7.1 复数的概念
▉【知识点1 数系的扩充和复数的概念】
1．数系的扩充与复数的相关概念
(1)复数的引入
为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：
①，即i是方程的根；
②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.
在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果
记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.
(2)复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫
做复数集.这样，方程在复数集C中就有解x=i了.
(3)复数的表示
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
(4)复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R是复数集C的真子集，即.
复数z=a+bi可以分类如下：
复数，
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.
2．复数相等
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当
a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.
▉【知识点2 复数的几何意义】
1．复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来
表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.
(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
(3)复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.
2．复数的模
向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它
的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).
3．共轭复数
(1)定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0
的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
(2)几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复
平面内所对应的点重合，且在实轴上.
(3)性质
①.
②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
4．复数的模的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数
的模的几何意义.
(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以
原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的外部.
▉一．虚数单位i及其性质（共5小题）
1．已知z1，z2∈C，语句α：z1，z2中至少有一个为虚数，语句β：z1﹣z2为虚数．则α是β的（ ）条件．
A．充要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
2．以2i的虚部为实部，以i+2i2的实部为虚部的新复数是（ ）
A．2﹣2i B．i C．2+i D．i
3．复数i+i2+i3+……+i2020+i2021的值为（ ）
A．0 B．i C．1+i D．﹣1﹣i
（多选）4．已知实数x，a，b和虚数单位i，定义：复数z0＝cosx+isinx为单位复数，复数z1＝a+bi为伴随复数，复数z＝z0z1＝f（x）+g（x）i为目标复数，目标复数的实部f（x）和虚部g（x）分别为实部函数f（x）和虚部函数g（x），则正确的说法有（ ）
A．f（x）＝acosx﹣bsinx
B．g（x）＝asinx﹣bcosx
C．若，则a，b＝﹣1
D．若a，b＝﹣1且g（x），则锐角x的正弦值sinx
5．1+i+i2+i3+…+i2024＝ ．
▉二．复数的实部与虚部（共10小题）
6．若复数z满足z＝1+3i（i是虚数单位），则z的虚部是（ ）
A．﹣3i B．﹣3 C．3i D．3
7．若复数z满足（2﹣i）z＝i2022，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
8．若复数为实数，则实数a等于（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
9．已知复数z＝1﹣2i（i是虚数单位），则复数z的虚部为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i
10．已知复数z满足（1﹣i）z＝（1+i）2，其中i为虚数单位，则的虚部为（ ）
A．0 B．i C．﹣1 D．﹣i
11．若复数的实部为0，则实数a的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
12．复数z＝（3﹣8i）i的实部与虚部之和是（ ）
A．﹣11 B．﹣5 C．5 D．11
13．已知i为虚数单位，复数，则（ ）
A．2﹣i
B．z的虚部为﹣i
C．
D．z在复平面内对应的点在第四象限
（多选）14．已知复数zn＝i+2i2+…+nin，n∈N*，则（ ）
A．z3的虚部是﹣4
B．|z3|＝|z4|
C．z65
D．在复平面内对应点在位于第四象限
15．已知复数z＝（m2﹣6m+8）+（m﹣2）i（m∈R）．
（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若复数z在复平面内对应点位于第二象限，求实数m的取值范围．
▉三．纯虚数（共8小题）
16．若（x2﹣1）+（2x+2）i是纯虚数，则实数x的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．﹣2
17．复数z＝m2﹣3m+（m2﹣9）i是纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．0或3
18．设a∈R，（3﹣i）（1+ai）为纯虚数，则a＝（ ）
A．﹣3 B． C． D．3
19．已知a为实数，若复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则的值为（ ）
A．1 B．0 C．1+i D．1﹣i
20．已知命题p：a＝﹣1，命题q：复数z＝1﹣a2+（a﹣1）i（a∈R）为纯虚数，则命题p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
21．任何一个复数z＝a+bi（其中a，b∈R，i为虚数单位）都可以表示成z＝r（cosθ+isinθ）（其中r≥0，θ∈R）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理．若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
22．若复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则m＝ ．
23．下列命题中，所有真命题的序号为 ．
①虚轴上的点所对应的数是纯虚数；
②若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数；
③若复数a+bi（a，b∈R）是某一元二次方程的根，则a﹣bi一定是该方程的另一个根．
