8.3 简单几何体的表面积与体积2025-2026高中数学必修二高一下同步复习课件(共45张PPT)

(共45张PPT)
高中数学
同步复习
8.3 简单几何体的表面积与体积
01
知识剖析
知识点1 空间几何体的结构特征
壹
1．多面体的侧面积、表面积和体积
知识点1 空间几何体的结构特征
壹
1．多面体的侧面积、表面积和体积
知识点1 空间几何体的结构特征
壹
2．旋转体的侧面积、表面积和体积
知识点1 空间几何体的结构特征
壹
2．旋转体的侧面积、表面积和体积
知识点1 空间几何体的结构特征
壹
3．空间几何体表面积与体积的常见求法
(1)常见的求几何体体积的方法
①公式法：直接代入公式求解.
②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.
③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.
④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
(2)求组合体的表面积与体积的方法
求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该
怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.
知识点2 球的截面、几何体与球的切、接问题
壹
1．球的截面
(1)球的截面形状
①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；
②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.
(2)球的截面的性质
①球心和截面圆心的连线垂直于截面；
②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：.
知识点2 球的截面、几何体与球的切、接问题
壹
图形解释如下：
在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径
为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有OC2=O'C2+OO'2，即R2=r2+d2.
知识点2 球的截面、几何体与球的切、接问题
壹
2．几何体与球的切、接问题
常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.
常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：
02
考点演练
考点1 棱柱的侧面积和表面积
壹
已知一个直四棱柱的高为4，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的表面积为（　　）
A．40 B．32+16
C．64+16 D．64+16
考点1 棱柱的侧面积和表面积
壹
【答案】C
【解答】解：由于直观图是边长为2的正方形，
考点1 棱柱的侧面积和表面积
壹
所以ABCD是两邻边分别为2与6，高为42的平行四边形，
其周长是2+6+2+6＝16，面积是2×4=8，
所以直四棱柱的表面积是16×4+8×2=64+16．
故选：C．
考点2 棱锥的侧面积和表面积
壹
不锈钢实心陀螺是早起民间的小孩子的娱乐工具之一，现在成了一些城市老年人健身和娱乐的工具，目前的成人陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如图，已知一陀螺的圆柱的底面直径为16，圆柱和圆锥的高均为6，则该陀螺的表面积为（　　）
A．240π B．220π
C．160π D．176π
考点2 棱锥的侧面积和表面积
壹
【答案】A
【解答】解：因为圆柱的底面直径为16，所以半径为8，
则底面圆面面积为：π×82＝64π，
因为圆柱的高为6，
所以圆柱的侧面为：2×8π×6＝96π，
根据圆锥的高为6，底面圆的半径为8，
得圆锥母线长为=10，
所以圆锥的侧面为：×10×2×8π=80π，
所以该陀螺的表面积为：64π+96π+80π＝240π．
故选：A．
考点3 棱台的侧面积和表面积
壹
正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是3，则它的侧面积为
（　　）
A．6 B．12 C．24 D．44
考点3 棱台的侧面积和表面积
壹
【答案】C
【解答】解：∵正四棱台的侧面为等腰梯形，
又正四棱台的上、下底面的边长分别是2、4，高为，
∴侧面梯形的斜高为h'==2，
