2025-2026学年山东省青岛市莱西市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）(含部分答案)
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年山东省青岛市莱西市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）(含部分答案) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 160.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-04 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年山东省青岛市莱西市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数为无理数的是（ ）
A. B. C. D. 0.102102…
2.中国信息通信研究院测算，2020-2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（ ）．
A. 10.6×104 B. 1.06×1013 C. 10.6×1013 D. 1.06×108
3.下列手机手势解锁图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4.“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）
A. B. C. D.
5.下列计算正确的是（ ）
A. x3 x2=x5 B. x3÷（-x2）=x C. x3-x2=x D. 2x+x=3x2
6.“双大课间”活动让师生共享美好体育生活.为检测学生体育锻炼效果，我市某校从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，并将投篮进球数据绘成如图所示的条形统计图，对干这10名学生的定时定点投篮进球数，下列说法中错误的是（ ）
A. 中位数是5 B. 方差是2 C. 平均数是5.2 D. 众数是5
7.如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B′处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3：5，那么线段FC的长为（ ）
A.
B.
C.
D.
8.如图，一圆环分别与夹角为α的两墙面相切，圆环上图示位置固定一小球，并用细线将小球与两切点分别相连，两细线夹角为β，则α与β之间的关系是（ ）
A.
B. β=90°+α
C.
D. β=180°-α
9.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称，与x轴交于A（x1，0），B（x,0）两点，若-2＜x1＜-1，则下列四个结论：①abc＜0；②3＜x2＜4；③3a+2b＞0；④b2＞a+c+4ac.其中正确的是（ ）
A. ①③
B. ①②
C. ②③④
D. ②④
10.一般的，在数学中我们规定将实数x1，x2，…，xn中的最大数记为max|x1，x2， ，xn|，例如max|-1，2，2.5|=2.5.那么函数y=max|-x-1，x,3x-4|的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：= .
12.一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是 个.
13.如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交B于点D，以OC为半径的C交OA于点E，则图中阴影部分的面积是______．
14.如图，直线y=x-4与y轴、x轴分别交于点A，B，点C为双曲线点，OC∥AB，连接BC交双曲线于点D，点D恰好是BC的中点，则k的值是 .
15.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，连接BE，∠BEC=∠DEC，若AB=6，则CD= ．
16.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠DAB=140°，M，N分别是边DC，BC上的动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN= ______°.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
（1）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来；
（2）先化简，再求值：，其中a2+3a+2=0.
18.(本小题8分)
某中学对1000名学生就“冰壶比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：
类别 频数 频率
不了解 10 m
了解很少 16 0.32
基本了解 b
很了解 4 n
合计 a 1
（1）根据以上信息可知：a= ______，b= ______，m= ______，n= ______.
（2）请补全条形统计图；
（3）请估计该校1000名学生中“基本了解”的人数______；
（4）若“报了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加“冰壶比赛规则”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同.
19.(本小题6分)
综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB=30cm,顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H.经测量，点A距地面1.8m,到树EG的距离AF=12m,BH=20cm.求树EG的高度.
20.(本小题8分)
在勾股定理的学习中，我们常常借助正方形网格来完成探索.认识了无理数之后，我们也能在网格中运用勾股定理画出长度为无理数的线段和边长为无理数的三角形.小明在解答“在△ABC中，AC、BC、AB三边的长分别为，，，求这个三角形的面积.”时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC，如图1所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法.请你用构图法完成以下问题：
（1）直接写出图1中△ABC的面积是______；
（2）若△DEF中，DE、DF、EF的边长分别为、、，试运用构图法在图2中画出相应的△DEF，并求出点D到EF的距离；
（3）拓展应用：
若△MNP中，MN、MP的长分别为、，第三边的长也是无理数，则用构图法画出的△MNP中NP的长可以是______（写出两个即可）.
21.(本小题8分)
如图，正比例函数y=kx（k≠0）与反比例函数y=（m≠0）的图象交于A、B两点，A的横坐标为-4，B的纵坐标为-6.
（1）求反比例函数的表达式.
（2）观察图象，直接写出不等式kx＜的解集.
（3）将直线AB向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接OD、BD，若△OBD的面积为20，求直线CD的表达式.
22.(本小题10分)
温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x人生产乙产品．
（1）根据信息填表：
产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元）
甲 ______ ______ 15
乙 x x ______
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．
（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值．
23.(本小题12分)
如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线.