▉四．复数集C及其关系和运算（共4小题）
24．已知z1，z2，z∈复数集C，下列命题正确的是（ ）
A．3+i＞2+i B．若z是纯虚数，则z2＜0
C．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2 D．z2＝﹣1，则z＝i
（多选）25．下列命题为真命题的是（ ）
A．复数2﹣2i对应的点在第二象限
B．若i为虚数单位，则i2023＝﹣i
C．在复数集C中，方程x2+x+1＝0的两个解分别为和
D．复平面内满足条件|z+i|≤2的复数z所对应的点Z的集合是以点（0，1）为圆心，2为半径的圆
（多选）26．下列命题为真命题的是（ ）
A．复数2﹣2i的虚部为﹣2i
B．若i为虚数单位，则i2023＝﹣i
C．在复数集C中，方程x2+x+1＝0有两个解，依次为
D．复平面内满足条件|z+i|≤2的复数z所对应的点Z的集合是以点（0，1）为圆心，2为半径的圆
27．已知复数，集合S＝{z||z1﹣z|＝1}，集合T＝{z||z﹣z0|＝1}．
（1）若 n∈N*使得（i为虚单位），求n的最小值．
（2）若当z0∈C时，集合S∩T有两个子集．
①求|z0|的取值范围；
②求集合T中复数z对应点Z形成的复平面区域的面积．
▉五．复数的相等（共10小题）
28．若i2＝a+bi（a，b∈R），则a+b＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
29．已知复数z满足（i+3）z＝2，则z＝（ ）
A． B． C． D．
30．设a+3i＝（b+i）i，其中a，b为实数，则（ ）
A．a＝1，b＝﹣3 B．a＝﹣1，b＝3 C．a＝﹣1，b＝﹣3 D．a＝1，b＝3
31．已知i为虚数单位，，则（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
32．数系的扩充过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823﹣1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”．若i为虚数单位，z1＝（1+ai）（3+i），z2＝x﹣2i（a，x∈R），且z1＝z2，则（ ）
A．x＝﹣4，a＝1 B．x＝4，a＝﹣1 C．x＝﹣4，a＝﹣1 D．x＝4，a＝1
33．设z1、z2均是复数，则“z12+z22＝0”是“z1＝z2＝0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
（多选）34．已知z1，z2∈C，设z1＝1+i，z2＝a+bi（a，b∈R），则下列说法正确的是（ ）
A．若z1+z2∈R，则z2＝﹣1﹣i
B．若，则
C．若，则
D．若|z2|＝2，则|z2+4|的最大值为8
35．已知复数，θ∈（0，π），若z1＝z2，求实数a的取值范围 ．
36．在下列命题中：
①两个复数不能比较大小；
②复数z＝i﹣1对应的点在第四象限；
③若（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则实数x＝±1；
④若（z1﹣z2）2+（z2﹣z3）2＝0，则z1＝z2＝z3
⑤“复数a+bi（a，b，c∈R）为纯虚数”是“a＝0”的充要条件；
⑥复数z1＞z2 z1﹣z2＞0；
⑦复数z满足|z|＝z2；
⑧复数z为实数 z，
其中正确命题的是 （填序号）
37．已知为方程（x﹣1）（x2+ax+b）＝0，（a，b∈R）的二个根．
（1）求实数a，b的值；
（2）猜测方程的另外一个根，并给出证明．
▉六．复数对应复平面中的点（共7小题）
38．在复平面内，复数2i（i+m）对应的点的坐标为（﹣2，4），则实数m＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
39．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
40．复数，则复数z在复平面对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
41．设i为虚数单位，若，则z在复平面内对应的点位于第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
42．复数z＝3﹣i3在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
43．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
44．已知复数z＝（1+i）m2﹣3mi+2i﹣4，m为实数．
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）若复数z在复平面上对应的点在第二象限，求m的取值范围；
▉七．由复平面中的点确定复数（共5小题）
45．已知复数z在复平面内对应的点为（﹣2，2），则（ ）
A． B． C． D．
46．已知复数z1，z2在复平面内所对应的点分别为A（1，a），B（a，﹣1），且z1z2＝2，则（ ）
A．（0，﹣2） B．（1，﹣3） C．（2，﹣4） D．（﹣1，﹣1）
（多选）47．在复平面内，，对应的复数分别为，z2＝cosθ+isinθ，且，则z2可能是（ ）
A． B． C． D．
48．设是复数z的共轭复数．在复平面内，复数z+2与对应的点关于y轴对称，则 ．
49．已知A（3，m），B（2，1），C（﹣2，1），D（n，﹣2）是复平面内的四个点，其中m，n∈R，且向量，对应的复数分别为z1，z2，且z1﹣z2＝﹣6+2i．
（1）求z1，z2；
（2）若复数，t∈R，在复平面内对应的点Z在第四象限，求实数t的取值范围．
▉八．共轭复数（共6小题）
50．若复数z＝1﹣3i，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
51．复数的共轭复数对应的点在复平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
52．复数z满足，则的虚部为（ ）
A．﹣2 B．﹣2025i C．2 D．﹣2025
53．已知复数z1，z2均不为0，则下列等式不恒成立的是（ ）
A． B．|z1﹣z2|＝||
C．z1 z2 D．|z1 |＝| z2|
54．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2﹣3i，则z2的共轭复数为 ．
55．已知复数z满足z（1﹣3i）为纯虚数，z＝﹣2i．
（1）求z以及；
（2）设z1，若|z1|＝2，求实数m的值．
▉九．复数的模（共5小题）
56．已知复数z满足i z+3＝3i，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．
57．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝2，则|z|＝（ ）
A． B．1 C． D．
58．设z为复数，则“为实数”是“|z|＝2”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
59．已知x，y∈R，i是虚数单位，若4x﹣i＝（3+i）y，则|x+yi|＝（ ）
A． B． C． D．
60．已知复数z1，z2满足．
（1）求复数z1；
（2）|z2|＝3，|z1﹣z2|＝4，求|z1+z2|；
（3）复数z1是关于x的方程x2﹣px+q＝0（p，q∈R）的一个根，求出方程qx2+px+1＝0的两个复数根．7.1 复数的概念
▉【知识点1 数系的扩充和复数的概念】
1．数系的扩充与复数的相关概念
(1)复数的引入
为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：
①，即i是方程的根；
②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.
