＝1，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1.
(1)已知分式A＝，B＝，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；
(2)已知分式C＝，D＝，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3，若x为正整数，分式D的值为正整数t.
①求G所代表的代数式；
②求x的值；
(3)在(2)的条件下，已知分式P＝，Q＝，且P＋Q＝t，若该关于x的方程无解，求实数m的值.
【答案】
解 (1)∵A＝，B＝，
∴A＋B＝＝2，
∴A与B互为“和整分式”，“和整值”k＝2.
(2)①∵C＝，D＝，
∴C＋D＝
＝，
∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3，
∴3x2＋2x－8＋G＝3(x－2)(x＋2)＝3x2－12，
∴G＝3x2－12－3x2－2x＋8＝－2x－4.
②∵D＝＝－，且分式D的值为正整数t.x为正整数，
∴x－2＝－1或x－2＝－2，
∴x＝1(x＝0舍去).
(3)由题意可得t＝D＝－＝2，
∴P＋Q＝＝2，
∴＝2，
∴(3－m)x－2＝2x－6，
整理得(1－m)x＝－4，
∵方程无解，
∴①1－m＝0，
解得m＝1，
②1－m≠0，x－3＝0，即x＝3，
∴＝3，
解得m＝，
综上，m的值为1或.
【题型6】判断分式方程的解
【典型例题】分式与互为相反数，则x的值为（ ）
A.1 B.﹣1 C.﹣2 D.﹣3
【答案】C
【解析】解：由题意得，
A.当x=1时，方程左边无意义，所以x=1不是原方程的解.
B.当x=-1时，方程左边=-，方程右边=0，因左边≠右边，所以x=-1不是原方程的解.
C.当x=-2时，方程左边=0，方程右边=0，因左边=右边，所以x=-2是原方程的解.
D.当x=-3时，方程左边=，方程右边=0，因左边≠右边，所以x=-3不是原方程的解.
故选：C．
【举一反三1】关于x的方程x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝，x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝；x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝，则关于x的方程x+＝a+的两个解为（ ）
A.x1＝a，x2＝ B.x1＝a，x2＝ C.x1＝a，x2＝ D.x1＝a，x2＝
【答案】D
【解析】解：已知方程整理得：（x﹣1）+＝（a﹣1）+，
根据题中方程的解得所求方程的解为x﹣1＝a﹣1，x﹣1＝，
解得：x1＝a，x2＝，
经检验x1＝a，x2＝都为分式方程的解，
故选：D．
【举一反三2】若式子和的值相等，则x等于（ ）
A.1 B.2 C.﹣2 D.﹣1
【答案】C
【解析】解：由题意得：，
A.当x=1时，方程左边=，方程右边=2，因左边≠右边，所以x=1不是原方程的解.
B.当x=2时，方程左边=，方程右边=1，因左边≠右边，所以x=2不是原方程的解.
C.当x=-2时，方程左边=-1，方程右边=-1，因左边=右边，所以x=-2是原方程的解.
D.当x=-1时，方程左边无意义，所以x=-1不是原方程的解.
故选：C．
【举一反三3】下列解是x=2的分式方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由于x=2使分母x﹣2=0，所以x=2一定不是选项B中分式方程的解；由于选项C中的方程不是分式方程，所以排除；将x=2分别代入A、D，计算方程的左边，如果和方程右边相等，即为所求．将x=2代入方程的左边，得左边=+==右边，所以x=2是本选项中分式方程的解，故本选项正确．故选D．
【举一反三4】分式方程的解为 ( )
A.x=3 B.x=2 C.x=1 D.x=-1
【答案】C
【解析】解：把四个选项的值分别代入方程的左右两边，使方程两边相等的那个未知数x的值就是原分式方程的解x=1是分式方程的解.
【题型7】分式方程有解求参数值或参数取值范围
【典型例题】已知关于x的方程的解是x＝﹣2，则a的值为（ ）
A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣2
【答案】B
【解析】解：将x＝﹣2代入得，，
∴2a＝a+1，
解得a＝1，
经检验，当a＝1时，2a+2≠0，
∴a＝1是原分式方程的解，
故选：B．
【举一反三1】如果关于x的方程＝1有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的整数a有（ ）个．
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】解：解方程＝1得，x＝，
∵方程有正整数解，
∴整数a＝1，3，6，
解不等式组得，
∵关于y的不等式组至少有两个偶数解，
∴a﹣1≤2，
∴a≤3，
∴满足条件的整数a有两个．
故选：C．
分式方程＝1－的解为正数，则m的取值范围( )
A.m>－3 B.m>－3且m≠－2 C.m<3 D.m<3且m≠－2
【答案】B
【解析】
去分母得2＝x－1－m，
解得x＝m＋3，
由方程的解为正数，得到m＋3>0，且m＋3≠1，
则m的范围为m>－3且m≠－2.
【举一反三3】已知关于x的分式方程+＝﹣2．
（1）如果该方程的解是x＝2，那么m的值等于 ；
（2）如果该方程的解为正数，那么m的取值范围是 ．
【答案】（1）1．
（2）m＜5且m≠3．
【解析】解：（1）去分母得：﹣3+m＝﹣2x+2，
∵该方程的解是x＝2，
∴﹣3+m＝﹣4+2，
解得：m＝1；
故答案为1．
（2）去分母得：﹣3+m＝﹣2x+2，
解方程﹣3+m＝﹣2x+2，
得：x＝，
根据分式方程的解为正数，得到＞0，且≠1，
解得：m＜5且m≠3．
故答案为m＜5且m≠3．
当c= 时，方程 与方程 有相同解.
【答案】
【解析】
将 代入第一个方程：，即 .
解得 ，，，.
经检验c=1符合题意.
【举一反三5】阅读：
对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则x=a或x=b.又因为==x+-(a+b)，所以关于x的方程x+=a+b有两个解，分别为x1=a，x2=b.
应用上面的结论解答下列问题：
(1)方程x+=6有两个解，分别为x1=2，x2= ；
(2)关于x的方程x+=的两个解分别为x1=2，x2= ；
(3)关于x的方程2x+=2n的两个解分别为x1，x2，求的值.
【答案】解 (1)∵2×4=8，2+4=6，
∴方程x+=6的两个解分别为x1=2，x2=4.
(2)方程变形得x+=+2，
由题中的结论得方程有一根为2，另一个根为，
则x1=2，x2=.
(3)方程整理得 2x-1+=n+n-1，
得2x-1=n-1或2x-1=n，
可得x1=，x2=，
则原式=.
若关于x的分式方程的解大于1，求m的取值范围.
【答案】
解 ，
方程两边同时乘最简公分母(x＋2)(x－2)，
得(x＋2)＋2(x－2)＝x＋2m，
去括号，得x＋2＋2x－4＝x＋2m，
解方程，得x＝m＋1，
检验：当m＋1≠2，m＋1≠－2，
即m≠1且m≠－3时，x＝m＋1是原分式方程的解，
根据题意可得m＋1>1，
∴m>0且m≠1.
故m的取值范围为m>0且m≠1.
【题型8】分式方程无解求参数值
若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】
去分母得，
解得，
∵分式方程有增根，
∴，即，
把代入整式方程得，
解得．
【举一反三1】分式方程-1=无解,则m的值为 ( )
A.0和3 B.1 C.1和-2 D.3
【答案】D
【解析】解：将分式方程去分母,求出x=m-2,因为分式方程无解,所以,解整式方程得x=1或者x=-2,x=1或者x=-2对应的m=3或m=0,但是,当m=0时,分式方程变为-1=0,此时,x=-2不成立,前后矛盾.所以m=3.
已知关于x的分式方程－2＝无解，则k的值为( )
A.k＝2或k＝－1 B.k＝－2 C.k＝2或k＝1 D.k＝－1
【答案】A
【解析】
－2＝，
kx－2(x－3)＝－3，
kx－2x＋6＝－3，
(k－2)x＝－9，
当k－2≠0时，解得
x＝，
∵关于x的分式方程－2＝无解，
∴x－3＝0，解得x＝3，即＝3，
∴3k－6＝－9，
解得k＝－1；
当x≠3时，
∵方程无解，
∴k－2＝0，即k＝2，
∴k＝－1或k＝2.
若关于x的方程无解，则m的值是 ．
【答案】
1
【解析】
，
两边同时乘得，，
解得，
∵关于x的方程无解，
∴，
解得.
已知关于x的分式方程＝1.
(1)若分式方程的根是x＝5，求a的值；
(2)若分式方程无解，求a的值.
【答案】
解 (1)∵分式方程＝1的根是x＝5，
∴＝1，
解得a＝－1.
(2)去分母，并化简得x＝10，
当a＋3＝0，即a＝－3时，方程无解，则分式方程也无解，
当a＋3≠0，即a≠－3时，
∵分式方程无解，
∴x＝0，
∴x＝0或x＝2，
当x＝0时，x＝0≠10，不符合题意，舍去，
当x＝2时，2＝10，
解得a＝2，
综上，当a＝－3或a＝2时，分式方程无解.
【题型9】列分式方程（只列不解）
【典型例题】甲乙两地相距50km，A骑自行车从甲地到乙地，出发3小时20分钟后，B骑摩托车也从甲地去乙地，已知B的速度是A的速度的3倍，结果两人同时到达乙地，设A的速度是x km/h，根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：设A的速度是x km/h，则B的速度为3x km/h千米/时，
根据题意得：．
故选：C．
一组学生组织春游，预计共需要费用120元，后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元，设原来这组学生有x人，则可列方程为( )
A.＝3 B.＝3－ C.＝3 D.＝3－
【答案】C
【举一反三2】据悉，成渝高速路复线将于今年底建成通车．成渝高速路复线全线长约250公里，比目前的成渝高速路里程缩短约90公里，设计时速提高20%，运行时间缩短1.5小时．设原时速为每小时x公里，则下面所列方程正确的是（ ）
A.1.5 B.1.5 C.1.5 D.1.5
【答案】A
【解析】解：设原时速为每小时x公里，提速后的时速为每小时（1+20%）x公里，
由题意得，1.5．
故选：A．
【举一反三3】6月进入了毕业季，某校九年级班主任准备给自己的学生买一些相册，并把初中三年来学生的照片放进去，这些照片记录了他们初中三年的点点滴滴．目前有A，B两款相册比较合适，其中A款相册的单价比B款相册的单价贵3元，用1000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数量的2倍，求B款相册的单价．若设B款相册的单价为x元，则根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵A款相册的单价比B款相册的单价贵3元，且设B款相册的单价为x元，
∴A款相册的单价为（x+3）元．
根据题意得：2．
故选：D．
浦模东校七年级全体师生共340人进行社会考察活动．如果租用中客车若干辆，则还有20位学生没有座位坐；如果租用大客车，那么同样多的车辆，就会有60个座位没人坐．已知每辆大客车载客人数比中客车的载客人数多10，设每辆中客车的载客人数为x，列出方程是 ．
【答案】
【解析】
设中客车载客x人，则大客车载客人，
由题意得，
整理得.