（1）请直接写出（图1）中△APC与△PBD的形状关系______；
（2）如（图2），在边长均为1方格的纸上，小正方形的顶点为格点，A，B在格点上.请用两种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
（3）如（图3），在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P是射线DA上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角中的一边始终经过点C，另一直角边交射线BA于点E.
①设PD=x,AE=y,求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②是否存在这样的点P，使△EAP周长等于△PDC周长的2倍？若存在，请求出PD的长度；若不在，请简要说明理由.
24.(本小题12分)
已知矩形ABCD，AB=17cm,AD=7cm,将矩形ABCD绕点B顺时针方向旋转90°得到矩形A′BC′D′，连接DD′，点E从点D出发，沿DD′方向匀速运动，速度为1cm/s,同时点F从点C′出发，沿C′A方向匀速运动，速度为1cm/s.设运动时间为t（s）（0＜t＜24）.解答下列问题：
（1）当t为何值时，EF为△DFD′的中线；
（2）是否存在某一时刻t,使EF⊥DD′？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）设四边形EFC′D′的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】4
12.【答案】12
13.【答案】18+6π
14.【答案】
15.【答案】3
16.【答案】100
17.【答案】不等式组的解集为1＜x≤5，数轴表示为： ，
18.【答案】50，20，0.2，0.08；
见解析；
约400人；
抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率相同，理由见解析．
19.【答案】解：由题意可知，∠BAE=∠MAF=∠BAD=90°，FG=1.8m,
则∠EAF+∠BAF=∠BAF+∠BAH=90°，
∴∠EAF=∠BAH，
∵AB=30cm,BH=20cm,
则tan∠EAF==，
∴tan∠EAF==tan∠BAH=，
∵AF=12m,
则，
∴EF=8，
∴EG=EF+FG=8+1.8≈9.9m.
答：树EG的高度约为9.9m.
20.【答案】2.5 3或
21.【答案】解：（1）∵正比例函数y=kx（k≠0）与反比例函数y=（m≠0）的图象交于A、B两点，
∴A、B关于原点对称，
∵A的横坐标为-4，B的纵坐标为-6，
∴A（-4，6），B（4，-6），
∵点A（-4，6）在反比例函数y=（m≠0）的图象上，
∴6=，
∴m=-24，
∴反比例函数的表达式为y=-；
（2）观察函数图象，可知：当-4＜x＜0或x＞4时，正比例函数y=kx的图象在反比例函数y=（m≠0）的图象下方，
∴不等式kx＜的解集为-4＜x＜0或x＞4；
（3）方法一：连接BE，作BG⊥y轴于点G，
∵A（-4，6）在直线y=kx上，
∴6=-4k,解得k=-，
∴直线AB的表达式为y=-x,
∵CD∥AB，
∴S△OBD=S△OBE=20，
∵B（4，-6），
∴BG=4，
∴S△OBE==20，
∴OE=10，
.E（0，10），
∴直线CD为y=-x+10．
方法二：
连接BF，作BH⊥x轴于H，
∵A（-4，6）在直线y=kx上，
∴k=-，
∴直线AB的表达式为y=-x,
∵CD∥AB，
∴S△OBD=S△OBF=20，
∵B（4，-6），
∴OF 6=20，
∴OF=，
∴F（，0），
设直线CD的表达式为y=-x+b,
代入F点的坐标得，-×+b=0
解得b=10，
∴直线CD为y=-x+10．
22.【答案】（1）65-x；130-2x；130-2x；
（2）由题意
15×2（65-x）=x（130-2x）+550
∴x2-80x+700=0
解得x1=10，x2=70（不合题意，舍去）
∴130-2x=110（元）
答：每件乙产品可获得的利润是110元．
（3） 设生产甲产品m人
W=x（130-2x）+15×2m+30（65-x-m）
=-2（x-25）2+3200
∵2m=65-x-m
∴m=
∵x、m都是非负整数
∴取x=26时，m=13，65-x-m=26
即当x=26时，W最大值=3198
答：安排26人生产乙产品时，可获得的最大利润为3198元．
23.【答案】△APC∽△BDP；
图详见解答；
存在这样的点P，使△EAP周长等于△PDC周长的2倍，PD的长度为14．
24.【答案】t=13s时，EF为△DFD′的中线 存在，
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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数为无理数的是（ ）
A. B. C. D. 0.102102…
2.中国信息通信研究院测算，2020-2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（ ）．
A. 10.6×104 B. 1.06×1013 C. 10.6×1013 D. 1.06×108
3.下列手机手势解锁图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4.“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）
