6.1 平面向量的概念
【知识点1 向量的概念】
1．向量的概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
注：
①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
2．向量的表示法
(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)向量的表示方法：
①字母表示法：如等.
②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用
一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.
3．向量的有关概念
(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.
(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
注：
①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定.
②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量.
【知识点2 相等向量与共线向量】
1．向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.
注：
①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别.
②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系
(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.
(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.
(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.
3．平行向量有关概念的三个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
一．平面向量的概念与几何表示（共7小题）
1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．以下选项中，都是向量的是（ ）
A．时间、海拔 B．质量、位移
C．加速度、体积 D．浮力、速度
3．若向量分别表示两个力，则（ ）
A． B．2 C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
①有向线段三要素是始点、方向、长度
②向量两要素是大小和方向
③同向且等长的有向线段表示同一向量
④在平行四边形ABCD中，．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
5．请写出与向量反向的单位向量： ．（用坐标表示）
6．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，且满足，记，则向量 （用来表示）；若，且，则 ．
7．给出下列命题：
①若，同向，则有；
②与表示的意义相同；
③若，不共线，则有；
④恒成立；
⑤对任意两个向量，，总有；
⑥若三向量，，满足，则此三向量围成一个三角形．
其中正确的命题是 （填序号）
二．平面向量的模（共13小题）
8．已知向量，，，则t＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
9．在四边形ABCD中，，则“”是“四边形ABCD是正方形“的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．已知向量，且，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知向量，满足||＝2，||＝5，则||的取值范围是（ ）
A．[2，5] B．[2，7] C．[3，5] D．[3，7]
12．已知，均为非零向量，其夹角为θ，则“sinθ＝0”是“||＝||﹣||”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
13．在四边形ABCD中，已知，∠ABD＝60°，则四边形ABCD一定是（ ）
A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形
14．若△ABC的三个内角均小于120°，点M满足∠AMB＝∠AMC＝∠BMC＝120°，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，，则的最小值是（ ）
A．9 B． C．6 D．
15．已知向量和，下列说法正确的是（ ）
A．若和反向，则
B．若和同向且||＞||，则
C．||≤||+||
D．| |＝||||
16．已知向量，．若，则（ ）
A．4 B． C．5 D．
17．已知向量与的夹角为π，且，若点A的坐标为（﹣1，2），则点B的坐标为（ ）
A．（﹣7，10） B．（7，10） C．（5，﹣6） D．（﹣5，6）
18．已知向量，则的单位向量的坐标为 ．
19．已知向量，；；③向量在向量上的投影向量是；是向量的单位向量，则以上命题正确的有 个．
20．已知向量与的夹角为，且．
（1）；
（2）求向量与向量的夹角．
三．平面向量中的零向量与单位向量（共12小题）
21．与向量（﹣3，4）反向的单位向量是（ ）
A． B．
C． D．
22．设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（ ）
A．与同向 B． C．且 D．
23．下列命题正确的是（ ）
A．平面内所有的单位向量都相等
B．模为0的向量与任意非零向量共线
C．平行向量不一定是共线向量
D．若满足，且同向，则
24．已知点A（2，3），B（﹣1，7），则与向量方向相反的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
25．以下说法正确的是（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．零向量没有方向
C．共线向量又叫平行向量
D．若向量和都是单位向量，则
26．判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段．其中假命题的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
27．已知（5，4），（3，2），则与23平行的单位向量为（ ）
A．（，）
B．（，）或（，）
C．（，）或（，）
D．（，）
28．下列命题中，正确命题的个数是（ ）
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量共线的单位向量是．
A．0 B．1 C．2 D．3
（多选）29．下列结论错误的是（ ）
A．单位向量都相等
B．，能作为平面向量的一组基底
C．在边长为1的等边△ABC中，
D．两个非零向量，若，则与共线且反向
30．与（5，﹣12）垂直的单位向量的坐标为 ．
31．下列说法中，正确的序号是 ．
①零向量都相等；
②任一向量与它的平行向量不相等；
③若四边形ABCD是平行四边形，则；
④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同．
32．已知点A（2，2），B（﹣1，﹣2），则与向量同方向的单位向量为 ．
