综合提能四 电磁场、运动模型为靶向的情境问题
考向1 放缩圆模型
(2020·新课标Ⅰ)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径．一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( C )
A． B．
C． D．
【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动qBv＝， T＝，可得粒子在磁场中的周期T＝，粒子在磁场中运动的时间t＝·T＝，则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长；过c点做半圆的切线交于e点，如图所示，由图可知，粒子从e点离开时，轨迹对应的圆心角最大，在磁场中运动时间最长；由图中几何关系可知，此时轨迹对应的最大圆心角为θmax＝240°，则粒子在磁场中运动的最长时间为tmax＝T＝·＝，故选C．
考向2 带电粒子在交变电磁场中的运动
(2024·广东卷)如图甲所示．两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为U0、周期为t0的交变电压．金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场．磁感应强度大小为B．一带电粒子在t＝0时刻从左侧电场某处由静止释放，在t＝t0时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在t＝2t0时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在t＝3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场．已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m．忽略粒子所受的重力和场的边缘效应．
甲 乙
(1) 判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q．
(2) 求金属板的板间距离D和带电粒子在t＝t0时刻的速度大小v．
(3) 求从t＝0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W．
答案：(1) 正电 (2) π (3)
【解析】(1) 根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹结合左手定则可知，粒子带正电；粒子在磁场中运动的周期为T＝2t0
根据T＝
则粒子所带的电荷量q＝
(2) 若金属板的板间距离为D，则板长为，粒子在板间运动时，＝vt0
出电场时竖直速度为零，则竖直方向
y＝2··(0.5t0)2
在磁场中时qvB＝m，其中的y＝2r＝
联立解得D＝，v＝π
(3) 带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图所示，由(2)的计算可知金属板的板间距离D＝3r
则粒子在3t0时刻再次进入中间的偏转电场，在4t0时刻进入左侧的电场做减速运动，速度为零后反向加速，在6t0时刻再次进入中间的偏转电场时刻碰到上极板，因粒子在偏转电场中运动时，在时间t0内电场力做功为零，在左侧电场中运动时，往返一次电场力做功也为零，可知整个过程中只有开始进入左侧电场时电场力做功和最后0.5t0时间内电场力做功，则
W＝mv2＋Eq·＝＝
一、带电粒子在交变电场中的运动
(2025·湛江一中三模)(多选)如图甲所示，两个平行金属板P、Q正对且竖直放置，两金属板间加上如图乙所示的交流电压，t＝0时，P板的电势比Q板的电势高U0．在两金属板的正中央M点处有一电子(电子所受重力可忽略)在电场力作用下由静止开始运动，已知电子在0～4t0时间内未与两金属板相碰，则( AD )
甲 乙
A．t0～2t0时间内，电子的动能减小
B．3t0时刻，电子的电势能最大
C．0～4t0时间内，电子运动的方向不变
D．3t0～4t0时间内，电子运动的速度方向向右，且速度逐渐减小
【解析】在0～t0时间内，电场方向水平向右，电子所受电场力方向向左，所以电子向左做匀加速直线运动；在t0～2t0时间内，电场方向水平向左，电子所受电场力方向向右，电子向左做匀减速直线运动，电场力做负功，电子的电势能增加，动能减小，A正确；2t0时刻电子的速度为零，在2t0～3t0时间内，电场方向水平向左，电子所受电场力方向向右，电子向右做初速度为零的匀加速直线运动，运动方向发生改变，3t0时刻速度最大，动能最大，电势能并不是最大，B、C错误；在3t0～4t0时间内，电场方向水平向右，电子的加速度方向向左，电子向右做匀减速直线运动，到4t0时刻速度为零，恰好又回到M点，D正确．
1．研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确地判断粒子的运动情况．根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等．
2．注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子运动时间上的周期性和空间上的对称性，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件．
3．对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动．
二、放缩圆、旋转圆、平移圆模型
(2025·佛山质量检测二)如图所示，边长为L的正方形abcd区域内有匀强磁场，ad边中点处O有一粒子源，向磁场内各方向均匀发射速率均为v0的电子，ab边恰好没有电子射出，已知电子质量为m，电荷量大小为e，则( D )
A．bc边有电子射出
B．磁感强度大小为
C．从ad边射出的电子在磁场中运动的最长时间为
D．从cd边射出的电子数和从ad边射出的电子数比值为5∶1
【解析】ab边恰好没有电子射出，轨迹如图甲所示，根据洛伦兹力提供向心力有ev0B＝，r＝，所以B＝，由于电子射入的速度大小不变，方向改变，则轨迹半径不变，根据旋转圆模型可知，bc边没有电子射出，A、B错误；从ad边射出的电子在磁场中运动的时间最长时轨迹如图乙所示，根据几何关系可知，圆心角θ＝60°，所以最长时间为t＝T＝·＝，C错误；由以上分析可知，当粒子恰好经过d点时，其入射速度方向与ad边的夹角为30°，所以从cd边射出的电子数和从ad边射出的电子数比值为 ＝，D正确．
甲 乙
