8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
▉考点01 平面
1．平面
(1)平面的概念
生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等，几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.
(2)平面的画法
①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.
②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所示，常把平行四边形的一边画成竖向.
(3)平面的表示方法
平面一般用希腊字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.
2．点、直线、平面的位置关系的符号表示
点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的集合。点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示。
3．三个基本事实及其推论
(1)三个基本事实及其表示
基本事实 自然语言 图形语言 符号语言
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线存在唯一的平面α使A,B,C∈α.
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α.
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且 P ∈β α∩β=l,且P∈l.
(2)三个基本事实的作用
基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.
基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.
基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.
(2)基本事实1和2的三个推论
推论 自然语言 图形语言 符号语言
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A aa与A共面于平面α，且平面唯一.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=Pa与b共面于平面α，且平面唯一.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b直线a,b共面于平面α，且平面唯一.
▉考点02 空间点、线、面之间的位置关系
1．空间中直线与直线的位置关系
(1)三种位置关系
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种：
(2)异面直线的画法
为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.
2．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下：
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
直线在平面内 有无数个公共点
直线与平面相交 有且只有一个公共点
直线与平面平行 没有公共点
3．空间中平面与平面的位置关系
(1)两种位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下：
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
两个平面平行 没有公共点
两个平面相交 有一条公共直线
(2)平行平面的画法技巧
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.
4．平面分空间问题
一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢 三个平面呢
(1)两个平面有两种情形：
①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；
②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).
(2)三个平面有五种情形：
①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)；
②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；
③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；
④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；
⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).
▉考点01 点直线平面的交点交线及包含关系的符号语言表示（共5小题）
1．如图所示，用符号语言可表达为（ ）
A．α∩β＝m，n α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n α，A m，A n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
【答案】A
【解答】解：B中，直线n是集合，所以n α，所以B不正确；
C中A点是元素，所以A∈m，A∈n，所以C不正确；
D中，错在n∈α，
故选：A．
2．点A在直线l上，直线l在平面α内，用符号表示，正确的是（ ）
A．A∈l，l∈α B．A∈l，l α C．A l，l α D．A∈l，l α
【答案】D
【解答】解：点A在直线l上，则A∈l，
因为直线l在平面α内，则l α，
故选：D．
3．“点P在平面α内，直线l与平面α相交于点Q”可以用符号表示为（ ）
A．P α，l∩α＝Q B．P∈α，l∪α＝Q C．P∈α，l∩α＝Q D．P α，l∪α＝Q
【答案】C
【解答】解：∵点P在平面α内，表示为P∈α，
直线l与平面α相交于点Q，表示为l∩α＝Q，
∴“点P在平面α内，直线l与平面α相交于点Q”可以用符号表示为P∈α，l∩α＝Q．
故选：C．
4．“点A在平面α上”用集合符号表示是 ．
【答案】A∈α
【解答】解：“点A在平面α上”用集合符号表示是：A∈α．
故答案为：A∈α．
5．公理一：如果一条直线l上的两点A，B在一个平面α内，那么这条直线l在此平面内．请用数学的符号语言表示为 ．
【答案】A∈l，B∈l，A∈α，B∈α l α
【解答】解：一条直线l上的两点A，B在一个平面α内，
转化为数学的符号语言表示为A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，
这条直线l在此平面内，转化为数学的符号语言表示为l α．
故公理一用数学的符号语言表示为：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α l α．
故答案为：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α l α．
▉考点02 点和直线确定平面及其数量（共7小题）
6．下列条件一定能确定一个平面的是（ ）
A．空间三个点
B．空间一条直线和一个点
C．两条相互垂直的直线
D．两条相互平行的直线
【答案】D
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A错误；
由空间中一条直线和直线外一点确定唯一一个平面，可知B错误；
两条相互垂直的直线，可能共面垂直也可能异面垂直，可知C错误；
由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知D选项正确．
故选：D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．一条直线和一点确定一个平面
B．两条相交直线确定一个平面
C．四点确定一个平面
D．三条平行直线确定一个平面
【答案】B
【解答】解：根据一条直线和直线外的一点确定一个平面，故A错误；
两条相交直线确定一个平面，故B正确；
四点不一定共面，故C错误；
三条平行直线可以确定一个平面或三个平面，故D错误．
故选：B．
8．下列四个条件中，能确定一个平面的条件是（ ）
A．空间任意三点 B．空间两条直线
C．空间两条平行直线 D．一条直线和一个点
【答案】C
【解答】解：对于A：当这三个点共线时经过这三点的平面有无数个，故A错．