四．平面向量的相等向量（共9小题）
33．已知点O是矩形四边形ABCD的对角线的交点，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
34．设为两个非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
35．已知四边形ABCD，则“四边形ABCD是平行四边形”是“的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
（多选）36．关于平面向量，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若向量不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数λ，μ使
C．若不相等，则一定不共线
D．若，则
（多选）37．下列结论中错误的为（ ）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量与向量的长度相等
C．对任意向量，是一个单位向量
D．零向量没有方向
（多选）38．下列说法正确的是（ ）
A．我们把既有大小又有方向的量叫作向量
B．单位向量是相等向量
C．零向量与任意向量平行
D．向量的模可以比较大小
（多选）39．下列命题中正确的是（ ）
A．单位向量的模都相等
B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大
D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
40．已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，三个顶点A（4，2），B（2，4），C（1，2）．则顶点D的坐标 ．
41．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个．
五．平面向量的平行向量（共19小题）
42．已知向量不共线，，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
43．已知，是两个不共线的向量，且向量x3，y同向，则x+2y的最小值为（ ）
A．12 B．6 C． D．
44．已知0＜θ＜π，向量，且，则θ＝（ ）
A． B． C． D．
45．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD为（ ）
A．平行四边形 B．梯形
C．菱形 D．矩形
46．设平面向量与不共线，k，s∈R，则“k与s2共线”是“sk＝2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
47．已知与是两个不共线的向量，，，，若A，B，D三点共线，则实数k的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣12 C．4 D．5
48．已知向量（a﹣1，b），（﹣1，1），a＞0，b＞0，满足∥，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
49．已知，，且，则x等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
50．已知A，B，C，D是平面内不同的四点，设甲：∥；乙：四边形ABCD为平行四边形，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
51．是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．2
52．下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．若，，则
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
53．已知平面向量（1，2），（2x，x﹣1），且∥（），则x＝（ ）
A． B． C． D．3
54．已知非零向量与共线，下列说法正确的是（ ）
A．与共线
B．与不共线
C．若，则
D．若，则是一个单位向量
55．已知向量，不共线，且（2λ）∥（32），则实数λ＝（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
56．给出下列命题，正确的有（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．已知λ，μ为实数，若，则与共线
C．的充要条件是且
D．若A，B，C，D是不共线的四点，且，则四边形ABCD为平行四边形
57．已知不共线，且，，那么A，B，C三点共线的充要条件为（ ）
A．λ+μ＝2 B．λ﹣μ＝2 C．λμ＝1 D．λμ＝﹣1
58．设非零向量满足||＝||，||＝||，则四边形ABCD形状（ ）
A．平行四边形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
59．已知向量（1，m），（﹣1，1），（3，0），若∥（），则m等于（ ）
A．4 B． C．﹣4 D．﹣2
60．设A，B，C，D为平面内的四点，已知A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）．
（1）若四边形ABCD为平行四边形，求D点的坐标；
（2）若A，C，D三点共线，，求D点的坐标．6.1 平面向量的概念
【知识点1 向量的概念】
1．向量的概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
注：
①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
2．向量的表示法
(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)向量的表示方法：
①字母表示法：如等.
②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用
一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.
3．向量的有关概念
(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.
(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
注：
①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定.
②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量.
【知识点2 相等向量与共线向量】
1．向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.
注：
①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别.
②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系
(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.
(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.
(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.