浦模东校七年级全体师生共340人进行社会考察活动．如果租用中客车若干辆，则还有20位学生没有座位坐；如果租用大客车，那么同样多的车辆，就会有60个座位没人坐．已知每辆大客车载客人数比中客车的载客人数多10，设每辆中客车的载客人数为x，列出方程是 ．
【答案】
【解析】
设中客车载客x人，则大客车载客人，
由题意得，
整理得.
为了防止流感，学校决定拿出3 000元分两次购进4 400个口罩免费发放给学生.已知两次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次的1.2倍.若设第二次购买口罩的单价为x元/个，根据题意可列方程为 .
【答案】
＝4 400
【解析】
设第二次购买口罩的单价为x元/个，则第一次购买口罩的单价是1.2x元/个，根据题意得＝4 400.
【题型10】行程问题
【典型例题】端午期间，班主任王老师带领全班同学去距离学校25km的公园做活动，男生在班长的带领下，骑自行车提前80分钟出发，女生在王老师的带领下乘公交车出发，结果两队同时到达，若公交车的速度是自行车速度的3倍，设男生队骑车的速度是x km/h，则方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：设男生队骑车的速度是x km/h，则生队骑车的速度是3x km/h，
根据题意得﹣＝，
即﹣＝．
故选：D．
某校学生去距离学校12 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是自行车的速度的2倍，则自行车的速度是( )
A.0.3 km/min B.0.6 km/min C.0.8 km/min D.1.2 km/min
【答案】A
【解析】
设自行车的速度是x km/min，则汽车的速度是2x km/min，
由题意得－20＝，解得x＝0.3，
经检验，x＝0.3是原方程的解，且符合题意，
即自行车的速度是0.3 km/min.
【举一反三2】一汽车从甲地出发开往相距500km的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后以原来速度的2倍匀速行驶，比原计划提前20min到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．若设汽车出发后第1小时内的行驶速度是x千米/小时，则根据题意列方程为 ．
【答案】﹣＝．
【解析】解：设汽车出发后第1小时内的行驶速度是x千米/时，则1小时后的行驶速度是2x千米/时，
依题意得：﹣＝．
故答案为：﹣＝．
【举一反三3】小刚要到距家1200米的学校上学，一天，小刚出发10分钟后，小刚的妈妈立即去追小刚，且在距离学校60米的地方追上了他．已知妈妈的速度是小刚速度的1.5倍，求小刚的速度．若设小刚速度是x米/分，则根据题意列方程为 ．
【答案】﹣＝10．
【解析】解：∵妈妈的速度是小刚速度的1.5倍，小刚速度是x米/分，
∴妈妈的速度是1.5x米/分．
根据题意得：﹣＝10．
故答案为：﹣＝10．
【举一反三4】为了缅怀革命先烈，传承红色精神，云南省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校30km的烈士陵园扫墓．一部分师生乘坐公交车先走，过了15min后，其余师生乘大巴车沿着相同的路径出发，结果他们同时到达．已知大巴车的速度是公交车速度的1.5倍，求公交车行驶的速度．
【答案】解：设公交车行驶的速度为x km/h．
由题意可得：．
解之得：x＝40，
经检验x＝40是原分式方程的解，且符合题意．
答：公交车行驶的速度40km/h．
A，B两港之间的距离为150千米．
(1)若从A港口到B港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快15千米/时，顺流所用时间比逆流少用4小时，求水流的速度；
(2)若轮船在静水中的速度为v千米/时，水流速度为u千米/时，该船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为；若轮船从A港航行到B港再返回到A港均为静水航行，且所用时间为，请比较 与的大小，并说明理由．
【答案】
解 （1）设水流的速度为x千米/时，则轮船在静水中的速度为千米/时，
根据题意得，
解得，经检验是原方程的解，
即水流的速度为5千米/时.
（2），，
因为，，，
所以，
即．
【题型11】工程问题（总工作量为单位1）
【典型例题】甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下：
如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（ ）小时．
A.20 B.21 C.19 D.19
【答案】D
【解析】解：设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时，
由题意得：，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的根，且符合题意，
∵丙的工作效率是乙的工作效率的，
∴丙的工作效率是，
∴一轮的工作量为：，
∴6轮后剩余的工作量为：，
∴还需要甲工作1小时后，乙需要的工作量为：，
∴丙还需要工作（小时），（小时）．
故共需小时．
故选：D．
【举一反三1】某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元．指挥中心的负责人根据甲乙两厂的投标测算，可有三种施工方案：
方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；
方案②：乙队单独完成这项任务比规定日期多用5天；
方案③：若甲乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成．
在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是（ ）
A.方案① B.方案② C.方案③ D.方案①和方案③
【答案】C
【解析】解：设甲队单独完成此项任务需x天，则乙队单独完成此项任务需（x+5）天．
依题意得：+＝1，
解得：x＝20．
经检验：x＝20是原分式方程的解，且符合题意，
∴（x+5）＝25
这三种施工方案需要的费用为：
方案①：1.5×20＝30（万元）；
方案②：1.1×（20+5）＝27.5（万元），但乙队单独完成这项任务超过了日期，不能选；
方案③：1.5×4+1.1×20＝28（万元）．
∵30＞28，
∴第③种施工方案最节省费用，
故选：C．
【举一反三2】两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工1周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了5天，隧道被挖通．记总工程量为1．
（1）甲队单独施工1天完成总工程的 ；
（2）设乙队单独施工挖通隧道需要x天，根据题意，列出方程为 ．
【答案】（1）；
（2）×（7+5）+＝1．
【解析】解：（1）∵甲队先独立施工1周完成总工程的，
∴甲队单独施工1天完成总工程的：÷7＝，
故答案为：；
（2）设乙队单独施工挖通隧道需要x天，
根据题意得：×（7+5）+＝1，
故答案为：×（7+5）+＝1．
两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工1周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了5天，隧道被挖通.记总工程量为1.
(1)甲队单独施工1天完成总工程的 ；
(2)设乙队单独施工挖通隧道需要x天，根据题意，列出方程为 .
【答案】
(1) (2)×(7＋5)＋＝1
【解析】
(1)∵甲队先独立施工1周完成总工程的，
∴甲队单独施工1天完成总工程的÷7＝.
(2)设乙队单独施工挖通隧道需要x天，
根据题意得×(7＋5)＋＝1.
【举一反三4】中国移动通信公司为了稳步推进5G网络建设，深化共建共享，现有甲、乙两个工程队参与5G基站建设工程．甲队单独施工20天完成了该工程的，此时乙队参与进来，两队又共同工作了15天后，总工程全部完成，求乙队单独施工需多少天能完成这项工程？
【答案】解：设乙队单独施工需x天能完成这项工程，
由题意得：+15（×+）＝1，
解得：x＝36，
经检验，x＝36是原方程的解，且符合题意，
答：乙队单独施工需要36天能完成这项工程．
【举一反三5】长春冰雪新天地是美丽春城的一道亮丽的风影线，它的设计和造型每年都有变化．在2025年长春冰雪新天地的建造过程中，某工程公司承担了为某项建设取720吨冰块的任务，由于任务紧急，实际取冰时的工作效率比原计划提高了20%，结果提前1天完成任务，该公司原计划每天取冰块多少吨？
【答案】设公司原计划每天取冰块m吨，则实际每天取冰块（1+20%）m吨，
根据题意得：1，
解得：m＝120，
经检验，m＝120是所列方程的解，且符合题意．
答：公司原计划每天取冰块120吨．
【题型12】工作效率问题（求单位时间内完成的具体工作量）
【典型例题】某校计划对教室进行多媒体安装改造，现安排两家公司共同完成．已知A公司的工作效率是B公司工作效率的1.2倍，B公司安装30间教室比A公司安装同样数量的教室多用2天．若设B公司每天安装x间教室，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由题意可得，
﹣＝2，
故选：A．
【举一反三1】某市为“加快推进污水管网建设，着力提升居民生活品质”，需要铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设原计划每天铺设x米管道，则根据题意，下列方程中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵实际施工时每天的工效比原计划增加25%，且原计划每天铺设x米管道，
∴实际每天铺设（1+25%）x米管道．
根据题意得：＝+30．
故选：C．
【举一反三2】某物流仓储公司用A、B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克物品，A型机器人搬运1000千克物品所用时间与B型机器人搬运800千克物品所用时间相等，设A型机器人每小时搬运物品x千克，列出关于x的方程为 ．
【答案】
【解析】解：设A型机器人每小时搬运物品x千克，则B型机器人每小时搬运物品（x﹣20）千克，
∵A型机器人搬运1000千克物品所用时间与B型机器人搬运800千克物品所用时间相等，
∴．
【举一反三3】江西赣州是全国有名的“脐橙之乡”．某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学区帮助某果园的果农采摘脐橙，任务都是完成720千克脐橙的采摘、运送、包装三项工作，已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，且知每人每小时可采摘60千克．
（1）周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，那么问每人每小时运送、包装各多少千克？
（2）得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后，然后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相等的时间内还有80千克的脐橙还没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？
【答案】解：（1）设采摘了x小时，根据题意可得：
6×60×x=720，
解得：x=2，
故每人每小时包装：720÷（6×2）=60（kg），
每人每小时运送720÷（8×2）=45（kg），
答：每人每小时运送60kg、包装45kg；
（2）设负责运送的人数为y人，则包装人数为：（20﹣y）人，
根据题意可得：，
解得：y=12，
经检验得：y=12是原方程的根，
可知自由分成的两组中，第一组12人，第二组为20﹣12=8（人）．
【举一反三4】在学习“可化为一元一次方程的分式方程”后，老师提出了如下问题，小明和小亮都列出了对应的方程．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小明所列方程，x表示 ，列方程所依据的等量关系是 ；
（2）小亮所列方程，y表示 ，列方程所依据的等量关系是 ；
（3）请你在两个方程中任选一个，完整解答本题．
【答案】解：（1）小明所列方程，x表示甲队每天修路的长度，列方程所依据的等量关系是甲队修路800m所用时间＝乙队修路1000m所用的时间；
