粤考特色·综合提能三
力、能、动量为靶向的情境问题
考向1 弹性碰撞与运动图像、牛顿运动定律、能量守恒综合问题
(2019·新课标Ⅰ)竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块B静止于水平轨道的最左端，如图甲所示．t＝0时刻，小物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与B发生弹性碰撞(碰撞时间极短)；当A返回到倾斜轨道上的P点(图中未标出)时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止．物块A运动的v－t图像如图乙所示，图中的v1和t1均为未知量．已知A的质量为m，初始时A与B的高度差为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力．
甲 乙
(1) 求物块B的质量．
(2) 在图乙所描述的整个运动过程中，求物块A克服摩擦力所做的功．
(3) 已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等，在物块B停止运动后，改变物块与轨道间的动摩擦因数，然后将A从P点释放，一段时间后A刚好能与B再次碰上．求改变前后动摩擦因数的比值．
答案：(1) 3m (2) mgH (3)
【解析】(1) 物块A和物块B发生碰撞后瞬间的速度分别为vA、vB，弹性碰撞瞬间，动量守恒，机械能守恒，即
mv1＝＝
联立方程解得vA＝v1，vB＝v1
根据v－t图像可知vA＝－v1
解得mB＝3m
(2) 设斜面的倾角为θ，根据牛顿第二定律，当物块A沿斜面下滑时mg sin θ－f＝ma1
由v－t图像知a1＝
当物体A沿斜面上滑时mg sin θ＋f＝ma2
由v－t图像知a2＝
解得f＝mg sin θ
又因下滑位移x1＝＝v1t1
则碰后A反弹，沿斜面上滑的最大位移
为x2＝＝··0.4t1＝0.1v1t1
其中h为P点离水平面的高度，即h＝H
解得x2＝
故在图乙描述的整个过程中，物块A克服摩擦力做的总功为Wf＝f(x1＋x2)＝mg sin θ·＝mgH
(3) 设物块B在水平面上最远的滑行距离为s，设原来的动摩擦因数为μ，则以A和B组成的系统，根据能量守恒定律有
mg(H－h)＝μmg＋μmBgs
设改变后的动摩擦因数为μ′，然后将A从P点释放，A恰好能与B再次碰上，即A恰好滑到物块B位置时，速度减为零，以A为研究对象，根据能量守恒定律得mgh＝μ′mg＋μ′mgs
又据(2)的结论可知Wf＝mgH＝μmg
解得tan θ＝9μ
联立解得，改变前与改变后的动摩擦因数之比为＝
考向2 非弹性碰撞与运动学、传送带、平抛综合问题
(2023·广东卷)如图所示为某药品自动传送系统的示意图．该系统由水平传送带、竖直螺旋滑槽和与滑槽平滑连接的平台组成，滑槽高为3L，平台高为L．药品盒A、B依次被轻放在以速度v0匀速运动的传送带上，在与传送带达到共速后，从M点进入滑槽，A刚好滑到平台最右端N点停下，随后滑下的B以2v0的速度与A发生正碰，碰撞时间极短，碰撞后A、B恰好落在桌面上圆盘内直径的两端．已知A、B的质量分别为m和2m，碰撞过程中损失的能量为碰撞前瞬间总动能的．A与传送带间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，A、B在滑至N点之前不发生碰撞，忽略空气阻力和圆盘的高度，将药品盒视为质点．求：
(1) A在传送带上由静止加速到与传送带共速所用的时间t．
(2) B从M点滑至N点的过程中克服阻力做的功W．
(3) 圆盘的圆心到平台右端N点的水平距离s．
答案：(1) (2) 6mgL－3m (3)
【解析】(1) A在传送带上运动时的加速度a＝μg
由静止加速到与传送带共速所用的时间t＝＝
(2) B从M点滑至N点的过程中克服阻力做的功
W＝＋2mg·3L－·2m(2v0)2＝6mgL－3m
(3) A、B碰撞过程由动量守恒定律和能量关系可知
2m·2v0＝mv1＋2mv2
＝
解得v1＝2v0，v2＝v0(另一组解v1＝v0，v2＝舍掉)
两物体平抛运动的时间t1＝
则s－r＝v2t1，s＋r＝v1t1
解得s＝
一、弹簧情境下的力、能、动量问题
(2025·中山华侨中学二模)如图甲所示，两物块A、B之间拴接一轻弹簧，静止在光滑的水平地面上，弹簧恰好处于原长，物块A的质量mA＝2 kg．现给物块A一向右的初速度，并把此时记为0时刻，规定向右为正方向，在0～ s时间内A、B物块运动的a－t图像如图乙所示．已知 s时刻它们的加速度最大，此时A的速度vA＝2 m/s，位移xA＝ m．求：
甲 乙
(1) 物块A的初速度的大小．
(2) ～ s时间内弹簧对物块A做的功．
(3) 0～ s内B的位移大小和弹簧的劲度系数．
答案：(1) 3 m/s (2)－3 J (3) m N/m
【解析】(1) 在弹簧压缩过程中，A、B受到的弹力大小相等，方向相反，分别对A、B，根据牛顿第二定律有F＝mAaA，F＝mBaB
结合图乙可知，取向右为正，在弹簧有弹力时，可知A物体受到向左的弹力，故其加速度向左，为负值；B物体受到向右的弹力，故其加速度向右，为正值，则两物体的加速度大小关系为aA＝aB
故联立可得mA＝2mB
解得mB＝1 kg
当t＝ s时，A、B的加速度最大，此时速度v相同，即vA＝vB＝2 m/s
根据动量守恒定律mAv0＝mAvA＋mBvB
解得v0＝3 m/s
(2) 当t＝ s时，弹簧恢复原长，根据能量守恒定律有＝
根据动量守恒定律有mAv0＝mAv′A＋mBv′B
解得v′A＝1 m/s，v′B＝4 m/s
则 ～ s时间内弹簧对物块A做功
W＝
解得W＝－3 J
(3) 在0～ s内，设A的速度为v″A，设B的速度为v″B，根据动量守恒定律有mAv0＝mAv″A＋mBv″B
两边乘以时间t，则变形得mAv0t＝mAxA＋mBxB
代入数据解得xB＝ m
弹簧的形变量为Δx＝xA－xB
解得Δx＝0.3 m
根据牛顿第二定律，可得弹力F＝mBaB＝20 N
根据胡克定律可得F＝kΔx
解得k＝ N/m
1．弹簧类碰撞问题一般情况下均满足动量守恒定律和机械能守恒定律．
2．请关注弹簧的状态：
(1) 原长——弹性势能为零．
(2) 最短或最长——连接的物体共速，弹性势能最大，相当于发生了完全非弹性碰撞，这往往是解决此类问题的突破点．
(3) 弹簧再次恢复原长时弹簧的弹性势能再次为零，系统动能最大，整个过程类似于弹性碰撞．
二、传送带情境下的力、能、动量问题
(2025·深圳外国语学校二模)如图所示，光滑圆弧轨道ABC固定在竖直面内，与光滑水平面CD相切于C点．水平面CD右侧为顺时针转动的水平传送带，与传送带相邻的光滑水平面MN足够长，MN上静置一物块Q，N处固定一竖直挡板，物块撞上挡板后以原速率反弹．物块P从A点出发，初速度vA沿切线方向向上，恰好能通过圆弧最高点B，并沿着圆弧轨道运动到C点，此时速度大小vC＝10 m/s．已知AO与竖直方向的夹角为53°，P、Q均可视为质点，质量分别为m1＝2 kg，m2＝8 kg，P、Q间的碰撞为弹性碰撞且碰撞始终发生在MN上，传送带长L＝10 m，物块P与传送带间的动摩擦因数μ＝0.4，取g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6．结果可用根式表示．