3．平行向量有关概念的三个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
一．平面向量的概念与几何表示（共7小题）
1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解答】解：速度、力、加速度和位移都是向量，其它是标量，即向量共4个．
故选：A．
2．以下选项中，都是向量的是（ ）
A．时间、海拔 B．质量、位移
C．加速度、体积 D．浮力、速度
【答案】D
【解答】解：时间、海拔、质量、体积只有大小没有方向，不是向量；
浮力和速度既有大小又有方向，是向量．
故选：D．
3．若向量分别表示两个力，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意，向量分别表示两个力，
可得，
所以．
故选：C．
4．下列说法正确的是（ ）
①有向线段三要素是始点、方向、长度
②向量两要素是大小和方向
③同向且等长的有向线段表示同一向量
④在平行四边形ABCD中，．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【解答】解：①始点、方向、长度可以确定一条有向线段；
即有向线段三要素是始点、方向、长度，∴该说法正确；
②根据向量的定义知，向量的两要素是大小和方向，∴该说法正确；
③根据向量的定义知同向且等长的有向线段表示同一向量，∴该说法正确；
④∵，且与方向相同，∴；
∴该说法正确．
故选：D．
5．请写出与向量反向的单位向量： ．（用坐标表示）
【答案】．
【解答】解：根据题意，设所求向量为，
由题可知：﹣3y＝4x且，解得：或，
又与反向，所以所求向量坐标为．
故答案为：．
6．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，且满足，记，则向量 （用来表示）；若，且，则 ．
【答案】，．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，，
∴，
∵，∴，
∵，且，
∴3＝4+12×3cos∠BAD，∴cos∠BAD，
∵，
∴ 9+1﹣3×27，
∴||．
故答案为：，．
7．给出下列命题：
①若，同向，则有；
②与表示的意义相同；
③若，不共线，则有；
④恒成立；
⑤对任意两个向量，，总有；
⑥若三向量，，满足，则此三向量围成一个三角形．
其中正确的命题是 ①⑤ （填序号）
【答案】①⑤．
【解答】解：由向量加法的三角不等式对于任意向量都有（其中当，中有一个为或，同向时不等式取等），
可以判断①⑤正确，③④错误，②中是向量，表示模，是数量，意义不同，故错误，
⑥中当时，三向量围不成一个三角形，故错误，
故答案为：①⑤．
二．平面向量的模（共13小题）
8．已知向量，，，则t＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】A
【解答】解：由题可得：，
因为3，
所以，即（2+t）2＝0，
解得t＝﹣2．
故选：A．
9．在四边形ABCD中，，则“”是“四边形ABCD是正方形“的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：因为在四边形ABCD中，，所以AB∥CD且AB＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形，
由向量加减运算的几何意义知，若，等价于对角线BD与AC相等，等价于平行四边形ABCD为矩形，
由矩形与正方形的关系知，“”是“四边形ABCD是正方形“的必要不充分条件．
故选：B．
10．已知向量，且，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为，
所以，
化简得，所以AB⊥AC，
又因为，
所以，解得，
所以，
则，，
所以△ABC的面积为．
故选：A．
11．已知向量，满足||＝2，||＝5，则||的取值范围是（ ）
A．[2，5] B．[2，7] C．[3，5] D．[3，7]
【答案】D
【解答】解：根据三角不等式，，
整理得，即||的取值范围是[3，7]．
故选：D．
12．已知，均为非零向量，其夹角为θ，则“sinθ＝0”是“||＝||﹣||”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】解：若sinθ＝0，结合夹角的取值范围是[0，π]，可得θ＝0或π，
当θ＝0时，则，同向共线，则，可知充分性不成立，
若非零向量满足，则、反向共线，
此时θ＝π，必有sinθ＝0，可知必要性成立．
综上所述，“sinθ＝0”是“”的必要不充分条件．
故选：C．
13．在四边形ABCD中，已知，∠ABD＝60°，则四边形ABCD一定是（ ）
A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形
【答案】D
【解答】解：因为，∠ABD＝60°，
所以△ABD是等边三角形，
因为，即，所以四边形ABCD是平行四边形．
