7.1复数的概念 2025-2026高中数学必修二高一下同步复习课件(共33张PPT)

高中数学
同步复习
7.1 复数的概念
01
知识剖析
知识点1 数系的扩充和复数的概念
壹
1．数系的扩充与复数的相关概念
(1)复数的引入?
为了解决????2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：
①????2=?1，即i是方程????2+1=0的根；
②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.
在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果
记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.
(2)复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫
做复数集.这样，方程????2+1=0在复数集C中就有解x=i了.
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知识点1 数系的扩充和复数的概念
壹
(3)复数的表示
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
(4)复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R是复数集C的真子集，即?????????.
复数z=a+bi可以分类如下：

复数
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知识点1 数系的扩充和复数的概念
壹
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.







2．复数相等
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当
a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.
知识点2 复数的几何意义
壹
1．复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi一一对应有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)一一对应平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
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知识点2 复数的几何意义
壹
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来
表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.

知识点2 复数的几何意义
壹
(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi一一对应复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
(3)复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
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知识点2 复数的几何意义
壹
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量????????由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量????????唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi一一对应平面向量，这是复数的另一种几何意义.

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知识点2 复数的几何意义
壹
2．复数的模
向量????????的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它
的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=????2+????2(r≥0,r∈R).
3．共轭复数
(1)定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0
的两个共轭复数也复数????的共轭复数用表示，即若????=?????????????，则.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
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知识点2 复数的几何意义
壹
(2)几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复
平面内所对应的点重合，且在实轴上.

知识点2 复数的几何意义
壹
(3)性质
①(????)=????.
②实数的共轭复数是它本身，即????=???? z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
4．复数的模的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数
的模的几何意义.
(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以
原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的外部.
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02
考点演练
考点1 虚数单位i及其性质
壹
已知z1，z2∈C，语句α：z1，z2中至少有一个为虚数，语句β：z1﹣z2为虚数．则α是β的（　　）条件．
A．充要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
考点1 虚数单位i及其性质
壹
【答案】C
【解答】解：若z1、z2皆是实数，则z1﹣z2一定不是虚数，
因此当z1﹣z2是虚数时，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；
当z1、z2中至少有一个数是虚数，z1﹣z2不一定是虚数，如z1＝z2＝i，即充分性不成立．
故选：C．
考点2 复数的实部与虚部
壹
若复数z满足z＝1+3i（i是虚数单位），则z的虚部是（　　）
A．﹣3i B．﹣3
C．3i D．3
考点2 复数的实部与虚部
壹
【答案】D
【解答】解：由复数z＝1+3i，得z的虚部是3．
故选：D．
考点3 纯虚数
壹
若（x2﹣1）+（2x+2）i是纯虚数，则实数x的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．﹣2
考点3 纯虚数
壹
【答案】A
【解答】解：由（x2﹣1）+（2x+2）i是纯虚数，x2?1=02x+2≠0
，解得x＝1．
故选：A．
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考点4 复数集C及其关系和运算
壹
已知z1，z2，z∈复数集C，下列命题正确的是（　　）
A．3+i＞2+i
B．若z是纯虚数，则z2＜0
C．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2
D．z2＝﹣1，则z＝i
考点4 复数集C及其关系和运算
壹
【答案】B
【解答】解：A．由两个虚数不能比较大小，因此3+i＞2+i，不正确；
B．z是纯虚数，设z＝bi（b≠0），则z2＝﹣b2＜0，正确；
C．若|z1|＝|z2|，例如取z1=2i，z2＝1+i，则z1＝±z2不一定成立，因此不正确；
D．取z＝﹣i，则z2＝﹣1，因此D不正确．
故选：B．
考点5 复数的相等
壹
若i2＝a+bi（a，b∈R），则a+b＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
考点5 复数的相等
壹
【答案】A
【解答】解：由i2＝a+bi＝﹣1，可得a=?1b=0，则a+b＝﹣1．
故选：A．
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考点6 复数对应复平面中的点
壹
在复平面内，复数2i（i+m）对应的点的坐标为（﹣2，4），则实数m＝（　　）
A．1 B．﹣1
C．2 D．﹣2
考点6 复数对应复平面中的点
壹
【答案】C
【解答】解：复数2i（i+m）对应的点的坐标为（﹣2，4），
则2i（i+m）＝﹣2+2mi＝﹣2+4i，
所以2m＝4，
故m＝2．
故选：C．
考点7 由复平面中的点确定复数
壹
已知复数z1，z2在复平面内所对应的点分别为A（1，a），B（a，﹣1），且z1z2＝2，则????????=（　　）
A．（0，﹣2） B．（1，﹣3）
C．（2，﹣4） D．（﹣1，﹣1）
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考点7 由复平面中的点确定复数
壹
【答案】A
【解答】解：由题意得z1＝1+ai，z2＝a﹣i，
则z1z2＝（1+ai）（a﹣i）＝2a+（a2﹣1）i＝2，
可得2a＝2，a2﹣1＝0，解得a＝1，
????????=（0，﹣2）．
故选：A．
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考点8 共轭复数
壹
复数z满足????????=2?2025????，则z的虚部为（　　）
A．﹣2 B．﹣2025i
C．2 D．﹣2025
?
考点8 共轭复数
壹
【答案】A
【解答】解：由????????=2?2025i，可得z＝2025+2i，
则z=2025?2i，
故z的虚部为﹣2．
故选：A．
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考点9 复数的模
壹
已知复数z满足i?z+3＝3i，则|z|＝（　　）
A．32 B．23
C．6 D．3
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考点9 复数的模
壹
【答案】A
【解答】解：由i?z+3＝3i，得????=?3+3ii=(?3+3i)?(?i)i?(?i)=3+3i，
则|z|=32+32=32．
故选：A．
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考点9 复数的模
壹
已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝2，则|z|＝（　　）
A．2 B．1
C．22 D．12
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考点9 复数的模
壹
【答案】A
【解答】解：因为z（1+i）＝2，所以????=21+????=2(1?????)(1+i)(1?i)=1?i,则|z|=2．
故选：A．