(1) 求物块P在A点时初速度vA的大小．
(2) 调整传送带的速度大小，求物块P第一次到达M点时速度大小的范围．
(3) 若传送带速度大小为10 m/s，求从P、Q第1次碰撞结束到第2 025次碰撞结束，物块P在传送带上运动的总时间t．
答案：(1) 6 m/s (2) 2 m/s≤vM≤6 m/s
(3) 1 012(8－) s
【解析】(1) 由题意知P恰好能通过圆弧最高点B，则有m1g＝
从B点到C点，由动能定理得
＝m1g·2r
联立解得圆弧半径r＝2 m
从A到C过程有
＝m1gr(1＋cos 53°)
联立解得vA＝6 m/s
(2) 若传送带速度够大，P从D一直加速到M点，则有＝2μgL
代入题中数据，联立解得物块P第一次到达M点时速度大小vM1＝6 m/s
若传送带速度够小，P从D一直减速到M点，则有
＝－2μgL
解得vM2＝2 m/s
则物块P第一次到达M点时速度大小的范围为
2 m/s≤vM≤6 m/s
(3) 若传送带速度大小为10 m/s，则P匀速离开传送带，设水平向右为正方向，第1次碰撞对系统由动量守恒定律和机械能守恒定律有m1vC＝＝
联立解得碰后m1、m2的速度分别为v1＝－6 m/s、v2＝4 m/s
设P向左滑上传送带的位移为x，根据牛顿第二定律和运动学规律可得x＝＝4.5 m＜L
向左运动到最远的时间t1＝＝1.5 s
第2次碰撞，对系统由动量守恒定律和机械能守恒定律有m1v1－m2v2＝m1v12＋m2v22
＝
联立解得碰后m1、m2的速度分别为v12＝－10 m/s、v22＝0
则P返回传送带过程有＝－2μgL
解得回到传送带D端时，P的速度大小
vD＝2 m/s
向左运动到D的时间
t2＝＝＝ s
从P、Q第1次碰撞结束到第2 025次碰撞结束，物块P在传送带上运动的总时间为
t＝2t1×1 012＋2t2×1 012
联立解得t＝1 012(8－) s
滑上传送带的物体获取初速度的过程常涉及动量定理和动量守恒定律．滑上传送带的物体在滑动过程中因滑动摩擦力做功，常涉及能量的转移或转化问题．与动量、能量有关的传送带模型往往是综合性较高的试题．
1．传送带问题的分析步骤与方法
2．划痕长度与摩擦生热的计算
若只有一个相对运动过程，划痕长度等于相对位移的大小；若有两个相对滑动过程，两过程相对位移方向相同时，划痕长度求和，相对位移方向不同时，划痕以长的为准．全过程产生的热量Q＝fs相对(s相对是相对路程，即相对位移绝对值的和)．
三、滑块—滑板情境下的力、能、动量问题
(2025·深圳一模)如图所示为一项冰上游戏设施，平台之间的水平冰面上有可滑动的小车，左右平台及小车上表面等高，小车紧靠左边平台．小孩坐在雪橇上(系有安全带)，静止在左边平台边缘处．现在家长施加推力，雪橇瞬时获得水平冲量I＝160 N·s滑上小车．小车在冰面上滑行了L2＝4 m的距离后与右侧平台碰撞并被锁定，雪橇最终停在右侧平台上．已知小孩和雪橇的总质量m＝20 kg，雪橇与小车上表面间的动摩擦因数μ1＝0.8，雪橇与右侧平台间的动摩擦因数μ2＝0.5．小车质量M＝20 kg，长度L1＝2.5 m．将雪橇视作质点，忽略冰面阻力，取g＝10 m/s2．求：
(1) 雪橇滑上小车时的速度．
(2) 小车碰撞右侧平台时的速度．
(3) 雪橇在右侧平台上滑行的距离．
答案：(1) 8 m/s，方向水平向右 (2) 4 m/s，方向水平向右 (3) 0.8 m
【解析】(1) 设雪橇滑上小车的瞬时速度为v1，根据动量定理有I＝mv1－0
解得v1＝8 m/s，方向水平向右
(2) 方法一：假设小车和雪橇可以共速，设共同速度为v2，根据动量守恒有mv1＝(m＋M)v2
解得v2＝4 m/s
雪橇与小车滑行过程中损失的机械能为Q，则有
Q＝
损失能量Q＝μ1mgx相
联立解得x相＝2 m
设小车滑行的距离为x2，对小车根据动能定理有
－0＝μ1mgx2
解得x2＝1 m
由于x相＜L1，x2＜L2，可知假设成立
即最终雪橇与小车以共同速度滑行至右侧平台，小车碰撞右侧平台的速度为v2＝4 m/s
方法二：对雪橇在小车上受力分析，设雪橇加速度大小为a1，小车加速度大小为a2，根据牛顿第二定律有
μ1mg＝ma1，μ1mg＝Ma2
解得a1＝8 m/s2，a2＝8 m/s2
假设雪橇与小车共速时，用时为t，雪橇的位移为x1，小车的位移为x2，根据速度公式有
v1－a1t＝a2t，v2＝a2t
根据位移公式有x1＝v1t－a1t2，x2＝a2t2
小车与雪橇的相对位移x相＝x1－x2
联立解得x相＝2 m，x2＝1 m
由于x相＜L1，x2＜L2，可知假设成立
即最终雪橇与小车以共同速度滑行至右侧平台，速度为v2＝4 m/s
(3) 方法一：设雪橇在平台上滑行的距离为x4，在小车上滑行的距离为x3，则有x3＝L1－x相
对雪橇由动能定理有
＝－μ1mgx3－μ2mgx4
联立解得x4＝0.8 m
方法二：设雪橇在平台上滑行的距离为x4，在小车上滑行的距离为x3，则有x3＝L1－x相
雪橇离开小车时的速度为v3，由运动学公式有
＝－2a1x3
雪橇在平台上的加速度为a3，由牛顿第二定律有μ2mg＝ma3
根据速度与位移的关系式有＝－2a3x4
联立解得x4＝0.8 m
1．“滑块—滑板”模型一般动量守恒、机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能．
2．求解方法
(1) 求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统．
(2) 求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体．
(3) 求系统产生的内能或相对位移：可根据能量守恒定律Q＝fx相对或Q＝E初－E末，研究对象为一个系统，x相对为相对滑动的两物体间相对滑动路径的总长度．
配套热练
题组练
题组一 弹簧情境下的力、能、动量问题
1．(2025·广州外国语学校模拟)(多选)如图甲所示，小球B与小球C用轻弹簧拴接，静放在光滑的水平地面上，此时弹簧处于原长，另有一小球A以8 m/s的初速度向右运动，t0时刻球A与球B碰撞瞬间粘在一起，碰后AB的v－t图像如图乙所示．经过Δt时间，弹簧第一次被压缩至最短．已知小球B的质量为3 kg，在Δt时间内C球的位移为0.25 m，弹簧的劲度系数k＝40 N/m，弹簧的弹性势能Ep＝(x为弹簧的形变量)，整个运动过程中弹簧始终在弹性限度内，小球均可视为质点．下列说法中正确的是( ABD )
甲 乙
A．t0～t1间某一时刻弹簧第一次压缩至最短
B．t2时刻弹簧第一次恢复原长
C．Δt时间内，小球B的位移为 m
D．C球的质量为10 kg
【解析】当三球共速时，弹簧弹性势能最大，压缩量最大，弹簧压缩至最短，AB发生完全非弹性碰撞，则mAvA＝(mA＋mB)v，即mA·8＝(mA＋3)·4，解得mA＝3 kg，碰后的运动过程中，当3个球共速时，弹簧的弹性势能最大，由A、B、C整体动量守恒可得(mA＋mB)v＝(mA＋mB＋mC)v共，解得0＜v共＜4 m/s，结合图乙分析知，t0～t1间某一时刻弹簧第一次压缩至最短，A正确；由图乙可见，t2时刻A、B球速度为v′＝－1 m/s，此时A、B球加速度为0，所以弹簧弹力为0，即弹簧恢复原长状态，B正确；A、B、C整体动量守恒有(mA＋mB)v＝(mA＋mB)v′＋mCvC，当弹簧恢复原长时v′＝－1 m/s，满足(mA＋mB)v2＝(mA＋mB)＋，即v′＝v，解得mC＝10 kg，D正确；当A、B、C共速时(mA＋mB)v＝(mA＋mB＋mC)v共，(mA＋mB)v2＝(mA＋mB＋mC)＋Ep，联立解得Ep＝＝30 J，解得x＝ m，则Δt时间内，小球B的位移为xB＝x＋xC＝0.25 m＋ m≠ m，故C错误．