∴棱台的侧面积为S=4×（a+b）h'＝4×（2+4）×2＝24．
故选：C．
考点4 棱柱的体积
壹
在如图五面体ABC﹣DEF中，棱AD，BE，CF互相平行，且两两之间距离均为1．若AD＝1，BE＝2，CF＝3．则该五面体的体积为
（　　）
A． B．
C． D．
考点4 棱柱的体积
壹
【答案】C
【解答】解：因为五面体ABC﹣DEF中，棱AD，BE，CF互相平行，
且两两之间距离均为1．若AD＝1，BE＝2，CF＝3，
所以对称补形如下：
考点4 棱柱的体积
壹
所以三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，
侧棱长为1+3＝2+2＝3+1＝4，
所以该五面体的体积为VABC DEF=VABC HIJ=××1×1××4=．
故选：C．
考点5 棱锥的体积
壹
已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（　　）
A．36 B．36
C．108 D．108
考点5 棱锥的体积
壹
【答案】A
【解答】解：如图，正四棱锥S﹣ABCD，BC＝6，O为底面正方形中心，E为BC中点，由已知可得4××6×SE=6×6×2，所以 SE＝6，又OE＝3，所以SO==3，
所以正四棱锥的体积为V=×6×6×3=363．
故选：A．
考点6 棱台的体积
壹
已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2，2，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（　　）
A．14 B．15
C．16 D．18
考点6 棱台的体积
壹
【答案】A
【解答】解：因为正四棱台的上、下底面的边长分别为2，2，侧棱长为，
所以作出示意图如下：
考点6 棱台的体积
壹
过A1作下底面的投影，垂足为M，
上底面对角线长A1C1=×=2，
下底面对角线长AC=×2=4，
则，可得正四棱台的高为：A1M===3，
所以正四棱台的体积V=(2++8)×3=14．
故选：A．
考点7 圆柱的侧面积和表面积
壹
若圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，记圆柱与球的体积之比为λ，表面积之比为μ，则（　　）
A．λ＝μ B．λ＜μ
C．λ＞μ D．λ，μ的大小不确定
考点7 圆柱的侧面积和表面积
壹
【答案】A
【解答】解：由题意可设球的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，
则，，
∴λ＝μ．故选：A．
考点8 圆锥的侧面积和表面积
壹
已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（　　）
A．8π B．12π
C．16π D．24π
考点8 圆锥的侧面积和表面积
壹
【答案】C
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的母线长为l＝6，侧面展开图的圆心角为，
根据圆锥底面圆的周长等于展开图扇形的弧长，得2πr，解得r＝2，
所以该圆锥的表面积为S=π×22+××62=16π．
故选：C．
考点9 圆台的侧面积和表面积
壹
如图，伊丽莎白圈是小动物戴在颈子上防止他们自己抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其形状可看作上下均无底盖的圆台形物体．某个伊丽莎白圈的上底面直径为4分米，下底面直径为2分米，母线长为3分米，若要在伊丽莎白圈与宠物接触的一面进行涂层，每平方分米需要消耗5克涂层材料，不考虑伊丽莎白圈的厚度与连接处，则制作该伊丽莎白圈需要消耗涂层材料（　　）
A．45π克 B．90π克
C．110π克 D．120π克
考点9 圆台的侧面积和表面积
壹
【答案】B
【解答】解：设r＝2，R＝4，l＝3，
由圆台的侧面积公式得S＝π （r+R）l＝18π，
又每平方分米需要消耗5克涂层材料，
所以该伊丽莎白圈需要消耗90π克涂层材料．
故选：B．
考点10 圆柱的体积
壹
2021年小米重新设计了自己的品牌形象．新旧图像如图所示，旧logo是一个正方形，新logo可看作一个直径为边长的一半的圆在原正方形内运动，保留它运动过程覆盖的区域就是新logo．类比推理，现有一个棱长为4的正方体，一个直径为2的球在正方体内部滚动，将该球可到达的区域保留，不可到达的区域割去，得到一个几何体，我们称之为“小米正方体”，则“小米正方体”的体积为 ．
考点10 圆柱的体积
壹
【答案】π+32．