(2025·珠海实验等五校模拟)如图所示，在直角坐标系xOy中，y>0区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝，y<0区域内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度为E．质量为m、电荷量为＋q的粒子从a(0，－L)出发，初速度方向沿x轴正方向，经过一段时间后从b(2L，0)处第一次进入磁场．粒子运动过程中，只考虑其受到电场和磁场的作用力．求：
(1) 带电粒子初速度v0的大小．
(2) 带电粒子第一次从磁场返回电场的位置．
(3) 带电粒子从出发到第二次经过b点所用时间．
答案：(1) (2) (3) (5＋3π)
【解析】(1) 带电粒子在电场中做类平抛运动
qE＝ma，L＝，2L＝v0t1
联立解得v0＝
(2) 设粒子第一次进入磁场时的速度为v，与x轴正方向夹角为θ，则v＝，vy＝at1，tan θ＝
粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为R，则qvB＝
解得θ＝，v＝2，R＝L
由此可知粒子在第一次返回电场前的运动轨迹如图甲所示
甲
乙
由几何关系可知bc＝R，故粒子第一次从磁场返回电场的位置为
(3) 粒子在磁场中运动的时间设为t2，故t2＝
粒子第一次返回电场，做逆向类平抛运动到达d点，与粒子从a运动到b所用时间相同
由几何关系可知，d点在a点右侧2L－L＝L的位置
此后粒子做相似的运动，每次向右移动L，如图乙所示
设粒子从出发到第二次经过b点所用时间为t，则
t＝5t1＋3t2
解得t＝(5＋3π)
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界状态(一般是粒子运动轨迹与磁场边界相切或轨迹半径达到最大)，常用方法如下：
放缩圆 旋转圆 平移圆
适用条件 粒子速度方向一定，速度大小不同 粒子的速度大小一定，轨迹半径一定，速度方向不同 粒子的速度大小、方向均一定，从同一直线边界进入匀强磁场的入射点位置不同
运动分析 以入射点P为定点，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件． 将半径为R＝的圆进行平移(轨迹圆的所有圆心在一条直线上)
图例
三、带电粒子在交变电磁场中的运动
(2025·广州执信中学检测) 如图甲所示，整个空间存在竖直向上的匀强电场(平行于纸面)，在同一水平线上的两位置，以相同速率同时喷出质量均为m的油滴a和b，带电荷量为＋q的a水平向右，不带电的b竖直向上．b上升高度为h时，到达最高点，此时a恰好与它相碰，瞬间结合成油滴p．忽略空气阻力，重力加速度为g．
甲 乙
(1) 求油滴b竖直上升的时间及两油滴喷出位置的距离．
(2) 求匀强电场的场强及油滴a、b结合为p后瞬间的速度．
(3) 若油滴p形成时恰位于某矩形区域边界，取此时为t＝0时刻，同时在该矩形区域加一个垂直于纸面的周期性变化的匀强磁场，磁场变化规律如图乙所示，磁场变化周期为T0(垂直纸面向外为正)，已知p始终在矩形区域内运动，求矩形区域的最小面积．(忽略磁场突变的影响)
答案：(1) 2h (2) ， 方向向右上，与水平方向夹角为45°
【解析】(1) 设油滴的喷出速率为v0，则油滴b做竖直上抛运动，有0＝－2gh
解得v0＝
结合0＝v0－gt0
解得t0＝
对油滴a的水平运动，有x0＝v0t0
解得x0＝2h
(2) 两油滴结合之前，油滴a做类平抛运动，设加速度为a，有qE－mg＝ma，h＝
解得a＝g，E＝
设油滴a的喷出速率为v0，结合前瞬间油滴a速度大小为va，方向向右上与水平方向夹θ角，则
v0＝vacos θ，v0tan θ＝at0
解得va＝2，θ＝45°
两油滴的结合过程动量守恒，有mva＝2mvp
联立各式解得vp＝，方向向右上，与水平方向夹45°角
(3) 因qE＝2mg，油滴p在磁场中做匀速圆周运动，设半径为r，周期为T，则
由qvp＝ 得r＝
由T＝ 得T＝
即油滴p在磁场中的运动轨迹是两个外切圆组成的“8”字形．
最小矩形的两条边长分别为2r、4r(轨迹如图所示)．最小矩形的面积为smin＝2r×4r＝
解题思路
四、带电粒子在复合场中的复杂运动
(2025·广州一模)如图所示，半径为R和2R的同心圆a、b将足够大的空间分隔为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域，圆心为O．Ⅰ区存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场；Ⅱ区存在沿半径方向向外的辐向电场；Ⅲ区存在方向垂直纸面向外的匀强磁场(图中未标出)．一带电粒子从P点沿半径方向以速度v0射入Ⅰ区，偏转后从K点离开Ⅰ区，穿过Ⅱ区后，以速率进入Ⅲ区．已知∠POK＝60°，忽略带电粒子所受重力．
(1) 判断粒子的电性并求出其比荷 ．
(2) 求a、b之间的电势差Uab．
(3) 若粒子第三次从Ⅱ区进入Ⅲ区之前能经过P点，求Ⅲ区磁场磁感应强度大小．
答案：(1) 负电 (2) BRv0 (3) 见解析
【解析】(1) 粒子从P点沿半径方向射入Ⅰ区，偏转后从K点离开Ⅰ区，根据左手定则可知，粒子带负电．设带电粒子所带电荷量为－q，粒子在Ⅰ区做匀速圆周运动的半径为r，作出粒子运动轨迹如图甲所示，根据几何关系有r＝R tan
粒子在Ⅰ区做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qv0B＝
解得 ＝
(2) 带电粒子在Ⅱ区做减速直线运动，根据动能定理有－qUab＝m－
结合上述解得Uab＝BRv0
(3) 带电粒子在Ⅲ区运动，设轨迹半径为r1，Ⅲ区磁场磁感应强度大小Bx，则有qBx·＝m
结合上述解得Bx＝
作出粒子运动轨迹，如图甲所示
设粒子在b圆面上N1射入Ⅲ区，在N2点离开Ⅲ区，令∠N1ON2＝θ，在Ⅰ区内运动k1次，Ⅲ区内运动k2次后，回到P点，则有k1·60°＝k2θ(k1、k2均为正整数，且有k2≤2，θ≥60°)
可知，粒子运动轨迹有三种可能性．
情况①：当k1＝1，k2＝1时，θ＝60°时，带电粒子在Ⅲ区运动后，沿PO方向直接进入Ⅱ区时，运动轨迹如图乙所示
根据几何关系有 ＝tan
结合上述解得r1＝R，Bx＝B
情况②：当k1＝2，k2＝1时，θ＝120°，带电粒子在Ⅲ区运动后，进入Ⅱ区，又在Ⅰ区运动后，沿OP方向回到P点时，运动轨迹如图丙所示
根据几何关系有＝tan
结合上述解得r1＝2R，Bx＝B
情况③：当k1＝3，k2＝2时，θ＝90°，带电粒子两次进入Ⅲ区，又在Ⅰ区运动后，沿OP方向回到P点时，轨迹如图丁所示
根据几何关系有r1＝2R，结合上述解得Bx＝B
甲 乙
丙
丁
1．分析思路
(1) 画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图．
(2) 找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．