在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果
记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.
(2)复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫
做复数集.这样，方程在复数集C中就有解x=i了.
(3)复数的表示
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
(4)复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R是复数集C的真子集，即.
复数z=a+bi可以分类如下：
复数，
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.
2．复数相等
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当
a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.
▉【知识点2 复数的几何意义】
1．复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来
表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.
(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
(3)复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.
2．复数的模
向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它
的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).
3．共轭复数
(1)定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0
的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
(2)几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复
平面内所对应的点重合，且在实轴上.
(3)性质
①.
②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
4．复数的模的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数
的模的几何意义.
(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以
原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的外部.
▉一．虚数单位i及其性质（共5小题）
1．已知z1，z2∈C，语句α：z1，z2中至少有一个为虚数，语句β：z1﹣z2为虚数．则α是β的（ ）条件．
A．充要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】C
【解答】解：若z1、z2皆是实数，则z1﹣z2一定不是虚数，
因此当z1﹣z2是虚数时，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；
当z1、z2中至少有一个数是虚数，z1﹣z2不一定是虚数，如z1＝z2＝i，即充分性不成立．
故选：C．
2．以2i的虚部为实部，以i+2i2的实部为虚部的新复数是（ ）
A．2﹣2i B．i C．2+i D．i
【答案】A
【解答】解：以2i的虚部为2，i+2i2的＝﹣2i实部为﹣2，
则以2i的虚部为实部，以i+2i2的实部为虚部的新复数是2﹣2i，
故选：A．
3．复数i+i2+i3+……+i2020+i2021的值为（ ）
A．0 B．i C．1+i D．﹣1﹣i
【答案】B
【解答】解：∵i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，
∴i+i2+i3+i4+ +i2021＝505（i+i2+i3+i4）+i2021＝505（i﹣1﹣i+1）+（i2）1010 i＝0+i＝i，
故选：B．
（多选）4．已知实数x，a，b和虚数单位i，定义：复数z0＝cosx+isinx为单位复数，复数z1＝a+bi为伴随复数，复数z＝z0z1＝f（x）+g（x）i为目标复数，目标复数的实部f（x）和虚部g（x）分别为实部函数f（x）和虚部函数g（x），则正确的说法有（ ）
A．f（x）＝acosx﹣bsinx
B．g（x）＝asinx﹣bcosx
C．若，则a，b＝﹣1
D．若a，b＝﹣1且g（x），则锐角x的正弦值sinx
【答案】AD
【解答】解：因为z＝z0z1＝f（x）+g（x）i＝（acosx﹣bsinx）+（asinx+bcosx）i，