2．(2025·佛山石门中学月考)如图所示，光滑的水平面AB与光滑竖直半圆轨道BCD在B点相切，轨道半径R＝0.4 m，D为轨道最高点．用轻质细线连接甲、乙两小球，中间夹一轻质弹簧，弹簧与甲、乙两球均不拴接．甲球的质量为m1＝0.1 kg，乙球的质量为m2＝0.2 kg，甲、乙两球静止．现固定甲球，烧断细线，乙球离开弹簧后进入半圆轨道恰好能通过D点．取g＝10 m/s2，甲、乙两球可看作质点．
(1) 求细线烧断前弹簧的弹性势能Ep．
(2) 若甲球不固定，烧断细线，求从烧断细线开始到乙球脱离弹簧的过程中，弹簧对乙球的冲量I的大小．(答案允许含根号)
答案：(1) 2 J (2) N·s
【解析】(1) 由题意知，乙球离开弹簧后进入半圆轨道恰好能通过D点，则在D点速度大小为v，对乙球由牛顿第二定律得m2g＝m2
由能量守恒得弹性势能Ep＝m2g·2R＋m2v2
联立解得Ep＝2 J
(2) 设甲、乙两球脱离弹簧时速度大小分别为v1、v2，对该系统分析可知动量守恒，即m1v1＝m2v2
由能量守恒定律得Ep＝
对乙球由动量定理得I＝m2v2
联立解得I＝ N·s
3．(2025·广东省联考)如图所示，某实验小组为研究火箭单级推进与多级推进的区别，设计了如下简单模型：以轻质压缩弹簧代替推进剂的作用，研究单级推进与二级推进上升高度的不同．
方案一：将两根相同的轻弹簧并排连接在火箭下方，模拟火箭的单级推进，将两根弹簧进行同样的压缩，释放后火箭上升的最大高度为H．
方案二：将火箭整体分为质量相等的两级，将方案一中的两根轻弹簧分别连接在两级火箭的底部，将两级火箭上下叠放，并使两根轻弹簧发生与方案一中同样的形变，以此模拟火箭的二级推进过程．实验时，先释放一级火箭底部的弹簧进行一级推进，一级推进完成瞬间立即自动释放两级之间的压缩弹簧进行二级推进．假设火箭的总质量为m，弹簧的劲度系数很大，可瞬间弹开，弹簧和火箭的高度不计，忽略空气阻力的影响，火箭始终在同一竖直线上运动，重力加速度为g．求：
(1) 方案一中单根压缩弹簧储存的弹性势能Ep．
(2) 方案二中二级推进完成瞬间，一级火箭和二级火箭的速度大小v1、v2．
(3) 方案二中二级推进完成后，二级火箭继续上升的最大高度h．
答案：(1) mgH (2) 0 2 (3) 2H
【解析】(1) 根据机械能守恒定律可得2Ep＝mgH
解得Ep＝mgH
(2) 设一级推进完成瞬间，火箭的速度大小为v0，根据机械能守恒定律可得Ep＝
解得v0＝
二级推进过程，根据动量守恒定律和机械能守恒定律可得mv0＝mv1＋mv2
＝
联立解得v1＝0，v2＝2
(3) 二级推进完成后，对二级火箭，则有h＝
解得h＝2H
题组二 传送带情境下的力、能、动量问题
4．(2025·广东省联考)如图所示为点心在流水线上的打包过程，点心师傅将加工好的质量m1＝0.1 kg的点心(看作质点)于倾斜直滑道上的P点静止释放，到Q点进入半径r＝0.25 m圆弧滑道，之后经M点沿水平方向抛出，刚好落入在传送带上匀速运动的质量m2＝0.05 kg的包装盒内．已知PQ段滑道长度l＝0.3 m，与水平面夹角为37°，倾斜滑道与圆弧滑道在Q点相切，点心经过M点时受到滑道的支持力FN＝2.6 N，sin 37°＝0.6，∠QOM＝37°，取g＝10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1) 点心滑至M点时的速度v0大小．
(2) 点心从P到M的运动过程中，克服摩擦力做的功W．
(3) 已知传送带速度大小为v＝4 m/s，包装盒与传送带间的动摩擦因数μ＝0.4，点心落入包装盒后不反弹，且在极短时间内与包装盒共速，若要求包装盒到达传送带右端前与传送带共速，求点心落入时包装盒到传送带右端距离的最小值s．
答案：(1) 2 m/s (2) 0.03 J (3) m
【解析】(1)在M点，由牛顿第二定律得
FN－m1g＝
解得v0＝2 m/s
(2) 从P到M由动能定理有
m1gl sin θ＋m1gr(1－cos θ)－W＝
解得W＝0.03 J
(3) 点心落入包装盒前后，两者水平动量守恒，设两者共速速度大小为v1，则有
m1v0＋m2v＝(m1＋m2)v1
随后设点心与包装盒整体受摩擦力的作用加速到v，则有a＝＝μg
根据速度与位移的关系有＝2as
解得s＝ m
5．(2025·深圳、东莞、佛山部分学校联考)如图甲所示，一游戏装置由左端带有弹簧振子的光滑水平轨道、水平传送带以及足够长的光滑斜面三部分组成．弹簧振子由轻弹簧和质量M＝0.4 kg的振子A组成．弹簧振子的平衡位置O到传送带的左端P的距离L1＝3.0 m，传送带长L2＝4.5 m，且沿逆时针方向以速率v0匀速转动．v0的大小可调，右端通过可以忽略不计的光滑圆弧与斜面相连，斜面与水平面所成的夹角为θ＝30°．现将质量m＝0.1 kg的滑块B静置于O点，振子A压缩弹簧后，在t＝0时刻由静止开始释放，运动到O点与滑块B发生正碰，碰撞时间极短，碰后滑块B向右滑动，穿过传送带并滑上斜面，速度减为零后沿原路返回到O点．已知振子A开始运动一段时间的v－t图像如图乙所示，滑块B与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.4，振子A和滑块B均可视为质点，取g＝10 m/s2，≈0.38．
甲 乙
(1) 求碰撞后瞬间滑块B的速度大小vB以及弹簧振子的周期T．
(2) 若v0＝8 m/s，求滑块B向右穿过传送带的过程中产生的热量Q．
(3) 调节传送带的速度v0，发现滑块B回到O位置时，恰好与振子A迎面正碰，求整个过程中，振子A做了几次全振动．
答案：(1) 10 m/s 0.4 s (2) 3.4 J (3) 12次或13次
【解析】(1) 由振子A的v－t图像可知，弹簧振子的周期T＝0.4 s
由振子A的v－t图像可知，振子A与滑块B碰撞前瞬间的速度大小为vA＝7.5 m/s，碰撞后瞬间的速度大小为v′A＝5 m/s，碰撞过程，取碰撞前A的速度为正方向，由动量守恒定律得
MvA＝Mv′A＋mvB
解得vB＝10 m/s
(2) 滑块B向右穿过传送带，根据动能定理有
－μmgL2＝
解得v1＝8 m/s
在传送带上，对滑块B，根据动量定理有
－μmgt1＝mv1－mvB
解得t1＝0.5 s
传送带的位移为x传＝v0t1＝4 m
滑块B与传送带的相对位移为
Δx＝L2＋x传＝8.5 m
产生的热量
Q＝μmgΔx＝0.4×0.1×10×8.5 J＝3.4 J
(3) 滑块B从O点运动到P点，所用时间
t2＝＝0.3 s
斜面光滑，滑块滑上斜面又滑下，机械能守恒，速度大小不变，为v′B＝8 m/s，方向反向，由动量定理可知mv′B－(－mv′B)＝mg sin θ·t3
解得t3＝3.2 s
①当v0≥10 m/s时，滑块B返回传送带，在传送带上一直加速，到左端速度刚好为10 m/s，根据运动对称性，向左穿过传送带所用的时间