(3) 划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理．
2．处理方法
配套热练
题组练
题组一 带电粒子在交变电场中的运动
1．(2025·深圳外国语学校一模)匀强电场的电场强度E随时间t变化的图像如图所示．当t＝0时．在此匀强电场中由静止释放一个带正电的粒子，带电粒子只受静电力的作用，下列说法中正确的是( D )
A．带电粒子将做往复运动
B．3 s末带电粒子回到原出发点
C．3 s末带电粒子的速度不为零
D．前3 s内，静电力做的总功为零
【解析】 带电粒子由静止释放后，在0～2 s时间内，由牛顿第二定律可知粒子的加速度大小为a1＝，在2～3 s时间内，粒子的加速度大小为a2＝，可知粒子由静止先以a1加速度大小加速2 s，再以a2加速度大小减速1 s，由于a2＝2a1，可知3 s末粒子速度为零；同理在3～5 s时间内由静止又以a1加速度大小加速2 s，再以a2加速度大小减速1 s，此时粒子速度是零，因此粒子在0～6 s时间内，带电粒子将始终向同一个方向运动，其速度—时间图像如图所示，A错误；
由带电粒子的速度—时间图像可知，带电粒子将始终向同一个方向运动，因此3 s末带电粒子回不到原出发点，B错误；由带电粒子的速度—时间图像可知，3 s末带电粒子的速度是零，C错误；在前3 s内，由动能定理可知W＝ΔEk＝0－0＝0，前3 s内，静电力做的总功是零，D正确．
2．(2024·广州二模)在真空中存在着方向竖直向上、足够大且周期性变化的匀强电场E．将一个质量为m、电荷量为q的小球(可视为质点)t＝0时刻由静止释放，小球开始以g的加速度向上运动．已知电场的周期为T＝2t0，规定竖直向上为正方向，重力加速度为g，求：
(1) 匀强电场E的大小．
(2) t＝3t0时小球的速度．
(3) 小球在0～2.5t0时间内机械能的变化量ΔE．
答案：(1) (2) －gt0
【解析】 (1) 有电场时，由牛顿第二定律得
qE－mg＝m·g
解得E＝
(2) 当t＝t0时，小球速度为v1＝gt0
当t＝2t0时，小球速度为v2＝v1－gt0＝－gt0
当t＝3t0时，小球速度为
v3＝v2＋at0＝－gt0＋gt0＝－gt0
(3) 0～t0内小球的位移为
h1＝＝，方向向上
0～t0内小球机械能变化量为ΔE1＝qEh1
2t0～2.5t0内小球的位移为
h2＝v2·t0＋·g·2＝，方向向下
2t0～2.5t0内小球机械能变化量为ΔE2＝qEh2
则0～2.5t0内小球机械能变化量为
ΔE＝ΔE1＋ΔE2＝
题组二 放缩圆、旋转圆、平移圆模型
3．(2025·揭阳惠来一中学三模)如图所示，横截面为正方形abcd的有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．一束电子以大小不同、方向垂直ad边界的速度飞入该磁场．对于从不同边界射出的电子，下列说法中错误的是( B )
A．从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等
B．从c点离开的电子在磁场中运动时间最长
C．电子在磁场中运动的速度偏转角最大为π
D．从bc边射出的电子的速度一定大于从ad边射出的电子的速度
【解析】 电子的速率不同，运动轨迹半径不同，如图所示，由周期公式T＝可知，周期与电子的速率无关，所以在磁场中的运动周期相同，根据t＝T可得电子在磁场中运动时间与轨迹对应的圆心角成正比，所以电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角θ越大，故从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等且运动时间最长，A、C正确，B错误；
从bc边射出的电子的轨道半径大于从ad边射出的电子的轨道半径，由半径公式r＝可得轨迹半径与速率成正比，则电子的速率越大，在磁场中的运动轨迹半径越大，故从bc边射出的电子的速度一定大于从ad边射出的电子的速度，D正确．
4．(2024·茂名第二次综合测试)在如图所示的竖直平面xOy中，一质量为m、电荷量为＋q的带电小球沿x轴正方向以初速度v0＝从A点射入第一象限，第一象限有竖直向上的匀强电场E1＝，小球偏转后打到x轴上的C(L，0)点，x轴下方有匀强电场E2(图中未画出)，第三、四象限有垂直于纸面向外、磁感应强度大小不同的匀强磁场，小球在x轴下方做匀速圆周运动，已知第四象限匀强磁场的磁感应强度大小为，重力加速度大小为g．
(1) 求x轴下方匀强电场的电场强度E2．
(2) 求带电小球在C点的速度vc．
(3) 若第三象限匀强磁场的磁感应强度大小为 ，求粒子从C点运动到P(0，－3L)点所用的时间．
答案：(1) 方向竖直向上 (2) 与x轴正方向成60°斜向下 (3) 或
【解析】 (1) 小球在x轴下方做匀速圆周运动，则mg＝qE2
解得E2＝，方向竖直向上
(2) 小球在第一象限做类平抛运动，根据牛顿第二定律a＝
可得a＝
水平方向t＝，可得t＝
竖直方向vy＝at，可得vy＝
根据运动的合成vC＝，可得vC＝
根据几何关系tan θ＝，可得θ＝60°
即vC方向与x轴正方向成60°斜向下
(3) 小球在第四象限内做匀速圆周运动，运动半径为r4
则qvCB4＝，解得r4＝2L
设粒子运动的周期为T4，则T4＝
解得T4＝2π
甲 乙
如图甲所示，由几何关系可知，粒子从C到P偏转圆心角为，此过程运动时间为
t1＝T4＝
粒子经P点进入第三象限后，设运动半径为r3，则
qvCB3＝，解得r3＝L
设粒子运动的周期为T3，则T3＝
解得T3＝π
如图乙所示，粒子从P点再回到P点所用时间为
t2＝T4＋T3＝2π
粒子从C点运动到P点所用的时间为
t1＋t2＝
故粒子从C点运动到P点所用的时间为
题组三 带电粒子在交变电磁场中的运动
5．(2025·深圳外国语学校二模)图甲为早期的电视机显像管工作原理示意图，阴极K发射的电子束(初速度不计)经电压为U的加速电场后，进入一半径为R的圆形磁场区，磁场方向垂直圆面．荧光屏MN到磁场区中心O的距离为L，当不加磁场时，电子束打到荧光屏的中心P点，当磁感应强度随时间按图乙所示的规律变化时，在荧光屏上得到一条长为2L的亮线．因电子穿过磁场区域时间很短，电子通过磁场区的过程中磁感应强度可看作不变，已知电子的电荷量为e，质量为m，不计电子之间的相互作用及所受的重力．求：
甲 乙
(1) 电子离开加速电场时速度大小v．
(2) 磁场的磁感应强度B0大小．
(3) 当磁场的磁感应强度为B0时，电子在磁场中运动时间t．
答案：(1) (2) (3) πR
【解析】 (1) 电子经过加速电场，有eU＝mv2
解得v＝
(2) 依题意可知，电子的轨迹如图所示，由几何关系可得tan 2θ＝＝，r＝＝R
根据洛伦兹力提供圆周运动的向心力可知evB0＝
整理可得B0＝
(3) 根据圆周运动周期与线速度关系式，可知T＝
