6.3 平面向量基本定理及坐标表示
【知识点1 平面向量基本定理】
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数
，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(2)定理的实质
由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.
2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路
用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
【知识点2 平面向量的坐标表示】
1．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基
底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示.
显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).
(3)点的坐标与向量的坐标的关系
区 别 表示形
式不同 向量中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号.
意义
不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y).
联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.
2．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和（差）的坐标表示
由于向量，等价于，，所以
，即.同理得.
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由，可得，则，即.
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
3．平面向量数量积的坐标表示
(1)平面向量数量积的坐标表示
由于向量，等价于，，所以
.又，，，所以.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
(2)平面向量长度（模）的坐标表示
若，则或.
其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根.
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么，
.
4．平面向量位置关系的坐标表示
(1)共线的坐标表示
①两向量共线的坐标表示
设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果
用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是.
②三点共线的坐标表示
若，，三点共线，则有，从而，即，
或由得到，
或由得到.
由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.
(2)夹角的坐标表示
设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得.
(3)垂直的坐标表示
设，，则.
即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.
5．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
一．平面向量的基底（共10小题）
1．已知向量，是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：对于A，假设共线，则存在λ∈R，使得，
因为，不共线，所以没有任何一个λ∈R能使该等式成立，即假设不成立，
也即 不共线，则能作为基底；
对于B，假设，共线，则存在λ∈R，使得，
即，无解，所以没有任何一个λ能使该等式成立，即假设不成立，
也即，不共线，则能作为基底；
对于C，因为，所以两向量共线，不能作为一组基底，C错误；
对于D，假设共线，则存在λ∈R，使得，
即，无解，所以没有任何一个λ∈R能使该等式成立，即假设不成立，也即23， 不共线，则能作为基底．
故选：C．
2．设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和
B．与
C．与
D．与
【答案】C
【解答】解：A，令λ（2），∵、不共线，∴λ＝1且λ＝0，∴λ不存在，∴与2不共线，∴能作为基底，
B，令2λ（3），∵、不共线，∴λ且λ＝﹣2，∴λ不存在，∴2与3不共线，∴能作为基底，
C，∵﹣242（2），∴2与﹣24共线，不能作为基底，
D，令3λ（4），∵、不共线，∴λ＝﹣3且λ，∴λ不存在，∴3与4不共线，能作为基底．
故选：C．
3．在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解答】解：对于A，零向量与任一向量都共线，所以零向量不可以作为向量的基底，故A错误；
对于B，因为﹣1×7﹣2×5≠0，所以，（5，7）不共线，可以表示它们所在平面内所有向量的基底，故B正确；
对于C，因为3×10﹣5×6＝0，所以，（6，10）共线，不可以表示它们所在平面内所有向量的基底，故C错误；
对于D，因为，所以，共线，不可以表示它们所在平面内所有向量的基底，故D错误．
故选：B．
4．设平面向量，若不是表示平面内所有向量的一个基底，则tanθ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为不是表示平面内所有向量的一个基底，所以，
又，
所以，解得．
故选：B．
5．若{，}是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ）
A．{2，2}
B．{2，}
C．{32，64}
D．{2，3}
【答案】D
【解答】解：对于A，因为2（2），所以两向量共线，不能作为基底；
对于B，因为22（），所以两向量共线，不能作为基底；
对于C，642（32），所以两向量共线，不能作为基底；
对于D，不存在λ∈R，使得2λ（3），所以两向量不共线，能作为基底．
故选：D．
（多选）6．下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解答】解：对于A：因为零向量和任意向量平行，故A中向量不可作基底；
对于B：因为﹣1×7≠2×5，故B中两个向量不共线，可以作为基底；
