8.5 空间直线、平面的平行 2025-2026高中数学必修二高一下同步复习课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
高中数学
同步复习
8.5 空间直线、平面的平行
01
思维导图
02
知识剖析
考点01 空间中的平行关系
1．直线与直线平行
(1)基本事实4
①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行.
②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c.
③作用：判断或证明空间中两条直线平行.
(2)空间等角定理
①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A‘O’B‘中，OA∥O’A‘，OB∥O’B‘，ze∠AOB=∠A’O’B’或∠AOB+∠A‘O’B’=180。 .
壹
考点01 空间中的平行关系
2．直线与平面平行
(1)判定定理
①自然语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
②图形语言
③符号语言
该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”
壹
考点01 空间中的平行关系
(2)性质定理
①自然语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
②图形语言
③符号语言
该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”
壹
考点01 空间中的平行关系
(3)性质定理的作用
①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行.
②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线.
壹
考点01 空间中的平行关系
3．平面与平面平行
(1)判定定理
①自然语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
②图形语言
③符号语售
该定理可简记为“若线面平行，则面面平行””
该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.
壹
考点01 空间中的平行关系
(2)判定定理的推论
①自然语言
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.
②图形语言
③符号语售
壹
考点01 空间中的平行关系
(3)性质定理
①自然语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
②图形语言
③符号语售
, =
该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.
壹
考点01 空间中的平行关系
(4)两个平面平行的其他性质
①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.
②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等.
③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例.
⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
壹
考点01 空间中的平行关系
【注】
1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α//β.
2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α//β，β//γ，则α//γ.
3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a//b.
4．若α//β，a α，则a//β.
壹
考点02 平行关系的相互转化及综合应用
1．平行关系的相互转化及综合应用
(1)证明线线平行的常用方法
①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线.
②利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.
③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半.
④利用平行线分线段成比例定理.
⑤利用线面平行的性质定理.
⑥利用面面平行的性质定理.
⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的.
考点02 平行关系的相互转化及综合应用
(2)证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点.
②利用直线与平面平行的判定定理：a ，a∥b，b ，则a∥a .使用定理时，一定要说明“平面外一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥a ，则必须在平面 内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可.
③利用面面平行的性质：若平面 ∥平面 ，直线a ，则a∥ .
④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视.
考点02 平行关系的相互转化及综合应用
(3)平面与平面平行的判定方法
①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难.
②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，则这两个平面平行.
③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行，则这两个平面平行.
④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行.
⑤利用反证法.
考点02 平行关系的相互转化及综合应用
(4)平行关系的相互转化
常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的，如图所示.
03
综合训练
如图，空间四边形ABCD的对角线AC，BD相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是（　　）
A．矩形 B．正方形
C．菱形 D．空间四边形
C
考点01 平行公理
01
【答案】C
【解答】解：连接AC、BD，则
∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，EF＝GH=1/2 AC，EH＝FG=1/2BD
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC＝BD
∴EF＝EH
∴四边形EFGH是菱形
故选：C．
考点01 平行公理
01
空间四边形ABCD中，点E、F、G、H为边AB、BC、CD、DA上的点，且EH∥FG，求证：EH∥BD．
考点01 平行公理
01
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵点E、F、G、H为空间四边形边AB．BC．CD．DA上的点
∴直线EH 平面BCD，直线FG 平面BCD
又EH∥FG
∴直线EH∥平面BCD
又∵EH 平面ABD且平面ABD∩平面BCD＝BD
∴EH∥BD
考点01 平行公理
01
已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，若PA1∥平面AEF，则线段PA1的长度的最小值是（　　）
A． B．2 C． D．3
A
考点02 直线与平面平行
01
【答案】A
【解答】解：取B1C1的中点M，BB1的中点N，连接A1M，A1N，MN，ME，如图所示：
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，因为AA1∥BB1∥ME，且AA1＝BB1＝ME，
所以四边形AA1ME是平行四边形，所以A1∥AE，
又因为A1M 平面AEF，AE 平面AEF，所以A1M∥平面AEF．
因为M，N分别是B1C1和BB1的中点，所以MN∥BC1．
同理可知EF∥BC1，所以EF∥MN．
又因为MN 平面AEF，EF 平面AEF，所以MN∥平面AEF．
又因为A1M∩MN＝M，A1M 平面A1MN，MN 平面A1MN，
所以平面A1MN∥平面AEF．
因为PA1∥平面AEF，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，
所以点P在线段MN上运动．
考点02 直线与平面平行
01
考点02 直线与平面平行
01
在△A1MN中，A1M＝A1N，MN，△A1MN为等腰三角形，
所以点P为线段MN的中点时，PA1取得最小值．
此时PA1，
即PA1的最小值为．
故选：A．
考点02 直线与平面平行
01
如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，（　　）

A． B． C．2 D．
A
考点02 直线与平面平行
01
【答案】A
【解答】解：连接AC，设AC交BE于O，连接OF，
因为PA∥平面EBF，OF 平面BEF，
且PA，OF 平面PAC，
所以PA∥OF，
在平行四边形ABCD，E为AD的中点，所以2，
所以．
故选：A．
考点02 直线与平面平行
01
给出以下四个命题：
①斜棱柱的侧面展开图一定是一个平行四边形；
②若直线a与直线b异面，且a∥平面α，则b与α的位置关系是平行或相交；
③如果两条平行线中有一条平行于这个平面，那么另外一条直线也平行于该平面；
④若正方体的截面形状是四边形，则该四边形必有一组边平行．
其中正确的命题是 　 （填写序号）．
考点02 直线与平面平行
01
【答案】④．
【解答】解：对于①：斜棱柱的每个侧面是平行四边形，但是全部展开以后，这些平行四边形未必可以构成一个平行四边形，故①错误；
对于②：若直线a与直线b异面，且a∥平面α，则b与α的位置关系是平行或相交或b α，故②错误；
对于③：如果两条平行线中有一条平行于这个平面，那么另外一条直线平行于该平面或在该平面内，故③错误；
对于④：若正方体的截面形状是四边形，则截面必与相对的两个平面相交，
因为正方体中相对的两个平面互相平行，
所以由面面平行的性质可知，这两条交线必平行，即该四边形必有一组边平行，故④正确．
故答案为：④．
考点03 平面与平面平行
01
设α，β为两个不同的平面，则下列条件不能推出α∥β的是（　　）
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有一个三角形的三条边均与β平行
C．α，β垂直于同一条直线
D．α，β平行于同一个平面
考点03 平面与平面平行
01
【答案】A
【解答】解：若α内有无数条平行直线与β平行，
则α，β可能平行或相交，故A正确；
若α内有一个△ABC的三条边均与β平行，AB∥β，BC∥β，AC∥β，
又AB∩BC＝B，AB，BC α，
由面面平行的判断定理可得α∥β，故B错误；
若α，β垂直于同一条直线，由线面垂直的性质可得α∥β，故C错误；
若α，β平行于同一个平面，
由面面平行的性质可得α∥β，故D错误．
故选：A．
考点03 平面与平面平行
01
下列说法正确的是（　　）
A．一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
B．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
C．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
D．一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行
考点03 平面与平面平行
01
【答案】D
【解答】解：A选项，这两个平面可能相交或平行，A错误；
B选项，这两个平面可能相交或平行，B错误；
C选项，这两个平面可能相交或平行，C错误；
D选项，一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，根据面面平行的判断定理可知，这两个平面平行，D正确．
故选：D．