对于B：当这两条直线是异面直线时，则根据异面直线的定义可得这对异面直线不同在任何一个平面内，故B错．
对于C：根据确定平面的公理的推论可知两条平行线可唯一确定一个平面，故C对；
对于D：此点在此直线上时有无数个平面经过这条直线和这个点，故D错．
故选：C．
9．已知两条不同的直线l，m和两个不同的平面α，β，则：
（1）若m∥β，β⊥α，则m⊥α；
（2）空间中，三点确定一个平面；
（3）若l，m β，l∥α，m∥α，则α∥β；
（4）若α∩β＝m，l∥α且l∥β，则l∥m．
以上假命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：（1）若m∥β，β⊥α，则m α或m∥α或m与α相交，相交也不一定垂直，故（1）是假命题；
（2）空间中，不在同一直线上的三点确定一个平面，故（2）是假命题；
（3）若l，m β，l∥α，m∥α，且l与m相交，则α∥β，当l与m平行时，α与β可能相交，故（3）是假命题；
（4）若α∩β＝m，l∥α且l∥β，如图，
设过l的平面γ与α相交于直线n，∵l∥α，则l∥n，
又∵l∥β，∴n∥β，而n α且α∩β＝m，∴n∥m，可得l∥m，故（4）为真命题．
∴假命题的个数为3．
故选：C．
10．由正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的对角线所确定的平面共有 个．
【答案】20．
【解答】解：相对两平行平面中有两组平行对角线，可以确定两个平面，这样有6个平面（对角面）．
又因为每个顶点的相邻三个顶点共面，这样又有8个平面，
而每个面上的两条相交的对角线确定6个平面（表面），共有6+6+8＝20个平面．
故答案为：20．
11．以下说法错误的是 ．
①空间中三点确定一个平面
②一条直线及一个点确定一个平面
③两条直线确定一个平面
④如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等．
【答案】①②③④．
【解答】解：①若空间中不共线的三点确定一个平面，故错误；
②经过一条直线及直线外一点确定一个平面，故错误；
③由推论3、4两条相交或平行直线确定一个平面，故错误；
④如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故错误．
故答案为：①②③④．
12．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D中，E，F分别为AB，CC1的中点．
（1）证明：AC∥平面A1BC1．
（2）证明：EF∥平面A1BC1．
（3）已知AB＝BC＝2，以A1E为直径的球的表面积为8π，设B1，D，F三点确定平面α，在答题卡的图中作出平面α截四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面（写出作法），并求截面的周长．
【答案】（1）证明过程见详解；
（2）证明过程见详解；
（3）2．
【解答】（1）证明：长方体中，可得AC∥A1C1，
而A1C1 平面A1BC1，AC 平面A1BC1，
所以AC∥平面A1BC1；
（2）证明：取BC的中点N，
因为N，E，F分别是BC，AB，CC1的中点，
所以NF∥BC1，EN∥AC∥A1C1，NF 平面A1BC1，BC1 平面A1BC1，
所以NF∥平面A1BC1，
同理可得EN∥平面A1BC1，EN∩NF＝N，
所以平面EFN∥平面A1BC1，
因为EF 平面EFN，
所以EF∥平面A1BC1；
（3）解：取AA1的中点M，连接DM，MB1，∠MAD＝∠FC1B1，
且∠MAD与∠FC1B1的两边分别平行，所以MD∥B1F，
DM，B1F共面，四边形DMB1F为平行四边形，
且四边形DMB1F即为所截的平面α，
AB＝BC＝2，以A1E为直径的球的表面积为8π，设球的半径为R，则A1E＝2R，
所以4π （）2＝8π，可得A1E＝2，
而A1E2，所以AA1，
因为B1M＝DM，
所以四边形DMB1F的周长4B1M＝2．
▉考点03 平面的交线及其性质（共4小题）
13．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（ ）
A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
【答案】D
【解答】解：∵直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，
∴β∩γ＝MC，
∴γ与β的交线必通过点C和点M，
故选：D．
14．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为B1C1的中点，则过B、D、E三点的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】B
【解答】解：由题意，作出图形如图所示，
取D1C1的中点F，连结EF，DF，则平面DBEF即为过B、D、E三点的截面，
因为E，F分别为B1C1，D1C1的中点，故EF∥B1D1∥BD，
因为正方体的棱长为2，所以，
所以四边形DBEF是等腰梯形，
过点F作EB的平行线交DB于点M，作DB的垂线交DB于点N，
所以，由勾股定理可得，
所以梯形DBEF的面积为．
故选：B．
15．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，
则EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EFBD在同一平面内，
连接ME，因为M，E分别为A1D1B1C1的中点，
所以ME∥AB，且ME＝AB，
所以四边形ABEM是平行四边形，
所以AM∥BE，又因为BE 平面BDFE，AM不在平面BDFE内，
所以AM∥平面BDFE，
同理AN∥平面BDFE，
因为AM∩AN＝A，
所以平面AMN∥平面BDFE，
即平面a截该正方体所得截面为平面BDFE
BD，EF，DF，梯形BDFE如图：
过E，F作BD的垂线，则四边形EFGH为矩形，
∴FG，
故四边形BDFE的面积为．
故选：B．
16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面为S．则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
①当CQ时，S为等腰梯形；
②当CQ时，S与C1D1的交点R满足C1R；
③当 CQ＜1时，S为六边形；
④当CQ＝1时，S的面积为 ．
【答案】①②④
【解答】解：如图
对于①，当CQ时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP＝QD1，故可得截面APQD1为等腰梯形，所以①正确；
对于②，当CQ时，如图，
延长DD1至N，使D1N，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，
可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R＝C1Q：D1N＝1：2，故可得C1R，故②正确；
对于③由②可知当CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故③错误；
对于④，当CQ＝1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1＝AF，
可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1 PF ，故④正确．
故答案为：①②④．
▉考点04 平面分割空间（共6小题）
17．平面α，β，γ不能将空间分成（ ）
A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分
【答案】A
【解答】解：三个平面平行时，将空间分成4个部分；
三个平面相交于同一条直线时，将空间分成6个部分；
当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成6个部分；
当三个平面两两相交且有三条交线时，将空间分成7个部分；
当有两个平面相交，第三个平面截两个相交平面时，将空间分成8个部分．
所以平面α，β，γ不能将空间分成5部分．
故选：A．
18．三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n的最小值与最大值之和为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解答】解：若三个平面两两平行时，把空间分成4部分，
若三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成7或8部分，
若两个平面互相平行，另一平面与它们相交，则把空间分成6部分，
若三个平面两两相交于同一条直线，则把空间分成6部分，