t4＝t1＝0.5 s
由P到O点，运动时间为t5＝ s＝0.3 s
故滑块返回O点运动的最短时间为
tmin＝t1＋t2＋t3＋t4＋t5＝4.8 s
②当滑块B在传送带上一直减速，到P点刚好与传送带共速，根据动能定理有
－μmgL2＝
解得vP＝2 m/s
当v0≤2 m/s，滑块B在传送带上一直减速，返回O点时间最长．返回过程中，在传送带运动的时间，根据动量定理得－μmgt′4＝mvP－mv′B
解得t′4＝ s
由P点返回O点，所用时间t′5＝ s＝ s
运动总时间tmax＝t1＋t2＋t3＋t′4＋t′5＝5.24 s
返回O点，恰好与振子A迎面正碰，即
tmin≤nT≤tmax
其中n＝1，2，3，4，…
解得n＝12或者n＝13
题组三 滑块—滑板情境下的力、能、动量问题
6．(2025·茂名一中模拟)(多选)如图甲所示，一右端固定有竖直挡板的质量M＝2 kg的木板静置于光滑的水平面上，另一质量m＝1 kg的物块以v0＝6 m/s的水平初速度从木板的最左端冲上木板，最终物块与木板保持相对静止，物块和木板的运动速度随时间变化的关系图像如图乙所示，物块可视为质点，则下列说法中正确的是( BCD )
甲 乙
A．图乙中v2的数值为4
B．物块与木板的碰撞为弹性碰撞
C．整个过程物块与木板之间因摩擦产生的热量为12 J
D．最终物块距木板左端的距离为3 m
【解析】根据题意可知，题图乙中图线a表示碰撞前物块的减速运动过程，图线b表示碰撞前木板的加速过程，图线c表示碰撞后木板的减速过程，图线d表示碰撞后物块的加速过程，物块与挡板碰撞前瞬间，物块的速度大小为v1，设此时木板速度大小为v木，则v木＝1 m/s，从物块滑上木板到物块与木板碰撞前瞬间的过程，根据系统动量守恒有mv0＝mv1＋Mv木，解得v1＝4 m/s，物块与挡板碰撞后瞬间，物块的速度为0，木板速度大小为v2，从物块滑上木板到物块与木板碰撞后瞬间的过程，根据系统动量守恒有mv0＝Mv2，解得v2＝3 m/s，A错误；2 s末物块与木板共同运动的速度大小为v3，从物块滑上木板到最终共同匀速运动的过程，根据系统动量守恒有mv0＝(m＋M)v3，解得v3＝2 m/s，物块与木板碰撞前瞬间，系统的动能为Ek1＝＝9 J，物块与木板碰撞后瞬间，系统的动能Ek2＝＝9 J，故碰撞过程系统没有机械能损失，为弹性碰撞，B正确；物块滑上木板时系统的动能为Ek0＝＝18 J，最终相对静止时系统的动能为Ek3＝＝6 J，所以系统产生的热量为Q＝Ek0－Ek3＝12 J，C正确；由题图乙得木板长为L＝×1 m－ m＝4.5 m，碰撞后物块与木板相对位移为Δx＝×1 m－×1 m＝1.5 m，故最终物块距木板左端的距离为L－Δx＝3 m，D正确．
7．(2025·茂名一中学月考)如图所示，MNP为一段光滑轨道，其中MN段是半径为R＝3 m的圆弧形轨道，M与圆心的连线与竖直方向夹角为53°．NP是水平足够长直轨道，MN与NP段在N点平滑连接．滑块A从距M点高度H＝0.8 m处水平抛出，恰好能从M点切入轨道．在水平轨道某位置静止放置一长L＝0.6 m的木板B，木板左右两侧各有一固定挡板．木板紧靠右挡板放置一滑块C．滑块A在NP轨道上与木板B发生碰撞．若A、B、C三者质量相等，滑块A、C均可视为质点，A与B之间、C与挡板之间的碰撞均为弹性碰撞．B、C之间的动摩擦因数为μ＝0.35，取g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求：
(1) 滑块A到达M点时的速度大小．
(2) 滑块A与木板B碰后木板的速度大小．
(3) 滑块C与左右两侧挡板碰撞的总次数．
答案：(1) 5 m/s (2) 7 m/s (3) 5次
【解析】(1) 根据题意可知H＝gt2，vy＝gt，vM＝
解得vM＝5 m/s
(2) 从M点到与木板B碰撞，由动能定理可得
mgR(1－cos 53°)＝
解得v0＝7 m/s
A与B发生弹性碰撞有mv0＝mv1＋mv2
＝
解得v1＝0，v2＝v0＝7 m/s
(3) 因C与挡板间的碰撞为弹性碰撞，B和C系统动量守恒，最终B与C共速做匀速直线运动，故有mv2＝2mv共
系统机械能损失为ΔE＝
系统损失的机械能转化为摩擦生热，有Q＝μmgs
解得s＝3.5 m
滑块C相对木板B来回滑动的距离为3.5 m，故C与左右两挡板碰撞的次数为n＝＝≈5.83
故滑块C与两侧挡板共碰撞5次
增强练
1．(2025·湛江一中三模)图示为做“碰撞中的动量守恒”的实验装置．
(1) 入射小球每次都应从斜槽上的同一位置无初速度释放，这是为了__B__．
A．入射小球每次都能水平飞出槽口
B．入射小球每次都以相同的速度飞出槽口
C．入射小球在空中飞行的时间不变
D．入射小球每次都能发生对心碰撞
(2) 入射小球的质量应__大于__(填“大于”、“等于”或“小于”)被碰小球的质量．
(3) 设入射小球的质量为m1，被碰小球的质量为m2，P为碰前入射小球落点的平均位置，则关系式m1＝__m1m2__(用m1、m2及图中字母表示)成立，即表示碰撞中动量守恒．
【解析】 (1) 入射小球每次都应从斜槽上的同一位置无初速度释放，目的是使入射小球每次都以相同的速度飞出槽口，B正确，A、C、D错误．
(2) 为了防止入射小球反弹，入射小球的质量应大于被碰小球的质量．
(3) 由于小球下落高度相同，则根据平抛运动规律可知，小球下落时间相同；P为碰前入射小球落点的平均位置，M为碰后入射小球的位置，N为碰后被碰小球的位置，碰撞前入射小球的速度v1＝，碰撞后入射小球的速度v2＝，碰撞后被碰小球的速度v3＝，如果m1v1＝m2v3＋m1v2，则表明通过该实验验证了两球碰撞过程中动量守恒，则若m1＝m1＋m2成立，即表示碰撞中动量守恒．
2．(2025·江门培英高级中学模拟)在第四次“天宫课堂”中，航天员演示了“动量守恒”实验．受此启发，某同学使用如图甲所示的装置进行了碰撞实验，气垫导轨两端分别安装a、b两个位移传感器，a测量滑块A与它的距离xA，b测量滑块B与它的距离xB．部分实验步骤如下：
①测量两个滑块的质量，分别为200.0 g和400.0 g；②接通气源，调整气垫导轨水平；③拨动两滑块，使A、B均向右运动；④导出传感器记录的数据，绘制xA、xB随时间变化的图像，分别如图乙、图丙所示．
甲
乙 丙
(1) 从图像可知两滑块在t＝__1.0__s时发生碰撞．
(2) 滑块B碰撞前的速度大小v＝__0.20__m/s (结果保留两位有效数字)．
(3) 通过分析，得出质量为200.0 g的滑块是__B__(填“A”或“B”)．
【解析】 (1) 由x－t图像的斜率表示速度可知，两滑块的速度在t＝1.0 s时发生突变，即这个时候发生了碰撞．
(2) 根据x－t图像斜率的绝对值表示速度大小可知，碰撞前瞬间B的速度大小为v＝ cm/s＝0.20 m/s．
(3) 由题图乙知，碰撞前A的速度大小vA＝0.50 m/s，碰撞后A的速度大小约为v′A＝0.36 m/s，由题图丙可知，碰撞后B的速度大小为v′B＝0.5 m/s，A和B碰撞过程动量守恒，则有mAvA＋mBv＝mA＋mB，代入数据解得≈2，所以质量为200.0 g的滑块是B．
