6.4 平面向量的应用2025-2026高中数学必修二高一下同步复习课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
高中数学
同步复习
6.4 平面向量的应用
01
知识剖析
知识点1 平面几何中的向量方法
1
平面几何中的向量方法
(1)用向量研究平面几何问题的思想
向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将
几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作.
01
知识点1 平面几何中的向量方法
1
平面几何中的向量方法
01
知识点1 平面几何中的向量方法
1
平面几何中的向量方法
(3)向量法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系.
01
知识点2 向量在物理中的应用
1
力学问题的向量处理方法
向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上.
01
知识点2 向量在物理中的应用
2
速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.
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知识点2 向量在物理中的应用
3
向量与功、动量
01
知识点3 余弦定理、正弦定理
1
余弦定理
(1)余弦定理及其推论的表示
01
知识点3 余弦定理、正弦定理
1
余弦定理
01
知识点3 余弦定理、正弦定理
2
正弦定理
01
知识点3 余弦定理、正弦定理
3
解三角形
(1)解三角形的概念
一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个
元素求其他元素的过程叫做解三角形.
(2)余弦定理在解三角形中的应用
利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：
①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角；
③已知三边，求三角形的三个角.
01
知识点3 余弦定理、正弦定理
3
解三角形
01
知识点3 余弦定理、正弦定理
4
对三角形解的个数的研究
已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.
已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三
角形不能被唯一确定.
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知识点3 余弦定理、正弦定理
4
对三角形解的个数的研究
01
知识点3 余弦定理、正弦定理
4
对三角形解的个数的研究
(2)从几何的角度分析“已知两边和其中一
边的对角，求另一边的对角”时三角形解的
情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几
何法探究如下：
01
知识点3 余弦定理、正弦定理
5
判定三角形形状的途径：
(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；
(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
01
知识点3 余弦定理、正弦定理
5
三角形的面积公式
01
知识点3 余弦定理、正弦定理
5
三角形的面积公式
01
知识点4 测量问题
1
测量问题
(1)测量距离问题的基本类型和解决方案
当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：
01
知识点4 测量问题
1
测量问题
(2)测量高度问题的基本类型和解决方案
当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：
01
知识点4 测量问题
1
测量问题
(3)测量角度问题
测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方
位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.
01
02
综合训练
河水的流速为2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以8m/s的速度驶向对岸，则小船实际航行的速度大小为（　　）
A．8m/s B． C． D．10m/s
B
一．平面向量在物理中的应用
01
【答案】B
【解答】解：设水流速度为，船在静水中的速度为，实际行驶速度，
根据题意，可得，，且⊥，
所以，
即小船实际航行的速度大小为．
故选：B．
在锐角△ABC中，，若点O为△ABC的外心，且，实数m的值为（　　）
A． B． C． D．
B
二．平面向量的综合题
01
二．平面向量的综合题
01
【解答】解：因为O为△ABC的外心，且，
所以，
所以，
，
即，
由圆的性质有∠AOB＝2∠C，∠AOC＝2∠B，设△ABC的外接圆半径为R，

则，
由于二倍角公式可得，
即﹣2sinCcosB+（﹣2sinBcosC）＝﹣m，
故，
故，故，
因为，故，又cos2A+sin2A＝1，可得，
由于角A为锐角，所以，即，
故选：B．
在△ABC中，BC＝4，BA＝5，且△ABC的面积为，则角B的大小为（　　）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
D
三．利用正弦定理解三角形
01
【答案】D
【解答】解：因为BC＝4，BA＝5，且△ABC的面积为，
所以，
解得，
因为0°＜B＜180°，
所以角B的大小为60°或120°．
故选：D．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，a＝5，b＝6，则满足条件的三角形有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
C
四．正弦定理与三角形解的存在性和个数
01
【答案】C
【解答】解：因为，a＝5，b＝6，可得，
所以bsinA＜a＜b，可知满足条件的三角形有2个．
故选：C．
设△ABC的外接圆的半径为R，若AB＝2R，则（　　）
A． B． C． D．1
B
五．正弦定理与三角形的外接圆
01
【答案】B
【解答】解：AB＝2R，
则sinC，
又C为三角形的内角，
则C，
故sin．
故选：B．
在△ABC中，BC＝2，AC＝1，AB，则∠A＝（　　）
A．45° B．60° C．120° D．135°
A
六、余弦定理
01
【答案】A
【解答】解：因为BC＝2，AC＝1，AB，
所以由余弦定理得：，
因为0°＜∠A＜180°，所以∠A＝45°．
故选：A．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（　　）
A．4049 B．4048 C．4047 D．4046
A
七．三角形中的几何计算
01
【答案】A
【解答】解：在△ABC中，由，
可得，
即，又A+B＝π﹣C，
则，
所以，
由正弦定理，可得，
即4048c2＝a2+b2﹣c2，所以4049c2＝a2+b2，
故．
故选：A．
在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3a2+b2+c2＝5，则（　　）
A．若sinA：sinB：sinC＝5：4：3，则△ABC外接圆半径为
B．若a＝1，则
C．若b＝1，则
D．△ABC面积的最大值为
ACD
八、解三角形
01
【答案】ACD
【解答】解：A选项，若sinA：sinB：sinC＝5：4：3，
由正弦定理知a：b：c＝5：4：3，则b2+c2＝a2，代入3a2+b2+c2＝5，解得，
又△ABC是以A为直角的直角三角形，故外接圆半径为，故A正确；
B选项，若a＝1，则b2+c2＝5﹣3a2＝2，，
当且仅当b＝c＝1时取等，故，故B错误；
C选项，若b＝1，则3a2+c2＝5﹣b2＝4，由于a，b，c是三角形的三条边，
故必有|a﹣b|＜c＜a+b，即|a﹣1|＜c＜a+1，代入3a2+c2＝4得3a2+（a﹣1）2＜4＜3a2+（a+1）2，
解得，故C正确；
D选项，设AD为BC边上的中线，
由中线长公式知，
S△ABC
，
当且仅当sin∠ADC＝1（即b＝c）和同时成立时取等，
此时，b＝c即可，故△ABC面积的最大值为，D正确．
故选：ACD．
八、解三角形
01