则n的最大值为8，最小值为4，则n的最小值与最大值之和为12．
故选：B．
19．三个平面不可能将空间分成（ ）个部分．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解答】解：若三个平面互相平行，则可将空间分为4个部分；
若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6个部分；
若三个平面交于一条直线，则可将空间分为6个部分；
若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分为7部分；
若三个平面两两相交且三条交线交于一点，则可将空间分为8部分；
故三个平面不可能将空间分成5部分．
故选：A．
20．下列命题中正确的是（ ）
A．过三点确定一个圆
B．两个相交平面把空间分成四个区域
C．三条直线两两相交，则确定一个平面
D．四边形一定是平面图形
【答案】B
【解答】解：如果三点共线，则不可能确定圆，所以A不正确；
两个相交平面把空间分成四个区域，正确；
三条直线两两相交，则确定一个平面，或3个平面，所以C正确；
四边形是平面图形，也可能是空间图形，所以D不正确．
故选：B．
21．如果三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系可以是 .（填序号）
①三个平面两两平行；
②三个平面两两相交，且交于同一条直线；
③三个平面两两相交，且有三条交线；
④两个平面平行，且都与第三个平面相交．
【答案】②④．
【解答】解：①三个平面两两平行，可把空间分成4个部分；
②三个平面两两相交，且交于同一条直线，可把空间分成6个部分；
③三个平面两两相交，且有三条交线，可把空间分成7个部分或8个部分；
④两个平面平行，且都与第三个平面相交，可把空间分成6个部分．
故答案为：②④．
22．三个不同平面把空间分成n部分，则n的取值集合为 ．
【答案】{4，6，7，8}
【解答】解：若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；
若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6部分；
若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分；
若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系），则可将空间分为7部分；
若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系），则可将空间分为8部分；
故n的取值集合为{4，6，7，8}．
故答案为：{4，6，7，8}．
▉考点05 空间图形的公理（共1小题）
23．若一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角（ ）
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：如图，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，
∴∠3＝∠4，∠4＝∠1，∠4+∠2＝180°；
∴∠3＝∠1，∠3+∠2＝180°．
∴这两个角相等或互补．
故选：C．
▉考点06 空间中直线与直线之间的位置关系（共12小题）
24．如图，在下列正方体中，M，N，P，Q分别为正方体的顶点或所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A：显然MP和QN为异面直线，则P、Q、N、M四点不共面，故A错误；
对于B：如图：
MN∥BA，即A、B、M、N四点共面，即Q、M、N三点共面，且三点不共线，
又P 平面ABMN，所以P、Q、N、M四点不共面，故B错误；
对于C：显然P、M、N在正方体的下底面，且三点不共线，Q不在正方体的下底面，
所以P、Q、N、M四点不共面，故C错误；
对于D：
如图，连接AC，则PQ∥AC，又AC∥MN，所以PQ∥MN，
所以P、Q、N、M四点共面，故D正确．
故选：D．
25．已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若α∥β，m α，n β，则m∥n
B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
【答案】D
【解答】解：若α∥β，m α，n β，则m∥n或m与n异面，所以A选项错误；
若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n α，所以B选项错误；
若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交，所以C选项错误；
若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n，所以D选项正确．
故选：D．
26．已知直线a，b，c是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若a∥α，b∥α，则a∥b
B．若a∥b，a∥α，则b∥α
C．若直线a与b异面，则过空间任意一点与a和b都平行的平面有且仅有一个
D．若α∥β，a α，b α，则a∥β且b∥β
【答案】D
【解答】解：若a∥α，b∥α，则a∥b或a与b异面或相交，所以A选项错误；
若a∥b，a∥α，则b∥α或b α，所以B选项错误；
若直线a与b异面，当P∈a或P∈b时，不能满足，所以C选项错误；
若α∥β，a α，b α，则a∥β且b∥β，所以D选项正确．
故选：D．
27．已知α，β为两个不同的平面，m，n，l为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α∥β，m α，n β，则m∥n
C．若α∥β，且m α，则m∥β
D．若l∥m，l∥n，且m，n α，则l∥α
【答案】C
【解答】解：若m∥α，n∥α，则m与n可以成任意角，所以A选项错误；
若α∥β，m α，n β，则m∥n或m与n异面，所以B选项错误；
若α∥β，且m α，则m∥β，所以C选项正确；
若l∥m，l∥n，且m，n α，则l∥α或l α，所以D选项错误．
故选：C．
28．α，β是两个平面，m，n是两条直线，则（ ）
A．如果m∥α，n∥α，那么m∥n
B．如果m α，n α，m，n是异面直线，那么n与α相交
C．如果α∥β，m α，那么m∥β
D．如果m∥α，n与α相交，那么m，n是异面直线
【答案】C
【解答】解：如果m∥α，n∥α，那么m∥n或m与n相交或m与n异面，故A错误；
如果m α，n α，m，n是异面直线，那么n与α相交或n∥α，故B错误；
如果α∥β，m α，由平面与平面平行的定义可得m∥β，故C正确；
如果m∥α，n与α相交，那么m与n相交或异面，故D错误．
故选：C．
29．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，AD＝2BC，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设CP＝λCF，则λ＝（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【解答】解：已知在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，AD＝2BC，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，
延长DC，AB交于G，连接GP，连接GE交PC于点F，
则由BC∥AD，AD＝2BC，
得C是DG中点，
因为E是PD中点，
所以F是△PDG的重心，
则，
即λ＝3．
故选：A．
30．设α，β为两个不同的平面，a，b为两条不同的直线，且α∩β＝a．下述说法正确的是（ ）
A．若a∥b，则b∥α
B．若b∥α且b∥β，则a∥b
C．若a⊥b，则b⊥α或b⊥β
D．若b与α，β所成的角相等，则a⊥b
【答案】B
【解答】解：对于A，因α∩β＝a，由a∥b，则有b∥α或b α，
故A错误；
对于B，如图所示，因b∥β，经过直线b和平面β内一点A可做一个平面γ，
使γ∩β＝c，则b∥c，又因b∥α，同理可做平面θ，使θ∩α＝d，则b∥d，
故c∥d，
又因c α，d α，
则得c∥α，
因c β，α∩β＝a，
故得c∥a，
故a∥b，
即B正确；
对于C，如图，在长方体中，α∩β＝a，显然有a∥b，但b与平面α，β都不垂直，
故C错误；
对于D，如图在长方体ABCD﹣EFGH中，若FG＝BF，取直线DF为直线b，
平面ABCD为平面α，平面DCGH为平面β，
则直线DC即直线a，
因BF⊥α，FG⊥β，
故∠FDB和∠FDG即b与平面α，β所成的角，