故答案为：甲队每天修路的长度，甲队修路800m所用时间＝乙队修路1000m所用的时间；
（2）小亮所列方程，y表示乙队修路1000m所用的时间，列方程所依据的等量关系是乙队每天修路长度﹣甲队每天修路长度＝20；
故答案为：乙队修路1000m所用的时间；乙队每天修路长度﹣甲队每天修路长度＝20；
（3）设甲队每天修路的长度为x m，
根据题意得：＝，
解得x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，
∴甲队每天修路的长度为80m．
【题型13】消费问题
【典型例题】6月8日是世界海洋日，班级为组织海洋知识竞赛购买了奖品．其中水笔共花费30元，铅笔共花费40元，水笔比铅笔少10根，水笔单价是铅笔的1.5倍．若设铅笔的单价为x元，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：若设铅笔的单价为x元，则水笔单价是1.5x元，
根据题意可得：＝10．
故选：A．
【举一反三1】某商品的进货成本为每件200元，促销期间，这种商品按原售价的8折出售，此时每卖出一件这种商品，只能获得10%的利润，设这种商品的原来售价是x元，所列方程正确的是（ ）
A.×100%=10% B.×100%=10% C.×100%=10% D.×100%=10%
【答案】A
【解析】解：设这种商品的原来售价是x元，可得：×100%=10%，
故选A．
【举一反三2】某物美超市同时卖出了两个进价不同的冰墩墩A和B，售价均为90元，按成本计算，超市人员发现冰墩墩A盈利了50%，而冰墩墩B却亏损了40%，则这次超市是（ ）
A.不赚不赔 B.赚了 C.赔了 D.无法判断
【答案】C
【解析】解：设冰墩墩A的成本为x元，依题意得：
，
解得：x＝60，
经检验：x＝60是原方程的根，
设冰墩墩B的成本为y元，依题意得：
，
解得：y＝150，
经检验：y＝150是原方程的解，
90﹣60+（90﹣150）＝﹣30（元），
故这次超市赔了．
故选：C．
【举一反三3】受各种因素的影响，猪肉价格不断上升，据调查今年5月份的价格是1月份猪肉价格的1.25倍．小瑛妈妈用20元钱在5月份购得的猪肉比在1月份购得的猪肉少0.4斤，设今年1月份的猪肉每斤是x元．根据题意，列出方程是 ．
【答案】﹣＝0.4．
【解析】解：设1月份的一级猪肉每斤是x元，则5月份的一级猪肉每斤是1.25x元，
由题意，可列方程﹣＝0.4．
故答案为：﹣＝0.4．
【举一反三4】水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的，小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3米3．设该市去年居民用水价格为x元/米3，则可列分式方程为 ．
【答案】﹣＝3．
【解析】解：∵该市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的，且该市去年居民用水价格为x元/米3，
∴该市今年居民用水价格为（1+）x元/米3．
根据题意得：﹣＝3．
故答案为：﹣＝3．
【举一反三5】某超市用5 000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9 000元资金购进该种干果，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了5元，购进干果数量是第一次的1.5倍.
(1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？
(2)如果超市按每千克40元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的100千克按售价的6折售完，超市销售这种干果共盈利多少元？
【答案】解 (1)设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次购进干果的进价是每千克(x+5)元，
由题意得×1.5=，
解得x=25，
经检验，x=25是原方程的解，且符合题意，
故该种干果的第一次进价是每千克25元.
(2)第一次购进该干果的数量是5 000÷25=200(千克)，
再次购进该干果的数量是200×1.5=300(千克)，
获得的利润为(200+300-100)×40+100×40×0.6-5 000-9 000=4 400(元)，
故超市销售这种干果共盈利4 400元.
【举一反三6】截至2025年3月15日，《哪吒2》全球累计票房（含预售及海外）超150.19亿元，超越《星球大战：原力觉醒》，位列全球影史票房榜第五．随着《哪吒2》的大火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价贵5元，按售价购买，600元购买的“哪吒”手办的数量是用250元购买“敖丙”手办的数量的2倍．
（1）求每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是多少元？
（2）某班级3月准备爱心义卖，筹集资金帮扶“自闭症儿童”，于是准备从该玩具公司购进一批手办进行售卖，且将每个“哪吒”手办售价定为45元，每个“敖丙”手办的售价定为36元．若本次购进“敖丙”手办的数量比购进“哪吒”手办的数量的2倍还少10个，两种手办全部售出后总获利不少于1000元，求该班级本次购进“哪吒”手办至少是多少个？
【答案】（1）设每个“哪吒”手办的售价是x元，则每个“敖丙”手办的售价是（x﹣5）元，
由题意得：，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程得解，且符合题意，
∴x﹣5＝25，
答：每个“哪吒”手办的售价是30元，每个“敖丙”手办的售价是25元；
（2）设该班级本次购进“哪吒”手办是y个，则购进手办是（2y﹣10）个，
由题意得：（45﹣30）y+（36﹣25）（2y﹣10）≥1000，
解得：y≥30，
答：该班级本次购进“哪吒”手办至少是30个．
【题型14】和差倍分及其它问题
【典型例题】某边防哨卡运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果．若设该哨卡共有x名战士，则所列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：设这个哨卡共有x名战士，
依题意，得：．
故选：B．
【举一反三1】随着5G网络建设的不断发展，目前5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的100倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快4秒，设4G网络的峰值速率为每秒传输x光数据，依题意，可列方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：依题意，可列方程是：．
故选：A．
【举一反三2】某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本，求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+20）本，
根据题意得：．
故选D．
【举一反三3】新郑红枣是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜”的盛赞，某生态示范园计划种植一批枣树，原计划总产值为3.2万公斤，为满足市场需求，示范园决定改良枣树品种，改良后平均亩产量是原来的1.6倍，总产量比原计划增加了0.8万公斤，种植亩数减了14亩，设原来平均亩产量为x万公斤，根据题意，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵改良后平均亩产量是原来的1.6倍，且原来平均亩产量为x万公斤，
∴改良后平均亩产量为1.6x万公斤．
根据题意得：﹣＝14，
即﹣＝14．
故选：A．
【举一反三4】《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，全长1241cm，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.6m，宽为0.6m的矩形，装裱后的长与宽的比是11：3，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为x（m），根据题意可列方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由题意，得：＝，
故选：D．
【举一反三5】一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中80次摸到黑球，估计盒中大约有白球 个．
【答案】32
【解析】解：设盒子里有白球x个，
根据得：
解得：x＝32．
经检验得x＝32是方程的解．
答：盒中大约有白球32个．
【举一反三6】某校组织八年级师生共400名去春游，为安全起见，每名师生均有座位且每一辆客车均不得超载．现学校决定向客运公司租用大小客车若干辆前往，若每辆客车均坐满，结果全部租用大客车所用车辆数比全部租用小客车所用车辆数少2辆，已知每辆大客车比每辆小客车乘客座位数多25%，求大、小客车的乘客座位数．
【答案】解：设小客车的乘客座位数为x个，则大客车的乘客座位数为（1+25%）x个，即1.25个，
根据题意得：，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴1.25x＝1.25×40＝50，
答：大客车的乘客座位数为50个，小客车的乘客座位数为40个．
【题型1】分式方程的辨别
【典型例题】下列方程：①x2﹣2x＝；②；③x4﹣2x2＝0；④x2﹣1＝0．其中分式方程是（ ）
A.①②③ B.①② C.①③ D.①②④
【举一反三1】下列方程属于分式方程的是（ ）
A.+5=0 B.+2=0 C.3x2+x﹣3=0 D.﹣x=1
下列方程：①＝1；②＝2；③；④＝5；⑤＝4.其中是分式方程的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②③④
【举一反三3】下列方程：（填写“整式”或“分式”）
①，属于 方程；
②=2，属于 方程；
③y=x，属于 方程；
④=，属于 方程；
⑤y+1=，属于 方程；
⑥1+3（x﹣2）=7﹣x，属于 方程；
⑦y2﹣3=，属于 方程．
【举一反三4】判断下列方程是不是分式方程，并说明理由．
（1）＝8；
（2）＝；
（3）＝1；
（4）＝；
（5）﹣2＝x（a为非零常数）．
【题型2】分式方程的一般解法
【典型例题】解方程，两边同乘（x﹣1）后得到的式子为（ ）
A.2﹣3＝﹣x B.2﹣3（x﹣1）＝﹣x C.2﹣3（x﹣1）＝x D.2+3（x﹣1）＝﹣x
【举一反三1】分式方程的解是（ ）
A.x＝1 B.x＝﹣2 C. D.x＝2
【举一反三2】要把分式方程化为整式方程，方程两边需要同时乘以最简公分母（ ）
A.x B.x+1 C.x（x+1） D.2x（x+1）
【举一反三3】分式方程的解为x＝ ．
【举一反三4】解方程：
（1）；
（2）．
解分式方程：
(1)；(2)＝2＋.
【题型3】用换元法解分式方程
【典型例题】用换元法解方程时若设，则可得到整式方程是（ ）
A.3y2﹣11y+8=0 B.3y2+8y=11 C.8y2﹣11y+3=0 D.8y2+3y=11
【举一反三1】知实数x满足，则的值为（ ）
A.2 B.﹣1 C.﹣2 D.2或﹣1
【举一反三2】在分式方程1中，令y，则原方程可化为关于y的方程是 ．
【举一反三3】解方程组：．
【举一反三4】解方程组：．
【题型4】含字母系数分式方程的解法
若分式与的值相等，则m的值不可能是( )
A.－3 B.0 C.－1 D.－2
若分式方程 的解为负数，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【举一反三2】关于x的方程（m≠1）的解是 ．
【举一反三3】在式子 中（R2≠R） 用含R，R2的式子表示R1为 ．
【举一反三4】解方程求x：.（m≠n，mn≠0）
【题型5】分式方程与新定义型及规律型问题
定义一种运算：当 时，；当 时，.若 ，则 的值是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【举一反三1】对于非零的两个实数a、b，规定a b=，若3 （2x﹣1）=1，则x的值为（ ）
A. B. C. D.﹣
定义运算m※n＝1＋，如：1※2＝1＋，则方程x※的解为 .