对于C：因为3，所以C中两个向量共线，故C中向量不可作基底；
对于D：因为4，所以D中两个向量共线，故D中向量不可作基底．
故选：ACD．
（多选）7．在下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解答】解：不共线的两个向量可以作为一组基底，判断各选项是否共线即可，
对于A，由于﹣1×（﹣1）≠0，故不共线，可以作为一组基底；
对于B，由知共线，不可以作为基底；
对于C，由于2×4≠﹣1×5，故不共线，可以作为基底；
对于D，由于，即，
故，因此，当时，此时共线，不可以作为基底．
故选：BD．
（多选）8．以下各组向量中，可以作为平面向量的一组基底的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】BC
【解答】解：对于A选项，，，故A选项不可以作为平面向量的一组基底；
对于B选项，，不共线，故B选项可以作为平面向量的一组基底；
对于C选项，，不共线，故C选项可以作为平面向量的一组基底；
对于D选项，2cos70°cos20°﹣cos50°＝2sin20°cos20°﹣sin40°＝0，，故D选项不可以作为平面向量的一组基底．
故选：BC．
（多选）9．下列说法中正确的为（ ）
A．已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量，，满足且与同向，则
D．非零向量和，满足，则与的夹角为30°
【答案】BD
【解答】解：对于A：已知，，由于与的夹角为锐角，
故，且λ≠0，故实数λ的取值范围是，故A错误；
对于B：向量，，满足，所以和共线，所以不能作为平面内的一组基底，故B正确；
对于C：非零向量，，满足且与同向，则是错误的，向量不能比较大小，故C错误；
对于D：非零向量和，满足，则以这三边构成的三角形为等边三角形，所以与的夹角为30°，故D正确．
故选：BD．
10．已知向量，，m∈R．
（1）若向量，能构成一组基底，求实数m的范围；
（2）若，且，求向量与的夹角大小．
【答案】（1）{m|m≠﹣2且m≠1}．
（2）．
【解答】解：（1）若向量，能构成一组基底，
则向量，不共线，
则m（m+1）﹣2≠0，解得m≠﹣2且m≠1，
故实数m的范围为{m|m≠﹣2且m≠1}；
（2）因为，所以，
即m+3﹣2﹣3（m+1）＝0，解得m＝﹣1，
所以，，
则，
又因为，所以，
即向量与的夹角为．
二．用平面向量的基底表示平面向量（共10小题）
11．在△ABC中，D为BC边上一点，且BC＝3BD，设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由已知得
（）
．
故选：A．
12．在△ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且，，D在边BC上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【解答】解：在△ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且，，D在边BC上（不包含端点），
因为D在边BC上（不包含端点），不妨设，其中0＜λ＜1，
即，
所以，，
又因为，则x＝2﹣2λ，y＝4λ，其中x、y均为正数，
且有2x+y＝4，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故则的最小值是2．
故选：A．
13．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E为AD上的点，且，若，，则用，表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：在△ABC中，D是BC的中点，
所以，
根据，可得，
所以．
故选：D．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E满足，点F为CD的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：在平行四边形ABCD中，
因为，所以，
所以，
因为点F为CD的中点，
所以，
所以．
故选：B．
15．如图，AD为ΔABC的边BC上的中线，且，那么为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，可得，即，整理得．
故选：A．
16．已知在平行四边形ABCD中，，，记，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图，
则，其中，，
因为在平行四边形ABCD中，有，
所以．
故选：D．
17．在△ABC中，，P是直线BN上的一点，若，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意可知，，
则，
而B，P，N三点共线，则，解得．
故选：C．
18．在△ABC中，AD为BC边上的中线，M是AD的中点，2，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，M是AD的中点，2，
则
．
故选：B．
19．在△ABC中，，，线段CD交BE于点G，且λμ，则λ+μ的值为 ．
【答案】．
【解答】解：在△ABC中，，，线段CD交BE于点G，
所以B，G，E三点共线，设，m＞0，
即，
即，，
又，所以，
C，G，D三点共线，设，n＞0，
即，
即，，
又，所以，
所以，解得，
故，
故．
故答案为：．
20．如图，在△ABC中，P为线段BC上靠近点B的三等分点，O是线段AP上一点，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设．
（1）以为基底表示．
（2）若，求的值．
（3）若点O为线段AP的中点，求λ+μ的最小值．
【答案】（1）；
（2）；
（3），
【解答】解：（1）由P为线段BC上靠近点B的三等分点，
可得（），
所以（）；
（2）因为E，O，F三点共线，则存在t∈R，
使得，
又O是线段AP上一点，则存在m∈R，
使得，
由（1）已得，
故有，解得，
即；
（3）因为，且E，O，F三点共线，
则存在t∈R，使得，
又因点O为线段AP的中点，则有，
与，
可得，整理可得λ+2μ＝6λμ，
即，
所以λ+μ＝（λ+μ） （）（3）（3+2），
当且仅当时，即当时，
λ+μ取得最小值为，
三．平面向量的正交分解及坐标表示（共7小题）
21．已知（2，3），则点N位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．不确定