又t＝T，联立可得t＝πR
6．(2025·茂名一模)如图甲所示是一款治疗肿瘤的质子治疗仪工作原理示意图，质子经加速电场后沿水平方向进入速度选择器，再经过磁分析器和偏转系统后，定向轰击肿瘤．已知速度选择器中电场强度的大小为E、方向竖直向上，磁感应强度大小为B1、方向垂直纸面向外，磁分析器截面的内外半径分别为R1和R2，入口端面竖直，出口端面水平，两端中心位置M和N处各有一个小孔．偏转系统下边缘与肿瘤所在平面距离为L，偏转系统截面高度与宽度均为H．当偏转系统不工作时，质子恰好垂直轰击肿瘤靶位所在平面上的O点；当偏转系统施加如图乙所示变化电压后，质子轰击点将发生变化且偏转电压达到峰值U0(或－U0)时质子恰好从偏转系统下侧边缘离开(质子通过偏转系统时间极短，此过程偏转电压可视为不变)，已知整个系统置于真空中，质子电荷量为q、质量为m．
甲
乙
(1) 求质子到达M点速度大小．
(2) 要使质子垂直于磁分析器下端边界从孔N离开，请判断磁分析器中磁场方向，并求磁感应强度B2的大小．
(3) 在一个电压变化周期内，质子轰击肿瘤宽度是多少？实际治疗过程中发现轰击宽度小于肿瘤宽度，若只改变某一物理参数达到原宽度，如何调节该物理参数？
答案：(1) (2) (3) 2L＋H，增加L
【解析】 (1) 质子匀速通过速度选择器，受力平衡qE＝qvB1
可得v＝
(2) 在磁分析器中做匀速圆周运动，由题图可知r＝
洛伦兹力提供向心力有qvB2＝m
可得B2＝
(3) 在偏转系统中质子做类平抛运动，当偏转电压为U0时质子恰好从偏转系统下侧边缘离开
有H＝vt，＝at2
根据牛顿第二定律有q＝ma
根据速度的分解有tan θ＝
解得θ＝45°
离开偏转系统后，质子做匀速直线运动tan θ＝
解得x＝L
故质子轰击肿瘤宽度是S＝2L＋H
可知增加L，可以增加质子轰击肿瘤宽度
题组四 带电粒子在复合场中的复杂运动
7．(2025·广东省三模)如图所示，在直角坐标系xOy中，y轴竖直，O、A两点间的距离为L，θ＝30°．第一象限内有方向垂直坐标平面水平向里的匀强磁场和沿x轴负方向的匀强电场，第三象限内有方向垂直坐标平面水平向外的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，第四象限内有方向沿x轴正方向的匀强电场．一质量为m、电荷量为q的带负电小球从A点以大小v0＝(g为重力加速度大小)的初速度沿AO做直线运动，小球通过O点后在第三象限内做匀速圆周运动，恰好通过坐标为(0，－L)的B点．已知第四象限内电场的电场强度大小E＝，不计空气阻力．
(1) 求第一象限内磁场的磁感应强度大小B1以及第三象限内磁场的磁感应强度大小B2．
(2) 求小球从通过O点(第一次通过y轴)到第三次通过y轴所用的时间t及其在第四象限内运动的过程中到y轴的最大距离xm．
(3) 若仅将第一象限内的电场撤去，让小球从O、A两点连线的延长线上的P点(图中未画出)以大小v0＝的初速度沿AO方向射出，要使小球射出后在第一象限内(不包括坐标轴)运动的过程中存在小球的速度方向水平的时刻，求O、P两点间的距离L′应满足的条件．
答案：(1) (2) L (3) L′>L
【解析】 (1) 经分析可知，小球的运动轨迹如图所示
小球在第一象限内做匀速直线运动，根据物体的平衡条件有mg＝qv0B1cos θ，解得B1＝
设小球在第三象限内做匀速圆周运动的轨迹半径为r，根据几何关系有L＝rcos θ
洛伦兹力提供小球做匀速圆周运动所需的向心力，有
qv0B2＝，解得B2＝
(2) 小球从O点运动到B点所用的时间t1＝
解得t1＝
设小球通过B点时所受合力的方向与竖直向下方向的夹角为α，有tan α＝，解得α＝30°
可见小球所受合力的方向与小球通过B点时的速度方向垂直，小球在第四象限内做类平抛运动，设小球在第四象限内运动的加速度大小为a，有＝ma
设小球从B点运动到再次通过y轴时所用的时间为t2，有＝tan α，解得t2＝3
又t＝t1＋t2，解得t＝
将小球通过B点时的速度沿水平方向和竖直方向分解，当小球沿水平方向的分速度为零时，小球到y轴的距离最大，有
(v0cos α)2＝2axxm，其中ax＝
解得xm＝L
(3) 小球的初速度沿水平和竖直方向的分量大小分别为
v1＝v0cos θ＝，v2＝v0sin θ＝
经计算可知qv1B1＝mg
因为R＝＝L所以小球的运动可分解为大小为v1、方向水平向左的匀速直线运动和大小为v2、沿顺时针方向的匀速圆周运动，小球做匀速圆周运动的周期T＝，解得T＝π
设小球通过y轴时的速度方向恰好第一次水平，则此种情况下小球从P点运动到y轴的时间t0＝
设此种情况下O、P两点间的距离为L0，有L0cos θ＝v1t0＋R
解得L0＝L
因此O、P两点间的距离L′应满足的条件为
L′>L
增强练
1．(2025·广州二模)(多选)图甲是研究电容器充、放电和电磁振荡的电路图．先将开关接到1，待电路稳定后，t＝0时刻将开关接到2或3，利用电流传感器可得到i－t图像，下列说法中正确的有( AC )
甲
A．将开关接到2，可得到图乙(a)图像
B．将开关接到2，可得到图乙(b)图像
C．将开关接到3，可得到图乙(c)图像
D．将开关接到3，可得到图乙(d)图像
【解析】 先将开关接到1，待电路稳定后，电容器充满电．将开关接到2形成振荡电路，电容器开始放电，自感线圈阻碍电流变大，所以电流逐渐变大，图乙(a)图像正确，A正确，B错误；将开关接到3，放电开始时电流达到最大值，电流随时间按指数规律递减，放电结束时电流理论上趋近于零，图乙(c)图像正确，C正确，D错误．
2．(2025·汕头二模)学习小组利用手机和自行车探究圆周运动的相关知识．已知手机的加速度传感器可以测量x、y、z三个方向的加速度值(如图甲所示)，将自行车架起，手机固定在自行车后轮轮毂上(如图乙所示) ，轮胎厚度不计，转动踏板，后轮带动手机在竖直面内做圆周运动．
甲 乙
(1) 若加速转动踏板，则手机可测到哪些方向的加速度值不为零？__A__
A．x、y方向的加速度值
B．x、z方向的加速度值
C．y、z方向的加速度值
(2) 利用Phyphox软件可以直接作出向心加速度an与角速度ω的关系图像，为了直观判断它们的关系，应让软件作出an－__ω2__(填“ω”或“ω2”)图像．
(3) 若由(2) 所作图像测出斜率为k，已知自行车后轮半径为R，则手机的加速度传感器到轮胎边缘的距离为__R－k__(用题中符号表示)，查阅相关资料得知该手机使用的加速度传感器质量为m，当后轮角速度为ω0时，则手机的加速度传感器做圆周运动的向心力Fn＝__mω2k__(用题中符号表示)．
【解析】 (1) 后轮带动手机在竖直面内做圆周运动，加速度在竖直平面内，故x、y方向的加速度值不为零，z方向的加速度值为零．故选A．
(2) 根据an＝ω2r可知，an－ω2图像为直线，an－ω为曲线，应让软件作出an－ω2图像能直观地判断它们的关系．