【举一反三3】阅读：
对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为x1＝a，x2＝b．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程有两个解，分别为x1＝2，x2＝ ．
（2）关于x的方程的两个解分别为x1＝2，x2＝ ．
（3）关于x的方程的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．
如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”，如分式M＝，N＝，M＋N＝＝1，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1.
(1)已知分式A＝，B＝，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；
(2)已知分式C＝，D＝，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3，若x为正整数，分式D的值为正整数t.
①求G所代表的代数式；
②求x的值；
(3)在(2)的条件下，已知分式P＝，Q＝，且P＋Q＝t，若该关于x的方程无解，求实数m的值.
【题型6】判断分式方程的解
【典型例题】分式与互为相反数，则x的值为（ ）
A.1 B.﹣1 C.﹣2 D.﹣3
【举一反三1】关于x的方程x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝，x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝；x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝，则关于x的方程x+＝a+的两个解为（ ）
A.x1＝a，x2＝ B.x1＝a，x2＝ C.x1＝a，x2＝ D.x1＝a，x2＝
【举一反三2】若式子和的值相等，则x等于（ ）
A.1 B.2 C.﹣2 D.﹣1
【举一反三3】下列解是x=2的分式方程是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】分式方程的解为 ( )
A.x=3 B.x=2 C.x=1 D.x=-1
【题型7】分式方程有解求参数值或参数取值范围
【典型例题】已知关于x的方程的解是x＝﹣2，则a的值为（ ）
A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣2
【举一反三1】如果关于x的方程＝1有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的整数a有（ ）个．
A.0 B.1 C.2 D.3
分式方程＝1－的解为正数，则m的取值范围( )
A.m>－3 B.m>－3且m≠－2 C.m<3 D.m<3且m≠－2
【举一反三3】已知关于x的分式方程+＝﹣2．
（1）如果该方程的解是x＝2，那么m的值等于 ；
（2）如果该方程的解为正数，那么m的取值范围是 ．
当c= 时，方程 与方程 有相同解.
【举一反三5】阅读：
对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则x=a或x=b.又因为==x+-(a+b)，所以关于x的方程x+=a+b有两个解，分别为x1=a，x2=b.
应用上面的结论解答下列问题：
(1)方程x+=6有两个解，分别为x1=2，x2= ；
(2)关于x的方程x+=的两个解分别为x1=2，x2= ；
(3)关于x的方程2x+=2n的两个解分别为x1，x2，求的值.
若关于x的分式方程的解大于1，求m的取值范围.
【题型8】分式方程无解求参数值
若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三1】分式方程-1=无解,则m的值为 ( )
A.0和3 B.1 C.1和-2 D.3
已知关于x的分式方程－2＝无解，则k的值为( )
A.k＝2或k＝－1 B.k＝－2 C.k＝2或k＝1 D.k＝－1
若关于x的方程无解，则m的值是 ．
已知关于x的分式方程＝1.
(1)若分式方程的根是x＝5，求a的值；
(2)若分式方程无解，求a的值.
【题型9】列分式方程（只列不解）
【典型例题】甲乙两地相距50km，A骑自行车从甲地到乙地，出发3小时20分钟后，B骑摩托车也从甲地去乙地，已知B的速度是A的速度的3倍，结果两人同时到达乙地，设A的速度是x km/h，根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
一组学生组织春游，预计共需要费用120元，后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元，设原来这组学生有x人，则可列方程为( )
A.＝3 B.＝3－ C.＝3 D.＝3－
【举一反三2】据悉，成渝高速路复线将于今年底建成通车．成渝高速路复线全线长约250公里，比目前的成渝高速路里程缩短约90公里，设计时速提高20%，运行时间缩短1.5小时．设原时速为每小时x公里，则下面所列方程正确的是（ ）
A.1.5 B.1.5 C.1.5 D.1.5
【举一反三3】6月进入了毕业季，某校九年级班主任准备给自己的学生买一些相册，并把初中三年来学生的照片放进去，这些照片记录了他们初中三年的点点滴滴．目前有A，B两款相册比较合适，其中A款相册的单价比B款相册的单价贵3元，用1000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数量的2倍，求B款相册的单价．若设B款相册的单价为x元，则根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
浦模东校七年级全体师生共340人进行社会考察活动．如果租用中客车若干辆，则还有20位学生没有座位坐；如果租用大客车，那么同样多的车辆，就会有60个座位没人坐．已知每辆大客车载客人数比中客车的载客人数多10，设每辆中客车的载客人数为x，列出方程是 ．
浦模东校七年级全体师生共340人进行社会考察活动．如果租用中客车若干辆，则还有20位学生没有座位坐；如果租用大客车，那么同样多的车辆，就会有60个座位没人坐．已知每辆大客车载客人数比中客车的载客人数多10，设每辆中客车的载客人数为x，列出方程是 ．
为了防止流感，学校决定拿出3 000元分两次购进4 400个口罩免费发放给学生.已知两次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次的1.2倍.若设第二次购买口罩的单价为x元/个，根据题意可列方程为 .
【题型10】行程问题
【典型例题】端午期间，班主任王老师带领全班同学去距离学校25km的公园做活动，男生在班长的带领下，骑自行车提前80分钟出发，女生在王老师的带领下乘公交车出发，结果两队同时到达，若公交车的速度是自行车速度的3倍，设男生队骑车的速度是x km/h，则方程为（ ）
A. B. C. D.
某校学生去距离学校12 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是自行车的速度的2倍，则自行车的速度是( )
A.0.3 km/min B.0.6 km/min C.0.8 km/min D.1.2 km/min
【举一反三2】一汽车从甲地出发开往相距500km的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后以原来速度的2倍匀速行驶，比原计划提前20min到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．若设汽车出发后第1小时内的行驶速度是x千米/小时，则根据题意列方程为 ．
【举一反三3】小刚要到距家1200米的学校上学，一天，小刚出发10分钟后，小刚的妈妈立即去追小刚，且在距离学校60米的地方追上了他．已知妈妈的速度是小刚速度的1.5倍，求小刚的速度．若设小刚速度是x米/分，则根据题意列方程为 ．
【举一反三4】为了缅怀革命先烈，传承红色精神，云南省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校30km的烈士陵园扫墓．一部分师生乘坐公交车先走，过了15min后，其余师生乘大巴车沿着相同的路径出发，结果他们同时到达．已知大巴车的速度是公交车速度的1.5倍，求公交车行驶的速度．
A，B两港之间的距离为150千米．
(1)若从A港口到B港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快15千米/时，顺流所用时间比逆流少用4小时，求水流的速度；
(2)若轮船在静水中的速度为v千米/时，水流速度为u千米/时，该船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为；若轮船从A港航行到B港再返回到A港均为静水航行，且所用时间为，请比较 与的大小，并说明理由．
【题型11】工程问题（总工作量为单位1）
【典型例题】甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下：
如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（ ）小时．
A.20 B.21 C.19 D.19
【举一反三1】某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元．指挥中心的负责人根据甲乙两厂的投标测算，可有三种施工方案：
方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；
方案②：乙队单独完成这项任务比规定日期多用5天；
方案③：若甲乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成．
在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是（ ）
A.方案① B.方案② C.方案③ D.方案①和方案③
【举一反三2】两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工1周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了5天，隧道被挖通．记总工程量为1．
（1）甲队单独施工1天完成总工程的 ；
（2）设乙队单独施工挖通隧道需要x天，根据题意，列出方程为 ．
两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工1周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了5天，隧道被挖通.记总工程量为1.
(1)甲队单独施工1天完成总工程的 ；
(2)设乙队单独施工挖通隧道需要x天，根据题意，列出方程为 .
【举一反三4】中国移动通信公司为了稳步推进5G网络建设，深化共建共享，现有甲、乙两个工程队参与5G基站建设工程．甲队单独施工20天完成了该工程的，此时乙队参与进来，两队又共同工作了15天后，总工程全部完成，求乙队单独施工需多少天能完成这项工程？
【举一反三5】长春冰雪新天地是美丽春城的一道亮丽的风影线，它的设计和造型每年都有变化．在2025年长春冰雪新天地的建造过程中，某工程公司承担了为某项建设取720吨冰块的任务，由于任务紧急，实际取冰时的工作效率比原计划提高了20%，结果提前1天完成任务，该公司原计划每天取冰块多少吨？
【题型12】工作效率问题（求单位时间内完成的具体工作量）
【典型例题】某校计划对教室进行多媒体安装改造，现安排两家公司共同完成．已知A公司的工作效率是B公司工作效率的1.2倍，B公司安装30间教室比A公司安装同样数量的教室多用2天．若设B公司每天安装x间教室，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】某市为“加快推进污水管网建设，着力提升居民生活品质”，需要铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设原计划每天铺设x米管道，则根据题意，下列方程中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】某物流仓储公司用A、B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克物品，A型机器人搬运1000千克物品所用时间与B型机器人搬运800千克物品所用时间相等，设A型机器人每小时搬运物品x千克，列出关于x的方程为 ．
【举一反三3】江西赣州是全国有名的“脐橙之乡”．某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学区帮助某果园的果农采摘脐橙，任务都是完成720千克脐橙的采摘、运送、包装三项工作，已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，且知每人每小时可采摘60千克．
（1）周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，那么问每人每小时运送、包装各多少千克？
（2）得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后，然后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相等的时间内还有80千克的脐橙还没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？
【举一反三4】在学习“可化为一元一次方程的分式方程”后，老师提出了如下问题，小明和小亮都列出了对应的方程．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小明所列方程，x表示 ，列方程所依据的等量关系是 ；
（2）小亮所列方程，y表示 ，列方程所依据的等量关系是 ；
（3）请你在两个方程中任选一个，完整解答本题．
【题型13】消费问题
【典型例题】6月8日是世界海洋日，班级为组织海洋知识竞赛购买了奖品．其中水笔共花费30元，铅笔共花费40元，水笔比铅笔少10根，水笔单价是铅笔的1.5倍．若设铅笔的单价为x元，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】某商品的进货成本为每件200元，促销期间，这种商品按原售价的8折出售，此时每卖出一件这种商品，只能获得10%的利润，设这种商品的原来售价是x元，所列方程正确的是（ ）
A.×100%=10% B.×100%=10% C.×100%=10% D.×100%=10%
【举一反三2】某物美超市同时卖出了两个进价不同的冰墩墩A和B，售价均为90元，按成本计算，超市人员发现冰墩墩A盈利了50%，而冰墩墩B却亏损了40%，则这次超市是（ ）
A.不赚不赔 B.赚了 C.赔了 D.无法判断
【举一反三3】受各种因素的影响，猪肉价格不断上升，据调查今年5月份的价格是1月份猪肉价格的1.25倍．小瑛妈妈用20元钱在5月份购得的猪肉比在1月份购得的猪肉少0.4斤，设今年1月份的猪肉每斤是x元．根据题意，列出方程是 ．
【举一反三4】水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的，小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3米3．设该市去年居民用水价格为x元/米3，则可列分式方程为 ．
【举一反三5】某超市用5 000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9 000元资金购进该种干果，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了5元，购进干果数量是第一次的1.5倍.
