10.2 事件的相互独立性 2025-2026高中数学必修二高一下同步复习课件(共31张PPT)

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高中数学
同步复习
10.2 事件的相互独立性
01
知识剖析
知识点1 事件的相互独立性
1
事件的相互独立性
(1)定义
对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
(2)性质
若事件A与B相互独立，则 与B，A与 ， 与 也相互独立.
(3)应用
因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它
们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立.
(4)推广
两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，···，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2···An)=P(A1)P(A2)···P(An).
01
知识点1 有限样本空间与事件
2
互斥事件与相互独立事件的辨析
(1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下：
01
相互独立事件 互斥事件
判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB= .
概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立.
知识点1 有限样本空间与事件
2
互斥事件与相互独立事件的辨析
(2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论：
01
知识点1 有限样本空间与事件
3
求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
01
02
综合训练
抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（　　）
A．A与B互斥 B．B与C互为对立
C．A与B相互独立 D．A与C相互独立
一．由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性
01
【答案】D
【解答】解：根据题意，抛掷一枚质地均匀的骰子两次，其中第一次在前，第二次在后，
样本空间Ω如下：{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共36个样本点；
依次分析选项：
对于A，AB＝{（3，1）}，事件A、B可以同时发生，即事件A、B不互斥，A错误；
对于B，事件B、B互斥但不对立，B错误；
对于C，A＝{（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）}
B＝{（1，3），（2，2），（3，1）}；
P（A）=636=16，P（B）=336=112，P（AB）=136，事件A、B不相互独立，C错误；
对于D，C＝{（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）}，
AC＝{（3，4）}，
P（A）=636=16，P（C）=636=16，P（AC）=136，
则A与C相互独立，D正确．
故选：D．
一．由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性
01
有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（　　）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
一．由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性
01
【答案】B
【解答】解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），
两点数和为7的所有可能为（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），
P（甲）=16，P（乙）=16，P（丙）=56×6=536，P（丁）=66×6=16，
A：P（甲丙）＝0≠P（甲）P（丙），
B：P（甲丁）=136=P（甲）P（丁），
C：P（乙丙）=136≠P（乙）P（丙），
D：P（丙丁）＝0≠P（丙）P（丁），
故选：B．
一．由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性
01
关于事件的相互独立性，下列命题不正确的是（　　）
A．若A，B，C三个事件两两相互独立，则P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）
B．若事件A和B相互独立，则A和B也相互独立
C．一个必然事件和任意一个事件都相互独立
D．若P（A）＞0，P（B）＞0，则事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立
一．由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性
01
【答案】A
【解答】解：若A，B，C三个事件两两相互独立，
则P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），
P（BC）＝P（B）P（C），
推不出P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），A错误；
若事件A和B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B），
又P(B)=1 P(B)，
则P(AB)=P(A) P(AB)=P(A) P(A)P(B)
=P(A)[1 P(B)]=P(A)P(B)，B正确；
一个必然事件A发生的概率为1，
设任意一个事件B发生的概率为P，
则P（B）＝P＝P（A）P（B），C正确；
若P（A）＞0，P（B）＞0，事件A，B相互独立，
则P（AB）＝P（A）P（B）＞0，
若A，B互斥，则P（AB）＝0，故D正确．
故选：A．
一．由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性
01
袋中装有6个形状大小相同的小球，其中有1个是编号为1的红球，2个编号分别是1和2的黄球，3个编号分别是1，2，3的蓝球，从中随机摸一个球，则以下事件相互独立的是（　　）
A．“摸到红球”与“摸到编号是1的球”
B．“摸到黄球”与“摸到编号是2的球”
C．“摸到蓝球”与“摸到编号是1的球”
D．“摸到蓝球”与“摸到编号是2的球”
一．由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性
01
【答案】D
【解答】解：袋中装有6个形状大小相同的小球，其中有1个是编号为1的红球，
2个编号分别是1和2的黄球，3个编号分别是1，2，3的蓝球，
从中随机摸一个球，共有9种可能的结果，
选项A：记“摸到红球”为事件A，“摸到编号是1的球”为事件B，
则P（A）=16，P（B）=12，P（AB）=16，由P（A） P（B）≠P（AB），
可得事件A，B不是相互独立事件，故A错误；
选项B：记“摸到黄球”为事件C，“摸到编号是2的球”为事件D，
则P（C）=13，P（D）=13，P（CD）=16，由P（C） P（D）≠P（CD），
可得事件C，D不是相互独立事件，故B错误；
选项C：记“摸到蓝球”为事件E，“摸到编号是1的球”为事件F，
则P（E）=12，P（F）=12，P（EF）=16，由P（E） P（F）≠P（EF），
可得事件E，F不是相互独立事件，故C错误；
选项D：记“摸到蓝球”为事件G，“摸到编号是2的球”为事件H，