(3) 由(2)所作图像测出斜率k等于手机到后轮圆心的距离，故手机的加速度传感器到轮胎边缘的距离为R－k．
手机的加速度传感器做圆周运动的向心力Fn＝mω2k．
3．(2025·揭阳惠来一中三模)下列是《普通高中物理课程标准》中列出的必做实验的部分内容，请完成下列填空：
(1) 在“探究平抛运动的特点”实验中：
甲 乙
①用图甲装置进行探究，下列说法中正确的是( B )
A．只能探究平抛运动水平分运动的特点
B．需改变小锤击打的力度，多次重复实验
C．能同时探究平抛运动水平、竖直分运动的特点
②用图乙装置进行实验，下列说法中正确的是( C )
A．斜槽轨道M必须光滑且其末端水平
B．上下调节挡板N时必须每次等间距移动
C．小钢球从斜槽M上同一位置静止滚下
(2) 某实验小组在“用单摆测重力加速度”的实验中，测量小球的直径，某次读数为10.10 mm，则所选用的测量仪器与图丙中__B__(填“A”、“B”或“C”)一致．
【解析】 (1) ①利用图甲装置将做平抛运动的小球与做自由落体运动的小球作对比，该实验只能说明平抛运动的竖直方向的运动情况，不能反映平抛运动的水平方向运动情况．实验时，需要改变小锤的击打力度，多次重复实验．故选B．
②用图乙装置进行实验，为了保证从斜槽末端水平飞出的速度大小相等，小钢球必须从同一位置静止滚下，斜槽不必光滑，但末端必须水平，A错误，C正确；挡板的作用是为了方便确定小球的运动位置，没有必要每次等间距移动，B错误．
(2) 由图可知，A为10分度的游标卡尺，分度值为0.1 mm，且不需要估读，则不可能读出10.10 mm，A错误；由图可知，B为20分度的游标卡尺，分度值为0.05 mm，且不需要估读，则可能读出10.10 mm，B正确；由图可知，C为螺旋测微器，分度值为0.01 mm，需要估读到分度值的下一位，则不可能读出10.10 mm，C错误．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)综合提能四 电磁场、运动模型为靶向的情境问题
考向1 放缩圆模型
(2020·新课标Ⅰ)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径．一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A． B．
C． D．
考向2 带电粒子在交变电磁场中的运动
(2024·广东卷)如图甲所示．两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为U0、周期为t0的交变电压．金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场．磁感应强度大小为B．一带电粒子在t＝0时刻从左侧电场某处由静止释放，在t＝t0时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在t＝2t0时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在t＝3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场．已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m．忽略粒子所受的重力和场的边缘效应．
甲 乙
(1) 判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q．
(2) 求金属板的板间距离D和带电粒子在t＝t0时刻的速度大小v．
(3) 求从t＝0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W．
一、带电粒子在交变电场中的运动
(2025·湛江一中三模)(多选)如图甲所示，两个平行金属板P、Q正对且竖直放置，两金属板间加上如图乙所示的交流电压，t＝0时，P板的电势比Q板的电势高U0．在两金属板的正中央M点处有一电子(电子所受重力可忽略)在电场力作用下由静止开始运动，已知电子在0～4t0时间内未与两金属板相碰，则( )
甲 乙
A．t0～2t0时间内，电子的动能减小
B．3t0时刻，电子的电势能最大
C．0～4t0时间内，电子运动的方向不变
D．3t0～4t0时间内，电子运动的速度方向向右，且速度逐渐减小
1．研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确地判断粒子的运动情况．根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等．
2．注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子运动时间上的周期性和空间上的对称性，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件．
3．对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动．
二、放缩圆、旋转圆、平移圆模型
(2025·佛山质量检测二)如图所示，边长为L的正方形abcd区域内有匀强磁场，ad边中点处O有一粒子源，向磁场内各方向均匀发射速率均为v0的电子，ab边恰好没有电子射出，已知电子质量为m，电荷量大小为e，则( )
A．bc边有电子射出
B．磁感强度大小为
C．从ad边射出的电子在磁场中运动的最长时间为
D．从cd边射出的电子数和从ad边射出的电子数比值为5∶1
(2025·珠海实验等五校模拟)如图所示，在直角坐标系xOy中，y>0区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝，y<0区域内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度为E．质量为m、电荷量为＋q的粒子从a(0，－L)出发，初速度方向沿x轴正方向，经过一段时间后从b(2L，0)处第一次进入磁场．粒子运动过程中，只考虑其受到电场和磁场的作用力．求：
(1) 带电粒子初速度v0的大小．
(2) 带电粒子第一次从磁场返回电场的位置．
(3) 带电粒子从出发到第二次经过b点所用时间．
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界状态(一般是粒子运动轨迹与磁场边界相切或轨迹半径达到最大)，常用方法如下：
放缩圆 旋转圆 平移圆
适用条件 粒子速度方向一定，速度大小不同 粒子的速度大小一定，轨迹半径一定，速度方向不同 粒子的速度大小、方向均一定，从同一直线边界进入匀强磁场的入射点位置不同
运动分析 以入射点P为定点，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件． 将半径为R＝的圆进行平移(轨迹圆的所有圆心在一条直线上)
