6.1 平面向量的概念2025-2026高中数学必修二高一下同步复习课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
高中数学
同步复习
6.1 平面向量的概念
01
知识剖析
知识点1 向量的概念
1
向量的概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
注：
①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
01
知识点1 向量的概念
2
向量的表示法
(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)向量的表示方法：
①字母表示法：如 等.
②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段 （注意始点一定要写在终点的前面）．如果用
一条有向线段 表示向量，通常我们就说向量 .
01
知识点1 向量的概念
3
向量的有关概念
(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作 ，它的方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.
(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
注：
①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定.
②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
③非零向量 与 的关系： 是与 同方向的单位向量.
01
知识点2 相等向量与共线向量
1
向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定: 与任一向量共线.
注：
①零向量的方向是任意的，注意 与0的含义与书写区别.
②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
01
知识点2 相等向量与共线向量
2
用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系
(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.
(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.
(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.
01
知识点2 相等向量与共线向量
3
平行向量有关概念的三个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
01
02
综合训练
下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
A
一．平面向量的概念与几何表示
01
【答案】A
【解答】解：速度、力、加速度和位移都是向量，其它是标量，即向量共4个．
故选：A．
以下选项中，都是向量的是（　　）
A．时间、海拔 B．质量、位移
C．加速度、体积 D．浮力、速度
D
一．平面向量的概念与几何表示
01
【答案】D
【解答】解：时间、海拔、质量、体积只有大小没有方向，不是向量；
浮力和速度既有大小又有方向，是向量．
故选：D．
下列说法正确的是（　　）
①有向线段三要素是始点、方向、长度
②向量两要素是大小和方向
③同向且等长的有向线段表示同一向量
④在平行四边形ABCD中，．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
D
一．平面向量的概念与几何表示
01
【答案】D
【解答】解：①始点、方向、长度可以确定一条有向线段；
即有向线段三要素是始点、方向、长度，∴该说法正确；
②根据向量的定义知，向量的两要素是大小和方向，∴该说法正确；
③根据向量的定义知同向且等长的有向线段表示同一向量，∴该说法正确；
④∵，且与方向相同，∴；
∴该说法正确．
故选：D．
已知向量，，，则t＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
D
二、平面向量的模
01
【答案】A
【解答】解：由题可得：，
因为3，
所以，即（2+t）2＝0，
解得t＝﹣2．
故选：A．
在四边形ABCD中，，则“”是“四边形ABCD是正方形“的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B
二、平面向量的模
01
【答案】B
【解答】解：因为在四边形ABCD中，，所以AB∥CD且AB＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形，
由向量加减运算的几何意义知，若，等价于对角线BD与AC相等，等价于平行四边形ABCD为矩形，
由矩形与正方形的关系知，“”是“四边形ABCD是正方形“的必要不充分条件．
故选：B．
已知，均为非零向量，其夹角为θ，则“sinθ＝0”是“||＝||﹣||”的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
C
二、平面向量的模
01
【答案】C
【解答】解：若sinθ＝0，结合夹角的取值范围是[0，π]，可得θ＝0或π，
当θ＝0时，则，同向共线，则，可知充分性不成立，
若非零向量满足，则、反向共线，
此时θ＝π，必有sinθ＝0，可知必要性成立．
综上所述，“sinθ＝0”是“”的必要不充分条件．
故选：C．
在四边形ABCD中，已知，∠ABD＝60°，则四边形ABCD一定是（　　）
A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形