3．如图甲所示是某兴趣小组设计的验证向心力大小表达式的实验装置原理图．用一刚性细绳悬挂一质量为m的小球，小球的下方连接一轻质的遮光片，细绳上方的悬挂点处安装有一个力传感器，悬挂点的正下方固定一个光电门，两装置连接到同一数据采集器上，可以采集小球经过光电门的遮光时间和此时细绳拉力的大小，重力加速度为g．实验过程如下：
甲 乙
①用刻度尺测量出悬挂点到球心的距离L．
②将小球拉升到一定高度(细绳始终伸直)后释放，记录小球第一次经过最低点时遮光片的遮光时间Δt和力传感器示数F．
③改变小球拉升的高度，重复步骤②，测6～10组数据．
④根据测量得到的数据在坐标纸上绘制图像．
⑤改变悬挂点到球心的距离L，重复上述步骤，绘制得到的图像如图乙所示．
(1) 图乙中图像横坐标表示的物理量为____[填“Δt”、“”或“”]．
(2) 理想情况下，图乙中各图像的延长线是否交于纵轴上的同一点？__是__(填“是”或“否”)．
(3) 图乙中A组实验所用细绳的长度与B组实验所用细绳长度之比为__1∶2__．
(4) 将图乙的纵坐标改为__F－mg__，则可以得到结论：向心力的大小与线速度的平方成正比．
(5) 由于遮光片位于小球的下方，图乙中的斜率与准确值相比__偏小__(填“偏大”、“偏小”或“不变”)．
【解析】(1) 小球经过光电门的速度为v＝，根据牛顿第二定律有F－mg＝m，解得F＝mg＋m，可知图像横坐标表示的物理量为 ．
(2) 由(1)中F＝mg＋m，可知图像与纵坐标的交点表示mg，则理想情况下，图乙中各图像的延长线交于纵轴上的同一点．
(3) 根据F＝mg＋m，可知图像的斜率为k＝，图乙中A组实验与B组实验的斜率之比为 ＝＝，则A组实验所用细绳的长度与B组实验所用细绳长度之比为1∶2．
(4) 根据Fn＝F－mg＝m，可知将图乙的纵坐标改为F－mg，则可以得到结论：向心力的大小与线速度的平方成正比．
(5) 由于遮光片位于小球的下方，则半径L变大，由v＝ωr可知测量速度比真实速度大，如图所示，图乙中的斜率与准确值相比偏小．
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专题二
粤考特色 ·综合提能三 力、能、动量为靶向的情境问题
能量与动量
直面高考真题
考向1 弹性碰撞与运动图像、牛顿运动定律、能量守恒综合问题
(2019·新课标Ⅰ)竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块B静止于水平轨道的最左端，如图甲所示．t＝0时刻，小物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与B发生弹性碰撞(碰撞时间极短)；当A返回到倾斜轨道上的P点(图中未标出)时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止．物块A运动的v－t图像如图乙所示，图中的v1和t1均为未知量．已知A的质量为m，初始时A与B的高度差为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力．
(1) 求物块B的质量．
答案：(1) 3m
1
甲
乙
乙
甲
乙
考向2 非弹性碰撞与运动学、传送带、平抛综合问题
(2023·广东卷)如图所示为某药品自动传送系统的示意图．该系统由水平传送带、竖直螺旋滑槽和与滑槽平滑连接的平台组成，滑槽高为3L，平台高为L．药品盒A、B依次被轻放在以速度v0匀速运动的传送带上，在与传送带达到共速
2
综合提升
1
甲
乙
甲
乙
甲
乙
1．弹簧类碰撞问题一般情况下均满足动量守恒定律和机械能守恒定律．
2．请关注弹簧的状态：
(1) 原长——弹性势能为零．
(2) 最短或最长——连接的物体共速，弹性势能最大，相当于发生了完全非弹性碰撞，这往往是解决此类问题的突破点．
(3) 弹簧再次恢复原长时弹簧的弹性势能再次为零，系统动能最大，整个过程类似于弹性碰撞．
二、传送带情境下的力、能、动量问题
(2025·深圳外国语学校二模)如图所示，光滑圆弧轨道ABC固定在竖直面内，与光滑水平面CD相切于C点．水平面CD右侧为顺时针转动的水平传送带，与传送带相邻的光滑水平面MN足够长，MN上静置一物块Q，N处固定一竖直挡板，物块撞上挡板后以原速率反弹．物块P从A点出发，初速度vA沿切线方向向上，恰好能通过圆弧最高点B，并沿着圆弧轨道运动到C点，此时速度大小vC＝10 m/s.已知AO与竖直方向的夹角为53°，P、Q均可视为质点，质量分别为m1＝2 kg，m2＝8
2
kg，P、Q间的碰撞为弹性碰撞且碰撞始终发生在MN上，传送带长L＝10 m，物块P与传送带间的动摩擦因数μ＝0.4，取g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6．结果可用根式表示．
(1) 求物块P在A点时初速度vA的大小．
答案：(1) 6 m/s
滑上传送带的物体获取初
速度的过程常涉及动量定理和
动量守恒定律．滑上传送带的
物体在滑动过程中因滑动摩擦
力做功，常涉及能量的转移或
转化问题．与动量、能量有关
的传送带模型往往是综合性较
高的试题．
1．传送带问题的分析步骤与方法
2．划痕长度与摩擦生热的计算
若只有一个相对运动过程，划痕长度等于相对位移的大小；若有两个相对滑动过程，两过程相对位移方向相同时，划痕长度求和，相对位移方向不同时，划痕以长的为准．全过程产生的热量Q＝fs相对(s相对是相对路程，即相对位移绝对值的和)．
三、滑块—滑板情境下的力、能、动量问题
(2025·深圳一模)如图所示为一项冰上游戏设施，平台之间的水平冰面上有可滑动的小车，左右平台及小车上表面等高，小车紧靠左边平台．小孩坐在雪橇上(系有安全带)，静止在左边平台边缘处．现在家长施加推力，雪橇瞬时获得水平冲量I＝160 N·s滑上小车．小车在冰面上滑行了L2＝4 m的距离后与右侧平台碰撞并被锁定，雪橇最终停在右侧平台上．已知小孩和雪橇的总质量m＝20 kg，雪橇与小车上表面间的动摩擦因数μ1＝0.8，雪橇与右侧平台间的动摩擦因数μ2＝0.5．小车质量M＝20 kg，长度L1＝2.5 m．将雪橇视作质点，忽略冰面阻力，取g＝10 m/s2．求：
(1) 雪橇滑上小车时的速度．
答案：(1) 8 m/s，方向水平向右
3
【解析】(1) 设雪橇滑上小车的瞬时速度为v1，根据动量定理有I＝mv1－0
解得v1＝8 m/s，方向水平向右
(2) 小车碰撞右侧平台时的速度．
答案：(2) 4 m/s，方向水平向右
(3) 雪橇在右侧平台上滑行的距离．
答案：(3) 0.8 m
1．“滑块—滑板”模型一般动量守恒、机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能．
2．求解方法
(1) 求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统．
(2) 求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体．
(3) 求系统产生的内能或相对位移：可根据能量守恒定律Q＝fx相对或Q＝E初－ E末，研究对象为一个系统，x相对为相对滑动的两物体间相对滑动路径的总长度．
热练
ABD
甲
乙