【答案】D
【解答】解：（2，3），M点不确定，
则点N的位置不确定，
故选：D．
22．设点A（1，2）、B（3，5），将向量按向量（﹣1，﹣1）平移后得到为（ ）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，7）
【答案】B
【解答】解：∵A（1，2）、B（3，5），
∴（2，3）
将向量向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到，
知与的方向相同，大小也相等，只是位置不同罢了，
于是（2，3）
故选：B．
23．已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是（﹣2，1）（﹣1，3）（3，4），则向量的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（4，2）
【答案】B
【解答】解：∵平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是（﹣2，1）（﹣1，3）（3，4），
∴（﹣2，1）﹣（﹣1，3）＝（﹣1，﹣2），（3，4）﹣（﹣1，3）＝（4，1）．
∴（﹣1，﹣2）+（4，1）＝（3，﹣1）．
故选：B．
24．一质点受到同一平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小都为6牛顿，则F3的大小为 6 牛顿．
【答案】6
【解答】解：质点受到同一平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态，
∴，
∴（），
∵||
＝6，
故||＝||＝6．
即F3的大小为6牛顿．
故答案为：6．
25．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，O点是内心，且λ1λ2，则λ1+λ2＝ ．
【答案】
【解答】解：设内切圆半径为r，
由题意得：r＝OE＝OF＝AE＝AF，
∴
，
∴，．
∴λ1+λ2．
故答案为：．
26．设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为，如图所示．
（1）求F3的大小；
（2）求F2与F3的夹角．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意||＝||，
∵|F1|＝1，|F2|＝2，且与的夹角为π，
∴||＝||；
（2）∵（），
∴ ，
∴ 2 cos，1 2 （）﹣4，
∴cos，，
∴，．
27．已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若（λ∈R）．试当λ为何值时，点P在第三象限内？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设（x，y）﹣（2，3）＝（x﹣2，y﹣3）
（x，y）﹣（2，3）＝（x﹣2，y﹣3）＝（3+5λ，1+7λ）
∵
∴（x﹣2，y﹣3）＝（3+5λ，1+7λ）
∴∴
∵P在第三象限内
∴
∴
∴λ＜﹣1，即λ＜﹣1时，P点在第三象限．
四．平面向量加减法的坐标运算（共11小题）
28．已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为，所以，
因为，，所以，
即，即，
解得，
所以，
又因为，所以．
故选：D．
29．已知A（﹣2，3），B（1，﹣2），C（1，﹣1），则（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】C
【解答】解：因为A（﹣2，3），C（1，﹣1），所以，，
则．
故选：C．
30．已知向量（﹣2，1），（1，1），则32（ ）
A．（﹣8，1） B．（﹣4，5） C．（﹣4，1） D．（﹣8，5）
【答案】A
【解答】解：因为向量（﹣2，1），（1，1），
所以323（﹣2，1）﹣2（1，1）＝（﹣8，1）．
故选：A．
31．已知，则（ ）
A．（2，﹣4） B．（﹣2，4） C． D．
【答案】A
【解答】解：因为，
所以（2，﹣4）．
故选：A．
32．已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：，，，
则（）．
故选：B．
33．已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，若，D（﹣2，﹣3），则点E的坐标为（ ）
A．（4，5） B．（1，1） C．（﹣5，﹣7） D．（﹣8，﹣11）
【答案】A
【解答】解：因为D，E分别为AB，AC的中点，
所以．
设E（x，y），又因为D（﹣2，﹣3），
所以（x+2，y+3）＝（6，8），
所以解得
即点E的坐标为（4，5）．
故选：A．
34．已知向量，则的值为 ．
【答案】．
【解答】解：因为（3，1），所以||．
故答案为：．
35．已知A（2，3），B（4，﹣3），点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，则点P的坐标是 （﹣2，15） ．
【答案】（﹣2，15）．
【解答】解：设O（0，0），则，即，
解得323（2，3）﹣2（4，﹣3）＝（﹣2，15），则P的坐标为（﹣2，15）．
故答案为：（﹣2，15）．
36．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）若，，求；
（3）已知点D（3，5），在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
【答案】（1）；
（2）；
（3）A（10，7）．
【解答】解：（1）（λ+1），
当A，E，C三点共线时，存在实数μ，使得μ，
即（λ+1）μ（﹣2）＝﹣2μμ，
即，解得．
（2）由（1）知，
所以，
所以．
（3）（6，0），（﹣7，﹣2），
所以（6，0）+（﹣7，﹣2）＝（﹣1，﹣2），
设A（a，b），则C（a﹣1，b﹣2），
所以（a﹣4，b﹣7），
在平行四边形ABCD中，，即，解得，
所以A（10，7）．
37．已知向量．
（1）求向量的坐标；
（2）求向量的模．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为向量，
所以，
；
（2）因为向量，
所以，
所以．
38．已知向量．
（1）求；
（2）设的夹角为θ，求cosθ的值；
（3）若向量与互相垂直，求k的值．
【答案】（1）（﹣8，5）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）因为，