D
二、平面向量的模
01
【答案】D
【解答】解：因为，∠ABD＝60°，
所以△ABD是等边三角形，
因为，即，所以四边形ABCD是平行四边形．
则，所以四边形ABCD是菱形．
故选：D．
若△ABC的三个内角均小于120°，点M满足∠AMB＝∠AMC＝∠BMC＝120°，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，，则的最小值是（　　）
A．9 B． C．6 D．
C
二、平面向量的模
01
二、平面向量的模
01
【答案】C
【解答】解：△ABC的三个内角均小于120°，点M满足∠AMB＝∠AMC＝∠BMC＝120°，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点．
根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，
设，，，
以AB所在的直线为x轴，以过C与x轴垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，
由题意设A（x，y），B（3，0），，，
则，，，
所以，
，
因为△BCD为等边三角形，由题意，等边△BCD的费马点为△BCD的中心，
此时|AB|+|AC|+|AD|取最小值，
所以．
故选：C．
与向量（﹣3，4）反向的单位向量是（　　）
A． B．
C． D．
A
三．平面向量中的零向量与单位向量
01
【答案】A
【解答】解：设与向量（﹣3，4）反向的单位向量是，
则．
故答案为：A．
设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（　　）
A．与同向 B． C．且 D．
A
四．平面向量的相等向量
01
【答案】A
【解答】解：分别表示与同向的单位向量，
若使得，则根据向量等的条件可知，与必须方向相同，
故使其成立的充要条件是与同向．
故选：A．
下列命题正确的是（　　）
A．平面内所有的单位向量都相等
B．模为0的向量与任意非零向量共线
C．平行向量不一定是共线向量
D．若满足，且同向，则
B
四．平面向量的相等向量
01
【答案】B
【解答】解：A．单位向量的方向可能不同，所以所有的单位向量不相等，A错误；
B．零向量和任何非零向量共线，B正确；
C．平行向量一定是共线向量，C错误；
D．向量不能比较大小，D错误．
故选：B．
已知点A（2，3），B（﹣1，7），则与向量方向相反的单位向量为（　　）
A． B． C． D．
B
四．平面向量的相等向量
01
【答案】B
【解答】解：由题可得：，且，
故所求向量为：．
故选：B．
以下说法正确的是（　　）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．零向量没有方向
C．共线向量又叫平行向量
D．若向量和都是单位向量，则
C
四．平面向量的相等向量
01
【答案】C
【解答】解：长度相等且方向相同的两个向量相等，与它们的起点和终点无关，故A错误；
零向量的方向是任意的，不是没有方向，故B错误；
共线向量又叫平行向量，故C正确；
若向量和都是单位向量，则，故D错误．
故选：C．
设为两个非零向量，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A
四．平面向量的相等向量
【答案】A
【解答】解：因为，所以同向共线，所以，
因为，所以同向共线，此时不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
已知四边形ABCD，则“四边形ABCD是平行四边形”是“的（　　）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
A
四．平面向量的相等向量
01
【答案】A
【解答】解：由于“四边形ABCD是平行四边形”，所以AB＝DC且AB∥DC，即，反之也成立，
故“四边形ABCD是平行四边形”是“充要条件．
故选：A．
已知向量不共线，，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
B
五．平面向量的平行向量
01
【答案】B
【解答】解：∵A，B，C三点共线，∴与共线，
∴存在实数k，使，即，
又向量不共线，∴，
由λ＞0，μ＞0，∴，
当且仅当λ＝4μ时，取“＝”号．
故选：B．
已知，是两个不共线的向量，且向量x3，y同向，则x+2y的最小值为（　　）
A．12 B．6 C． D．
C
五．平面向量的平行向量
01
【答案】C
【解答】解：由向量，同向，，是两个不共线的向量，
得，且x＞0，y＞0，则xy＝3，
因此x+2y，当且仅当，时取等号，
所以x+2y的最小值为．
故选：C．
已知0＜θ＜π，向量，且，则θ＝（　　）
A． B． C． D．
C
五．平面向量的平行向量
01
【答案】C
【解答】解：向量，且，
则，
故，变形可得cosθ＝﹣cos2θ，解得cosθ＝0或cosθ＝﹣1，
又0＜θ＜π，则必有．
故选：C．
在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD为（　　）
A．平行四边形 B．梯形
C．菱形 D．矩形
B
五．平面向量的平行向量
01
【答案】B
【解答】解：因为，且ABCD为四边形，
则AB∥CD，且，
所以四边形ABCD是梯形．
故选：B．
设平面向量与不共线，k，s∈R，则“k与s2共线”是“sk＝2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C
五．平面向量的平行向量
01
【答案】C
【解答】解：平面向量与不共线，所以k与s2均不为零向量，
根据向量共线定理，“k与s2共线” 存在λ（λ≠0），
使得kλ（s2） 2λ＝kλs ks＝2，
则“k与s2共线”是“sk＝2”的充要条件．
故选：C．