所以f（x）＝acosx﹣bsinx，g（x）＝asinx+bcosx，
故选项A正确，选项B错误；
因为f（x），
所以a，b＝1，
故选项C错误；
因为g（x）＝asinx+bcosx，
所以，
又因为x为锐角，则，
所以，
故sinx＝sin[（x）]＝sin（x）coscos（x）sin，
故选项D正确．
故选：AD．
5．1+i+i2+i3+…+i2024＝ 1 ．
【答案】1．
【解答】解：∵i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3＝0，
∴1+i+i2+i3+…+i2024＝1+i+i2+i3+i4＝1．
故答案为：1．
▉二．复数的实部与虚部（共10小题）
6．若复数z满足z＝1+3i（i是虚数单位），则z的虚部是（ ）
A．﹣3i B．﹣3 C．3i D．3
【答案】D
【解答】解：由复数z＝1+3i，得z的虚部是3．
故选：D．
7．若复数z满足（2﹣i）z＝i2022，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由（2﹣i）z＝i4×505+2＝﹣1，
得，
则，即的虚部为．
故选：B．
8．若复数为实数，则实数a等于（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】C
【解答】解：复数为实数，
则，解得a＝1．
故选：C．
9．已知复数z＝1﹣2i（i是虚数单位），则复数z的虚部为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i
【答案】A
【解答】解：根据复数z＝1﹣2i，可知它的实部为1，虚部为﹣2．
故选：A．
10．已知复数z满足（1﹣i）z＝（1+i）2，其中i为虚数单位，则的虚部为（ ）
A．0 B．i C．﹣1 D．﹣i
【答案】C
【解答】解：由（1﹣i）z＝（1+i）2可得，
所以，
因此虚部为﹣1．
故选：C．
11．若复数的实部为0，则实数a的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解答】解：，
由复数的实部为0，得0，即a＝1．
故选：C．
12．复数z＝（3﹣8i）i的实部与虚部之和是（ ）
A．﹣11 B．﹣5 C．5 D．11
【答案】D
【解答】解：z＝（3﹣8i）i＝8+3i，
所以复数z的实部与虚部分别为8，3，则它们之和为8+3＝11．
故选：D．
13．已知i为虚数单位，复数，则（ ）
A．2﹣i
B．z的虚部为﹣i
C．
D．z在复平面内对应的点在第四象限
【答案】D
【解答】解：复数z2﹣i，则2+i，A错误；
z的虚部为﹣1，B错误；
|z|，C错误；
z在复平面内对应的点（2，﹣1）位于第四象限，D正确．
故选：D．
（多选）14．已知复数zn＝i+2i2+…+nin，n∈N*，则（ ）
A．z3的虚部是﹣4
B．|z3|＝|z4|
C．z65
D．在复平面内对应点在位于第四象限
【答案】BD
【解答】解：对于A，z3＝i+2i2+3i3＝i﹣2﹣3i＝﹣2﹣2i，
∴z3的虚部是﹣2，故A错误；
对于B，z3＝i+2i2+3i3＝i﹣2﹣3i＝﹣2﹣2i，∴|z3|2，
z4＝i+2i2+3i3+4i4＝i﹣2﹣3i+4＝2﹣2i，∴|z4|2，
∴|z3|＝|z4|，故B正确；
对于C，z6＝i+2i2+3i3+4i4+5i5+6i6＝i﹣2﹣3i+4+5i﹣6＝﹣4+3i，
∴z6（﹣4+3i）（﹣4﹣3i）＝16﹣9i2＝25，故C错误；
对于D，1﹣2i，
∴在复平面内对应点（1，﹣2）位于第四象限，故D正确．
故选：BD．
15．已知复数z＝（m2﹣6m+8）+（m﹣2）i（m∈R）．
（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若复数z在复平面内对应点位于第二象限，求实数m的取值范围．
【答案】（1）m＝4；
（2）（2，4）．
【解答】解：（1）若复数z为纯虚数，则m2﹣6m+8＝0且m﹣2≠0，解得m＝4；
（2）因为复数z在复平面内对应的点在第二象限，
所以，解得，可得2＜m＜4．
所以实数m的取值范围为（2，4）．
▉三．纯虚数（共8小题）
16．若（x2﹣1）+（2x+2）i是纯虚数，则实数x的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：由（x2﹣1）+（2x+2）i是纯虚数，
，解得x＝1．
故选：A．
17．复数z＝m2﹣3m+（m2﹣9）i是纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．0或3
【答案】A
【解答】解：由z＝m2﹣3m+（m2﹣9）i是纯虚数，
由纯虚数的定义可知，，所以m＝0．
故选：A．
18．设a∈R，（3﹣i）（1+ai）为纯虚数，则a＝（ ）
A．﹣3 B． C． D．3
【答案】A
【解答】解：由（3﹣i）（1+ai）＝a+3+（3a﹣1）i为纯虚数，得，即a＝﹣3．
故选：A．
19．已知a为实数，若复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则的值为（ ）