图例
三、带电粒子在交变电磁场中的运动
(2025·广州执信中学检测) 如图甲所示，整个空间存在竖直向上的匀强电场(平行于纸面)，在同一水平线上的两位置，以相同速率同时喷出质量均为m的油滴a和b，带电荷量为＋q的a水平向右，不带电的b竖直向上．b上升高度为h时，到达最高点，此时a恰好与它相碰，瞬间结合成油滴p．忽略空气阻力，重力加速度为g．
甲 乙
(1) 求油滴b竖直上升的时间及两油滴喷出位置的距离．
(2) 求匀强电场的场强及油滴a、b结合为p后瞬间的速度．
(3) 若油滴p形成时恰位于某矩形区域边界，取此时为t＝0时刻，同时在该矩形区域加一个垂直于纸面的周期性变化的匀强磁场，磁场变化规律如图乙所示，磁场变化周期为T0(垂直纸面向外为正)，已知p始终在矩形区域内运动，求矩形区域的最小面积．(忽略磁场突变的影响)
解题思路
四、带电粒子在复合场中的复杂运动
(2025·广州一模)如图所示，半径为R和2R的同心圆a、b将足够大的空间分隔为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域，圆心为O．Ⅰ区存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场；Ⅱ区存在沿半径方向向外的辐向电场；Ⅲ区存在方向垂直纸面向外的匀强磁场(图中未标出)．一带电粒子从P点沿半径方向以速度v0射入Ⅰ区，偏转后从K点离开Ⅰ区，穿过Ⅱ区后，以速率进入Ⅲ区．已知∠POK＝60°，忽略带电粒子所受重力．
(1) 判断粒子的电性并求出其比荷 ．
(2) 求a、b之间的电势差Uab．
(3) 若粒子第三次从Ⅱ区进入Ⅲ区之前能经过P点，求Ⅲ区磁场磁感应强度大小．
1．分析思路
(1) 画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图．
(2) 找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．
(3) 划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理．
2．处理方法
配套热练
题组练
题组一 带电粒子在交变电场中的运动
1．(2025·深圳外国语学校一模)匀强电场的电场强度E随时间t变化的图像如图所示．当t＝0时．在此匀强电场中由静止释放一个带正电的粒子，带电粒子只受静电力的作用，下列说法中正确的是( )
A．带电粒子将做往复运动
B．3 s末带电粒子回到原出发点
C．3 s末带电粒子的速度不为零
D．前3 s内，静电力做的总功为零
2．(2024·广州二模)在真空中存在着方向竖直向上、足够大且周期性变化的匀强电场E．将一个质量为m、电荷量为q的小球(可视为质点)t＝0时刻由静止释放，小球开始以g的加速度向上运动．已知电场的周期为T＝2t0，规定竖直向上为正方向，重力加速度为g，求：
(1) 匀强电场E的大小．
(2) t＝3t0时小球的速度．
(3) 小球在0～2.5t0时间内机械能的变化量ΔE．
题组二 放缩圆、旋转圆、平移圆模型
3．(2025·揭阳惠来一中学三模)如图所示，横截面为正方形abcd的有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．一束电子以大小不同、方向垂直ad边界的速度飞入该磁场．对于从不同边界射出的电子，下列说法中错误的是( )
A．从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等
B．从c点离开的电子在磁场中运动时间最长
C．电子在磁场中运动的速度偏转角最大为π
D．从bc边射出的电子的速度一定大于从ad边射出的电子的速度
4．(2024·茂名第二次综合测试)在如图所示的竖直平面xOy中，一质量为m、电荷量为＋q的带电小球沿x轴正方向以初速度v0＝从A点射入第一象限，第一象限有竖直向上的匀强电场E1＝，小球偏转后打到x轴上的C(L，0)点，x轴下方有匀强电场E2(图中未画出)，第三、四象限有垂直于纸面向外、磁感应强度大小不同的匀强磁场，小球在x轴下方做匀速圆周运动，已知第四象限匀强磁场的磁感应强度大小为，重力加速度大小为g．
(1) 求x轴下方匀强电场的电场强度E2．
(2) 求带电小球在C点的速度vc．
(3) 若第三象限匀强磁场的磁感应强度大小为 ，求粒子从C点运动到P(0，－3L)点所用的时间．
题组三 带电粒子在交变电磁场中的运动
5．(2025·深圳外国语学校二模)图甲为早期的电视机显像管工作原理示意图，阴极K发射的电子束(初速度不计)经电压为U的加速电场后，进入一半径为R的圆形磁场区，磁场方向垂直圆面．荧光屏MN到磁场区中心O的距离为L，当不加磁场时，电子束打到荧光屏的中心P点，当磁感应强度随时间按图乙所示的规律变化时，在荧光屏上得到一条长为2L的亮线．因电子穿过磁场区域时间很短，电子通过磁场区的过程中磁感应强度可看作不变，已知电子的电荷量为e，质量为m，不计电子之间的相互作用及所受的重力．求：
甲 乙
(1) 电子离开加速电场时速度大小v．
(2) 磁场的磁感应强度B0大小．
(3) 当磁场的磁感应强度为B0时，电子在磁场中运动时间t．
6．(2025·茂名一模)如图甲所示是一款治疗肿瘤的质子治疗仪工作原理示意图，质子经加速电场后沿水平方向进入速度选择器，再经过磁分析器和偏转系统后，定向轰击肿瘤．已知速度选择器中电场强度的大小为E、方向竖直向上，磁感应强度大小为B1、方向垂直纸面向外，磁分析器截面的内外半径分别为R1和R2，入口端面竖直，出口端面水平，两端中心位置M和N处各有一个小孔．偏转系统下边缘与肿瘤所在平面距离为L，偏转系统截面高度与宽度均为H．当偏转系统不工作时，质子恰好垂直轰击肿瘤靶位所在平面上的O点；当偏转系统施加如图乙所示变化电压后，质子轰击点将发生变化且偏转电压达到峰值U0(或－U0)时质子恰好从偏转系统下侧边缘离开(质子通过偏转系统时间极短，此过程偏转电压可视为不变)，已知整个系统置于真空中，质子电荷量为q、质量为m．
甲
乙
(1) 求质子到达M点速度大小．
(2) 要使质子垂直于磁分析器下端边界从孔N离开，请判断磁分析器中磁场方向，并求磁感应强度B2的大小．
(3) 在一个电压变化周期内，质子轰击肿瘤宽度是多少？实际治疗过程中发现轰击宽度小于肿瘤宽度，若只改变某一物理参数达到原宽度，如何调节该物理参数？
题组四 带电粒子在复合场中的复杂运动
7．(2025·广东省三模)如图所示，在直角坐标系xOy中，y轴竖直，O、A两点间的距离为L，θ＝30°．第一象限内有方向垂直坐标平面水平向里的匀强磁场和沿x轴负方向的匀强电场，第三象限内有方向垂直坐标平面水平向外的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，第四象限内有方向沿x轴正方向的匀强电场．一质量为m、电荷量为q的带负电小球从A点以大小v0＝(g为重力加速度大小)的初速度沿AO做直线运动，小球通过O点后在第三象限内做匀速圆周运动，恰好通过坐标为(0，－L)的B点．已知第四象限内电场的电场强度大小E＝，不计空气阻力．