则，所以四边形ABCD是菱形．
故选：D．
14．若△ABC的三个内角均小于120°，点M满足∠AMB＝∠AMC＝∠BMC＝120°，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，，则的最小值是（ ）
A．9 B． C．6 D．
【答案】C
【解答】解：△ABC的三个内角均小于120°，点M满足∠AMB＝∠AMC＝∠BMC＝120°，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点．
根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，
设，，，
以AB所在的直线为x轴，以过C与x轴垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，
由题意设A（x，y），B（3，0），，，
则，，，
所以，
，
因为△BCD为等边三角形，由题意，等边△BCD的费马点为△BCD的中心，
此时|AB|+|AC|+|AD|取最小值，
所以．
故选：C．
15．已知向量和，下列说法正确的是（ ）
A．若和反向，则
B．若和同向且||＞||，则
C．||≤||+||
D．| |＝||||
【答案】C
【解答】解：若和反向，所以，故A错误；
向量不能比较大小，故B错误；
因为，
所以，故C正确；
，故D错误．
故选：C．
16．已知向量，．若，则（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】D
【解答】解：因为向量，，
因为，
所以，解得x＝4，
即（4，2），
所以（6，3），
所以||3．
故选：D．
17．已知向量与的夹角为π，且，若点A的坐标为（﹣1，2），则点B的坐标为（ ）
A．（﹣7，10） B．（7，10） C．（5，﹣6） D．（﹣5，6）
【答案】A
【解答】解：由题意知与的长度相等，方向相反，
所以，
又因为A（﹣1，2），
设B（x，y），则，
所以，解得，即B（﹣7，10）．
故选：A．
18．已知向量，则的单位向量的坐标为 ．
【答案】．
【解答】解：∵向量，
∴的单位向量的坐标为．
故答案为：．
19．已知向量，；；③向量在向量上的投影向量是；是向量的单位向量，则以上命题正确的有 2 个．
【答案】2．
【解答】解：，所以，所以，故①正确；
，所以，故②错误；
，，，故③错误；
，所以是的单位向量，故④正确；
所以正确的个数为2个．
故答案为：2．
20．已知向量与的夹角为，且．
（1）；
（2）求向量与向量的夹角．
【答案】（1）1；（2）．
【解答】解：（1）由向量与的夹角为，且．，得；
所以，
即；
（2）记向量与向量的夹角为θ，
结合（1）可得，
又θ∈[0，π]，因此可得．
即向量与向量的夹角为．
三．平面向量中的零向量与单位向量（共12小题）
21．与向量（﹣3，4）反向的单位向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：设与向量（﹣3，4）反向的单位向量是，
则．
故答案为：A．
22．设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（ ）
A．与同向 B． C．且 D．
【答案】A
【解答】解：分别表示与同向的单位向量，
若使得，则根据向量等的条件可知，与必须方向相同，
故使其成立的充要条件是与同向．
故选：A．
23．下列命题正确的是（ ）
A．平面内所有的单位向量都相等
B．模为0的向量与任意非零向量共线
C．平行向量不一定是共线向量
D．若满足，且同向，则
【答案】B
【解答】解：A．单位向量的方向可能不同，所以所有的单位向量不相等，A错误；
B．零向量和任何非零向量共线，B正确；
C．平行向量一定是共线向量，C错误；
D．向量不能比较大小，D错误．
故选：B．
24．已知点A（2，3），B（﹣1，7），则与向量方向相反的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题可得：，且，
故所求向量为：．
故选：B．
25．以下说法正确的是（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．零向量没有方向
C．共线向量又叫平行向量
D．若向量和都是单位向量，则
【答案】C
【解答】解：长度相等且方向相同的两个向量相等，与它们的起点和终点无关，故A错误；
零向量的方向是任意的，不是没有方向，故B错误；
共线向量又叫平行向量，故C正确；
若向量和都是单位向量，则，故D错误．
故选：C．
26．判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段．其中假命题的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：对于①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线，