则P（G）=12，P（H）=13，P（GH）=16，由P（G） P（H）＝P（GH），
可得事件G，H是相互独立事件，故D正确．
故选：D．
一．由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性
01
抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A＝“n次中至多有一次反面朝上”，事件B＝“n次中全部正面朝上或全部反面朝上”，下列说法正确的是（　　）
A．当n＝2时，P(AB)= B．当n＝2时，A与B不独立
C．当n＝3时，P(A∪B)= D．当n＝3时，A与B不独立故B与D相互独立，
一．由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性
01
【答案】ABC
【解答】解：A选项，当n＝2时，事件AB表示2次中全部正面朝上，P(AB)=，所以A选项正确；
B选项，当n＝2时，P(A)=，P(B)=，由上可知P(AB)=，
显然P（AB）≠P（A）P（B），所以A与B不独立，因此B选项正确；
C选项，当n＝3时，P(A)=，P(B)=，P(AB)=，
所以P(A∪B)=P(A)+P(B) P(AB)=58，故C选项正确；
D选项，当n＝3时，P(A)=，P(B)=，P(AB)=，
显然P（AB）＝P（A）P（B），所以A与B独立，因此D选项不正确．
故选：ABC．
一．由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性
01
连续抛掷一枚硬币两次，事件A表示“第一次硬币正面朝上”，事件B表示“第二次硬币反面朝上”，事件C表示“两次硬币都正面朝上”，事件D表示“两次硬币朝上的情况不同”，则（　　）
A．A与C相互独立 B．A与D相互独立
C．B与C相互独立 D．B与D相互独立
一．由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性
01
【答案】BD
【解答】解：根据题意可知，P(A)=，P(B)=，P(C)=×=，P(C)=1×=，
对A：P(AC)=×=，P(A) P(C)=×=，P（AC）≠P（A） P（C），
故A与C不相互独立，故A错误；
对B：P(AD)=×=，P(A) P(D)=×=，有P（AD）＝P（A） P（D），
故A与D相互独立，故B正确；
对C：P（BC）＝0，故B与C不相互独立，故C错误；
对D：P(BD)=×=，P(B) P(D)=×=，有P（BD）＝P（B） P（D），
故B与D相互独立，故D正确．
一．由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性
01
已知随机事件A、B，B表示事件B的对立事件，P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，则下面结论正确的是（　　）
A．事件A与B一定是对立事件
B．P（A∪B）＝1
C．P（AB）＝0.24
D．若事件A、B相互独立，则P(AB)=0.16
二．相互独立事件的概率乘法公式
01
【答案】D
【解答】解：根据题意，假设有5个小球，分别标有1、2、3、4、5个数字，
设A＝“取出标有数字1、2的小球”，B＝“取出标有数字1、2、3的小球”，
易得P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，
依次分析选项：
对于A，A B，事件A、B可以同时发生，即事件A与B不是对立事件，A错误；
对于B，P（A∪B）＝P（B）＝0.6，B错误；
对于C，P（AB）＝P（A）＝0.4，C错误；
对于D，P（B）＝0.6，则P（B）＝0.4，
若事件A、B相互独立，则A与B也相互独立，则有P（AB）＝P（A）P（B）＝0.16，D正确．
故选：D．
二．相互独立事件的概率乘法公式
01
甲、乙两人进行围棋决赛，现在的情形是甲只要再赢一局就能获得冠军，乙需要再赢两局才能获得冠军，若甲每局赢的概率为25，且没有平局，则甲获得冠军的概率为（　　）
A． B． C．D．
二．相互独立事件的概率乘法公式
01
【答案】D
【解答】解：因为甲、乙两人进行围棋决赛，现在的情形是甲只要再赢一局就能获得冠军，乙需要再赢两局才能获得冠军，
所以甲获得冠军有两种情况：
①甲在下一局获胜，获得冠军，概率是；
②甲在下一局输了，第二局获胜，获得冠军，概率是×=，
则甲获得冠军的概率为+=．
二．相互独立事件的概率乘法公式
01
现有甲、乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为23，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（　　）
A． B． C． D．
二．相互独立事件的概率乘法公式
01
【答案】A
【解答】解：甲队每场获胜的概率为，甲队获得胜利的情况为2：0，2：1，
若比分为2：0，其概率为P=×=，
若比分为2：1，其概率为P=C21××=，
则甲队获得胜利的概率+=．
故选：A．
二．相互独立事件的概率乘法公式
01
在某次英语四级考试中，若甲、乙通过考试的概率分别为0.7，0.8，两人是否通过这次考试相互独立，则甲、乙都通过这次考试的概率为（　　）
A．0.24 B．0.48 C．0.52 D．0.56
二．相互独立事件的概率乘法公式
01
【答案】D
【解答】解：在某次英语四级考试中，甲、乙通过考试的概率分别为0.7，0.8，
两人是否通过这次考试相互独立，
则甲、乙都通过这次考试的概率为P＝0.7×0.8＝0.56．
故选：D．
二．相互独立事件的概率乘法公式
01
已知某药店只有A，B，C三种不同品牌的N95口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩，若甲、乙买A品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买B品牌口罩的概率分别为0.6，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为（　　）
A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.36
二．相互独立事件的概率乘法公式
01
【答案】D
【解答】解：由题意，得甲、乙两人买C品牌口罩的概率分别是0.2、0.3，
所以甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为P＝0.2×0.3+0.6×0.4+0.2×0.3＝0.36．
故选：D．
二．相互独立事件的概率乘法公式
01
（多选）甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为0.7，乙每次命中概率为0.8，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（　　）
A．两人都命中的概率为0.56
B．恰好有一人命中的概率为0.38
C．两人都没有命中的概率为0.6
D．至少有一人命中的概率为0.7
二．相互独立事件的概率乘法公式
01
二．相互独立事件的概率乘法公式
01
【答案】AB
【解答】解：根据题意，记A＝“甲命中”，B＝“乙命中”，则A=“甲不命中”，B=“乙不命中”，
由于P（A）＝0.7，P（B）＝0.8，
则P(A)=1 P(A)=1 0.7=0.3，P(B)=1 P(B)=1 0.8=0.2．
依次分析选项：
对于A，AB＝“两人都命中”，P（AB）＝P（A）P（B）＝0.7×0.8＝0.56，故A正确；
对于B，AB+AB=“恰好有一人命中”，
则P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.7×0.2+0.3×0.8=0.38，故B正确；
对于C，AB=“两人都没有命中”，P(AB)=P(A)P(B)=0.3×0.2=0.06，故C错误；
对于D，“至少有一人命中”是“两人都没有命中”的对立事件，概率为1﹣0.06＝0.94，故D错误．
故选：AB．