显然∠FDB＝∠FDG，但直线b与a不垂直，
故D错误．
故选：B．
31．若a，b是两条不同的直线，α是一个平面，a⊥α，则“b∥α”是“a⊥b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：a，b是两条不同的直线，α是一个平面，a⊥α，
“b∥α”，由线面垂直的性质得“a⊥b”，即充分性成立；
“a⊥b”，则b∥α或b α，即必要性不成立，
∴“b∥α”是“a⊥b”的充分不必要条件．
故选：A．
（多选）32．已知α，β是平面，m，n是直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若m⊥α，m∥n，n β，则α⊥β
D．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
【答案】ABC
【解答】解：因为知α，β是平面，m，n是直线，
所以逐一分析各个选项如下：
A选项，若m∥n，m⊥α，由线面垂直的定义可知n⊥α，A正确；
B选项，若m⊥α，m⊥β，由面面平行和线面垂直的相关结论可知α∥β，B正确；
C选项，因为m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又n β，则α⊥β，C正确；
D选项，若m∥α，α∩β＝n，则m∥n或m，n异面，D错误．
故选：ABC．
（多选）33．已知α，β，γ是三个不同的平面，a，b，c是三条不同的直线，下列命题正确的有（ ）
A．若a∥b，a∥c，则b∥c B．若a⊥b，a⊥c，则b⊥c
C．若α∥β，α∥γ，则β∥γ D．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ
【答案】AC
【解答】解：因为α，β，γ是三个不同的平面，a，b，c是三条不同的直线，
所以若a∥b，a∥c，则b∥c，所以A选项正确；
若a⊥b，a⊥c，则b与c可成[0，]的任意角，所以B选项错误；
若α∥β，α∥γ，则β∥γ，所以C选项正确；
若α⊥β，α⊥γ，则可能β⊥γ也可能β∥γ，所以D选项错误．
故选：AC．
34．若a∥b，b∩c＝A，则a、c的位置关系是 ．
【答案】相交或异面．
【解答】解：a∥b，b∩c＝A，如图，
当AB＝a，CD＝b，BC＝c时，a与c相交，
当AB＝a，CD＝b，PC＝c时，a与c面．
综上，a∥b，b∩c＝A，则a、c的位置关系是相交或异面．
故答案为：相交或异面．
35．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．
又因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，
所以AC2+BC2＝AB2，
所以AC⊥BC．
又C1C∩BC＝C，
所以AC⊥平面CC1B1B，
所以AC⊥BC1．
（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，
由已知可得E为C1B的中点，
又∵D为AB的中点，∴DE为△BAC1的中位线．
∴AC1∥DE
又∵DE 平面CDB1，AC1 平面CDB1
∴AC1∥平面CDB1．
▉考点07 空间中直线与平面之间的位置关系（共12小题）
36．若空间中三条不同的直线a，b，c满足a⊥c，b⊥c，则a∥b是a，b，c共面的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：如图所示：满足a⊥c，b⊥c，且a∥b，
但是a α，b α，c β，
所以可知a∥b是a，b，c共面的不充分条件；
当a，b，c共面时，若a⊥c，b⊥c，则必然有a∥b，
即a∥b是a，b，c共面的必要条件，
综上可知：a∥b是a，b，c共面的必要不充分条件．
故选：B．
37．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m α，n β，α∥β，则m∥n
B．若m∥n，n α，则m∥α
C．若α⊥β，m⊥β，n⊥m，则n⊥α
D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
【答案】D
【解答】解：对于A，若m α，n β，α∥β，则m与n平行或异面，故A错误；
对于B，若m∥n，n α，则m∥α或m α，故B错误；
对于C，若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m α，又n⊥m，则n与α可能平行也可能相交，故C错误；
对于D，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n α，又n⊥β，则α⊥β，故D正确．
故选：D．
38．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若m∥n，n∥α，则m∥α
B．若m∥α，n α，则m∥n
C．若α∥β，m α，n β，则m∥n
D．若m∩n＝A，m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
【答案】D
【解答】解：若m∥n，n∥α，则m∥α或m α，所以A选项错误；
若m∥α，n α，则m∥n或m，n异面，所以B选项错误；
若α∥β，m α，n β，则m∥n或m，n异面，所以B选项错误；
若m∩n＝A，m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β，所以D选项正确．
故选：D．
39．已知直线l的方向向量是，平面α的一个法向量是，则l与α的位置关系是（ ）
A．l⊥α B．l∥α
C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l α
【答案】A
【解答】解：因为直线l的方向向量是，平面α的一个法向量是，
所以，
所以l与α的位置关系是l⊥α，
故选：A．
40．α，β为不同的平面，m，n为不同的直线，则下列判断正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥n，n α，则m∥α
C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥m，则n∥α
【答案】C
【解答】解：若m∥α，n∥α，则m与n可能相交、异面或平行，所以A选项错误；
若m∥n，n α，则m∥α或m α，所以B选项错误；
若m⊥α，n⊥α，则m∥n，所以C选项正确；
若m⊥α，n⊥m，则n∥α或n α，所以D选项错误．
故选：C．
41．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）
A．α内所有的直线都与a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内所有的直线都与a相交
D．直线a与平面α有公共点
【答案】D
【解答】解：因为直线a与平面α不平行，所以直线a在平面内，或者直线a于α相交，所以直线a与平面α至少有一个交点；
故选：D．
42．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1各条棱的长度均相等，D为AA1的中点，M，N分别是线段BB1和线段CC1的动点（含端点），且满足BM＝C1N，当M，N运动时，下列结论中不正确的是（ ）
A．在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段
B．平面DMN⊥平面BCC1B1
C．三棱锥A1﹣DMN的体积为定值
D．△DMN可能为直角三角形
【答案】D
【解答】解：如图，当M、N分别在BB1、CC1上运动时，
由直线与平面平行的定义得在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段，故A正确
若满足BM＝C1N，则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，而DO⊥平面BCC1B1，
∴平面DMN⊥平面BCC1B1，故B正确；
当M、N分别在BB1、CC1上运动时，△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，
∴棱锥N﹣A1DM的体积不变，即三棱锥A1﹣DMN的体积为定值，故C正确；
若△DMN为直角三角形，则必是以∠MDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BC1，
而此时DM，DN的长大于BB1，∴△DMN不可能为直角三角形，故D错误．
故选：D．
（多选）43．已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，且α∩β＝m，α∩γ＝n，β∩γ＝l，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥n，则m∥l