2．(2025·佛山石门中学月考)如图所示，光滑的水平面AB与光滑竖直半圆轨道BCD在B点相切，轨道半径R＝0.4 m，D为轨道最高点．用轻质细线连接甲、乙两小球，中间夹一轻质弹簧，弹簧与甲、乙两球均不拴接.甲球的质量为m1＝0.1 kg，乙球的质量为m2＝0.2 kg，甲、乙两球静止．现固定甲球，烧断细线，乙球离开弹簧后进入半圆轨道恰好能通过D点．取g＝10 m/s2，甲、乙两球可看作质点．
(1) 求细线烧断前弹簧的弹性势能Ep．
答案：(1) 2 J
3．(2025·广东省联考)如图所示，某实验小组为研究火箭单级推进与多级推进的区别，设计了如下简单模型：以轻质压缩弹簧代替推进剂的作用，研究单级推进与二级推进上升高度的不同．
方案一：将两根相同的轻弹簧并排连接在火箭下方，模拟火箭的单级推进，将两根弹簧进行同样的压缩，释放后火箭上升的最大高度为H．
方案二：将火箭整体分为质量相等的两级，将方案一中的两根轻弹簧分别连接在两级火箭的底部，将两级火箭上下叠放，并使两根轻弹簧发生与方案一中同样的形变，以此模拟火箭的二级推进过程．
(3) 方案二中二级推进完成后，二级火箭继续上升的最大高度h．
答案：(3) 2H
题组二 传送带情境下的力、能、动量问题
4．(2025·广东省联考)如图所示为点心在流水线上的打包过程，点心师傅将加工好的质量m1＝0.1 kg的点心(看作质点)于倾斜直滑道上的P点静止释放，到Q点进入半径r＝0.25 m圆弧滑道，之后经M点沿水平方向抛出，刚好落入在传送带上匀速运动的质量m2＝0.05 kg的包装盒内．已知PQ段滑道长度l＝0.3 m，与水平面夹角
为37°，倾斜滑道与圆弧滑道在Q点相切，点心经过M点时受到滑道的支持力FN＝2.6 N，sin 37°＝0.6，∠QOM＝37°，取g＝10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1) 点心滑至M点时的速度v0大小．
答案：(1) 2 m/s
(2) 点心从P到M的运动过程中，克服摩擦力做的功W．
答案：(2) 0.03 J
5．(2025·深圳、东莞、佛山部分学校联考)如图甲所示，一游戏装置由左端带有弹簧振子的光滑水平轨道、水平传送带以及足够长的光滑斜面三部分组成．弹簧振子由轻弹簧和质量M＝0.4 kg的振子A组成．弹簧振子的平衡位置O到传送带的左端P的距离L1＝3.0 m，传送带长L2＝4.5 m，且沿逆时针方向以速率v0匀速转动．v0的大小可调，右端通过可以忽略不计的光滑圆弧与斜面相连，斜面与水平面所成的夹角为θ＝30°．现将质量m＝0.1 kg的滑块B静置于O点，振子A压缩弹簧后，在t＝0时刻由静止开始释放，运动到O点与滑块B发生正碰，碰撞时间极短，碰后滑块B向右滑动，穿过传送带并滑上斜面，速度减为零后沿原路返回到O点．
甲
乙
【解析】(1) 由振子A的v－t图像可知，弹簧振子的周期T＝0.4 s
由振子A的v－t图像可知，振子A与滑块B碰撞前瞬间的速度大小为vA＝7.5 m/s，碰撞后瞬间的速度大小为v′A＝5 m/s，碰撞过程，取碰撞前A的速度为正方向，由动量守恒定律得
MvA＝Mv′A＋mvB
解得vB＝10 m/s
(2) 若v0＝8 m/s，求滑块B向右穿过传送带的过程中产生的热量Q．
答案：(2) 3.4 J
甲
乙
在传送带上，对滑块B，根据动量定理有
－μmgt1＝mv1－mvB
解得t1＝0.5 s
传送带的位移为x传＝v0t1＝4 m
滑块B与传送带的相对位移为
Δx＝L2＋x传＝8.5 m
产生的热量
Q＝μmgΔx＝0.4×0.1×10×8.5 J＝3.4 J
(3) 调节传送带的速度v0，发现滑块B回到O位置时，恰好与振子A迎面正碰，求整个过程中，振子A做了几次全振动．
答案：(3) 12次或13次
甲
乙
题组三 滑块—滑板情境下的力、能、动量问题
6．(2025·茂名一中模拟)(多选)如图甲所示，一右端固定有竖直挡板的质量M＝2 kg的木板静置于光滑的水平面上，另一质量m＝1 kg的物块以v0＝6 m/s的水平初速度从木板的最左端冲上木板，最终物块与木板保持相对静止，物块和木板的运动速度随时间变化的关系图像如图乙所示，物块可视为质点，则下列说法中正确的是 ( )
A．图乙中v2的数值为4
B．物块与木板的碰撞为弹性碰撞
C．整个过程物块与木板之间因摩擦产生的热量为12 J
D．最终物块距木板左端的距离为3 m
BCD
甲
乙
【解析】根据题意可知，题图乙中图线a表示碰撞前物块的减速运动过程，图线b表示碰撞前木板的加速过程，图线c表示碰撞后木板的减速过程，图线d表示碰撞后物块的加速过程，物块与挡板碰撞前瞬间，物块的速度大小为v1，设此时木板速度大小为v木，则v木＝1 m/s，从物块滑上木板到物块与木板碰撞前瞬间的过程，根据系统动量守恒有mv0＝mv1＋Mv木，解得v1＝4 m/s，物块与挡板碰撞后瞬间，物块的速度为0，木板速度大小为v2，从物块滑上木板到物块与木板碰撞后瞬间的过程，根据系统动量守恒有mv0＝Mv2，解得v2＝3 m/s，A错误；2 s末物块与木板共同运动的速度大小为v3，从物块滑上木板到最终共同匀速运动的过程，根据系统动量守恒有mv0＝(m＋M)v3，解得v3＝2 m/s，物块与木板碰撞前瞬间，
7．(2025·茂名一中学月考)如图所示，MNP为一段光滑轨道，其中MN段是半径为R＝3 m的圆弧形轨道，M与圆心的连线与竖直方向夹角为53°．NP是水平足够长直轨道，MN与NP段在N点平滑连接．滑块A从距M点高度H＝0.8 m处水平抛出，恰好能从M点切入轨道．在水平轨道某位置静止放置一长L＝0.6 m的木板B，木板左右两侧各有一固定挡板．木板紧靠右挡板放置一滑块C．滑块A在NP轨道上与木板B发生碰撞．若A、B、C三者质量相等，滑块A、C均可视为质点，A与B之间、C与挡板之间的碰撞均为弹性碰撞．B、C之间的动摩擦因数为μ＝0.35，取g＝10 m/s2， sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求：
(1) 滑块A到达M点时的速度大小．
答案：(1) 5 m/s
(2) 滑块A与木板B碰后木板的速度大小．
答案：(2) 7 m/s
(3) 滑块C与左右两侧挡板碰撞的总次数．
答案：(3) 5次
1．(2025·湛江一中三模)图示为做“碰撞中的动量守恒”的实验装置．
(1) 入射小球每次都应从斜槽上的同一位置无初速度释放，这是为了_____．
A．入射小球每次都能水平飞出槽口
B．入射小球每次都以相同的速度飞出槽口
C．入射小球在空中飞行的时间不变
D．入射小球每次都能发生对心碰撞
B
【解析】 (1) 入射小球每次都应从斜槽上的同一位置无初速度释放，目的是使入射小球每次都以相同的速度飞出槽口，B正确，A、C、D错误．
(2) 入射小球的质量应________(填“大于”、“等于”或“小于”)被碰小球的质量．
大于
【解析】 (2) 为了防止入射小球反弹，入射小球的质量应大于被碰小球的质量.
2．(2025·江门培英高级中学模拟)在第四次“天宫课堂”中，航天员演示了“动量守恒”实验．受此启发，某同学使用如图甲所示的装置进行了碰撞实验，气垫导轨两端分别安装a、b两个位移传感器，a测量滑块A与它的距离xA，b测量滑块B与它的距离xB．部分实验步骤如下：
①测量两个滑块的质量，分别为
200.0 g和400.0 g；②接通气源，调整气垫
导轨水平；③拨动两滑块，使A、B均向右运动；
④导出传感器记录的数据，绘制xA、xB随时间变
化的图像，分别如图乙、图丙所示．
(1) 从图像可知两滑块在t＝_____s时发生碰撞.
