8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 2025-2026高中数学必修二高一下同步复习课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
高中数学
同步复习
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
01
思维导图
02
知识剖析
考点01 平面
1．平面
(1)平面的概念
生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等，几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.
(2)平面的画法
①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.
②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所示，常把平行四边形的一边画成竖向.
考点01 平面
(3)平面的表示方法
平面一般用希腊字母 ,,, …表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.
考点01 平面
2．点、直线、平面的位置关系的符号表示
点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的集合。点与直线(平面)之间的位置关系用符号“ ”“ ”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“ ”表示。
考点01 平面
3．三个基本事实及其推论
(1)三个基本事实及其表示
考点01 平面
(2)三个基本事实的作用
基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.
基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.
基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.
考点01 平面
(2)基本事实1和2的三个推论
推论 自然语言 图形语言 符号语言
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A a a与A共面于平面α，且平面唯一.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=P a与b共面于平面α，且平面唯一.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b 直线a,b共面于平面α，且平面唯一.
考点02 空间点、线、面之间的位置关系
1．空间中直线与直线的位置关系
(1)三种位置关系
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种：
考点02 空间点、线、面之间的位置关系
(2)异面直线的画法
为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.
考点02 空间点、线、面之间的位置关系
2．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下：
考点02 空间点、线、面之间的位置关系
3．空间中平面与平面的位置关系
(1)两种位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下：
(2)平行平面的画法技巧
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.
考点02 空间点、线、面之间的位置关系
4．平面分空间问题
一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢 三个平面呢
(1)两个平面有两种情形：
①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；
②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).
考点02 空间点、线、面之间的位置关系
(2)三个平面有五种情形：
①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)；
②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；
③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；
④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；
⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).
03
综合训练
如图所示，用符号语言可表达为（　　）
A
考点01 点直线平面的交点交线及包含关系的符号语言表示
． ∩ ＝ ， ， ∩ ＝
【答案】A
【解答】解：B中，直线n是集合，所以n α，所以B不正确；
C中A点是元素，所以A∈m，A∈n，所以C不正确；
D中，错在n∈α，
故选：A．
考点01 点直线平面的交点交线及包含关系的符号语言表示
下列条件一定能确定一个平面的是（　　）
A．空间三个点
B．空间一条直线和一个点
C．两条相互垂直的直线
D．两条相互平行的直线
D
考点02 点和直线确定平面及其数量
【答案】D
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A错误；
由空间中一条直线和直线外一点确定唯一一个平面，可知B错误；
两条相互垂直的直线，可能共面垂直也可能异面垂直，可知C错误；
由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知D选项正确．
故选：D．
考点02 点和直线确定平面及其数量
D
考点03 平面的交线及其性质
考点03 平面的交线及其性质
【答案】D
【解答】解：∵直线AB∩＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，
∴β∩γ＝MC，
∴γ与β的交线必通过点C和点M，
故选：D．
下列命题中正确的是（　　）
A．过三点确定一个圆
B．两个相交平面把空间分成四个区域
C．三条直线两两相交，则确定一个平面
D．四边形一定是平面图形
B
考点04 平面分割空间
【答案】B
【解答】解：如果三点共线，则不可能确定圆，所以A不正确；
两个相交平面把空间分成四个区域，正确；
三条直线两两相交，则确定一个平面，或3个平面，所以C正确；
四边形是平面图形，也可能是空间图形，所以D不正确．
故选：B．
考点04 平面分割空间
若一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角（　　）
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．无法确定
C
考点05 空间图形的公理
【答案】C
【解答】解：如图，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，
∴∠3＝∠4，∠4＝∠1，∠4+∠2＝180°；
∴∠3＝∠1，∠3+∠2＝180°．
∴这两个角相等或互补．
故选：C．
考点05 空间图形的公理
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，AD＝2BC，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设CP＝λCF，则λ＝（　　）

A．3 B．2 C． D．
A
考点06 空间中直线与直线之间的位置关系
【答案】A
【解答】解：已知在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，AD＝2BC，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，
延长DC，AB交于G，连接GP，连接GE交PC于点F，
则由BC∥AD，AD＝2BC，
得C是DG中点，
因为E是PD中点，
所以F是△PDG的重心，
则CF= CP，
即λ＝3．
故选：A．
考点06 空间中直线与直线之间的位置关系
若空间中三条不同的直线a，b，c满足a⊥c，b⊥c，则a∥b是a，b，c共面的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B
考点07 空间中直线与平面之间的位置关系
【答案】B
【解答】解：如图所示：满足a⊥c，b⊥c，且a∥b，
但是a α，b α，c β，
所以可知a∥b是a，b，c共面的不充分条件；
当a，b，c共面时，若a⊥c，b⊥c，则必然有a∥b，
即a∥b是a，b，c共面的必要条件，
综上可知：a∥b是a，b，c共面的必要不充分条件．
故选：B．
考点07 空间中直线与平面之间的位置关系
已知两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足m⊥α，n β，则m∥n是α⊥β的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
B
考点08 平面与平面之间的位置关系
【答案】B
【解答】解：因为两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足m⊥α，n β，
所以若m∥n，m⊥α时，则n⊥α，又n β，所以α⊥β，即充分性成立；
若α⊥β，m⊥α，n β，则m∥β或m β，则m∥n或m与n相交或异面，即必要性不成立，
所以“m∥n“是“α⊥β“的充分非必要条件．
故选：B．
考点08 平面与平面之间的位置关系
已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m α，n β，m∥n，则α∥β；
④若m，n是异面直线，m α，m∥β，n β，n∥α，则α∥β．其中真命题是（　　）
A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④
D
考点08 平面与平面之间的位置关系
【答案】D
【解答】解：在①中，由线面角的定义可知答案①中的直线m⊥α，m⊥β，则平面α∥β是正确的，故①正确；
在②中，两个平面α，β也可能相交，故②不正确；
在③中，两个平面m α，n β可以推出两个平面α，β相交，故③不正确；
在④中，可将直线n平移到平面α内，借助异面直线平移后不相交的结论及面面平行的判定定理可知α∥β，故④正确．
故选：D．
考点08 平面与平面之间的位置关系