(1) 求第一象限内磁场的磁感应强度大小B1以及第三象限内磁场的磁感应强度大小B2．
(2) 求小球从通过O点(第一次通过y轴)到第三次通过y轴所用的时间t及其在第四象限内运动的过程中到y轴的最大距离xm．
(3) 若仅将第一象限内的电场撤去，让小球从O、A两点连线的延长线上的P点(图中未画出)以大小v0＝的初速度沿AO方向射出，要使小球射出后在第一象限内(不包括坐标轴)运动的过程中存在小球的速度方向水平的时刻，求O、P两点间的距离L′应满足的条件．
增强练
1．(2025·广州二模)(多选)图甲是研究电容器充、放电和电磁振荡的电路图．先将开关接到1，待电路稳定后，t＝0时刻将开关接到2或3，利用电流传感器可得到i－t图像，下列说法中正确的有( )
甲
A．将开关接到2，可得到图乙(a)图像
B．将开关接到2，可得到图乙(b)图像
C．将开关接到3，可得到图乙(c)图像
D．将开关接到3，可得到图乙(d)图像
2．(2025·汕头二模)学习小组利用手机和自行车探究圆周运动的相关知识．已知手机的加速度传感器可以测量x、y、z三个方向的加速度值(如图甲所示)，将自行车架起，手机固定在自行车后轮轮毂上(如图乙所示) ，轮胎厚度不计，转动踏板，后轮带动手机在竖直面内做圆周运动．
甲 乙
(1) 若加速转动踏板，则手机可测到哪些方向的加速度值不为零？__ __
A．x、y方向的加速度值
B．x、z方向的加速度值
C．y、z方向的加速度值
(2) 利用Phyphox软件可以直接作出向心加速度an与角速度ω的关系图像，为了直观判断它们的关系，应让软件作出an－__ __(填“ω”或“ω2”)图像．
(3) 若由(2) 所作图像测出斜率为k，已知自行车后轮半径为R，则手机的加速度传感器到轮胎边缘的距离为__ __(用题中符号表示)，查阅相关资料得知该手机使用的加速度传感器质量为m，当后轮角速度为ω0时，则手机的加速度传感器做圆周运动的向心力Fn＝__ __(用题中符号表示)．
3．(2025·揭阳惠来一中三模)下列是《普通高中物理课程标准》中列出的必做实验的部分内容，请完成下列填空：
(1) 在“探究平抛运动的特点”实验中：
甲 乙
①用图甲装置进行探究，下列说法中正确的是( )
A．只能探究平抛运动水平分运动的特点
B．需改变小锤击打的力度，多次重复实验
C．能同时探究平抛运动水平、竖直分运动的特点
②用图乙装置进行实验，下列说法中正确的是( )
A．斜槽轨道M必须光滑且其末端水平
B．上下调节挡板N时必须每次等间距移动
C．小钢球从斜槽M上同一位置静止滚下
(2) 某实验小组在“用单摆测重力加速度”的实验中，测量小球的直径，某次读数为10.10 mm，则所选用的测量仪器与图丙中__ __(填“A”、“B”或“C”)一致．
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专题三
粤考特色·综合提能四 电磁场、运动模型为靶向的情境问题
场与磁场
直面高考真题
考向1 放缩圆模型
C
1
考向2 带电粒子在交变电磁场中的运动
2
【解析】(3) 带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图所示，由(2)的计算可知金属板的板间距离D＝3r
综合提升
一、带电粒子在交变电场中的运动
(2025·湛江一中三模)(多选)如图甲所示，两个平行金属板P、Q正对且竖直放置，两金属板间加上如图乙所示的交流电压，t＝0时，P板的电势比Q板的电势高U0．在两金属板的正中央M点处有一电子(电子所受重力可忽略)在电场力作用下由静止开始运动，已知电子在0～4t0时间内未与两金属板相碰，则 ( )
A．t0～2t0时间内，电子的动能减小
B．3t0时刻，电子的电势能最大
C．0～4t0时间内，电子运动的方向
不变
D．3t0～4t0时间内，电子运动的速
度方向向右，且速度逐渐减小
AD
1
【解析】在0～t0时间内，电场方向水平向右，电子所受电场力方向向左，所以电子向左做匀加速直线运动；在t0～2t0时间内，电场方向水平向左，电子所受电场力方向向右，电子向左做匀减速直线运动，电场力做负功，电子的电势能增加，动能减小，A正确；2t0时刻电子的速度为零，在2t0～3t0时间内，电场方向水平向左，电子所受电场力方向向右，电子向右做初速度为零的匀加速直线运动，运动方向发生改变，3t0时刻速度最大，动能最大，电势能并不是最大，B、C错误；在3t0～4t0时间内，电场方向水平向右，电子的加速度方向向左，电子向右做匀减速直线运动，到4t0时刻速度为零，恰好又回到M点，D正确．
1．研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确地判断粒子的运动情况．根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等．
2．注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子运动时间上的周期性和空间上的对称性，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件．
3．对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动．
D
2
3
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界状态(一般是粒子运动轨迹与磁场边界相切或轨迹半径达到最大)，常用方法如下：
放缩圆 旋转圆 平移圆
适用条件 粒子速度方向一定，速度大小不同 粒子的速度大小一定，轨迹半径一定，速度方向不同 粒子的速度大小、方向均一定，从同一直线边界进入匀强磁场的入射点位置不同
运动分析 以入射点P为定点，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件
放缩圆 旋转圆 平移圆
图例
三、带电粒子在交变电磁场中的运动
(2025·广州执信中学检测) 如图甲所示，整个空间存在竖直向上的匀强电场(平行于纸面)，在同一水平线上的两位置，以相同速率同时喷出质量均为m的油滴a和b，带电荷量为＋q的a水平向右，不带电的b竖直向上．b上升高度为h时，到达最高点，此时a恰好与它相碰，瞬间结合成油滴p．忽略空气阻力，重力加速度为g．
4
解题思路
5
(3) 若粒子第三次从Ⅱ区进入Ⅲ区之前能经过P点，求Ⅲ区磁场磁感应强度大小．
答案：(3) 见解析
1．分析思路