故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题；
对于②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题；
对于③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题；
对于④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题；
综上，①③④为假命题，共有3个．
故选：B．
27．已知（5，4），（3，2），则与23平行的单位向量为（ ）
A．（，）
B．（，）或（，）
C．（，）或（，）
D．（，）
【答案】B
【解答】解：∵（5，4），（3，2），
∴23（1，2），
∴，
则与23平行的单位向量为（23），
化简得，．
故选：B．
28．下列命题中，正确命题的个数是（ ）
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量共线的单位向量是．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：向量既有大小也有方向，
∴单位向量的方向不相同或相反便不共线，∴命题①错误；
长度相等而方向不同的向量不相等，∴命题②错误；
共线的单位向量方向不相同的也不相等，∴命题③错误；
与非零向量共线的单位向量是：，∴命题④正确．
故选：B．
（多选）29．下列结论错误的是（ ）
A．单位向量都相等
B．，能作为平面向量的一组基底
C．在边长为1的等边△ABC中，
D．两个非零向量，若，则与共线且反向
【答案】AC
【解答】解：单位向量的方向不同时不相等，A错误；
若与共线，则（4，8）＝λ（﹣1，2），则，无解，所以与不共线，可以作为一组基底，B正确；
，，所以，C错误；
都是非零向量，满足，则的方向相反，D正确．
故选：AC．
30．与（5，﹣12）垂直的单位向量的坐标为 或 ．
【答案】或．
【解答】解：设与垂直的单位向量的坐标为，
则，解得或，
故答案为：或．
31．下列说法中，正确的序号是 ①③ ．
①零向量都相等；
②任一向量与它的平行向量不相等；
③若四边形ABCD是平行四边形，则；
④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同．
【答案】①③．
【解答】解：对于①：因为零向量的长度都为0，且其方向任意，所以零向量都相等，故①正确；
对于②：平行向量的方向可以相同，且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，故②错误；
对于③：四边形ABCD是平行四边形，所以与的方向相同，且长度相等，所以，故③正确；
对于④：根据共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以④错误．
故答案为：①③．
32．已知点A（2，2），B（﹣1，﹣2），则与向量同方向的单位向量为 ．
【答案】．
【解答】解：由题意，，
则与向量同方向的单位向量为．
故答案为：．
四．平面向量的相等向量（共9小题）
33．已知点O是矩形四边形ABCD的对角线的交点，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图所示，
为相反向量，则，故A正确；
在矩形ABCD中，|AC|＝|BD|，所以，故B正确；
如图所示，为相等向量，则，故C正确；
如图所示，则，故D错误．
故选：D．
34．设为两个非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：因为，所以同向共线，所以，
因为，所以同向共线，此时不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
35．已知四边形ABCD，则“四边形ABCD是平行四边形”是“的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：由于“四边形ABCD是平行四边形”，所以AB＝DC且AB∥DC，即，反之也成立，
故“四边形ABCD是平行四边形”是“充要条件．
故选：A．
（多选）36．关于平面向量，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若向量不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数λ，μ使
C．若不相等，则一定不共线
D．若，则
【答案】BD
【解答】解：A：当，可满足，但不一定得到，故A错误；
B：根据平面向量基本定理知道B正确；
C：当时，与不相等，但与共线，故C错误；
D：由，两边同时平方得，解得，即，故D正确．
故选：BD．
（多选）37．下列结论中错误的为（ ）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量与向量的长度相等
C．对任意向量，是一个单位向量
D．零向量没有方向
【答案】ACD