甲
1.0
乙
丙
【解析】 (1) 由x－t图像的斜率表示速度可知，两滑块的速度在t＝1.0 s时发生突变，即这个时候发生了碰撞．
(2) 滑块B碰撞前的速度大小v＝_______ m/s(结果保留两位有效数字)．
甲
0.20
乙
丙
(3) 通过分析，得出质量为200.0 g的滑块是_____(填“A”或“B”)．
甲
B
乙
丙
3．如图甲所示是某兴趣小组设计的验证向心力大小表达式的实验装置原理图．用一刚性细绳悬挂一质量为m的小球，小球的下方连接一轻质的遮光片，细绳上方的悬挂点处安装有一个力传感器，悬挂点的正下方固定一个光电门，两装置连接到同一数据采集器上，可以采集小球经过光电门的遮光时间和此时细绳拉力的大小，重力加速度为g．实验过程如下：
①用刻度尺测量出悬挂点到球心的距离L．
②将小球拉升到一定高度(细绳始终伸直)后释放，
记录小球第一次经过最低点时遮光片的遮光时间Δt和
力传感器示数F．
③改变小球拉升的高度，重复步骤②，测6～10组数据．
甲
乙
(2) 理想情况下，图乙中各图像的延长线是否交于纵轴上的同一点？______(填“是”或“否”)．
是
乙
(3) 图乙中A组实验所用细绳的长度与B组实验所用细绳长度之比为________．
1∶2
乙
(4) 将图乙的纵坐标改为_________，则可以得到结论：向心力的大小与线速度的平方成正比．
F－mg
乙
(5) 由于遮光片位于小球的下方，图乙中的斜率与准确值相比________(填“偏大”、“偏小”或“不变”)．
【解析】(5) 由于遮光片位于小
球的下方，则半径L变大，由v＝ωr
可知测量速度比真实速度大，如图
所示，图乙中的斜率与准确值相比
偏小．
偏小
乙粤考特色·综合提能三
力、能、动量为靶向的情境问题
考向1 弹性碰撞与运动图像、牛顿运动定律、能量守恒综合问题
(2019·新课标Ⅰ)竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块B静止于水平轨道的最左端，如图甲所示．t＝0时刻，小物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与B发生弹性碰撞(碰撞时间极短)；当A返回到倾斜轨道上的P点(图中未标出)时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止．物块A运动的v－t图像如图乙所示，图中的v1和t1均为未知量．已知A的质量为m，初始时A与B的高度差为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力．
甲 乙
(1) 求物块B的质量．
(2) 在图乙所描述的整个运动过程中，求物块A克服摩擦力所做的功．
(3) 已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等，在物块B停止运动后，改变物块与轨道间的动摩擦因数，然后将A从P点释放，一段时间后A刚好能与B再次碰上．求改变前后动摩擦因数的比值．
考向2 非弹性碰撞与运动学、传送带、平抛综合问题
(2023·广东卷)如图所示为某药品自动传送系统的示意图．该系统由水平传送带、竖直螺旋滑槽和与滑槽平滑连接的平台组成，滑槽高为3L，平台高为L．药品盒A、B依次被轻放在以速度v0匀速运动的传送带上，在与传送带达到共速后，从M点进入滑槽，A刚好滑到平台最右端N点停下，随后滑下的B以2v0的速度与A发生正碰，碰撞时间极短，碰撞后A、B恰好落在桌面上圆盘内直径的两端．已知A、B的质量分别为m和2m，碰撞过程中损失的能量为碰撞前瞬间总动能的．A与传送带间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，A、B在滑至N点之前不发生碰撞，忽略空气阻力和圆盘的高度，将药品盒视为质点．求：
(1) A在传送带上由静止加速到与传送带共速所用的时间t．
(2) B从M点滑至N点的过程中克服阻力做的功W．
(3) 圆盘的圆心到平台右端N点的水平距离s．
一、弹簧情境下的力、能、动量问题
(2025·中山华侨中学二模)如图甲所示，两物块A、B之间拴接一轻弹簧，静止在光滑的水平地面上，弹簧恰好处于原长，物块A的质量mA＝2 kg．现给物块A一向右的初速度，并把此时记为0时刻，规定向右为正方向，在0～ s时间内A、B物块运动的a－t图像如图乙所示．已知 s时刻它们的加速度最大，此时A的速度vA＝2 m/s，位移xA＝ m．求：
甲 乙
(1) 物块A的初速度的大小．
(2) ～ s时间内弹簧对物块A做的功．
(3) 0～ s内B的位移大小和弹簧的劲度系数．
1．弹簧类碰撞问题一般情况下均满足动量守恒定律和机械能守恒定律．
2．请关注弹簧的状态：
(1) 原长——弹性势能为零．
(2) 最短或最长——连接的物体共速，弹性势能最大，相当于发生了完全非弹性碰撞，这往往是解决此类问题的突破点．
(3) 弹簧再次恢复原长时弹簧的弹性势能再次为零，系统动能最大，整个过程类似于弹性碰撞．
二、传送带情境下的力、能、动量问题
(2025·深圳外国语学校二模)如图所示，光滑圆弧轨道ABC固定在竖直面内，与光滑水平面CD相切于C点．水平面CD右侧为顺时针转动的水平传送带，与传送带相邻的光滑水平面MN足够长，MN上静置一物块Q，N处固定一竖直挡板，物块撞上挡板后以原速率反弹．物块P从A点出发，初速度vA沿切线方向向上，恰好能通过圆弧最高点B，并沿着圆弧轨道运动到C点，此时速度大小vC＝10 m/s．已知AO与竖直方向的夹角为53°，P、Q均可视为质点，质量分别为m1＝2 kg，m2＝8 kg，P、Q间的碰撞为弹性碰撞且碰撞始终发生在MN上，传送带长L＝10 m，物块P与传送带间的动摩擦因数μ＝0.4，取g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6．结果可用根式表示．
(1) 求物块P在A点时初速度vA的大小．
(2) 调整传送带的速度大小，求物块P第一次到达M点时速度大小的范围．
(3) 若传送带速度大小为10 m/s，求从P、Q第1次碰撞结束到第2 025次碰撞结束，物块P在传送带上运动的总时间t．
滑上传送带的物体获取初速度的过程常涉及动量定理和动量守恒定律．滑上传送带的物体在滑动过程中因滑动摩擦力做功，常涉及能量的转移或转化问题．与动量、能量有关的传送带模型往往是综合性较高的试题．
1．传送带问题的分析步骤与方法
2．划痕长度与摩擦生热的计算
若只有一个相对运动过程，划痕长度等于相对位移的大小；若有两个相对滑动过程，两过程相对位移方向相同时，划痕长度求和，相对位移方向不同时，划痕以长的为准．全过程产生的热量Q＝fs相对(s相对是相对路程，即相对位移绝对值的和)．
三、滑块—滑板情境下的力、能、动量问题
(2025·深圳一模)如图所示为一项冰上游戏设施，平台之间的水平冰面上有可滑动的小车，左右平台及小车上表面等高，小车紧靠左边平台．小孩坐在雪橇上(系有安全带)，静止在左边平台边缘处．现在家长施加推力，雪橇瞬时获得水平冲量I＝160 N·s滑上小车．小车在冰面上滑行了L2＝4 m的距离后与右侧平台碰撞并被锁定，雪橇最终停在右侧平台上．已知小孩和雪橇的总质量m＝20 kg，雪橇与小车上表面间的动摩擦因数μ1＝0.8，雪橇与右侧平台间的动摩擦因数μ2＝0.5．小车质量M＝20 kg，长度L1＝2.5 m．将雪橇视作质点，忽略冰面阻力，取g＝10 m/s2．求：
(1) 雪橇滑上小车时的速度．
(2) 小车碰撞右侧平台时的速度．
(3) 雪橇在右侧平台上滑行的距离．
1．“滑块—滑板”模型一般动量守恒、机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能．
2．求解方法
(1) 求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统．
(2) 求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体．
(3) 求系统产生的内能或相对位移：可根据能量守恒定律Q＝fx相对或Q＝E初－E末，研究对象为一个系统，x相对为相对滑动的两物体间相对滑动路径的总长度．
配套热练
题组练
题组一 弹簧情境下的力、能、动量问题
1．(2025·广州外国语学校模拟)(多选)如图甲所示，小球B与小球C用轻弹簧拴接，静放在光滑的水平地面上，此时弹簧处于原长，另有一小球A以8 m/s的初速度向右运动，t0时刻球A与球B碰撞瞬间粘在一起，碰后AB的v－t图像如图乙所示．经过Δt时间，弹簧第一次被压缩至最短．已知小球B的质量为3 kg，在Δt时间内C球的位移为0.25 m，弹簧的劲度系数k＝40 N/m，弹簧的弹性势能Ep＝(x为弹簧的形变量)，整个运动过程中弹簧始终在弹性限度内，小球均可视为质点．下列说法中正确的是( )
