8.6 空间直线、平面的垂直（一） 2025-2026高中数学必修二高一下同步复习课件(共39张PPT)

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高中数学
同步复习
8.6 空间直线、平面的垂直（一）
01
思维导图
02
知识剖析
考点01 直线与直线垂直
1．异面直线所成的角
(1)两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
壹
考点01 直线与直线垂直
(2)异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角 必须是锐角或直角，即的范围是0 <.
(3)两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a⊥b.
壹
考点02 直线与平面垂直
1．直线与平面垂直
(1)定义
如果直线l与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面 互相垂直，记作l⊥.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.
(2)点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
考点02 直线与平面垂直
2．直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：, ,
该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.
考点02 直线与平面垂直
3．直线与平面所成的角
(1)定义
①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.
②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.
③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
考点02 直线与平面垂直
(2)直线与平面所成的角的范围
①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是 0 .
②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 ..
③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是 0 <.
④直线与平面所成的角的取值范围是0 . .
考点02 直线与平面垂直
4．直线与平面垂直的性质定理
(1)直线与平面垂直的性质定理
①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
②图形语言：如图所示．
③符号语言： a
(2)性质定理的作用
①由线面垂直证明线线平行.
②构造平行线.
考点02 直线与平面垂直
5．点在平面内射影位置的确定
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说，可以直接过这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定.
(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.
(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线.
考点03 二面角
1．二面角
(1)二面角的定义
①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.
②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
考点03 二面角
(2)二面角的表示
①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α-l-β，如图(1).
②若在α，β内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2).
考点03 二面角
(3)二面角的平面角
①自然语言
在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
②图形语言
③符号语言
∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
考点03 二面角
(4)二面角大小的度量
①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小是180°.所以二面角的平面角α的范围是0 . .
考点03 二面角
2．几何法求二面角
作二面角的平面角的方法：
作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
考点04 平面与平面垂直
1．面面垂直的定义及判定定理
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β.
(2)两个平面互相垂直的画法
如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.
考点04 平面与平面垂直
(3)平面与平面垂直的判定定理
①自然语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”
考点04 平面与平面垂直
2．平面与平面垂直的性质定理
(1)平面与平面垂直的性质定理
①自然语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
②图形语言
③符号语言 ,
(2)性质定理的作用
①证明线面垂直、线线垂直；
②构造面的垂线.
考点04 平面与平面垂直
3．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化
(1)判定直线与直线垂直的方法
①定义法：两条直线所成的角为90，则这两条直线互相垂直.
②利用直线与平面垂直的性质来判定.
③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条.
考点04 平面与平面垂直
(2)判定直线与平面垂直的方法
①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直.
②利用直线与平面垂直的判定定理来判定.
③利用平面与平面垂直的性质定理来判定.
④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥α b⊥α.
⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即α∥β，a⊥α a⊥β.
考点04 平面与平面垂直
(3)平面与平面垂直的其他性质与结论
①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.
④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.
⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
考点04 平面与平面垂直
(4)线、面垂直位置关系的相互转化
考点04 平面与平面垂直
(5)平行关系与垂直关系的相互转化
考点04 平面与平面垂直
4．点到平面的距离的常见求法
(1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离.
(2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求.
(3)等体积法.
03
综合训练
如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则直线BC1与A1C所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
B
考点01 异面直线及其所成的角
01
【答案】B
【解答】解：记，，，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD＝90°，
∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
则，，，
又，，
所以，
可得24+4+2×2＝12，
2224+4+4+0﹣2×2﹣2×2＝4，
所以||＝2，||＝2，
可得cos，，
记BC1与A1C所成的角为θ，
则cosθ＝|cos，|．
故选：B．
考点01 异面直线及其所成的角
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与对角线BD1异面的棱有（　　）
A．3条 B．4条 C．6条 D．8条
C
考点02 异面直线的判定
0
【答案】C
【解答】解：在正方体ABCD﹣ A1B1C1D1中，与对角线BD1异面的棱有：
AD、CD、A1B1、B1C1、AA1、CC1，共有6条．
故选：C．
考点02 异面直线的判定
0
已知直线m，n和平面α，其中m α，则“m⊥n”是“n⊥α”的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
C
考点03 直线与平面垂直
【答案】C
【解答】解：由m α，m⊥n，则可能有n α，n∥α或者n与α相交，不能推出n⊥α，
若n⊥α，m α，则有n⊥m，所以m⊥n是n⊥α的必要不充分条件．
故选：C．
考点03 直线与平面垂直
若α，β是两个不同的平面，直线m⊥α，则“m∥β”是“α⊥β”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A
考点04 平面与平面垂直
【答案】A
【解答】解：α，β是两个不同的平面，直线m⊥α，
当m∥β时，由面面垂直的判定定理可知α⊥β，故充分性成立，
当m⊥α，α⊥β时，则m∥β或m β，故必要性不成立，
则“m∥β”是“α⊥β”的充分不必要条件．
故选：A．
考点04 平面与平面垂直
已知三棱锥P﹣ABC的体积为1，△ABC是边长为2的正三角形，且PA＝2，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．1
C
考点05 几何法求解直线与平面所成的角
【答案】C
【解答】解：因为△ABC是边长为2的正三角形，
所以．
因为三棱锥P﹣ABC的体积为1，
所以．
解得．
设直线PA与平面ABC所成角为θ，
所以．
故选：C．
考点05 几何法求解直线与平面所成的角
如图，点B在以AC为直径的圆O的圆周上，平面ABC，2PA＝AC＝4，则二面角P﹣BC﹣A的平面角为（　　）

A． B． C． D．
C
考点06 几何法求解二面角及两平面的夹角
【答案】C
【解答】解：因为，所以AB＝OA＝2，
因为点B在以AC为直径的圆O的圆周上，
所以AB⊥BC，
因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以PA⊥BC，
又因为PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
因为PB 平面PAB，所以BC⊥PB，
所以∠PBA是二面角P﹣BC﹣A的平面角，
又因为AB＝PA＝2，
所以．
故选：C．
考点06 几何法求解二面角及两平面的夹角