【解答】解：对于A：由单位向量的定义可知，单位向量是模为1的向量，方向不一定相同，故A错误；
对于B：由相反向量的定义，向量与向量的长度相等，故B正确；
对于C：当向量时，不满足，故C错误；
对于D：零向量是定义大小为0，方向任意，故D错误．
故选：ACD．
（多选）38．下列说法正确的是（ ）
A．我们把既有大小又有方向的量叫作向量
B．单位向量是相等向量
C．零向量与任意向量平行
D．向量的模可以比较大小
【答案】ACD
【解答】解：对于A，根据向量的定义知A正确；
对于B，单位向量是长度为1的向量，方向不确定，故不一定是相等向量，B错误；
对于C，零向量与任意向量平行，C正确；
对于D，向量的模长是实数，故向量的模可以比较大小，D正确．
故选：ACD．
（多选）39．下列命题中正确的是（ ）
A．单位向量的模都相等
B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大
D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
【答案】AD
【解答】解：根据单位向量的概念可知，单位向量的模都相等且为1，故A正确；
根据共线向量的概念可知，长度不等且方向相反的两个向量是共线向量，故B错误；
向量不能够比较大小，故C错误；
根据相等的向量的概念可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确．
故选：AD．
40．已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，三个顶点A（4，2），B（2，4），C（1，2）．则顶点D的坐标 （2，1） ．
【答案】（2，1）．
【解答】解：∵在梯形ABCD中，AB＝2DC，AB∥CD，A（4，2），B（2，4），C（1，2）．
∴．设点D的坐标为（x，y）．
则，．
∴（﹣2，2）＝2（1﹣x，2﹣y），即（﹣2，2）＝（2﹣2x，4﹣2y），
∴解得故点D的坐标为（2，1）．
故答案为：（2，1）．
41．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 3 个．
【答案】3．
【解答】解：根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，，共3个．
故答案为：3．
五．平面向量的平行向量（共19小题）
42．已知向量不共线，，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解答】解：∵A，B，C三点共线，∴与共线，
∴存在实数k，使，即，
又向量不共线，∴，
由λ＞0，μ＞0，∴，
当且仅当λ＝4μ时，取“＝”号．
故选：B．
43．已知，是两个不共线的向量，且向量x3，y同向，则x+2y的最小值为（ ）
A．12 B．6 C． D．
【答案】C
【解答】解：由向量，同向，，是两个不共线的向量，
得，且x＞0，y＞0，则xy＝3，
因此x+2y，当且仅当，时取等号，
所以x+2y的最小值为．
故选：C．
44．已知0＜θ＜π，向量，且，则θ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：向量，且，
则，
故，变形可得cosθ＝﹣cos2θ，解得cosθ＝0或cosθ＝﹣1，
又0＜θ＜π，则必有．
故选：C．
45．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD为（ ）
A．平行四边形 B．梯形
C．菱形 D．矩形
【答案】B
【解答】解：因为，且ABCD为四边形，
则AB∥CD，且，
所以四边形ABCD是梯形．
故选：B．
46．设平面向量与不共线，k，s∈R，则“k与s2共线”是“sk＝2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】解：平面向量与不共线，所以k与s2均不为零向量，
根据向量共线定理，“k与s2共线” 存在λ（λ≠0），
使得kλ（s2） 2λ＝kλs ks＝2，
则“k与s2共线”是“sk＝2”的充要条件．
故选：C．
47．已知与是两个不共线的向量，，，，若A，B，D三点共线，则实数k的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣12 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：与是两个不共线的向量，，，，
则（3﹣k）（2+k），
由A，B，D三点共线，
可得存在实数λ，使得λ，
即，解得k＝﹣12．
故选：B．
48．已知向量（a﹣1，b），（﹣1，1），a＞0，b＞0，满足∥，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为向量，，a＞0，b＞0，
由∥，得a﹣1+b＝0，即a+b＝1，a＞0，b＞0，
则由基本不等式，，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为．