所以；
（2）的夹角为θ，
则；
（3）向量与互相垂直，
则，
又，，
则5﹣10k2＝0，
解得k＝±．
五．平面向量数乘和线性运算的坐标运算（共12小题）
39．已知向量（5，1），（m，9），（8，5）．若A，C，D三点共线，则m＝（ ）
A． B．﹣11 C．11 D．
【答案】C
【解答】解：因为向量，，
所以，
因为A、C、D三点共线，则，
，
所以5（m+5）＝8×10，解得m＝11．
故选：C．
40．如图，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，解得λ＝2，μ＝1，
∴．
故选：A．
41．已知点A（﹣1，2），B（0，3），点P在线段AB上，且，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由点P在线段AB上，且知，
设P点坐标为（x，y），则（x+1，y﹣2）＝3（﹣x，3﹣y），
即，解得x，y．
故选：B．
42．已知△ABC是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且，E为AD的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：△ABC是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且，E为AD的中点，
以BC中点为坐标原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，如图，
则，
由，得，
而E为AD的中点，则，
∴．
故选：B．
43．已知点A（3，﹣2），B（2，﹣1），且，则点P的横坐标与纵坐标之和为（ ）
A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【答案】B
【解答】解：设P（x，y），A（3，﹣2），B（2，﹣1），
则，，
又，
则，解得，
则x+y＝1．
故选：B．
44．已知A（﹣2，1），B（4，﹣5），点P满足，则点P的坐标是（ ）
A．（﹣3，3） B．（﹣8，7） C．（1，﹣2） D．（10，﹣11）
【答案】C
【解答】解：设P（x，y），则，，
∴由得：（x+2，y﹣1）＝（3，﹣3），
∴，解得，
∴P（1，﹣2）．
故选：C．
45．已知点A（﹣1，4），B（3，7），C是线段AB上靠近点B的一个三等分点，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为点A（﹣1，4），B（3，7），设C（x，y），
可得，，
又，所以，
即，解得．
故选：B．
46．已知，，则（ ）
A．（21，2） B．（﹣21，2） C．（2，21） D．（﹣2，21）
【答案】B
【解答】解：．
故选：B．
47．已知点A（﹣1，1），B（2，﹣1），若点D满足，则点D的坐标为（ ）
A．（5，﹣2） B．（6，﹣2） C．（4，﹣3） D．（5，﹣3）
【答案】D
【解答】解：设D（x．y），点A（﹣1，1），B（2，﹣1），
则，，
∵；
∴，解得，即 D（5．﹣3）．
故选：D．
48．在平行四边形ABCD中，AC为对角线，若，，则（ ）
A．（3，5） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣3，﹣5） D．（2，4）
【答案】A
【解答】解：在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，，，
可得（﹣1，﹣1），
故（3，5）．
故选：A．
49．已知，则的坐标为 （7，﹣3）． ．
【答案】（7，﹣3）．
【解答】解：由题意，（2，1）﹣（﹣5，4）＝（7，﹣3）．
故答案为：（7，﹣3）．
50．设向量，，满足（2，1），||＝2，（1，0）．
（1）若向量，同向，求向量的坐标；
（2）若t∈[0，1]，求|t|的取值范围．
【答案】（1）（4，2）；（2）[，]．
【解答】解：（1）若向量，同向，则可设λ（λ＞0），
所以λ（2，1）＝（2λ，λ），
因为||＝2，所以2，解得λ＝±2（舍负），
所以（4，2）．
（2）tt（2，1）﹣（1，0）＝（2t﹣1，t），
所以|t|，
因为t∈[0，1]，
所以当t时，|t|取得最小值；
当t＝1时，|t|取得最大值，
故|t|的取值范围为[，]．
六．平面向量数量积的坐标运算（共10小题）
51．已知向量，，若，则（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】B
【解答】解：由题可得：，
故，解得k＝3，
则，故．
故选：B．
52．已知，，若，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：，，
则（x﹣4，﹣5），
若，
则x（x﹣4）﹣5＝0，解得x＝5或x＝﹣1，
当x＝5时，（3，﹣2），，
当x＝5时，（﹣3，﹣2），．
故选：C．
53．设x∈R，向量且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为，又，所以3﹣x＝0，解得x＝3，
所以，
所以，
所以．
故选：B．
54．已知，，则的值为（ ）
A．3 B．5 C．4 D．6
【答案】B
【解答】解：由题意，可得，
又，所以．
故选：B．
55．已知平面向量（λ，2），（1，λ+1），若⊥，则λ＝（ ）
A．1 B．﹣2 C． D．
【答案】C
【解答】解：因为，平面向量（λ，2），（1，λ+1），
所以λ+2（λ+1）＝0，即．
故选：C．
56．已知平面向量，，满足，，，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解答】解：因为，，不妨设．
所以，解得a＝1，所以．
又因为，所以，
所以，
所以当b＝1时，取得最小值3．
故选：D．
57．已知向量，且，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：向量，
则，可得m＝3．
故选：A．
58．已知向量，向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：，
则，在上的投影向量为，
所以，
解得．
故选：C．
59．已知（2，﹣1），，则等于（ ）
A．10 B．﹣10 C．3 D．﹣3
【答案】B
【解答】解：∵，
∴．
故选：B．
60．已知向量，若，则sin2θ﹣sinθcosθ﹣2cos2θ＝（ ）
A． B． C． D．﹣1