(1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？
(2)如果超市按每千克40元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的100千克按售价的6折售完，超市销售这种干果共盈利多少元？
【举一反三6】截至2025年3月15日，《哪吒2》全球累计票房（含预售及海外）超150.19亿元，超越《星球大战：原力觉醒》，位列全球影史票房榜第五．随着《哪吒2》的大火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价贵5元，按售价购买，600元购买的“哪吒”手办的数量是用250元购买“敖丙”手办的数量的2倍．
（1）求每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是多少元？
（2）某班级3月准备爱心义卖，筹集资金帮扶“自闭症儿童”，于是准备从该玩具公司购进一批手办进行售卖，且将每个“哪吒”手办售价定为45元，每个“敖丙”手办的售价定为36元．若本次购进“敖丙”手办的数量比购进“哪吒”手办的数量的2倍还少10个，两种手办全部售出后总获利不少于1000元，求该班级本次购进“哪吒”手办至少是多少个？
【题型14】和差倍分及其它问题
【典型例题】某边防哨卡运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果．若设该哨卡共有x名战士，则所列方程为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】随着5G网络建设的不断发展，目前5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的100倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快4秒，设4G网络的峰值速率为每秒传输x光数据，依题意，可列方程是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本，求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】新郑红枣是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜”的盛赞，某生态示范园计划种植一批枣树，原计划总产值为3.2万公斤，为满足市场需求，示范园决定改良枣树品种，改良后平均亩产量是原来的1.6倍，总产量比原计划增加了0.8万公斤，种植亩数减了14亩，设原来平均亩产量为x万公斤，根据题意，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，全长1241cm，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.6m，宽为0.6m的矩形，装裱后的长与宽的比是11：3，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为x（m），根据题意可列方程（ ）
A. B. C. D.
【举一反三5】一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中80次摸到黑球，估计盒中大约有白球 个．
【举一反三6】某校组织八年级师生共400名去春游，为安全起见，每名师生均有座位且每一辆客车均不得超载．现学校决定向客运公司租用大小客车若干辆前往，若每辆客车均坐满，结果全部租用大客车所用车辆数比全部租用小客车所用车辆数少2辆，已知每辆大客车比每辆小客车乘客座位数多25%，求大、小客车的乘客座位数．
人教版（2024）八年级上册 18.5 分式方程 寒假巩固（参考答案）
【题型1】分式方程的辨别
【典型例题】下列方程：①x2﹣2x＝；②；③x4﹣2x2＝0；④x2﹣1＝0．其中分式方程是（ ）
A.①②③ B.①② C.①③ D.①②④
【答案】B
【解析】解：方程①是分式方程，符合题意；
方程②分母中含有未知数，符合题意；
方程③整式方程，不符合题意；
方程④是整式方程，不符合题意；
故选：B．
【举一反三1】下列方程属于分式方程的是（ ）
A.+5=0 B.+2=0 C.3x2+x﹣3=0 D.﹣x=1
【答案】B
【解析】解：A.+5=0不是分式方程，是整式方程，故此选项错误；
B.是分式方程，故此选项正确；
C.是整式方程，故此选项错误；
B.不是分式方程，故此选项错误；
故选B．
下列方程：①＝1；②＝2；③；④＝5；⑤＝4.其中是分式方程的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②③④
【答案】D
【举一反三3】下列方程：（填写“整式”或“分式”）
①，属于 方程；
②=2，属于 方程；
③y=x，属于 方程；
④=，属于 方程；
⑤y+1=，属于 方程；
⑥1+3（x﹣2）=7﹣x，属于 方程；
⑦y2﹣3=，属于 方程．
【答案】①整式 ②分式 ③整式 ④分式 ⑤分式 ⑥整式 ⑦整式
【解析】解：下列方程：①，③y=x，⑥1+3（x﹣2）=7﹣x，⑦y2﹣3=是整式方程；
②=2，④=，⑤y+1=是分式方程.
【举一反三4】判断下列方程是不是分式方程，并说明理由．
（1）＝8；
（2）＝；
（3）＝1；
（4）＝；
（5）﹣2＝x（a为非零常数）．
【答案】解：（1）＝8不是分式方程，因为分母中不含有未知数；
（2）＝是分式方程，因为分母中含有未知数；
（3）＝1是分式方程，因为分母中含有未知数；
（4）＝是分式方程，因为分母中含有未知数；
（5）﹣2＝x（a为非零常数）不是分式方程，因为分母中虽然有未知数a，当a为非零常数，不是未知数．
【题型2】分式方程的一般解法
【典型例题】解方程，两边同乘（x﹣1）后得到的式子为（ ）
A.2﹣3＝﹣x B.2﹣3（x﹣1）＝﹣x C.2﹣3（x﹣1）＝x D.2+3（x﹣1）＝﹣x
【答案】B
【解析】解：，
两边同乘（x﹣1）后得：2﹣3（x﹣1）＝﹣x，
故选：B．
【举一反三1】分式方程的解是（ ）
A.x＝1 B.x＝﹣2 C. D.x＝2
【答案】A
【解析】解：，
x+1＝2x，
x＝1，
检验，当x＝1时，x（x+1）≠0，
∴x＝1是原分式方程的解，
故选：A．
【举一反三2】要把分式方程化为整式方程，方程两边需要同时乘以最简公分母（ ）
A.x B.x+1 C.x（x+1） D.2x（x+1）
【答案】C
【解析】解：的最简公分母是x（x+1）．
故选C．
【举一反三3】分式方程的解为x＝ ．
【答案】．
【解析】解：方程两边同时乘以x（x﹣2）得，（x﹣2）2﹣3x＝x（x﹣2），
去括号得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x，
移项得：﹣4x﹣3x+2x＝﹣4，
合并同类项得：﹣5x＝﹣4，
把x的系数化为1得：，
检验：当时，，
∴分式方程的解为，
故答案为：．
【举一反三4】解方程：
（1）；
（2）．
【答案】解：（1），
方程可化为，
方程两边同乘1﹣2x，得3x﹣2+2（1﹣2x）＝x﹣2，
解得x＝1，
检验：当x＝1时，1﹣2x≠0，
所以原分式方程的解是x＝1；
（2），
方程可化为，
方程两边同乘（x+2）（x﹣2），得（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝16，
解得x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0，所以x＝﹣2不是分式方程的解，
所以原分式方程无解．
解分式方程：
(1)；(2)＝2＋.
【答案】
解 (1)，
方程两边乘x(x－3)，得7x＝5(x－3)，
去括号，得7x＝5x－15，
2x＝－15，x＝－7.5，
检验：当x＝－7.5时，x(x－3)≠0，
所以x＝－7.5是原分式方程的解.
(2)＝2＋，
方程两边乘(x－2)，得
1－2x＝2(x－2)－3，
去括号，得1－2x＝2x－4－3，
－4x＝－8，x＝2，
检验：当x＝2时，x－2＝0，
所以原分式方程无解.
【题型3】用换元法解分式方程
【典型例题】用换元法解方程时若设，则可得到整式方程是（ ）
A.3y2﹣11y+8=0 B.3y2+8y=11 C.8y2﹣11y+3=0 D.8y2+3y=11
【答案】A
【解析】解：把代入原方程，得：+3y=11．
方程两边同乘以y得：3y2﹣11y+8=0．
故选A．
【举一反三1】知实数x满足，则的值为（ ）
A.2 B.﹣1 C.﹣2 D.2或﹣1
【答案】A
【解析】解：设x+=a，方程变形为a2﹣a﹣2=0，
分解因式得：（a﹣2）（a+1）=0，
解得：a=2或a=﹣1，
经检验是分式方程的解，
则x+=2或﹣1．
当x+=﹣1时，无解．
故选A．
【举一反三2】在分式方程1中，令y，则原方程可化为关于y的方程是 ．
【答案】y2﹣y+2＝0
【解析】解：设y，则原方程可化为y1，
即y2﹣y+2＝0，
故答案为：y2﹣y+2＝0．
【举一反三3】解方程组：．
【答案】解：设，，
则原方程组可化为，
①+②得：3b＝6，
解得：b＝2，
将b＝2代入②得，a＝3，
∴，，
∴，，
∴，
③+④得：，
解得：，
将代入③得，，
经检验：，，是原方程组的解，
∴方程组的解为：．
【举一反三4】解方程组：．
【答案】解：令m，n，
则原方程组化为，
解得：，
则，
解得：，
经检验，是原方程组的解．
【题型4】含字母系数分式方程的解法
若分式与的值相等，则m的值不可能是( )
A.－3 B.0 C.－1 D.－2
【答案】C
【解析】
由题意得，解得x＝－m.
又∵x≠1，∴－m≠1，则m≠－1.
若分式方程 的解为负数，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【答案】B
【解析】
，代入得，
，
解得 ，即 .
解为负数：.
分母不为零：.
综上，c的取值范围c>8.
