7.2 复数的四则运算 2025-2026高中数学必修二高一下同步复习课件(共31张PPT)

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高中数学
同步复习
7.2 复数的四则运算
01
知识剖析
知识点1 复数的四则运算
壹
1．复数的加法运算及其几何意义
(1)复数的加法法则
设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的加法满足的运算律
对任意z1,z2,z3∈C，有
①交换律：z1+z2=z2+z1；
②结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)。
知识点1 复数的四则运算
壹
(3)复数加法的几何意义
在复平面内，设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 OZ1ZZ2(如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.
知识点1 复数的四则运算
壹
2．复数的减法运算及其几何意义
(1)复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(2)复数减法的几何意义
两个复数z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，那么这两个复数的差z1-z2对应的向量是，即向量.
知识点1 复数的四则运算
壹
如果作，那么点Z对应的复数就是z2-z1(如图所示).
这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向
量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.
知识点1 复数的四则运算
壹
3．复数的乘法运算
(1)复数的乘法法则
设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与
虚部分别合并即可.
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1,z2,z3∈C，有
①交换律：Z1Z2=Z2Z1；
②结合律：(Z1Z2)Z3=Z1(Z2Z3)；
③分配律：Z1(Z2+Z3)=Z1Z2+Z1Z3.
在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z1,z2,z3和正整数m,n，有ZmZn=Zm+n,(Zm)n=Zmn,(Z1Z2)n=
知识点1 复数的四则运算
壹
4．复数的除法
(1)定义
我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除
以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).
(2)复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)=i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
知识点1 复数的四则运算
壹
5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义
设复数z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d)，则
，又复数z1-z2=(a-c)+(b-d)i，则.
故=，即表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离.
6．复数运算的常用技巧
(1)复数常见运算小结论
①；(1+i)2=2i
②；(1-i)2=-2i
③；(1+i)(1-i)=2
④；
⑤i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈Z).
知识点1 复数的四则运算
壹
(2)常用公式
(a+bi)(a-bi)=a2+b2；
(a)2=a2+b2；
(abi)3=a3-3ab2(3a2b-b3)i.
知识点2 复数范围内方程的根
壹
1．复数范围内实数系一元二次方程的根
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当 >0时，方程有两个不相等的实根
，；
当 =0时，方程有两个相等的实根；
当 <0时，方程有两个虚根，,且两个虚数根互为共轭复数.
知识点2 复数范围内方程的根
壹
2．复数的方程的解题策略
(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
02
考点演练
考点1 复数的加、减运算及其几何意义
壹
已知复数a，b∈R，ai（1+2i）＝b+3i，则a+b＝（　　）
A．3 B．﹣3
C．4 D．﹣4
考点1 虚数单位i及其性质
壹
【答案】B
【解答】解：因为ai（1+2i）＝b+3i＝﹣2a+ai，复数a，b∈R，所以a=3b= 2a，解得b= 6a=3，
则a+b＝﹣3．
故选：B．
考点1 虚数单位i及其性质
壹
已知复数z1＝6﹣5i，z2＝3+2i，其中i为虚数单位，则z1+z2＝（　　）
A．9﹣3i B．9+3i
C．9﹣7i D．9+7i
考点1 虚数单位i及其性质
壹
【答案】A
【解答】解：由z1＝6﹣5i，z2＝3+2i，可得z1+z2＝6﹣5i+3+2i＝9﹣3i．
故选：A．
考点2 复数的乘法及乘方运算
壹
已知复数z＝i（1+i），则z的虚部是（　　）
A．﹣1 B．1
C．﹣i D．i
考点2 复数的乘法及乘方运算
壹
【答案】B
【解答】解：复数z＝i（1+i）＝﹣1+i，其虚部为1．
故选：B．
考点2 复数的乘法及乘方运算
壹
已知z＝2﹣i，则z2＝（　　）
A．3﹣4i B．3+4i
C．﹣3+4i D．﹣3﹣4i
考点2 复数的乘法及乘方运算
壹
【答案】A
【解答】解：z2＝（2﹣i）2＝4﹣4i+i2＝3﹣4i．
故选：A．
考点3 复数的除法运算
壹
已知（1﹣i）2z＝3+2i，则z=（　　）
A． B．
C． D．
考点3 复数的除法运算
壹
【答案】A
【解答】解：（1﹣i）2z＝3+2i，
则，故．
故选：A．
考点3 复数的除法运算
壹
在复平面内，复数z满足，则复数z对应的点的坐标是（　　）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，1）
C．（﹣1，﹣1） D．（1，1）
考点3 复数的除法运算
壹
【答案】A
【解答】解：复数z满足
，
故复数z对应的点的坐标是（1，﹣1）．
故选：A．
考点3 复数的混合运算
壹
已知i为虚数单位，x，y∈R，若（x﹣i）i＝y﹣2i，则（　　）
A．x＝﹣2，y＝﹣1 B．x＝2，y＝﹣1
C．x＝﹣2，y＝1 D．x＝2，y＝1
考点3 复数的混合运算
壹
【答案】C
【解答】解：由i为虚数单位，x，y∈R，（x﹣i）i＝y﹣2i，化简得xi+1＝y﹣2i，
故x＝﹣2，y＝1．
故选：C．
考点3 复数的混合运算
壹
已知复数z＝a+bi（a，b∈R），若(1 i)z= 2+ai，则复数z在复平面内对应的点Z位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点3 复数的混合运算
壹
【答案】C
【解答】解：由z＝a+bi（a，b∈R），(1 i)z= 2+ai，
得（1﹣i）（a+bi）＝a﹣bi﹣2+ai，
∴a+b+（b﹣a）i＝a﹣2+（a﹣b）i，
可得a+b＝a﹣2且b﹣a＝a﹣b，解得a＝b＝﹣2，
∴z＝﹣2﹣2i，其在复平面内对应的点的坐标为Z（﹣2，﹣2），在第三象限．
故选：C．
考点3 复数的混合运算
壹
已知：实系数一元二次方程x2+px+q＝0有虚根α＝﹣1+i，另一根为β．
（1）求：实数p，q的值；
（2）求：α2+β2的值．
考点3 复数的混合运算
壹
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵实系数一元二次方程x2+px+q＝0有虚根α＝﹣1+i，
∴方程必有另一根为β＝﹣1 i，
∴由韦达定理可得α+β＝﹣2＝﹣p，αβ＝4＝q，
∴p＝2，q＝4；
（2）α2+β2＝(﹣1+i)2+(﹣1 i)2
＝﹣2﹣2i﹣2+2i＝﹣4