B．若α⊥γ，β⊥γ，则m⊥n
C．若α⊥γ，β⊥γ，则n⊥l
D．若α，β，γ两两相互垂直，则m，n，l两两垂直
【答案】ABD
【解答】解：因为α，β，γ是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，
且α∩β＝m，α∩γ＝n，β∩γ＝l，
对于A，若m∥n，因为m γ，n γ，
所以m∥γ，又l γ，则m，l没有交点，
又m，l β，所以m∥l，A正确，
对于BC，如图所示，α∩β＝m，α∩γ＝n，
在平面γ取一点A，过点A分别作AB⊥l，AC⊥n，
因为β⊥γ，AB γ，β∩γ＝l且AB⊥l，所以AB⊥β，同理可证AC⊥α，
又因为α∩β＝m，即m β，m α，所以AB⊥m，AC⊥m，
因为AB∩AC＝A且AB，AC 平面γ，所以m⊥γ，
又n，l γ，所以m⊥n，m⊥l，
而n，l无法判断是否垂直，例如将平面β绕直线m逆时针旋转弧度，此时n，l不垂直，故B正确，C错误；
对于D，若α，β，γ两两相互垂直，
由C可知：当α⊥γ，β⊥γ，可得m⊥γ，进而得到m⊥n，m⊥l，
同理α⊥γ，β⊥α，可得l⊥α，又n α，所以l⊥n，
即若α，β，γ两两相互垂直，则m，n，l两两垂直．D正确．
故选：ABD．
（多选）44．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下面四个结论中正确的是（ ）
A．若α∩β＝m，n∥m，且n α，n β，则n∥α且n∥β
B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
C．若α⊥β，m∥α，则m⊥β
D．若直线m，n在平面α内的射影互相垂直，则m与n的夹角可能为60°
【答案】AD
【解答】解：对于A，α∩β＝m，则m α，
∵m∥n，且n α，则n∥α成立，同理n∥β成立，故A正确；
对于B，若m∥α，m⊥n，则n∥α或n α或n与α相交，但不一定垂直，故B错误；
对于C，若α⊥β，m∥α，则m与β相交、平行或m β，但不一定垂直，故C错误；
对于D，如图，在正方体AC1中，设A1B为m，B1C为n，平面ABCD为α，
则m，n在平面α内的射影分别为AB与BC，
且AB⊥BC，m与n异面，且夹角为60°，故D正确．
故选：AD．
45．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，从下列四个条件中选择两个作为已知条件，能够得到l⊥α的是 .（填入条件的序号即可）
①l∥m；②α∥β；③m⊥α；④l⊥β．
【答案】①③（或②④）．
【解答】解：选①② l⊥α，
若l∥m，α∥β，则可能l α，不正确；
选①③ l⊥α，
若l∥m，m⊥α，则l⊥α，正确；
选①④ l⊥α，
若l∥m，l⊥β，则可能l α，不正确；
选②③ l⊥α，
若α∥β，m⊥α，则可能l α，不正确；
选②④ l⊥α，
若α∥β，l⊥β，则l⊥α，正确；
选③④ l⊥α，
若m⊥α，l⊥β，则可能l α，不正确．
故答案为：①③（或②④）．
46．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下列四个说法：
①m∥n，m⊥α，n⊥β α∥β；
②α∥β，m α，n β m∥n；
③m⊥n，m∥α n∥α；
④α∥β，m∥n，m⊥α n⊥β，
其中正确的序号是 ．
【答案】①④．
【解答】解：对①，∵m∥n，m⊥α，∴n⊥α，又n⊥β，∴α∥β，∴①正确；
对②，∵α∥β，m α，n β，∴m∥n或m与n异面，∴②错误；
对③，∵m⊥n，m∥α，∴n与α可以成任意角，∴③错误；
对④，∵α∥β，m∥n，m⊥α，∴n⊥β，∴④正确．
故答案为：①④．
47．如图，在六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥CC1，平面AA1C1C⊥菱形ABCD．证明：
（1）B，B1，D1，D四点共面；
（2）BD⊥DD1．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解答】证明：（1）根据题意，在六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，
由于AA1∥CC1，而CC1 平面BB1C1C，AA1 平面BB1C1C，
则AA1∥平面BB1C1C，
又由AA1 平面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面BB1C1C＝BB1，
则有AA1∥BB1，
同理：AA1∥DD1，
则有AA1∥DD1，故B，B1，D1，D四点共面；
（2）根据题意，连接BD，
底面ABCD为菱形，则BD⊥AC，
而平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD 平面ABCD，
故BD⊥平面AA1C1C，
则有BD⊥AA1，
又由AA1∥BB1，
故BD⊥DD1．
▉考点08 平面与平面之间的位置关系（共13小题）
48．已知两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足m⊥α，n β，则m∥n是α⊥β的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：因为两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足m⊥α，n β，
所以若m∥n，m⊥α时，则n⊥α，又n β，所以α⊥β，即充分性成立；
若α⊥β，m⊥α，n β，则m∥β或m β，则m∥n或m与n相交或异面，即必要性不成立，
所以“m∥n“是“α⊥β“的充分非必要条件．
故选：B．
49．已知a，b是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若a∥b，b α，则a∥α
B．若a⊥α，b β，α∥β，则a⊥b
C．若a∥α，a∥β，则α∥β
D．若α∩β＝b，a α，a⊥b，则α⊥β
【答案】B
【解答】解：若a∥b，b α，则a∥α、或a α，故A错误；
若a⊥α，α∥β，推得a⊥β，又b β，则a⊥b，故B正确；
若a∥α，a∥β，则α∥β或α、β相交，故C错误；
若α∩β＝b，a α，a⊥b，不能判定α和β是否垂直，故D错误．
故选：B．
50．已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m α，n β，m∥n，则α∥β；
④若m，n是异面直线，m α，m∥β，n β，n∥α，则α∥β．其中真命题是（ ）
A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④
【答案】D
【解答】解：在①中，由线面角的定义可知答案①中的直线m⊥α，m⊥β，则平面α∥β是正确的，故①正确；
在②中，两个平面α，β也可能相交，故②不正确；
在③中，两个平面m α，n β可以推出两个平面α，β相交，故③不正确；
在④中，可将直线n平移到平面α内，借助异面直线平移后不相交的结论及面面平行的判定定理可知α∥β，故④正确．
故选：D．
51．已知m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m α，n β，m∥n，则α∥β
B．若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
D．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
【答案】D
【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，知：
在A中，m α，n β，m∥n，一组线线平行，不能推出面面平行，故α与β相交或平行，故A错误；
在B中．若m α，n α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故B错误；
在C中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故C错误；
在D中，若m⊥α，m⊥β，由垂直于同一直线的两平面相互平行，得α∥β，故D正确．
故选：D．
52．下列命题中正确的是（ ）
A．一个平面内三条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D．如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
【答案】B
【解答】解：对于A，一个平面内三条直线都平行于另一平面，当这三条直线平行时，那么这两个平面不一定平行，故A错误；
对于B，如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，这两个平面无公共点，由面面平行的定义知这两个平面平行，故B正确；