A. B. C. D.
5.下列计算正确的是（ ）
A. x3 x2=x5 B. x3÷（-x2）=x C. x3-x2=x D. 2x+x=3x2
6.“双大课间”活动让师生共享美好体育生活.为检测学生体育锻炼效果，我市某校从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，并将投篮进球数据绘成如图所示的条形统计图，对干这10名学生的定时定点投篮进球数，下列说法中错误的是（ ）
A. 中位数是5 B. 方差是2 C. 平均数是5.2 D. 众数是5
7.如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B′处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3：5，那么线段FC的长为（ ）
A.
B.
C.
D.
8.如图，一圆环分别与夹角为α的两墙面相切，圆环上图示位置固定一小球，并用细线将小球与两切点分别相连，两细线夹角为β，则α与β之间的关系是（ ）
A.
B. β=90°+α
C.
D. β=180°-α
9.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称，与x轴交于A（x1，0），B（x,0）两点，若-2＜x1＜-1，则下列四个结论：①abc＜0；②3＜x2＜4；③3a+2b＞0；④b2＞a+c+4ac.其中正确的是（ ）
A. ①③
B. ①②
C. ②③④
D. ②④
10.一般的，在数学中我们规定将实数x1，x2，…，xn中的最大数记为max|x1，x2， ，xn|，例如max|-1，2，2.5|=2.5.那么函数y=max|-x-1，x,3x-4|的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：= .
12.一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是 个.
13.如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交B于点D，以OC为半径的C交OA于点E，则图中阴影部分的面积是______．
14.如图，直线y=x-4与y轴、x轴分别交于点A，B，点C为双曲线点，OC∥AB，连接BC交双曲线于点D，点D恰好是BC的中点，则k的值是 .
15.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，连接BE，∠BEC=∠DEC，若AB=6，则CD= ．
16.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠DAB=140°，M，N分别是边DC，BC上的动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN= ______°.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
（1）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来；
（2）先化简，再求值：，其中a2+3a+2=0.
18.(本小题8分)
某中学对1000名学生就“冰壶比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：
类别 频数 频率
不了解 10 m
了解很少 16 0.32
基本了解 b
很了解 4 n
合计 a 1
（1）根据以上信息可知：a= ______，b= ______，m= ______，n= ______.
（2）请补全条形统计图；
（3）请估计该校1000名学生中“基本了解”的人数______；
（4）若“报了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加“冰壶比赛规则”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同.
19.(本小题6分)
综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB=30cm,顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H.经测量，点A距地面1.8m,到树EG的距离AF=12m,BH=20cm.求树EG的高度.
20.(本小题8分)
在勾股定理的学习中，我们常常借助正方形网格来完成探索.认识了无理数之后，我们也能在网格中运用勾股定理画出长度为无理数的线段和边长为无理数的三角形.小明在解答“在△ABC中，AC、BC、AB三边的长分别为，，，求这个三角形的面积.”时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC，如图1所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法.请你用构图法完成以下问题：
（1）直接写出图1中△ABC的面积是______；
（2）若△DEF中，DE、DF、EF的边长分别为、、，试运用构图法在图2中画出相应的△DEF，并求出点D到EF的距离；
（3）拓展应用：
若△MNP中，MN、MP的长分别为、，第三边的长也是无理数，则用构图法画出的△MNP中NP的长可以是______（写出两个即可）.
21.(本小题8分)
如图，正比例函数y=kx（k≠0）与反比例函数y=（m≠0）的图象交于A、B两点，A的横坐标为-4，B的纵坐标为-6.
（1）求反比例函数的表达式.
（2）观察图象，直接写出不等式kx＜的解集.
（3）将直线AB向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接OD、BD，若△OBD的面积为20，求直线CD的表达式.
22.(本小题10分)
温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x人生产乙产品．
（1）根据信息填表：
产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元）
甲 ______ ______ 15
乙 x x ______
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．
（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值．
23.(本小题12分)
如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线.