A．1 B．0 C．1+i D．1﹣i
【答案】B
【解答】解：复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则，解得a＝1，
故．
故选：B．
20．已知命题p：a＝﹣1，命题q：复数z＝1﹣a2+（a﹣1）i（a∈R）为纯虚数，则命题p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】解：因为复数z＝1﹣a2+（a﹣1）i（a∈R）为纯虚数 a＝﹣1，
所以命题p是q的充要条件．
故选：C．
21．任何一个复数z＝a+bi（其中a，b∈R，i为虚数单位）都可以表示成z＝r（cosθ+isinθ）（其中r≥0，θ∈R）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理．若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【解答】解：因为sinsin（）＝cos，coscos（）＝﹣sin，
由棣莫弗定理可得，
因为复数为纯虚数，
所以且，所以，k∈Z，得m＝4+8k，k∈Z，
所以正整数m的最小值为4．
故选：A．
22．若复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则m＝ ．
【答案】．
【解答】解：因为为纯虚数，
所以，解得．
故答案为：．
23．下列命题中，所有真命题的序号为 ② ．
①虚轴上的点所对应的数是纯虚数；
②若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数；
③若复数a+bi（a，b∈R）是某一元二次方程的根，则a﹣bi一定是该方程的另一个根．
【答案】②．
【解答】解：①，根据题意可知，坐标原点在虚轴上，其对应的数为z＝0为实数，故①错误；
②，设z＝i的平方根为x+yi（x，y∈R），则（x+yi）2＝i，即x2﹣y2+2xyi＝i，
故，解得或，
∴z＝i的平方根为或，显然z的平方根是虚数，故②正确；
③，若复数a+bi（a，b∈R）是某一元二次方程的根，
令a＝1，b＝0，则a+bi＝1是方程x2+x﹣2＝0的一个根，但方程x2+x﹣2＝0的另一个根是x＝﹣2，并非a﹣bi＝1，故③错误；
故答案为：②．
▉四．复数集C及其关系和运算（共4小题）
24．已知z1，z2，z∈复数集C，下列命题正确的是（ ）
A．3+i＞2+i B．若z是纯虚数，则z2＜0
C．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2 D．z2＝﹣1，则z＝i
【答案】B
【解答】解：A．由两个虚数不能比较大小，因此3+i＞2+i，不正确；
B．z是纯虚数，设z＝bi（b≠0），则z2＝﹣b2＜0，正确；
C．若|z1|＝|z2|，例如取|z1i，z2＝1+i，则z1＝±z2不一定成立，因此不正确；
D．取z＝﹣i，则z2＝﹣1，因此D不正确．
故选：B．
（多选）25．下列命题为真命题的是（ ）
A．复数2﹣2i对应的点在第二象限
B．若i为虚数单位，则i2023＝﹣i
C．在复数集C中，方程x2+x+1＝0的两个解分别为和
D．复平面内满足条件|z+i|≤2的复数z所对应的点Z的集合是以点（0，1）为圆心，2为半径的圆
【答案】BC
【解答】解：复数2﹣2i对应的点的坐标为（2，﹣2），在第四象限，故A错误；
i4×505+3＝i3＝﹣i，故B正确；
∵x2+x+1（xi）（xi），
因此在复数集C中，方程x2+x+1＝0有两个解，依次为和，故C正确；
复平面内满足条件|z+i|≤2的复数z对应的点Z的集合是以点（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆面，故D错误．
∴真命题的是BC．
故选：BC．
（多选）26．下列命题为真命题的是（ ）
A．复数2﹣2i的虚部为﹣2i
B．若i为虚数单位，则i2023＝﹣i
C．在复数集C中，方程x2+x+1＝0有两个解，依次为
D．复平面内满足条件|z+i|≤2的复数z所对应的点Z的集合是以点（0，1）为圆心，2为半径的圆
【答案】BC
【解答】解：复数2﹣2i的虚部为﹣2，故A错误；
i4×505+3＝i3＝﹣i，故B正确；
∵，
因此在复数集C中，方程x2+x+1＝0有两个解，依次为，故C正确；
复平面内满足条件|z+i|≤2的复数z对应的点Z的集合是以点（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆面，故D错误．
故选：BC．
27．已知复数，集合S＝{z||z1﹣z|＝1}，集合T＝{z||z﹣z0|＝1}．
（1）若 n∈N*使得（i为虚单位），求n的最小值．
（2）若当z0∈C时，集合S∩T有两个子集．
①求|z0|的取值范围；
②求集合T中复数z对应点Z形成的复平面区域的面积．
【答案】（1）3；（2）①1≤|Z0|≤3；②3π．
【解答】解：（1）∵i，
∴Z1n＝（﹣i）n＝i，
（Ⅰ）当n＝4k时，Z1n＝1，
（Ⅱ）当n＝4k+1时，Z1n＝﹣i，