对于C，平行于同一直线的两个平面可能相交，也可能平行，故C错误；
对于D，如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，当这几条直线相互平行时，这两个平面不一定平行，故D错误．
故选：B．
53．已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a α，b β，c γ，则直线a、b、c不可能满足的是（ ）
A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面
【答案】B
【解答】解：平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a α，b β，c γ，
所以直线a、b、c在三个平面内，不会是共面直线，
所以：当直线两两平行时，a、b、c为共面直线．
与已知条件整理出的结论不符．
故选：B．
54．已知α、β为两个平面，l为直线．若α⊥β，α∩β＝l，则（ ）
A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α
B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α
C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l
D．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直
【答案】D
【解答】解：由α⊥β，α∩β＝l，知：
垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A不正确；
垂直于直线l的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B不正确；
垂直于平面β的平面一定平行于直线l或垂直于直线l，故C不正确；
由平面垂直的判定定理知：垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直，故D正确．
故选：D．
（多选）55．用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（ ）
A．截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形
B．截面有可能是四边形，并且有可能是正方形
C．截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形
D．截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形
【答案】ABD
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形，如图：
，
A正确；
对于B，截面有可能是四边形，并且有可能是正方形，如图：
B正确；
对于C，截面有可能是五边形，如图：
但截面五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等；截面五边形不可能是正五边形，C错误；
对于D，截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形，
如图：
D正确．
故选：ABD．
（多选）56．已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误是（ ）
A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
B．若m⊥α，m∥β，则α⊥β
C．若n⊥β，α⊥β，则n∥α
D．若m α，n β，α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β
【答案】ACD
【解答】解：对于A，若m∥α，α∩β＝n，则m∥n或m与n异面，故A错误；
对于B，若m∥β，过m作平面γ∩β＝l，则l∥m，又m⊥α，则l⊥α，可得α⊥β，故B正确；
对于C，若n⊥β，α⊥β，则n∥α或n α，故C错误；
对于D，若m α，n β，α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α与β相交，可能垂直，也可能不垂直，故D错误．
故选：ACD．
（多选）57．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，点P为空间中一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若a∥α，b∥α，则a∥b
B．若a⊥α，a⊥β则α∥β
C．若α∩β＝a，P α，P β，则过点P只能作一条同时与α，β都平行的直线
D．若直线a与平面α所成的角为30°，则过点P恰好能作两条与直线a和平面α所成角都是45°的直线
【答案】BCD
【解答】解：对于选项A，若a∥α，b∥α，则a与b平行、相交或异面，选项A错误；
对于选项B，若a⊥α，a⊥β，由线面垂直的性质可知，α∥β，选项B正确；
对于选项C，若过点P所作的直线同时与α，β都平行，
则这条直线必与a平行，故只有一条，选项C正确；
对于选项D，过点P分别作与直线a和平面α所成角是45°的射线，
所有射线形成两个圆锥，因为直线a与平面α所成的角为30°，
所以两圆锥的侧面相交，交线有两条，选项D正确．
故选：BCD．
（多选）58．已知m，n是不重合的直线，α，β，γ是不重合的平面，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B．若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α∥β，γ∥β，则γ∥α
D．若α⊥β，m⊥β，则m∥α
【答案】ABD
【解答】解：对于A，若α⊥γ，β⊥γ，则α、β平行或相交，故A错误；
对于B，若m α，n α，且m，n相交，m∥β，n∥β，则α∥β，故B错误；
对于C，若α∥β，γ∥β，则γ∥α，故C正确；
对于D，若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m α，故D错误．
故选：ABD．
59．已知α，β是平面，m，n是直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m β，则α⊥β；
②若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③如果m α，n α，m，n是异面直线，则n与α相交；
④若α∩β＝m．n∥m，且n α，n β，则n∥α，且n∥β
其中正确命题的序号是 （把正确命题的序号都填上）
【答案】①④
【解答】解：①若m⊥α，m β，则α⊥β，由面面垂直的判定理知正确．
②若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β；两条相交直线才行，不正确．
③如果m α，n α，m，n是异面直线，则n与α相交；也可能平行，不正确．
④若α∩β＝m．n∥m，且n α，n β，则n∥α，且n∥β由线面平行的判定定理知正确．
故答案为：①④
60．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点．
（1）证明：EF∥平面PAC；
（2）证明：平面PCG∥平面AEF；
（3）在线段BD上找一点H，使得FH∥平面PCG，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（ 1）证明：∵E、F分别是BC，BP中点，
∴，
∵PC 平面PAC，EF 平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）证明：∵E、G分别是BC、AD中点，
∴AE∥CG，
∵AE 平面PCG，CG 平面PCG，
∴AE∥平面PCG，
又∵EF∥PC，PC 平面PCG，EF 平面PCG，
∴EF∥平面PCG，AE∩EF＝E点，AE，EF 平面AEF，
∴平面AEF∥平面PEG．
（3）设AE，GC与BD分别交于M，N两点，
易知F，N分别是BP，BM中点，
∴，
∵PM 平面PGC，FN 平面PGC，
∴FN∥平面PGC，
即N点为所找的H点．8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
▉考点01 平面
1．平面
(1)平面的概念
生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等，几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.