【举一反三2】关于x的方程（m≠1）的解是 ．
【答案】x=
【解析】解：去分母，得x+m=mx﹣3m，
移项，得mx﹣x=4m，
合并同类项，得（m﹣1）x=4m，
化系数为1，得x=.
【举一反三3】在式子 中（R2≠R） 用含R，R2的式子表示R1为 ．
【答案】
【解析】解：去分母得：R1R2=RR1+RR2，
移项得：R1R2﹣RR1=RR2，
R1（R2﹣R）=RR2，
【举一反三4】解方程求x：.（m≠n，mn≠0）
【答案】解：去分母得：mx+m﹣nx=0，
移项合并得：（m﹣n）x=﹣m，
∵m≠n，mn≠0，
∴m﹣n≠0，
解得：x=﹣，
∵m≠0，∴﹣≠0，且x+1=﹣+1=≠0，
经检验是分式方程的解．
【题型5】分式方程与新定义型及规律型问题
定义一种运算：当 时，；当 时，.若 ，则 的值是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
分两种情况：
若 ，则 ，得 ，即 ，，.但 ，不满足 ，舍去.
若 ，则 ，得 ，即 ，，，.
检验：，满足条件，且 ，正确.
【举一反三1】对于非零的两个实数a、b，规定a b=，若3 （2x﹣1）=1，则x的值为（ ）
A. B. C. D.﹣
【答案】B
【解析】解：根据题中的新定义得：3 （2x﹣1）=﹣=1，
去分母得：3﹣2x+1=6x﹣3，
移项合并得：8x=7，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解，故选B．
定义运算m※n＝1＋，如：1※2＝1＋，则方程x※的解为 .
【答案】
x＝
【解析】
∵x※，
∴1＋，
∴，
方程两边都乘2，得2＝2x＋1，
解得x＝，
经检验，x＝是原分式方程的解.
【举一反三3】阅读：
对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为x1＝a，x2＝b．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程有两个解，分别为x1＝2，x2＝ ．
（2）关于x的方程的两个解分别为x1＝2，x2＝ ．
（3）关于x的方程的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．
【答案】解：（1）∵2×4＝8，2+4＝6，
∴方程的两个解分别为x1＝2，x2＝4．
故答案为：4．
（2）方程变形得：，
由题中的结论得：方程有一根为2，另一个根为；
则x1＝2，x2＝；
故答案为：．
（3）方程整理得：，
得2x﹣1＝n﹣1或2x﹣1＝n，
可得x1＝，x2＝，
则原式＝．
如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”，如分式M＝，N＝，M＋N＝＝1，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1.
(1)已知分式A＝，B＝，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；
(2)已知分式C＝，D＝，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3，若x为正整数，分式D的值为正整数t.
①求G所代表的代数式；
②求x的值；
(3)在(2)的条件下，已知分式P＝，Q＝，且P＋Q＝t，若该关于x的方程无解，求实数m的值.
【答案】
解 (1)∵A＝，B＝，
∴A＋B＝＝2，
∴A与B互为“和整分式”，“和整值”k＝2.
(2)①∵C＝，D＝，
∴C＋D＝
＝，
∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3，
∴3x2＋2x－8＋G＝3(x－2)(x＋2)＝3x2－12，
∴G＝3x2－12－3x2－2x＋8＝－2x－4.
②∵D＝＝－，且分式D的值为正整数t.x为正整数，
∴x－2＝－1或x－2＝－2，
∴x＝1(x＝0舍去).
(3)由题意可得t＝D＝－＝2，
∴P＋Q＝＝2，
∴＝2，
∴(3－m)x－2＝2x－6，
整理得(1－m)x＝－4，
∵方程无解，
∴①1－m＝0，
解得m＝1，
②1－m≠0，x－3＝0，即x＝3，
∴＝3，
解得m＝，
综上，m的值为1或.
【题型6】判断分式方程的解
【典型例题】分式与互为相反数，则x的值为（ ）
A.1 B.﹣1 C.﹣2 D.﹣3
【答案】C
【解析】解：由题意得，
A.当x=1时，方程左边无意义，所以x=1不是原方程的解.
B.当x=-1时，方程左边=-，方程右边=0，因左边≠右边，所以x=-1不是原方程的解.
C.当x=-2时，方程左边=0，方程右边=0，因左边=右边，所以x=-2是原方程的解.
D.当x=-3时，方程左边=，方程右边=0，因左边≠右边，所以x=-3不是原方程的解.
故选：C．
【举一反三1】关于x的方程x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝，x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝；x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝，则关于x的方程x+＝a+的两个解为（ ）
A.x1＝a，x2＝ B.x1＝a，x2＝ C.x1＝a，x2＝ D.x1＝a，x2＝
【答案】D
【解析】解：已知方程整理得：（x﹣1）+＝（a﹣1）+，
根据题中方程的解得所求方程的解为x﹣1＝a﹣1，x﹣1＝，
解得：x1＝a，x2＝，
经检验x1＝a，x2＝都为分式方程的解，
故选：D．
【举一反三2】若式子和的值相等，则x等于（ ）
A.1 B.2 C.﹣2 D.﹣1
【答案】C
【解析】解：由题意得：，
A.当x=1时，方程左边=，方程右边=2，因左边≠右边，所以x=1不是原方程的解.
B.当x=2时，方程左边=，方程右边=1，因左边≠右边，所以x=2不是原方程的解.
C.当x=-2时，方程左边=-1，方程右边=-1，因左边=右边，所以x=-2是原方程的解.
D.当x=-1时，方程左边无意义，所以x=-1不是原方程的解.
故选：C．
【举一反三3】下列解是x=2的分式方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由于x=2使分母x﹣2=0，所以x=2一定不是选项B中分式方程的解；由于选项C中的方程不是分式方程，所以排除；将x=2分别代入A、D，计算方程的左边，如果和方程右边相等，即为所求．将x=2代入方程的左边，得左边=+==右边，所以x=2是本选项中分式方程的解，故本选项正确．故选D．
【举一反三4】分式方程的解为 ( )
A.x=3 B.x=2 C.x=1 D.x=-1
【答案】C
【解析】解：把四个选项的值分别代入方程的左右两边，使方程两边相等的那个未知数x的值就是原分式方程的解x=1是分式方程的解.
【题型7】分式方程有解求参数值或参数取值范围
【典型例题】已知关于x的方程的解是x＝﹣2，则a的值为（ ）
A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣2
【答案】B
【解析】解：将x＝﹣2代入得，，
∴2a＝a+1，
解得a＝1，
经检验，当a＝1时，2a+2≠0，
∴a＝1是原分式方程的解，
故选：B．
【举一反三1】如果关于x的方程＝1有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的整数a有（ ）个．
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】解：解方程＝1得，x＝，
∵方程有正整数解，
∴整数a＝1，3，6，
解不等式组得，
∵关于y的不等式组至少有两个偶数解，
∴a﹣1≤2，
∴a≤3，
∴满足条件的整数a有两个．
故选：C．
分式方程＝1－的解为正数，则m的取值范围( )
A.m>－3 B.m>－3且m≠－2 C.m<3 D.m<3且m≠－2
【答案】B
【解析】
去分母得2＝x－1－m，
解得x＝m＋3，
由方程的解为正数，得到m＋3>0，且m＋3≠1，
则m的范围为m>－3且m≠－2.
【举一反三3】已知关于x的分式方程+＝﹣2．
（1）如果该方程的解是x＝2，那么m的值等于 ；
（2）如果该方程的解为正数，那么m的取值范围是 ．
【答案】（1）1．
（2）m＜5且m≠3．
【解析】解：（1）去分母得：﹣3+m＝﹣2x+2，
∵该方程的解是x＝2，
∴﹣3+m＝﹣4+2，
解得：m＝1；
故答案为1．
（2）去分母得：﹣3+m＝﹣2x+2，
解方程﹣3+m＝﹣2x+2，
得：x＝，
根据分式方程的解为正数，得到＞0，且≠1，
解得：m＜5且m≠3．
故答案为m＜5且m≠3．
当c= 时，方程 与方程 有相同解.
【答案】
【解析】
将 代入第一个方程：，即 .
解得 ，，，.
经检验c=1符合题意.
【举一反三5】阅读：
对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则x=a或x=b.又因为==x+-(a+b)，所以关于x的方程x+=a+b有两个解，分别为x1=a，x2=b.
应用上面的结论解答下列问题：
(1)方程x+=6有两个解，分别为x1=2，x2= ；
(2)关于x的方程x+=的两个解分别为x1=2，x2= ；
(3)关于x的方程2x+=2n的两个解分别为x1，x2，求的值.
【答案】解 (1)∵2×4=8，2+4=6，
∴方程x+=6的两个解分别为x1=2，x2=4.
(2)方程变形得x+=+2，
由题中的结论得方程有一根为2，另一个根为，
则x1=2，x2=.
(3)方程整理得 2x-1+=n+n-1，
得2x-1=n-1或2x-1=n，
可得x1=，x2=，
则原式=.
若关于x的分式方程的解大于1，求m的取值范围.
【答案】
解 ，
方程两边同时乘最简公分母(x＋2)(x－2)，
得(x＋2)＋2(x－2)＝x＋2m，
去括号，得x＋2＋2x－4＝x＋2m，
解方程，得x＝m＋1，
检验：当m＋1≠2，m＋1≠－2，
即m≠1且m≠－3时，x＝m＋1是原分式方程的解，
根据题意可得m＋1>1，
∴m>0且m≠1.
故m的取值范围为m>0且m≠1.
【题型8】分式方程无解求参数值
若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】
去分母得，
解得，
∵分式方程有增根，
∴，即，
把代入整式方程得，
解得．
【举一反三1】分式方程-1=无解,则m的值为 ( )
A.0和3 B.1 C.1和-2 D.3
【答案】D
【解析】解：将分式方程去分母,求出x=m-2,因为分式方程无解,所以,解整式方程得x=1或者x=-2,x=1或者x=-2对应的m=3或m=0,但是,当m=0时,分式方程变为-1=0,此时,x=-2不成立,前后矛盾.所以m=3.