（Ⅲ）当n＝4k+2时，Z1n＝1，
（Ⅳ）当n＝4k+3时，Z1n＝i，
∴n＝4k+3（k≥0，k∈N），
∴n的最小值为3；
（2）①∵集合S＝{z||z1﹣z|＝1}，集合T＝{z||z﹣z0|＝1}，S∩T有两个子集，
∴圆S与圆T仅有一个公共点，即两圆外切，
∴|Z1﹣Z0|＝2，即|Z0+i|＝2，
令Z0＝a+bi（a，b∈R），
则a2+（b+1）2＝4，
|Z0|2＝a2+b2＝4﹣（b+1）2+b2＝﹣2b+3，
∴﹣2≤b+1≤2，﹣3≤b≤1，
∴1≤﹣2b+3≤9，
∴1≤|Z0|≤3；
②集合T中复数z对应点Z形成的复平面区域是动圆半径为1，与圆S相切形成一个环，
∴S环＝π 22﹣π 12＝3π．
▉五．复数的相等（共10小题）
28．若i2＝a+bi（a，b∈R），则a+b＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解答】解：由i2＝a+bi＝﹣1，可得，则a+b＝﹣1．
故选：A．
29．已知复数z满足（i+3）z＝2，则z＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：复数z满足（i+3）z＝2，
则z．
故选：A．
30．设a+3i＝（b+i）i，其中a，b为实数，则（ ）
A．a＝1，b＝﹣3 B．a＝﹣1，b＝3 C．a＝﹣1，b＝﹣3 D．a＝1，b＝3
【答案】B
【解答】解：a+3i＝﹣1+bi，而a，b为实数，故a＝﹣1，b＝3．
故选：B．
31．已知i为虚数单位，，则（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
【答案】C
【解答】解：由，得2+ni＝﹣i﹣m，
则﹣m＝2，n＝﹣1，即m＝﹣2，n＝﹣1．
∴．
故选：C．
32．数系的扩充过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823﹣1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”．若i为虚数单位，z1＝（1+ai）（3+i），z2＝x﹣2i（a，x∈R），且z1＝z2，则（ ）
A．x＝﹣4，a＝1 B．x＝4，a＝﹣1 C．x＝﹣4，a＝﹣1 D．x＝4，a＝1
【答案】B
【解答】解：z1＝（1+ai）（3+i）＝3﹣a+（3a+1）i，由z1＝z2＝x﹣2i，
，解得．
故选：B．
33．设z1、z2均是复数，则“z12+z22＝0”是“z1＝z2＝0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：由z1、z2均是复数，知：
“z12+z22＝0”推不出“z1＝z2＝0”，
比如：i2+12＝0，i≠0，且1≠0，
“z1＝z2＝0” “z12+z22＝0”，
∴“z12+z22＝0”是“z1＝z2＝0”的必要不充分条件．
故选：B．
（多选）34．已知z1，z2∈C，设z1＝1+i，z2＝a+bi（a，b∈R），则下列说法正确的是（ ）
A．若z1+z2∈R，则z2＝﹣1﹣i
B．若，则
C．若，则
D．若|z2|＝2，则|z2+4|的最大值为8
【答案】BC
【解答】解：A选项，设z2＝2﹣i，显然满足z1+z2∈R，但z2≠﹣1﹣i，A选项错误；
B选项，由，得（1+i）2+（a+bi）2＝0，所以a2﹣b2+2（1+ab）i＝0，
则解得或，所以，B选项正确；
C选项，由，得，所以，C选项正确；
D选项，若|z2|＝2，则复数z2对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
|z2+4|表示圆上的点与点（﹣4，0）的距离，则距离的最大值为4+2＝6，D选项错误．
故选：BC．
35．已知复数，θ∈（0，π），若z1＝z2，求实数a的取值范围 [10，+∞） ．
【答案】[10，+∞）．
【解答】解：∵z1＝z2，
∴asinθ＝m2+1，2sinθ+4＝2m，
∴，
∵θ∈（0，π），
∴0＜sinθ≤1，令t＝sinθ∈（0，1]，
根据对勾函数单调性可知函数在（0，1]上严格单调递减，
∴，
所以a的范围为[10，+∞）．
故答案为：[10，+∞）．
36．在下列命题中：
①两个复数不能比较大小；
②复数z＝i﹣1对应的点在第四象限；
③若（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则实数x＝±1；
④若（z1﹣z2）2+（z2﹣z3）2＝0，则z1＝z2＝z3
⑤“复数a+bi（a，b，c∈R）为纯虚数”是“a＝0”的充要条件；
⑥复数z1＞z2 z1﹣z2＞0；
⑦复数z满足|z|＝z2；
⑧复数z为实数 z，
其中正确命题的是 ⑥⑧ （填序号）
【答案】⑥⑧
【解答】解：以下命题：
①两个复数不能比较大小，错误，如复数2和复数3，显然2＜3．
②复数z＝i﹣1对应的点在第四象限，错误，因为复数z对应点为（﹣1，1），在第二象限．
③若（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则实数x＝±1，错误，例如x＝﹣1时，此复数为0．