(2)平面的画法
①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.
②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所示，常把平行四边形的一边画成竖向.
(3)平面的表示方法
平面一般用希腊字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.
2．点、直线、平面的位置关系的符号表示
点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的集合。点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示。
3．三个基本事实及其推论
(1)三个基本事实及其表示
基本事实 自然语言 图形语言 符号语言
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线存在唯一的平面α使A,B,C∈α.
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α.
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且 P ∈β α∩β=l,且P∈l.
(2)三个基本事实的作用
基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.
基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.
基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.
(2)基本事实1和2的三个推论
推论 自然语言 图形语言 符号语言
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A aa与A共面于平面α，且平面唯一.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=Pa与b共面于平面α，且平面唯一.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b直线a,b共面于平面α，且平面唯一.
▉考点02 空间点、线、面之间的位置关系
1．空间中直线与直线的位置关系
(1)三种位置关系
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种：
(2)异面直线的画法
为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.
2．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下：
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
直线在平面内 有无数个公共点
直线与平面相交 有且只有一个公共点
直线与平面平行 没有公共点
3．空间中平面与平面的位置关系
(1)两种位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下：
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
两个平面平行 没有公共点
两个平面相交 有一条公共直线
(2)平行平面的画法技巧
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.
4．平面分空间问题
一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢 三个平面呢
(1)两个平面有两种情形：
①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；
②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).
(2)三个平面有五种情形：
①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)；
②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；
③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；
④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；
⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).
▉考点01 点直线平面的交点交线及包含关系的符号语言表示（共5小题）
1．如图所示，用符号语言可表达为（ ）
A．α∩β＝m，n α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n α，A m，A n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
2．点A在直线l上，直线l在平面α内，用符号表示，正确的是（ ）
A．A∈l，l∈α B．A∈l，l α C．A l，l α D．A∈l，l α
3．“点P在平面α内，直线l与平面α相交于点Q”可以用符号表示为（ ）
A．P α，l∩α＝Q B．P∈α，l∪α＝Q C．P∈α，l∩α＝Q D．P α，l∪α＝Q
4．“点A在平面α上”用集合符号表示是 ．
5．公理一：如果一条直线l上的两点A，B在一个平面α内，那么这条直线l在此平面内．请用数学的符号语言表示为 ．
▉考点02 点和直线确定平面及其数量（共7小题）
6．下列条件一定能确定一个平面的是（ ）
A．空间三个点
B．空间一条直线和一个点
C．两条相互垂直的直线
D．两条相互平行的直线
7．下列说法正确的是（ ）
A．一条直线和一点确定一个平面
B．两条相交直线确定一个平面
C．四点确定一个平面
D．三条平行直线确定一个平面
8．下列四个条件中，能确定一个平面的条件是（ ）
A．空间任意三点 B．空间两条直线
C．空间两条平行直线 D．一条直线和一个点
9．已知两条不同的直线l，m和两个不同的平面α，β，则：
（1）若m∥β，β⊥α，则m⊥α；
（2）空间中，三点确定一个平面；
（3）若l，m β，l∥α，m∥α，则α∥β；
（4）若α∩β＝m，l∥α且l∥β，则l∥m．
以上假命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．由正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的对角线所确定的平面共有 个．
11．以下说法错误的是 ．
①空间中三点确定一个平面
②一条直线及一个点确定一个平面
③两条直线确定一个平面
④如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等．
12．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D中，E，F分别为AB，CC1的中点．
（1）证明：AC∥平面A1BC1．
（2）证明：EF∥平面A1BC1．
（3）已知AB＝BC＝2，以A1E为直径的球的表面积为8π，设B1，D，F三点确定平面α，在答题卡的图中作出平面α截四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面（写出作法），并求截面的周长．
▉考点03 平面的交线及其性质（共4小题）
13．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（ ）
A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
14．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为B1C1的中点，则过B、D、E三点的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为（ ）
A． B． C．3 D．2
15．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面为S．则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
①当CQ时，S为等腰梯形；
②当CQ时，S与C1D1的交点R满足C1R；
③当 CQ＜1时，S为六边形；
④当CQ＝1时，S的面积为 ．
▉考点04 平面分割空间（共6小题）
17．平面α，β，γ不能将空间分成（ ）
A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分
18．三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n的最小值与最大值之和为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
19．三个平面不可能将空间分成（ ）个部分．
A．5 B．6 C．7 D．8
20．下列命题中正确的是（ ）
A．过三点确定一个圆
B．两个相交平面把空间分成四个区域
C．三条直线两两相交，则确定一个平面
D．四边形一定是平面图形
21．如果三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系可以是 .（填序号）
①三个平面两两平行；
②三个平面两两相交，且交于同一条直线；
③三个平面两两相交，且有三条交线；
④两个平面平行，且都与第三个平面相交．
22．三个不同平面把空间分成n部分，则n的取值集合为 ．
▉考点05 空间图形的公理（共1小题）
23．若一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角（ ）
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．无法确定
▉考点06 空间中直线与直线之间的位置关系（共12小题）
24．如图，在下列正方体中，M，N，P，Q分别为正方体的顶点或所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
25．已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若α∥β，m α，n β，则m∥n
B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
26．已知直线a，b，c是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若a∥α，b∥α，则a∥b
B．若a∥b，a∥α，则b∥α
C．若直线a与b异面，则过空间任意一点与a和b都平行的平面有且仅有一个
D．若α∥β，a α，b α，则a∥β且b∥β
27．已知α，β为两个不同的平面，m，n，l为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α∥β，m α，n β，则m∥n
C．若α∥β，且m α，则m∥β
D．若l∥m，l∥n，且m，n α，则l∥α
28．α，β是两个平面，m，n是两条直线，则（ ）
A．如果m∥α，n∥α，那么m∥n
B．如果m α，n α，m，n是异面直线，那么n与α相交
C．如果α∥β，m α，那么m∥β
D．如果m∥α，n与α相交，那么m，n是异面直线