（1）请直接写出（图1）中△APC与△PBD的形状关系______；
（2）如（图2），在边长均为1方格的纸上，小正方形的顶点为格点，A，B在格点上.请用两种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
（3）如（图3），在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P是射线DA上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角中的一边始终经过点C，另一直角边交射线BA于点E.
①设PD=x,AE=y,求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②是否存在这样的点P，使△EAP周长等于△PDC周长的2倍？若存在，请求出PD的长度；若不在，请简要说明理由.
24.(本小题12分)
已知矩形ABCD，AB=17cm,AD=7cm,将矩形ABCD绕点B顺时针方向旋转90°得到矩形A′BC′D′，连接DD′，点E从点D出发，沿DD′方向匀速运动，速度为1cm/s,同时点F从点C′出发，沿C′A方向匀速运动，速度为1cm/s.设运动时间为t（s）（0＜t＜24）.解答下列问题：
（1）当t为何值时，EF为△DFD′的中线；
（2）是否存在某一时刻t,使EF⊥DD′？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）设四边形EFC′D′的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】4
12.【答案】12
13.【答案】18+6π
14.【答案】
15.【答案】3
16.【答案】100
17.【答案】不等式组的解集为1＜x≤5，数轴表示为： ，
18.【答案】50，20，0.2，0.08；
见解析；
约400人；
抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率相同，理由见解析．
19.【答案】解：由题意可知，∠BAE=∠MAF=∠BAD=90°，FG=1.8m,
则∠EAF+∠BAF=∠BAF+∠BAH=90°，
∴∠EAF=∠BAH，
∵AB=30cm,BH=20cm,
则tan∠EAF==，
∴tan∠EAF==tan∠BAH=，
∵AF=12m,
则，
∴EF=8，
∴EG=EF+FG=8+1.8≈9.9m.
答：树EG的高度约为9.9m.
20.【答案】2.5 3或
21.【答案】解：（1）∵正比例函数y=kx（k≠0）与反比例函数y=（m≠0）的图象交于A、B两点，
∴A、B关于原点对称，
∵A的横坐标为-4，B的纵坐标为-6，
∴A（-4，6），B（4，-6），
∵点A（-4，6）在反比例函数y=（m≠0）的图象上，
∴6=，
∴m=-24，
∴反比例函数的表达式为y=-；
（2）观察函数图象，可知：当-4＜x＜0或x＞4时，正比例函数y=kx的图象在反比例函数y=（m≠0）的图象下方，
∴不等式kx＜的解集为-4＜x＜0或x＞4；
（3）方法一：连接BE，作BG⊥y轴于点G，
∵A（-4，6）在直线y=kx上，
∴6=-4k,解得k=-，
∴直线AB的表达式为y=-x,
∵CD∥AB，
∴S△OBD=S△OBE=20，
∵B（4，-6），
∴BG=4，
∴S△OBE==20，
∴OE=10，
.E（0，10），
∴直线CD为y=-x+10．
方法二：
连接BF，作BH⊥x轴于H，
∵A（-4，6）在直线y=kx上，
∴k=-，
∴直线AB的表达式为y=-x,
∵CD∥AB，
∴S△OBD=S△OBF=20，
∵B（4，-6），
∴OF 6=20，
∴OF=，
∴F（，0），
设直线CD的表达式为y=-x+b,
代入F点的坐标得，-×+b=0
解得b=10，
∴直线CD为y=-x+10．
22.【答案】（1）65-x；130-2x；130-2x；
（2）由题意
15×2（65-x）=x（130-2x）+550
∴x2-80x+700=0
解得x1=10，x2=70（不合题意，舍去）
∴130-2x=110（元）
答：每件乙产品可获得的利润是110元．
（3） 设生产甲产品m人
W=x（130-2x）+15×2m+30（65-x-m）
=-2（x-25）2+3200
∵2m=65-x-m
∴m=
∵x、m都是非负整数
∴取x=26时，m=13，65-x-m=26
即当x=26时，W最大值=3198
答：安排26人生产乙产品时，可获得的最大利润为3198元．
23.【答案】△APC∽△BDP；
图详见解答；
存在这样的点P，使△EAP周长等于△PDC周长的2倍，PD的长度为14．
24.【答案】t=13s时，EF为△DFD′的中线 存在，
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