已知关于x的分式方程－2＝无解，则k的值为( )
A.k＝2或k＝－1 B.k＝－2 C.k＝2或k＝1 D.k＝－1
【答案】A
【解析】
－2＝，
kx－2(x－3)＝－3，
kx－2x＋6＝－3，
(k－2)x＝－9，
当k－2≠0时，解得
x＝，
∵关于x的分式方程－2＝无解，
∴x－3＝0，解得x＝3，即＝3，
∴3k－6＝－9，
解得k＝－1；
当x≠3时，
∵方程无解，
∴k－2＝0，即k＝2，
∴k＝－1或k＝2.
若关于x的方程无解，则m的值是 ．
【答案】
1
【解析】
，
两边同时乘得，，
解得，
∵关于x的方程无解，
∴，
解得.
已知关于x的分式方程＝1.
(1)若分式方程的根是x＝5，求a的值；
(2)若分式方程无解，求a的值.
【答案】
解 (1)∵分式方程＝1的根是x＝5，
∴＝1，
解得a＝－1.
(2)去分母，并化简得x＝10，
当a＋3＝0，即a＝－3时，方程无解，则分式方程也无解，
当a＋3≠0，即a≠－3时，
∵分式方程无解，
∴x＝0，
∴x＝0或x＝2，
当x＝0时，x＝0≠10，不符合题意，舍去，
当x＝2时，2＝10，
解得a＝2，
综上，当a＝－3或a＝2时，分式方程无解.
【题型9】列分式方程（只列不解）
【典型例题】甲乙两地相距50km，A骑自行车从甲地到乙地，出发3小时20分钟后，B骑摩托车也从甲地去乙地，已知B的速度是A的速度的3倍，结果两人同时到达乙地，设A的速度是x km/h，根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：设A的速度是x km/h，则B的速度为3x km/h千米/时，
根据题意得：．
故选：C．
一组学生组织春游，预计共需要费用120元，后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元，设原来这组学生有x人，则可列方程为( )
A.＝3 B.＝3－ C.＝3 D.＝3－
【答案】C
【举一反三2】据悉，成渝高速路复线将于今年底建成通车．成渝高速路复线全线长约250公里，比目前的成渝高速路里程缩短约90公里，设计时速提高20%，运行时间缩短1.5小时．设原时速为每小时x公里，则下面所列方程正确的是（ ）
A.1.5 B.1.5 C.1.5 D.1.5
【答案】A
【解析】解：设原时速为每小时x公里，提速后的时速为每小时（1+20%）x公里，
由题意得，1.5．
故选：A．
【举一反三3】6月进入了毕业季，某校九年级班主任准备给自己的学生买一些相册，并把初中三年来学生的照片放进去，这些照片记录了他们初中三年的点点滴滴．目前有A，B两款相册比较合适，其中A款相册的单价比B款相册的单价贵3元，用1000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数量的2倍，求B款相册的单价．若设B款相册的单价为x元，则根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵A款相册的单价比B款相册的单价贵3元，且设B款相册的单价为x元，
∴A款相册的单价为（x+3）元．
根据题意得：2．
故选：D．
浦模东校七年级全体师生共340人进行社会考察活动．如果租用中客车若干辆，则还有20位学生没有座位坐；如果租用大客车，那么同样多的车辆，就会有60个座位没人坐．已知每辆大客车载客人数比中客车的载客人数多10，设每辆中客车的载客人数为x，列出方程是 ．
【答案】
【解析】
设中客车载客x人，则大客车载客人，
由题意得，
整理得.
浦模东校七年级全体师生共340人进行社会考察活动．如果租用中客车若干辆，则还有20位学生没有座位坐；如果租用大客车，那么同样多的车辆，就会有60个座位没人坐．已知每辆大客车载客人数比中客车的载客人数多10，设每辆中客车的载客人数为x，列出方程是 ．
【答案】
【解析】
设中客车载客x人，则大客车载客人，
由题意得，
整理得.
为了防止流感，学校决定拿出3 000元分两次购进4 400个口罩免费发放给学生.已知两次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次的1.2倍.若设第二次购买口罩的单价为x元/个，根据题意可列方程为 .
【答案】
＝4 400
【解析】
设第二次购买口罩的单价为x元/个，则第一次购买口罩的单价是1.2x元/个，根据题意得＝4 400.
【题型10】行程问题
【典型例题】端午期间，班主任王老师带领全班同学去距离学校25km的公园做活动，男生在班长的带领下，骑自行车提前80分钟出发，女生在王老师的带领下乘公交车出发，结果两队同时到达，若公交车的速度是自行车速度的3倍，设男生队骑车的速度是x km/h，则方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：设男生队骑车的速度是x km/h，则生队骑车的速度是3x km/h，
根据题意得﹣＝，
即﹣＝．
故选：D．
某校学生去距离学校12 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是自行车的速度的2倍，则自行车的速度是( )
A.0.3 km/min B.0.6 km/min C.0.8 km/min D.1.2 km/min
【答案】A
【解析】
设自行车的速度是x km/min，则汽车的速度是2x km/min，
由题意得－20＝，解得x＝0.3，
经检验，x＝0.3是原方程的解，且符合题意，
即自行车的速度是0.3 km/min.
【举一反三2】一汽车从甲地出发开往相距500km的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后以原来速度的2倍匀速行驶，比原计划提前20min到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．若设汽车出发后第1小时内的行驶速度是x千米/小时，则根据题意列方程为 ．
【答案】﹣＝．
【解析】解：设汽车出发后第1小时内的行驶速度是x千米/时，则1小时后的行驶速度是2x千米/时，
依题意得：﹣＝．
故答案为：﹣＝．
【举一反三3】小刚要到距家1200米的学校上学，一天，小刚出发10分钟后，小刚的妈妈立即去追小刚，且在距离学校60米的地方追上了他．已知妈妈的速度是小刚速度的1.5倍，求小刚的速度．若设小刚速度是x米/分，则根据题意列方程为 ．
【答案】﹣＝10．
【解析】解：∵妈妈的速度是小刚速度的1.5倍，小刚速度是x米/分，
∴妈妈的速度是1.5x米/分．
根据题意得：﹣＝10．
故答案为：﹣＝10．
【举一反三4】为了缅怀革命先烈，传承红色精神，云南省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校30km的烈士陵园扫墓．一部分师生乘坐公交车先走，过了15min后，其余师生乘大巴车沿着相同的路径出发，结果他们同时到达．已知大巴车的速度是公交车速度的1.5倍，求公交车行驶的速度．
【答案】解：设公交车行驶的速度为x km/h．
由题意可得：．
解之得：x＝40，
经检验x＝40是原分式方程的解，且符合题意．
答：公交车行驶的速度40km/h．
A，B两港之间的距离为150千米．
(1)若从A港口到B港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快15千米/时，顺流所用时间比逆流少用4小时，求水流的速度；
(2)若轮船在静水中的速度为v千米/时，水流速度为u千米/时，该船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为；若轮船从A港航行到B港再返回到A港均为静水航行，且所用时间为，请比较 与的大小，并说明理由．
【答案】
解 （1）设水流的速度为x千米/时，则轮船在静水中的速度为千米/时，
根据题意得，
解得，经检验是原方程的解，
即水流的速度为5千米/时.
（2），，
因为，，，
所以，
即．
【题型11】工程问题（总工作量为单位1）
【典型例题】甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下：
如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（ ）小时．
A.20 B.21 C.19 D.19
【答案】D
【解析】解：设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时，
由题意得：，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的根，且符合题意，
∵丙的工作效率是乙的工作效率的，
∴丙的工作效率是，
∴一轮的工作量为：，
∴6轮后剩余的工作量为：，
∴还需要甲工作1小时后，乙需要的工作量为：，
∴丙还需要工作（小时），（小时）．
故共需小时．
故选：D．
【举一反三1】某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元．指挥中心的负责人根据甲乙两厂的投标测算，可有三种施工方案：
方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；
方案②：乙队单独完成这项任务比规定日期多用5天；
方案③：若甲乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成．
在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是（ ）
A.方案① B.方案② C.方案③ D.方案①和方案③
【答案】C
【解析】解：设甲队单独完成此项任务需x天，则乙队单独完成此项任务需（x+5）天．
依题意得：+＝1，
解得：x＝20．
经检验：x＝20是原分式方程的解，且符合题意，
∴（x+5）＝25
这三种施工方案需要的费用为：
方案①：1.5×20＝30（万元）；
方案②：1.1×（20+5）＝27.5（万元），但乙队单独完成这项任务超过了日期，不能选；
方案③：1.5×4+1.1×20＝28（万元）．
∵30＞28，
∴第③种施工方案最节省费用，
故选：C．
【举一反三2】两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工1周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了5天，隧道被挖通．记总工程量为1．
（1）甲队单独施工1天完成总工程的 ；
（2）设乙队单独施工挖通隧道需要x天，根据题意，列出方程为 ．
【答案】（1）；
（2）×（7+5）+＝1．
【解析】解：（1）∵甲队先独立施工1周完成总工程的，
∴甲队单独施工1天完成总工程的：÷7＝，
故答案为：；
（2）设乙队单独施工挖通隧道需要x天，
根据题意得：×（7+5）+＝1，
故答案为：×（7+5）+＝1．
两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工1周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了5天，隧道被挖通.记总工程量为1.
(1)甲队单独施工1天完成总工程的 ；
(2)设乙队单独施工挖通隧道需要x天，根据题意，列出方程为 .
【答案】
(1) (2)×(7＋5)＋＝1
【解析】
(1)∵甲队先独立施工1周完成总工程的，
∴甲队单独施工1天完成总工程的÷7＝.
(2)设乙队单独施工挖通隧道需要x天，
根据题意得×(7＋5)＋＝1.