【解答】解：因为旧logo是一个正方形，新logo可看作一个直径为边长的一半的圆在原正方形内运动，保留它运动过程覆盖的区域就是新logo，
类比推理，现有一个棱长为4的正方体，一个直径为2的球在正方体内部滚动，
又将该球可到达的区域保留，不可到达的区域割去，得到一个“小米正方体”，
所以小球在正方体内部运动，“小米正方体”的8个角合在一起刚好是一个直径为正方体棱长一半的球体，12条棱除开小球部分，余下的刚好可以组成与球半径相同且高为正方体棱长一半的三个圆柱体．
剩余部分是个类似十字的几何体，可得该几何体的体积为32，
所以“小米正方体”的体积为π×13+3×π×12×2+32=π+32．
故答案为：π+32．
考点11 圆锥的体积
壹
若用半径为4cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为（　　）
A．2πcm3 B．πcm3
C．πcm3 D．8πcm3
考点11 圆锥的体积
壹
【答案】B
【解答】解：由圆锥筒是用半径为4cm的半圆形纸片卷成，
可得圆锥的底面半径为2cm，母线长为4cm，
圆锥的底面周长为×2×4π=4πcm，所以圆锥的高为=2cm，故圆锥筒的体积为×2×4π=πcm3 ．
故选：B．
考点12 圆台的体积
壹
若圆台上下底面半径分别为1和2，高为3，则此圆台的体积为 ．
考点12 圆台的体积
壹
【答案】π．
【解答】解：因为圆台上下底面半径分别为1和2，高为，
所以圆台的体积为×(π+4π+2π)×=π．
故答案为：π．
考点13 球的表面积
壹
如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是
（　　）
A． B．4m
C．6π D．8π
考点13 球的表面积
壹
【答案】C
【解答】解：因为半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，
且这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，
所以大圆直径2R=2，所以R=，
所以这个半球的表面积是2πR2+πR2＝3π×2＝6π．
故选：C．
考点14 球的体积
壹
（多选）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD=2，M，N分别为AD，BC的中点．现将△ABD沿BD翻折，得到三棱锥A′﹣BCD，则在△ABD翻折的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．三棱锥A′﹣BCD体积的最大值为
B．三棱锥A′﹣BCD外接球半径为
C．存在某个位置使CM⊥DN
D．直线MN被三棱锥A′﹣BCD外接球截得的线段长的取值范围为(，)
考点14 球的体积
壹
【答案】BD
【解答】解：对于选项A，当平面A′BD⊥平面BCD时，点A′到平面BCD的距离最大，
又S△BCD=×2×2=2，所以此时三棱锥A′﹣BCD的体积最大，
在△A′BD中，由等面积法可得高h==，
所以三棱锥A′﹣BCD体积的最大值为×2×=，故选项A错误；
对于选项B，在△ABD翻折的过程中，△ABD和△BCD都是直角三角形，
所以两个三角形的外接圆圆心都在BD的中点处，
故三棱锥外接球球心为BD的中点，半径为BD=，故选项B正确；
考点14 球的体积
壹
对于选项C，如图，在矩形ABCD中连接CM，由==，
所以△MDC∽△DCB，则CM⊥BD，
假设存在某个位置使CM⊥DN，又DN，BD 平面BCD，且DN∩BD＝D，
所以CM⊥平面BCD，又BC 平面BCD，
所以CM⊥BC，又BC⊥CD，CM，
CD 平面ACD，CM∩CD＝C，
所以BC⊥平面ACD，
又AC 平面ACD，故BC⊥AC，即∠ACB=，
这与AB=2＜BC=2矛盾，故CM⊥DN不成立，
故选项C错误；
考点14 球的体积
壹
对于选项D，因为球心为BD的中点O，连接ON，所以OM＝ON＝1，
又因为直线MN被三棱锥A′﹣BCD外接球截得的线段长为d=2=2，
其中OH为球心O到直线MN的距离，
所以OH的长度和二面角A﹣BD﹣C的大小有关，夹角越大，线段越长．
考点14 球的体积
壹
当二面角A﹣BD﹣C大小接近180°时，直线MN被球O截得的线段长最长，趋于直径2，
当二面角A﹣BD﹣C大小接近0°时，直线MN被球O截得的线段长最短，
如图翻折后，此时∠OBN+∠BON＝∠NOH+∠BON＝90°，则∠OBN＝∠NOH，
所以△BON∽△ONH，
则=，又BN=，BO=，
则=，
所以OH=63，
所以此时直线MN被球O截得的线段长d=2=，
综上，直线MN被球O截得的线段长的取值范围是(，2)，
故选项D正确．故选：BD．