甲 乙
A．t0～t1间某一时刻弹簧第一次压缩至最短
B．t2时刻弹簧第一次恢复原长
C．Δt时间内，小球B的位移为 m
D．C球的质量为10 kg
2．(2025·佛山石门中学月考)如图所示，光滑的水平面AB与光滑竖直半圆轨道BCD在B点相切，轨道半径R＝0.4 m，D为轨道最高点．用轻质细线连接甲、乙两小球，中间夹一轻质弹簧，弹簧与甲、乙两球均不拴接．甲球的质量为m1＝0.1 kg，乙球的质量为m2＝0.2 kg，甲、乙两球静止．现固定甲球，烧断细线，乙球离开弹簧后进入半圆轨道恰好能通过D点．取g＝10 m/s2，甲、乙两球可看作质点．
(1) 求细线烧断前弹簧的弹性势能Ep．
(2) 若甲球不固定，烧断细线，求从烧断细线开始到乙球脱离弹簧的过程中，弹簧对乙球的冲量I的大小．(答案允许含根号)
3．(2025·广东省联考)如图所示，某实验小组为研究火箭单级推进与多级推进的区别，设计了如下简单模型：以轻质压缩弹簧代替推进剂的作用，研究单级推进与二级推进上升高度的不同．
方案一：将两根相同的轻弹簧并排连接在火箭下方，模拟火箭的单级推进，将两根弹簧进行同样的压缩，释放后火箭上升的最大高度为H．
方案二：将火箭整体分为质量相等的两级，将方案一中的两根轻弹簧分别连接在两级火箭的底部，将两级火箭上下叠放，并使两根轻弹簧发生与方案一中同样的形变，以此模拟火箭的二级推进过程．实验时，先释放一级火箭底部的弹簧进行一级推进，一级推进完成瞬间立即自动释放两级之间的压缩弹簧进行二级推进．假设火箭的总质量为m，弹簧的劲度系数很大，可瞬间弹开，弹簧和火箭的高度不计，忽略空气阻力的影响，火箭始终在同一竖直线上运动，重力加速度为g．求：
(1) 方案一中单根压缩弹簧储存的弹性势能Ep．
(2) 方案二中二级推进完成瞬间，一级火箭和二级火箭的速度大小v1、v2．
(3) 方案二中二级推进完成后，二级火箭继续上升的最大高度h．
题组二 传送带情境下的力、能、动量问题
4．(2025·广东省联考)如图所示为点心在流水线上的打包过程，点心师傅将加工好的质量m1＝0.1 kg的点心(看作质点)于倾斜直滑道上的P点静止释放，到Q点进入半径r＝0.25 m圆弧滑道，之后经M点沿水平方向抛出，刚好落入在传送带上匀速运动的质量m2＝0.05 kg的包装盒内．已知PQ段滑道长度l＝0.3 m，与水平面夹角为37°，倾斜滑道与圆弧滑道在Q点相切，点心经过M点时受到滑道的支持力FN＝2.6 N，sin 37°＝0.6，∠QOM＝37°，取g＝10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1) 点心滑至M点时的速度v0大小．
(2) 点心从P到M的运动过程中，克服摩擦力做的功W．
(3) 已知传送带速度大小为v＝4 m/s，包装盒与传送带间的动摩擦因数μ＝0.4，点心落入包装盒后不反弹，且在极短时间内与包装盒共速，若要求包装盒到达传送带右端前与传送带共速，求点心落入时包装盒到传送带右端距离的最小值s．
5．(2025·深圳、东莞、佛山部分学校联考)如图甲所示，一游戏装置由左端带有弹簧振子的光滑水平轨道、水平传送带以及足够长的光滑斜面三部分组成．弹簧振子由轻弹簧和质量M＝0.4 kg的振子A组成．弹簧振子的平衡位置O到传送带的左端P的距离L1＝3.0 m，传送带长L2＝4.5 m，且沿逆时针方向以速率v0匀速转动．v0的大小可调，右端通过可以忽略不计的光滑圆弧与斜面相连，斜面与水平面所成的夹角为θ＝30°．现将质量m＝0.1 kg的滑块B静置于O点，振子A压缩弹簧后，在t＝0时刻由静止开始释放，运动到O点与滑块B发生正碰，碰撞时间极短，碰后滑块B向右滑动，穿过传送带并滑上斜面，速度减为零后沿原路返回到O点．已知振子A开始运动一段时间的v－t图像如图乙所示，滑块B与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.4，振子A和滑块B均可视为质点，取g＝10 m/s2，≈0.38．
甲 乙
(1) 求碰撞后瞬间滑块B的速度大小vB以及弹簧振子的周期T．
(2) 若v0＝8 m/s，求滑块B向右穿过传送带的过程中产生的热量Q．
(3) 调节传送带的速度v0，发现滑块B回到O位置时，恰好与振子A迎面正碰，求整个过程中，振子A做了几次全振动．
题组三 滑块—滑板情境下的力、能、动量问题
6．(2025·茂名一中模拟)(多选)如图甲所示，一右端固定有竖直挡板的质量M＝2 kg的木板静置于光滑的水平面上，另一质量m＝1 kg的物块以v0＝6 m/s的水平初速度从木板的最左端冲上木板，最终物块与木板保持相对静止，物块和木板的运动速度随时间变化的关系图像如图乙所示，物块可视为质点，则下列说法中正确的是( )
甲 乙
A．图乙中v2的数值为4
B．物块与木板的碰撞为弹性碰撞
C．整个过程物块与木板之间因摩擦产生的热量为12 J
D．最终物块距木板左端的距离为3 m
7．(2025·茂名一中学月考)如图所示，MNP为一段光滑轨道，其中MN段是半径为R＝3 m的圆弧形轨道，M与圆心的连线与竖直方向夹角为53°．NP是水平足够长直轨道，MN与NP段在N点平滑连接．滑块A从距M点高度H＝0.8 m处水平抛出，恰好能从M点切入轨道．在水平轨道某位置静止放置一长L＝0.6 m的木板B，木板左右两侧各有一固定挡板．木板紧靠右挡板放置一滑块C．滑块A在NP轨道上与木板B发生碰撞．若A、B、C三者质量相等，滑块A、C均可视为质点，A与B之间、C与挡板之间的碰撞均为弹性碰撞．B、C之间的动摩擦因数为μ＝0.35，取g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求：
(1) 滑块A到达M点时的速度大小．
(2) 滑块A与木板B碰后木板的速度大小．
(3) 滑块C与左右两侧挡板碰撞的总次数．
增强练
1．(2025·湛江一中三模)图示为做“碰撞中的动量守恒”的实验装置．
(1) 入射小球每次都应从斜槽上的同一位置无初速度释放，这是为了__ __．
A．入射小球每次都能水平飞出槽口
B．入射小球每次都以相同的速度飞出槽口
C．入射小球在空中飞行的时间不变
D．入射小球每次都能发生对心碰撞
(2) 入射小球的质量应__ __(填“大于”、“等于”或“小于”)被碰小球的质量．
(3) 设入射小球的质量为m1，被碰小球的质量为m2，P为碰前入射小球落点的平均位置，则关系式m1＝__ __(用m1、m2及图中字母表示)成立，即表示碰撞中动量守恒．
2．(2025·江门培英高级中学模拟)在第四次“天宫课堂”中，航天员演示了“动量守恒”实验．受此启发，某同学使用如图甲所示的装置进行了碰撞实验，气垫导轨两端分别安装a、b两个位移传感器，a测量滑块A与它的距离xA，b测量滑块B与它的距离xB．部分实验步骤如下：
①测量两个滑块的质量，分别为200.0 g和400.0 g；②接通气源，调整气垫导轨水平；③拨动两滑块，使A、B均向右运动；④导出传感器记录的数据，绘制xA、xB随时间变化的图像，分别如图乙、图丙所示．
甲
乙 丙
(1) 从图像可知两滑块在t＝_ __s时发生碰撞．
(2) 滑块B碰撞前的速度大小v＝_ _m/s (结果保留两位有效数字)．
(3) 通过分析，得出质量为200.0 g的滑块是__ __(填“A”或“B”)．
3．如图甲所示是某兴趣小组设计的验证向心力大小表达式的实验装置原理图．用一刚性细绳悬挂一质量为m的小球，小球的下方连接一轻质的遮光片，细绳上方的悬挂点处安装有一个力传感器，悬挂点的正下方固定一个光电门，两装置连接到同一数据采集器上，可以采集小球经过光电门的遮光时间和此时细绳拉力的大小，重力加速度为g．实验过程如下：
甲 乙
①用刻度尺测量出悬挂点到球心的距离L．
②将小球拉升到一定高度(细绳始终伸直)后释放，记录小球第一次经过最低点时遮光片的遮光时间Δt和力传感器示数F．
③改变小球拉升的高度，重复步骤②，测6～10组数据．
④根据测量得到的数据在坐标纸上绘制图像．
⑤改变悬挂点到球心的距离L，重复上述步骤，绘制得到的图像如图乙所示．
(1) 图乙中图像横坐标表示的物理量为__ _[填“Δt”、“”或“”]．
(2) 理想情况下，图乙中各图像的延长线是否交于纵轴上的同一点？__ __(填“是”或“否”)．
(3) 图乙中A组实验所用细绳的长度与B组实验所用细绳长度之比为__ __．
(4) 将图乙的纵坐标改为__ __，则可以得到结论：向心力的大小与线速度的平方成正比．
(5) 由于遮光片位于小球的下方，图乙中的斜率与准确值相比__ __(填“偏大”、“偏小”或“不变”)．
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