【答案】C
【解答】解：因为⊥，所以1×cosθ+（﹣2）×sinθ＝0，
解得tanθ，
则sin2θ﹣sinθcosθ﹣2cos2θ．
故选：C．6.3 平面向量基本定理及坐标表示
【知识点1 平面向量基本定理】
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数
，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(2)定理的实质
由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.
2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路
用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
【知识点2 平面向量的坐标表示】
1．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基
底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示.
显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).
(3)点的坐标与向量的坐标的关系
区 别 表示形
式不同 向量中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号.
意义
不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y).
联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.
2．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和（差）的坐标表示
由于向量，等价于，，所以
，即.同理得.
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由，可得，则，即.
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
3．平面向量数量积的坐标表示
(1)平面向量数量积的坐标表示
由于向量，等价于，，所以
.又，，，所以.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
(2)平面向量长度（模）的坐标表示
若，则或.
其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根.
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么，
.
4．平面向量位置关系的坐标表示
(1)共线的坐标表示
①两向量共线的坐标表示
设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果
用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是.
②三点共线的坐标表示
若，，三点共线，则有，从而，即，
或由得到，
或由得到.
由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.
(2)夹角的坐标表示
设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得.
(3)垂直的坐标表示
设，，则.
即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.
5．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
一．平面向量的基底（共10小题）
1．已知向量，是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和
B．与
C．与
D．与
3．在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
4．设平面向量，若不是表示平面内所有向量的一个基底，则tanθ＝（ ）
A． B． C． D．
5．若{，}是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ）
A．{2，2}
B．{2，}
C．{32，64}
D．{2，3}
（多选）6．下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）7．在下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）8．以下各组向量中，可以作为平面向量的一组基底的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
（多选）9．下列说法中正确的为（ ）
A．已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量，，满足且与同向，则
D．非零向量和，满足，则与的夹角为30°
10．已知向量，，m∈R．
（1）若向量，能构成一组基底，求实数m的范围；
（2）若，且，求向量与的夹角大小．
二．用平面向量的基底表示平面向量（共10小题）
11．在△ABC中，D为BC边上一点，且BC＝3BD，设，，则（ ）
A． B． C． D．
12．在△ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且，，D在边BC上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
13．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E为AD上的点，且，若，，则用，表示为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E满足，点F为CD的中点，则（ ）
A． B． C． D．
15．如图，AD为ΔABC的边BC上的中线，且，那么为（ ）
A． B． C． D．
16．已知在平行四边形ABCD中，，，记，，则（ ）
A． B． C． D．
17．在△ABC中，，P是直线BN上的一点，若，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
18．在△ABC中，AD为BC边上的中线，M是AD的中点，2，则（ ）
A． B．
C． D．