(1) 画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图．
(2) 找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．
(3) 划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理．
2．处理方法
热练
题组一 带电粒子在交变电场中的运动
1．(2025·深圳外国语学校一模)匀强电场的电场强度E随时间t变化的图像如图所示．当t＝0时．在此匀强电场中由静止释放一个带正电的粒子，带电粒子只受静电力的作用，下列说法中正确的是 ( )
A．带电粒子将做往复运动
B．3 s末带电粒子回到原出发点
C．3 s末带电粒子的速度不为零
D．前3 s内，静电力做的总功为零
D
由带电粒子的速度—时间图像可知，带电粒子将始终向同一个方向运动，因此3 s末带电粒子回不到原出发点，B错误；由带电粒子的速度—时间图像可知，3 s末带电粒子的速度是零，C错误；在前3 s内，由动能定理可知W＝ΔEk＝0－0＝0，前3 s内，静电力做的总功是零，D正确．
题组二 放缩圆、旋转圆、平移圆模型
3．(2025·揭阳惠来一中学三模)如图所示，横截面为正方形abcd的有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．一束电子以大小不同、方向垂直ad边界的速度飞入该磁场．对于从不同边界射出的电子，下列说法中错误的是 ( )
A．从ad边射出的电子在磁场中运动的时间都相等
B．从c点离开的电子在磁场中运动时间最长
C．电子在磁场中运动的速度偏转角最大为π
D．从bc边射出的电子的速度一定大于从ad边射出的电子的
速度
B
6．(2025·茂名一模)如图甲所示是一款治疗肿瘤的质子治疗仪工作原理示意图，质子经加速电场后沿水平方向进入速度选择器，再经过磁分析器和偏转系统后，定向轰击肿瘤．已知速度选择器中电场强度的大小为E、方向竖直向上，磁感应强度大小为B1、方向垂直纸面向外，磁分析器截面的内外半径分别为R1和R2，入口端面竖直，出口端面水平，两端中心位置M和N处各有一个小孔．偏转系统下边缘与肿瘤所在平面距离为L，偏转系统截面高度与宽度均为H．当偏转系统不工作时，质子恰好垂直轰击肿瘤靶位所在平面上的O点；当偏转系统施加如图乙所示变化电压后，质子轰击点将发生变化且偏转电压达到峰值U0(或－U0)时质子恰好从偏转系统下侧边缘离开(质子通过偏转系统时间极短，此过程偏转电压可视为不变)，已知整个系统置于真空中，质子电荷量为q、质量为m．
(3) 在一个电压变化周期内，质子轰击肿瘤宽度是多少？实际治疗过程中发现轰击宽度小于肿瘤宽度，若只改变某一物理参数达到原宽度，如何调节该物理参数？
答案：(3) 2L＋H，增加L
【解析】 (1) 经分析可知，小球的
运动轨迹如图所示
1．(2025·广州二模)(多选)图甲是研究电容器充、放电和电磁振荡的电路图．先将开关接到1，待电路稳定后，t＝0时刻将开关接到2或3，利用电流传感器可得到i－t图像，下列说法中正确的有 ( )
A．将开关接到2，可得到图乙(a)图像 B．将开关接到2，可得到图乙(b)图像
C．将开关接到3，可得到图乙(c)图像 D．将开关接到3，可得到图乙(d)图像
AC
【解析】 先将开关接到1，待电路稳定后，电容器充满电．将开关接到2形成振荡电路，电容器开始放电，自感线圈阻碍电流变大，所以电流逐渐变大，图乙(a)图像正确，A正确，B错误；将开关接到3，放电开始时电流达到最大值，电流随时间按指数规律递减，放电结束时电流理论上趋近于零，图乙(c)图像正确，C正确，D错误．
2．(2025·汕头二模)学习小组利用手机和自行车探究圆周运动的相关知识．已知手机的加速度传感器可以测量x、y、z三个方向的加速度值(如图甲所示)，将自行车架起，手机固定在自行车后轮轮毂上(如图乙所示) ，轮胎厚度不计，转动踏板，后轮带动手机在竖直面内做圆周运动．
(1) 若加速转动踏板，则手机可测到哪些方向的加速度值不为零？_____
A．x、y方向的加速度值 B．x、z方向的加速度值
C．y、z方向的加速度值
A
【解析】 (1) 后轮带动手机在竖直面内做圆周运动，加速度在竖直平面内，故x、y方向的加速度值不为零，z方向的加速度值为零．故选A．
(2) 利用Phyphox软件可以直接作出向心加速度an与角速度ω的关系图像，为了直观判断它们的关系，应让软件作出an－_______(填“ω”或“ω2”)图像．
ω2
【解析】(2) 根据an＝ω2r可知，an－ω2图像为直线，an－ω为曲线，应让软件作出an－ω2图像能直观地判断它们的关系．
(3) 若由(2) 所作图像测出斜率为k，已知自行车后轮半径为R，则手机的加速度传感器到轮胎边缘的距离为________(用题中符号表示)，查阅相关资料得知该手机使用的加速度传感器质量为m，当后轮角速度为ω0时，则手机的加速度传感器做圆周运动的向心力Fn＝_________(用题中符号表示)．
R－k
【解析】(3) 由(2)所作图像测出斜率k等于手机到后轮圆心的距离，故手机的加速度传感器到轮胎边缘的距离为R－k．
手机的加速度传感器做圆周运动的向心力Fn＝mω2k．
mω2k
3．(2025·揭阳惠来一中三模)下列是《普通高中物理课程标准》中列出的必做实验的部分内容，请完成下列填空：
(1) 在“探究平抛运动的特点”实验中：
①用图甲装置进行探究，下列说法中正确的是( )
A．只能探究平抛运动水平分运动的特点
B．需改变小锤击打的力度，多次重复实验
C．能同时探究平抛运动水平、竖直分运动的特点
B
②用图乙装置进行实验，下列说法中正确的是( )
A．斜槽轨道M必须光滑且其末端水平
B．上下调节挡板N时必须每次等间距移动
C．小钢球从斜槽M上同一位置静止滚下
C
【解析】 (1) ①利用图甲装置将做平抛运动的小球与做自由落体运动的小球作对比，该实验只能说明平抛运动的竖直方向的运动情况，不能反映平抛运动的水平方向运动情况．实验时，需要改变小锤的击打力度，多次重复实验．故选B．
②用图乙装置进行实验，为了保证从斜槽末端水平飞出的速度大小相等，小钢球必须从同一位置静止滚下，斜槽不必光滑，但末端必须水平，A错误，C正确；挡板的作用是为了方便确定小球的运动位置，没有必要每次等间距移动，B错误．
(2) 某实验小组在“用单摆测重力加速度”的实验中，测量小球的直径，某次读数为10.10 mm，则所选用的测量仪器与图丙中___(填“A”、“B”或“C”)一致．
【解析】(2) 由图可知，A为10分度的游标卡尺，分度值为0.1 mm，且不需要估读，则不可能读出10.10 mm，A错误；由图可知，B为20分度的游标卡尺，分度值为0.05 mm，且不需要估读，则可能读出10.10 mm，B正确；由图可知，C为螺旋测微器，分度值为0.01 mm，需要估读到分度值的下一位，则不可能读出10.10 mm，C错误．
B