故选：C．
49．已知，，且，则x等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【答案】C
【解答】解：因为，，，
所以（﹣2） （﹣2）﹣4x＝0，解得x＝1．
故选：C．
50．已知A，B，C，D是平面内不同的四点，设甲：∥；乙：四边形ABCD为平行四边形，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解答】解：当∥时，可能A，B，D，C四点共线，此时A，B，C，D不构成四边形，故充分性不成立；
当四边形ABCD为平行四边形时，则AB∥DC，所以，故必要性成立，
所以甲是乙的必要条件但不是充分条件．
故选：B．
51．是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．2
【答案】A
【解答】解：是平面内不共线两向量，已知，，，
可得，
由A，B，D三点共线，得∥，又，不共线，
则，所以k＝3．
故选：A．
52．下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．若，，则
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
【答案】A
【解答】解：因为，所以向量与向量的长度相等，故A正确，
对于两个有共同起点，且长度相等的向量，
它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误，
当时，与可能不共线，故C错误
若两个单位向量平行，
当两个单位向量方向共线时，二者为相反向量，故D错误．
故选：A．
53．已知平面向量（1，2），（2x，x﹣1），且∥（），则x＝（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解答】解：，
由，得2（2x﹣1）＝x﹣3，所以．
故选：A．
54．已知非零向量与共线，下列说法正确的是（ ）
A．与共线
B．与不共线
C．若，则
D．若，则是一个单位向量
【答案】D
【解答】解：当A，B，C，D四点在一条直线上时，与共线，
否则与可能不共线，故A，B错误；
若，无法确定向量方向，不能确定向量相等，故C错误；
因为，由单位向量定义可知是一个单位向量，故D正确．
故选：D．
55．已知向量，不共线，且（2λ）∥（32），则实数λ＝（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意，，解得λ．
故选：D．
56．给出下列命题，正确的有（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．已知λ，μ为实数，若，则与共线
C．的充要条件是且
D．若A，B，C，D是不共线的四点，且，则四边形ABCD为平行四边形
【答案】D
【解答】解：对A，向量相等只需满足方向相同且模相等即可，故A错误；
对B，若λ＝μ＝0时，此时与可以不共线，故B错误；
对C，、为相反向量时，也满足且，但此时，故C错误；
对D，若A，B，C，D是不共线的四点，且，则AB//DC，AB＝DC，
则四边形ABCD为平行四边形，故D正确．
故选：D．
57．已知不共线，且，，那么A，B，C三点共线的充要条件为（ ）
A．λ+μ＝2 B．λ﹣μ＝2 C．λμ＝1 D．λμ＝﹣1
【答案】D
【解答】解：由A，B，C三点共线，可得与共线，
设，则有，
由不共线，
可得，解得λμ＝﹣1．
故选：D．
58．设非零向量满足||＝||，||＝||，则四边形ABCD形状（ ）
A．平行四边形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
【答案】C
【解答】解：由，
可得，即，
从而得AB＝DC且AB∥DC，
故四边形ABCD为平行四边形，
又||＝||，
平方可得，
即，又||＝||，
故四边形ABCD为正方形．
故选：C．
59．已知向量（1，m），（﹣1，1），（3，0），若∥（），则m等于（ ）
A．4 B． C．﹣4 D．﹣2
【答案】C
【解答】解：由题可得：．
因为，且∥（），可知，（﹣1）×m﹣1×4＝0．解得m＝﹣4．
故选：C．
60．设A，B，C，D为平面内的四点，已知A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）．
（1）若四边形ABCD为平行四边形，求D点的坐标；
（2）若A，C，D三点共线，，求D点的坐标．
【答案】（1）D（4，3）；
（2）．
【解答】解：（1）∵A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4），
∴（1，2），
∵四边形ABCD为平行四边形，∴，
设D（x，y），则（x﹣3，y﹣1），
∴，解得，∴D（4，3）；
（2）由A，C，D三点共线，且，
可设，
又A（3，1），∴D（3﹣4λ，1+3λ），∴，
又 4（5﹣4λ）+3（3λ﹣1）＝﹣18，解得λ．
∴．