19．在△ABC中，，，线段CD交BE于点G，且λμ，则λ+μ的值为 ．
20．如图，在△ABC中，P为线段BC上靠近点B的三等分点，O是线段AP上一点，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设．
（1）以为基底表示．
（2）若，求的值．
（3）若点O为线段AP的中点，求λ+μ的最小值．
三．平面向量的正交分解及坐标表示（共7小题）
21．已知（2，3），则点N位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．不确定
22．设点A（1，2）、B（3，5），将向量按向量（﹣1，﹣1）平移后得到为（ ）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，7）
23．已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是（﹣2，1）（﹣1，3）（3，4），则向量的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（4，2）
24．一质点受到同一平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小都为6牛顿，则F3的大小为 牛顿．
25．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，O点是内心，且λ1λ2，则λ1+λ2＝ ．
26．设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为，如图所示．
（1）求F3的大小；
（2）求F2与F3的夹角．
27．已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若（λ∈R）．试当λ为何值时，点P在第三象限内？
四．平面向量加减法的坐标运算（共11小题）
28．已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
29．已知A（﹣2，3），B（1，﹣2），C（1，﹣1），则（ ）
A． B． C．5 D．
30．已知向量（﹣2，1），（1，1），则32（ ）
A．（﹣8，1） B．（﹣4，5） C．（﹣4，1） D．（﹣8，5）
31．已知，则（ ）
A．（2，﹣4） B．（﹣2，4） C． D．
32．已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
33．已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，若，D（﹣2，﹣3），则点E的坐标为（ ）
A．（4，5） B．（1，1） C．（﹣5，﹣7） D．（﹣8，﹣11）
34．已知向量，则的值为 ．
35．已知A（2，3），B（4，﹣3），点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，则点P的坐标是 ．
36．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）若，，求；
（3）已知点D（3，5），在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
37．已知向量．
（1）求向量的坐标；
（2）求向量的模．
38．已知向量．
（1）求；
（2）设的夹角为θ，求cosθ的值；
（3）若向量与互相垂直，求k的值．
五．平面向量数乘和线性运算的坐标运算（共12小题）
39．已知向量（5，1），（m，9），（8，5）．若A，C，D三点共线，则m＝（ ）
A． B．﹣11 C．11 D．
40．如图，已知，则（ ）
A． B． C． D．
41．已知点A（﹣1，2），B（0，3），点P在线段AB上，且，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
42．已知△ABC是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且，E为AD的中点，则（ ）
A． B． C． D．
43．已知点A（3，﹣2），B（2，﹣1），且，则点P的横坐标与纵坐标之和为（ ）
A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣1
44．已知A（﹣2，1），B（4，﹣5），点P满足，则点P的坐标是（ ）
A．（﹣3，3） B．（﹣8，7） C．（1，﹣2） D．（10，﹣11）
45．已知点A（﹣1，4），B（3，7），C是线段AB上靠近点B的一个三等分点，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
46．已知，，则（ ）
A．（21，2） B．（﹣21，2） C．（2，21） D．（﹣2，21）
47．已知点A（﹣1，1），B（2，﹣1），若点D满足，则点D的坐标为（ ）
A．（5，﹣2） B．（6，﹣2） C．（4，﹣3） D．（5，﹣3）
48．在平行四边形ABCD中，AC为对角线，若，，则（ ）
A．（3，5） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣3，﹣5） D．（2，4）
49．已知，则的坐标为 ．
50．设向量，，满足（2，1），||＝2，（1，0）．
（1）若向量，同向，求向量的坐标；
（2）若t∈[0，1]，求|t|的取值范围．
六．平面向量数量积的坐标运算（共10小题）
51．已知向量，，若，则（ ）
A．3 B．5 C． D．
52．已知，，若，则（ ）
A．3 B． C． D．
53．设x∈R，向量且，则（ ）
A． B． C． D．
54．已知，，则的值为（ ）
A．3 B．5 C．4 D．6
55．已知平面向量（λ，2），（1，λ+1），若⊥，则λ＝（ ）
A．1 B．﹣2 C． D．
56．已知平面向量，，满足，，，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
57．已知向量，且，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
58．已知向量，向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A． B． C． D．
59．已知（2，﹣1），，则等于（ ）
A．10 B．﹣10 C．3 D．﹣3
60．已知向量，若，则sin2θ﹣sinθcosθ﹣2cos2θ＝（ ）
A． B． C． D．﹣1