④若（z1﹣z2）2+（z2﹣z3）2＝0，则z1＝z2＝z3 ，错误，例如 z2＝0，z1＝i，z3 ＝i2 时，等式仍成立．
⑤“复数a+bi（a，b，c∈R）为纯虚数”是“a＝0”的充要条件，错误，
因为当a＝0时，复数a+bi不一定是纯虚数．
⑥复数z1＞z2 z1﹣z2＞0，正确，复数z1＞z2，说明复数z1和z2 都是实数，故有z1﹣z2＞0成立．
⑦复数z满足|z|＝z2，错误，如z＝i时，|z|＝1，z2＝﹣1，等式不成立．
⑧复数z为实数 z，正确，
故答案为：⑥⑧．
37．已知为方程（x﹣1）（x2+ax+b）＝0，（a，b∈R）的二个根．
（1）求实数a，b的值；
（2）猜测方程的另外一个根，并给出证明．
【答案】（1）；
（2）猜测第三个根为，
证明过程如下：对于方程x2+2x+4＝0，得．
所以方程的第三个根分别是．
【解答】解：（1）代入方程，得，
∴，解得．
（2）由题设，猜测第三个根为，
证明：对于方程x2+2x+4＝0，得．
所以方程的第三个根分别是．
▉六．复数对应复平面中的点（共7小题）
38．在复平面内，复数2i（i+m）对应的点的坐标为（﹣2，4），则实数m＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】C
【解答】解：复数2i（i+m）对应的点的坐标为（﹣2，4），
则2i（i+m）＝﹣2+2mi＝﹣2+4i，
所以2m＝4，
故m＝2．
故选：C．
39．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解答】解：∵复数，它在复平面内对应的点的坐标为（，），
故选：D．
40．复数，则复数z在复平面对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解答】解：，
所以由复数的几何意义可知，复数z对应点坐标为，该点在第四象限．
故选：D．
41．设i为虚数单位，若，则z在复平面内对应的点位于第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【解答】解：，
故z在复平面内对应的点位于第四象限．
故选：D．
42．复数z＝3﹣i3在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解答】解：z＝3﹣i3＝3+i在复平面内对应的点（3，1）位于第一象限．
故选：A．
43．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解答】解：由z，
得复数z在复平面内对应的点的坐标为 （1，﹣1），在第四象限．
故选：D．
44．已知复数z＝（1+i）m2﹣3mi+2i﹣4，m为实数．
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）若复数z在复平面上对应的点在第二象限，求m的取值范围；
【答案】（1）﹣2；
（2）（﹣2，1）．
【解答】解：（1）由z＝（1+i）m2﹣3mi+2i﹣4，化简得z＝m2﹣4+（m2﹣3m+2）i，
因为z是纯虚数，所以m2﹣4＝0且m2﹣3m+2≠0，解得m＝﹣2，所以m的值是﹣2；
（2）若复数z在复平面上对应的点在第二象限，则，
解得﹣2＜m＜1，所以m的取值范围为（﹣2，1）．
▉七．由复平面中的点确定复数（共5小题）
45．已知复数z在复平面内对应的点为（﹣2，2），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：复数z在复平面内对应的点为（﹣2，2），则z＝﹣2+2i，
i．
故选：D．
46．已知复数z1，z2在复平面内所对应的点分别为A（1，a），B（a，﹣1），且z1z2＝2，则（ ）
A．（0，﹣2） B．（1，﹣3） C．（2，﹣4） D．（﹣1，﹣1）
【答案】A
【解答】解：由题意得z1＝1+ai，z2＝a﹣i，
则z1z2＝（1+ai）（a﹣i）＝2a+（a2﹣1）i＝2，
可得2a＝2，a2﹣1＝0，解得a＝1，
故（0，﹣2）．
故选：A．
（多选）47．在复平面内，，对应的复数分别为，z2＝cosθ+isinθ，且，则z2可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解答】解：因为，z2＝cosθ+isinθ，且，
所以，即cosθsinθ＝0，即cosθsinθ，
又因为sin2θ+cos2θ＝1，所以sinθ且cosθ或sinθ且cosθ，
所以z2i或z2i．
故选：AC．
48．设是复数z的共轭复数．在复平面内，复数z+2与对应的点关于y轴对称，则 ．
【答案】．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
则，z+2＝（a+2）+bi，
因为复数z+2与对应的点关于y轴对称，
所以a+2+a＝0且b＝2﹣b，解得a＝﹣1，b＝1，
则．
故答案为：．
49．已知A（3，m），B（2，1），C（﹣2，1），D（n，﹣2）是复平面内的四个点，其中m，n∈R，且向量，对应的复数分别为z1，z2，且z1﹣z2＝﹣6+2i．