29．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，AD＝2BC，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设CP＝λCF，则λ＝（ ）
A．3 B．2 C． D．
30．设α，β为两个不同的平面，a，b为两条不同的直线，且α∩β＝a．下述说法正确的是（ ）
A．若a∥b，则b∥α
B．若b∥α且b∥β，则a∥b
C．若a⊥b，则b⊥α或b⊥β
D．若b与α，β所成的角相等，则a⊥b
31．若a，b是两条不同的直线，α是一个平面，a⊥α，则“b∥α”是“a⊥b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
（多选）32．已知α，β是平面，m，n是直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若m⊥α，m∥n，n β，则α⊥β
D．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
（多选）33．已知α，β，γ是三个不同的平面，a，b，c是三条不同的直线，下列命题正确的有（ ）
A．若a∥b，a∥c，则b∥c B．若a⊥b，a⊥c，则b⊥c
C．若α∥β，α∥γ，则β∥γ D．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ
34．若a∥b，b∩c＝A，则a、c的位置关系是 ．
35．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1．
▉考点07 空间中直线与平面之间的位置关系（共12小题）
36．若空间中三条不同的直线a，b，c满足a⊥c，b⊥c，则a∥b是a，b，c共面的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
37．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m α，n β，α∥β，则m∥n
B．若m∥n，n α，则m∥α
C．若α⊥β，m⊥β，n⊥m，则n⊥α
D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
38．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若m∥n，n∥α，则m∥α
B．若m∥α，n α，则m∥n
C．若α∥β，m α，n β，则m∥n
D．若m∩n＝A，m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
39．已知直线l的方向向量是，平面α的一个法向量是，则l与α的位置关系是（ ）
A．l⊥α B．l∥α
C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l α
40．α，β为不同的平面，m，n为不同的直线，则下列判断正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥n，n α，则m∥α
C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥m，则n∥α
41．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）
A．α内所有的直线都与a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内所有的直线都与a相交
D．直线a与平面α有公共点
42．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1各条棱的长度均相等，D为AA1的中点，M，N分别是线段BB1和线段CC1的动点（含端点），且满足BM＝C1N，当M，N运动时，下列结论中不正确的是（ ）
A．在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段
B．平面DMN⊥平面BCC1B1
C．三棱锥A1﹣DMN的体积为定值
D．△DMN可能为直角三角形
（多选）43．已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，且α∩β＝m，α∩γ＝n，β∩γ＝l，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥n，则m∥l
B．若α⊥γ，β⊥γ，则m⊥n
C．若α⊥γ，β⊥γ，则n⊥l
D．若α，β，γ两两相互垂直，则m，n，l两两垂直
（多选）44．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下面四个结论中正确的是（ ）
A．若α∩β＝m，n∥m，且n α，n β，则n∥α且n∥β
B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
C．若α⊥β，m∥α，则m⊥β
D．若直线m，n在平面α内的射影互相垂直，则m与n的夹角可能为60°
45．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，从下列四个条件中选择两个作为已知条件，能够得到l⊥α的是 .（填入条件的序号即可）
①l∥m；②α∥β；③m⊥α；④l⊥β．
46．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下列四个说法：
①m∥n，m⊥α，n⊥β α∥β；
②α∥β，m α，n β m∥n；
③m⊥n，m∥α n∥α；
④α∥β，m∥n，m⊥α n⊥β，
其中正确的序号是 ．
47．如图，在六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥CC1，平面AA1C1C⊥菱形ABCD．证明：
（1）B，B1，D1，D四点共面；
（2）BD⊥DD1．
▉考点08 平面与平面之间的位置关系（共13小题）
48．已知两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足m⊥α，n β，则m∥n是α⊥β的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
49．已知a，b是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若a∥b，b α，则a∥α
B．若a⊥α，b β，α∥β，则a⊥b
C．若a∥α，a∥β，则α∥β
D．若α∩β＝b，a α，a⊥b，则α⊥β
50．已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m α，n β，m∥n，则α∥β；
④若m，n是异面直线，m α，m∥β，n β，n∥α，则α∥β．其中真命题是（ ）
A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④
51．已知m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m α，n β，m∥n，则α∥β
B．若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
D．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
52．下列命题中正确的是（ ）
A．一个平面内三条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D．如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
53．已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a α，b β，c γ，则直线a、b、c不可能满足的是（ ）
A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面
54．已知α、β为两个平面，l为直线．若α⊥β，α∩β＝l，则（ ）
A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α
B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α
C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l
D．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直
（多选）55．用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（ ）
A．截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形
B．截面有可能是四边形，并且有可能是正方形
C．截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形
D．截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形
（多选）56．已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误是（ ）
A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
B．若m⊥α，m∥β，则α⊥β
C．若n⊥β，α⊥β，则n∥α
D．若m α，n β，α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β
（多选）57．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，点P为空间中一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若a∥α，b∥α，则a∥b
B．若a⊥α，a⊥β则α∥β
C．若α∩β＝a，P α，P β，则过点P只能作一条同时与α，β都平行的直线
D．若直线a与平面α所成的角为30°，则过点P恰好能作两条与直线a和平面α所成角都是45°的直线
（多选）58．已知m，n是不重合的直线，α，β，γ是不重合的平面，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B．若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α∥β，γ∥β，则γ∥α
D．若α⊥β，m⊥β，则m∥α
59．已知α，β是平面，m，n是直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m β，则α⊥β；
②若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③如果m α，n α，m，n是异面直线，则n与α相交；
④若α∩β＝m．n∥m，且n α，n β，则n∥α，且n∥β
其中正确命题的序号是 （把正确命题的序号都填上）
60．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点．
（1）证明：EF∥平面PAC；
（2）证明：平面PCG∥平面AEF；
（3）在线段BD上找一点H，使得FH∥平面PCG，并说明理由．