【举一反三4】中国移动通信公司为了稳步推进5G网络建设，深化共建共享，现有甲、乙两个工程队参与5G基站建设工程．甲队单独施工20天完成了该工程的，此时乙队参与进来，两队又共同工作了15天后，总工程全部完成，求乙队单独施工需多少天能完成这项工程？
【答案】解：设乙队单独施工需x天能完成这项工程，
由题意得：+15（×+）＝1，
解得：x＝36，
经检验，x＝36是原方程的解，且符合题意，
答：乙队单独施工需要36天能完成这项工程．
【举一反三5】长春冰雪新天地是美丽春城的一道亮丽的风影线，它的设计和造型每年都有变化．在2025年长春冰雪新天地的建造过程中，某工程公司承担了为某项建设取720吨冰块的任务，由于任务紧急，实际取冰时的工作效率比原计划提高了20%，结果提前1天完成任务，该公司原计划每天取冰块多少吨？
【答案】设公司原计划每天取冰块m吨，则实际每天取冰块（1+20%）m吨，
根据题意得：1，
解得：m＝120，
经检验，m＝120是所列方程的解，且符合题意．
答：公司原计划每天取冰块120吨．
【题型12】工作效率问题（求单位时间内完成的具体工作量）
【典型例题】某校计划对教室进行多媒体安装改造，现安排两家公司共同完成．已知A公司的工作效率是B公司工作效率的1.2倍，B公司安装30间教室比A公司安装同样数量的教室多用2天．若设B公司每天安装x间教室，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由题意可得，
﹣＝2，
故选：A．
【举一反三1】某市为“加快推进污水管网建设，着力提升居民生活品质”，需要铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设原计划每天铺设x米管道，则根据题意，下列方程中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵实际施工时每天的工效比原计划增加25%，且原计划每天铺设x米管道，
∴实际每天铺设（1+25%）x米管道．
根据题意得：＝+30．
故选：C．
【举一反三2】某物流仓储公司用A、B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克物品，A型机器人搬运1000千克物品所用时间与B型机器人搬运800千克物品所用时间相等，设A型机器人每小时搬运物品x千克，列出关于x的方程为 ．
【答案】
【解析】解：设A型机器人每小时搬运物品x千克，则B型机器人每小时搬运物品（x﹣20）千克，
∵A型机器人搬运1000千克物品所用时间与B型机器人搬运800千克物品所用时间相等，
∴．
【举一反三3】江西赣州是全国有名的“脐橙之乡”．某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学区帮助某果园的果农采摘脐橙，任务都是完成720千克脐橙的采摘、运送、包装三项工作，已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，且知每人每小时可采摘60千克．
（1）周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，那么问每人每小时运送、包装各多少千克？
（2）得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后，然后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相等的时间内还有80千克的脐橙还没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？
【答案】解：（1）设采摘了x小时，根据题意可得：
6×60×x=720，
解得：x=2，
故每人每小时包装：720÷（6×2）=60（kg），
每人每小时运送720÷（8×2）=45（kg），
答：每人每小时运送60kg、包装45kg；
（2）设负责运送的人数为y人，则包装人数为：（20﹣y）人，
根据题意可得：，
解得：y=12，
经检验得：y=12是原方程的根，
可知自由分成的两组中，第一组12人，第二组为20﹣12=8（人）．
【举一反三4】在学习“可化为一元一次方程的分式方程”后，老师提出了如下问题，小明和小亮都列出了对应的方程．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小明所列方程，x表示 ，列方程所依据的等量关系是 ；
（2）小亮所列方程，y表示 ，列方程所依据的等量关系是 ；
（3）请你在两个方程中任选一个，完整解答本题．
【答案】解：（1）小明所列方程，x表示甲队每天修路的长度，列方程所依据的等量关系是甲队修路800m所用时间＝乙队修路1000m所用的时间；
故答案为：甲队每天修路的长度，甲队修路800m所用时间＝乙队修路1000m所用的时间；
（2）小亮所列方程，y表示乙队修路1000m所用的时间，列方程所依据的等量关系是乙队每天修路长度﹣甲队每天修路长度＝20；
故答案为：乙队修路1000m所用的时间；乙队每天修路长度﹣甲队每天修路长度＝20；
（3）设甲队每天修路的长度为x m，
根据题意得：＝，
解得x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，
∴甲队每天修路的长度为80m．
【题型13】消费问题
【典型例题】6月8日是世界海洋日，班级为组织海洋知识竞赛购买了奖品．其中水笔共花费30元，铅笔共花费40元，水笔比铅笔少10根，水笔单价是铅笔的1.5倍．若设铅笔的单价为x元，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：若设铅笔的单价为x元，则水笔单价是1.5x元，
根据题意可得：＝10．
故选：A．
【举一反三1】某商品的进货成本为每件200元，促销期间，这种商品按原售价的8折出售，此时每卖出一件这种商品，只能获得10%的利润，设这种商品的原来售价是x元，所列方程正确的是（ ）
A.×100%=10% B.×100%=10% C.×100%=10% D.×100%=10%
【答案】A
【解析】解：设这种商品的原来售价是x元，可得：×100%=10%，
故选A．
【举一反三2】某物美超市同时卖出了两个进价不同的冰墩墩A和B，售价均为90元，按成本计算，超市人员发现冰墩墩A盈利了50%，而冰墩墩B却亏损了40%，则这次超市是（ ）
A.不赚不赔 B.赚了 C.赔了 D.无法判断
【答案】C
【解析】解：设冰墩墩A的成本为x元，依题意得：
，
解得：x＝60，
经检验：x＝60是原方程的根，
设冰墩墩B的成本为y元，依题意得：
，
解得：y＝150，
经检验：y＝150是原方程的解，
90﹣60+（90﹣150）＝﹣30（元），
故这次超市赔了．
故选：C．
【举一反三3】受各种因素的影响，猪肉价格不断上升，据调查今年5月份的价格是1月份猪肉价格的1.25倍．小瑛妈妈用20元钱在5月份购得的猪肉比在1月份购得的猪肉少0.4斤，设今年1月份的猪肉每斤是x元．根据题意，列出方程是 ．
【答案】﹣＝0.4．
【解析】解：设1月份的一级猪肉每斤是x元，则5月份的一级猪肉每斤是1.25x元，
由题意，可列方程﹣＝0.4．
故答案为：﹣＝0.4．
【举一反三4】水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的，小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3米3．设该市去年居民用水价格为x元/米3，则可列分式方程为 ．
【答案】﹣＝3．
【解析】解：∵该市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的，且该市去年居民用水价格为x元/米3，
∴该市今年居民用水价格为（1+）x元/米3．
根据题意得：﹣＝3．
故答案为：﹣＝3．
【举一反三5】某超市用5 000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9 000元资金购进该种干果，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了5元，购进干果数量是第一次的1.5倍.
(1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？
(2)如果超市按每千克40元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的100千克按售价的6折售完，超市销售这种干果共盈利多少元？
【答案】解 (1)设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次购进干果的进价是每千克(x+5)元，
由题意得×1.5=，
解得x=25，
经检验，x=25是原方程的解，且符合题意，
故该种干果的第一次进价是每千克25元.
(2)第一次购进该干果的数量是5 000÷25=200(千克)，
再次购进该干果的数量是200×1.5=300(千克)，
获得的利润为(200+300-100)×40+100×40×0.6-5 000-9 000=4 400(元)，
故超市销售这种干果共盈利4 400元.
【举一反三6】截至2025年3月15日，《哪吒2》全球累计票房（含预售及海外）超150.19亿元，超越《星球大战：原力觉醒》，位列全球影史票房榜第五．随着《哪吒2》的大火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价贵5元，按售价购买，600元购买的“哪吒”手办的数量是用250元购买“敖丙”手办的数量的2倍．
（1）求每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是多少元？
（2）某班级3月准备爱心义卖，筹集资金帮扶“自闭症儿童”，于是准备从该玩具公司购进一批手办进行售卖，且将每个“哪吒”手办售价定为45元，每个“敖丙”手办的售价定为36元．若本次购进“敖丙”手办的数量比购进“哪吒”手办的数量的2倍还少10个，两种手办全部售出后总获利不少于1000元，求该班级本次购进“哪吒”手办至少是多少个？
【答案】（1）设每个“哪吒”手办的售价是x元，则每个“敖丙”手办的售价是（x﹣5）元，
由题意得：，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程得解，且符合题意，
∴x﹣5＝25，
答：每个“哪吒”手办的售价是30元，每个“敖丙”手办的售价是25元；
（2）设该班级本次购进“哪吒”手办是y个，则购进手办是（2y﹣10）个，
由题意得：（45﹣30）y+（36﹣25）（2y﹣10）≥1000，
解得：y≥30，
答：该班级本次购进“哪吒”手办至少是30个．
【题型14】和差倍分及其它问题
【典型例题】某边防哨卡运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果．若设该哨卡共有x名战士，则所列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：设这个哨卡共有x名战士，
依题意，得：．
故选：B．
【举一反三1】随着5G网络建设的不断发展，目前5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的100倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快4秒，设4G网络的峰值速率为每秒传输x光数据，依题意，可列方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：依题意，可列方程是：．
故选：A．
【举一反三2】某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本，求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+20）本，
根据题意得：．
故选D．
【举一反三3】新郑红枣是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜”的盛赞，某生态示范园计划种植一批枣树，原计划总产值为3.2万公斤，为满足市场需求，示范园决定改良枣树品种，改良后平均亩产量是原来的1.6倍，总产量比原计划增加了0.8万公斤，种植亩数减了14亩，设原来平均亩产量为x万公斤，根据题意，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵改良后平均亩产量是原来的1.6倍，且原来平均亩产量为x万公斤，
∴改良后平均亩产量为1.6x万公斤．
根据题意得：﹣＝14，
即﹣＝14．
故选：A．
【举一反三4】《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，全长1241cm，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.6m，宽为0.6m的矩形，装裱后的长与宽的比是11：3，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为x（m），根据题意可列方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由题意，得：＝，
故选：D．
【举一反三5】一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中80次摸到黑球，估计盒中大约有白球 个．
【答案】32
【解析】解：设盒子里有白球x个，
根据得：
解得：x＝32．
经检验得x＝32是方程的解．
答：盒中大约有白球32个．
【举一反三6】某校组织八年级师生共400名去春游，为安全起见，每名师生均有座位且每一辆客车均不得超载．现学校决定向客运公司租用大小客车若干辆前往，若每辆客车均坐满，结果全部租用大客车所用车辆数比全部租用小客车所用车辆数少2辆，已知每辆大客车比每辆小客车乘客座位数多25%，求大、小客车的乘客座位数．
【答案】解：设小客车的乘客座位数为x个，则大客车的乘客座位数为（1+25%）x个，即1.25个，
根据题意得：，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴1.25x＝1.25×40＝50，
答：大客车的乘客座位数为50个，小客车的乘客座位数为40个．
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