（1）求z1，z2；
（2）若复数，t∈R，在复平面内对应的点Z在第四象限，求实数t的取值范围．
【答案】（1）z1＝﹣5﹣i，z2＝1﹣3i，（2）（2，）．
【解答】解：（1）由已知可得（﹣5，1﹣m），n﹣2，﹣3），
则z1＝﹣5+（1﹣m）i，z2＝n﹣2﹣3i，
所以z1﹣z2＝﹣3﹣n+（4﹣m）i＝﹣6+2i，则，解得m＝2，n＝3，
所以z1＝﹣5﹣i，z2＝1﹣3i，
（2）因为z
在复平面内对应的点在第四象限，则，
解得，即实数t的范围为（2，）．
▉八．共轭复数（共6小题）
50．若复数z＝1﹣3i，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由复数z＝1﹣3i，得，
则．
所以的虚部为．
故选：C．
51．复数的共轭复数对应的点在复平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解答】解：复数2﹣i，
它的共轭复数为﹣2+i，在复平面内的对应点的坐标为（﹣2，1），
故选：B．
52．复数z满足，则的虚部为（ ）
A．﹣2 B．﹣2025i C．2 D．﹣2025
【答案】A
【解答】解：由，可得z＝2025+2i，
则，
故的虚部为﹣2．
故选：A．
53．已知复数z1，z2均不为0，则下列等式不恒成立的是（ ）
A． B．|z1﹣z2|＝||
C．z1 z2 D．|z1 |＝| z2|
【答案】C
【解答】解：设z1＝a+bi，z2＝c+di（a、b、c、d∈R），
对于A：z1﹣z2＝（a﹣c）+（b﹣d）i，故，，故A正确；
对于B：，，故B正确；
对于C：，，故C错误；
对于D：，，故D正确．
故选：C．
54．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2﹣3i，则z2的共轭复数为 ﹣2﹣3i ．
【答案】2﹣2﹣3i．
【解答】解：∵复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称且若z1＝2﹣3i，
∴z2＝﹣2+3i，
∴2＝﹣2﹣3i．
故答案为：﹣2﹣3i．
55．已知复数z满足z（1﹣3i）为纯虚数，z＝﹣2i．
（1）求z以及；
（2）设z1，若|z1|＝2，求实数m的值．
【答案】（1）z＝﹣3+i，；
（2）m＝1或5．
【解答】解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R），
则，
z＝﹣2i，
则a﹣bi﹣（a+bi）＝﹣2bi＝﹣2i，解得b＝1，
z（1﹣3i）＝（a+i）（1﹣3i）＝a+3+（1﹣3a）i为纯虚数，
则，解得a＝﹣3，
故z＝﹣3+i，；
（2）z1，
|z1|＝2，
则，解得m＝1或5．
▉九．复数的模（共5小题）
56．已知复数z满足i z+3＝3i，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由i z+3＝3i，得，
则|z|．
故选：A．
57．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝2，则|z|＝（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解答】解：因为z（1+i）＝2，所以，
则|z|．
故选：A．
58．设z为复数，则“为实数”是“|z|＝2”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【解答】解：设z＝a+bi，（a，b不能同时为0），
则．
又|z|＝2，等价于，即a2+b2＝4．
若是实数，则，解得b＝0或a2+b2＝4，不一定满足a2+b2＝4故充分性不成立；
若|z|＝2，即a2+b2＝4，则一定有，即是实数，故必要性成立．
综上“为实数”是“|z|＝2”的必要非充分条件．
故选：B．
59．已知x，y∈R，i是虚数单位，若4x﹣i＝（3+i）y，则|x+yi|＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵4x﹣i＝（3+i）y，∴4x﹣i＝3y+yi，∴，解得，
∴．
故选：B．
60．已知复数z1，z2满足．
（1）求复数z1；
（2）|z2|＝3，|z1﹣z2|＝4，求|z1+z2|；
（3）复数z1是关于x的方程x2﹣px+q＝0（p，q∈R）的一个根，求出方程qx2+px+1＝0的两个复数根．
【答案】（1）z1＝3﹣4i；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）由复数，可得3﹣4i；
（2）由（1）知z1＝3﹣4i，可得|z1|＝5，
又由|z2|＝3，则，可得，
则
，
所以；
（3）由（1）知：z1＝3﹣4i，
将z1＝3﹣4i代入方程得（3﹣4i）2﹣p（3﹣4i）+q＝0，
整理得﹣7﹣3p+q+（4p﹣24）i＝0，
所以，解得p＝6，q＝25，即方程25x2+6x+1＝0，
则方程25x2+6x+1＝0的复数根为．
声明：试
