7.3 复数的三角表示 2025-2026高中数学必修二高一下同步复习课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
高中数学
同步复习
7.3 复数的三角表示式
01
知识剖析
知识点1 复数的三角表示式
壹
1．复数的三角表示式
(1)复数的三角表示式
如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z.
一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式.
知识点1 复数的三角表示式
壹
概念名称 概念的说明
模r r是复数z的模，
辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 ,
三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连
知识点1 复数的三角表示式
壹
(2)辅角的主值
显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是
，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0≤argz<2π.
(3)三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
知识点2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
壹
1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数乘法运算的三角表示
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到
，
即.
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
知识点2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
壹
(2)几何意义
两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义.
知识点2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
壹
2．复数除法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数除法运算的三角表示
设，，且，因为
，所以根据复数除法的定义，有.
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐
角减去除数的辐角所得的差.
知识点2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
壹
(2)几何意义
如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，然后把向量绕点O按
顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义.
02
考点演练
考点1 复数的代数形式与三角形式互化
壹
复数 +i的三角形式为（　　）
A．2(cos+isin) B．2(cos+isin)
C．cos+isin D．cos+isin
考点1 复数的代数形式与三角形式互化
壹
【答案】B
【解答】解：∵cos=-，sin=，
∴2(cos+isin)= 1+i，cos+isin= +i，故A，C错误；
∵cos= ，sin=，
∴2(cos+isin)= +i，cos+isin= +i，故B正确，D错误．
故选：B．
考点1 复数的代数形式与三角形式互化
壹
复数z＝1+cosα+isinα（π＜α＜2π），则|z|为（　　）
A．2cos B． 2cos
C．2sin D． 2sin
考点1 复数的代数形式与三角形式互化
壹
【答案】B
【解答】解：由复数z＝1+cosα+isinα，得
，
∵π＜α＜2π，∴cos＜0，则|z|＝﹣2cos．
故选：B．
考点1 复数的代数形式与三角形式互化
壹
复数z=2(cos+isin)的虚部是（　　）
A．sin B．1
C．z=2cos D．i
考点1 复数的代数形式与三角形式互化
壹
【答案】B
【解答】解：z=2(cos+isin)=2（+i）=+i，
所以该复数的虚部1．
故选：B．
考点2 复数的辐角和辐角主值
壹
复数z= sin+icos的辐角主值为（　　）
A． B．
C． D．
考点2 复数的辐角和辐角主值
壹
【答案】C
【解答】解：z= sin+icos=cos(+)+isin()=cos+isin，
则复数z的辐角主值为．
故选：C．
考点2 复数的辐角和辐角主值
壹
复数cos isin的辐角主值是（　　）
A． B．
C． D．
考点2 复数的辐角和辐角主值
壹
【答案】D
【解答】解：复数cos isin= i=cos+isin，
所以复数cos isin的辐角主值是．
故选：D．
考点2 复数的辐角和辐角主值
壹
设z1= 1+i，z2=(z1)2，则argz2＝（　　）
A．π B．π
C．π D．π
考点2 复数的辐角和辐角主值
壹
【答案】B
【解答】解：由z1= 1+i，
则z2=（﹣1+i）2= i=cosπ+isinπ，
即argz2=π，
故选：B．
考点2 复数的辐角和辐角主值
壹
任何一个复数z＝a+bi（a，b∈R）都可以表示成z＝r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是复数z的模：θ是以x轴的非负半轴为始边，复数在复平面内对应的平面向量=(a，b)所在射线为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角．我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记为argz．那么arg( 1+i)=（　　）
A． B．
C． D．
考点2 复数的辐角和辐角主值
壹
【答案】B
【解答】解：由题意可得|﹣1+i|==2，
则﹣1+i＝2（ +i）＝2（cos+isin），
所以arg（﹣1+i）=．
故选：B．
考点3复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
壹
设复数z1，z2对应的向量分别为，，O为坐标原点，且z1= +i，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则z2＝（　　）
A．1 i B． 1+i
C． i D． +i
考点3复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
壹
【答案】B
【解答】解：由题意知2（ +i）＝2（cos+isin），
所以z＝2（cos+isin）[cos（ ）+isin（ ）]＝2（cos0+isin0）＝2，
由z＝z2（cos+isin）＝2，
所以z2==2（cos sin）＝﹣1+i．
故选：B．
考点3复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
壹
（多选）将1+i所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转θ角，所得向量对应的复数是﹣2i，则θ的值可以是（　　）
A． B．
C． D．
考点3复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
壹
【答案】CD
【解答】解：由题意，可得（cosθ+isinθ）＝﹣2i，
∴cosθ+isinθ== i，
则θ的值可以是，．
故选：CD．
考点3复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
壹
在复平面内，把复数3 i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是（　　）
A．2 B． 2i
C． 3i D．3+i
考点3复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
壹
【答案】B
【解答】解：∵由题意知复数3 i对应的向量按顺时针方向旋转π3，
∴旋转后的向量为(3 i)[cos( )+isin( )]=(3 i)( )= 2i．
故选：B．
考点3复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
壹
将复数1+i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是（　　）
A．2i B．i
C．+i D．+i
考点3复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
壹
【答案】B
【解答】解：∵向量对应的复数为1+i，
把向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，
则对应的复数是
．
故选：B．