微专题8 磁场及带电粒子在磁场中的运动
考向1 安培力方向的判断
(2021·广东卷)截面为正方形的绝缘弹性长管中心有一固定长直导线，长管外表面固定着对称分布的四根平行长直导线，若中心直导线通入电流I1，四根平行直导线均通入电流I2，且I1 I2，电流方向如图所示，下列关于通电后长管发生形变的截面图中可能正确是( )
A B
C D
考向2 安培力大小的计算
(2019·新课标Ⅰ)如图所示，等边三角形线框LMN由三根相同的导体棒连接而成，固定于匀强磁场中，线框平面与磁感应强度方向垂直，线框顶点M、N与直流电源两端相接，已知导体棒MN受到的安培力大小为F，则线框LMN受到的安培力的大小为( )
A．2F B．1.5F
C．0.5F D．0
考向3 带电粒子在有界磁场中的运动
(2019·新课标Ⅰ)如图所示，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外．一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出．已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力．求：
(1) 带电粒子的比荷．
(2) 带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间．
一、 磁感应强度、磁场力 带电体在安培力作用下的运动
1．某点的磁感应强度等于各场源单独存在时在该点产生的磁感应强度的__矢量和__．
2．两个定则：
(1) 判断电流产生的磁场方向用安培定则(右手螺旋定则)．
(2) 判断磁场对通电导线的安培力用左手定则．
3．两个结论：
(1) 同向平行电流相互吸引，反向平行电流相互__排斥__．
(2) 两个电流不平行时，有转动到相互平行且电流方向__相同__的趋势．
4．求解安培力作用下的平衡或动力学问题的关键：电磁问题力学化；立体图形平面化．
(2025·深圳外国语学校一模) (多选)A、B、C三条通电长直导线等距分布，电流方向如图所示，横截面恰好形成边长为d的等边三角形，O点为等边三角形的中心，A、B两条导线中的电流大小相同，都为I，导线C中的电流为 2I，导线半径不计．则( )
A．A内电流产生的磁场的磁感线是一系列同心圆，方向为逆时针方向
B．A、B内电流在C 处产生的磁感应强度大小相同
C．C处的磁场方向水平向左
D．O点的磁场方向竖直向下
(2025·广州三模)(多选)如图甲所示，在倾角θ＝37°的足够长绝缘斜面上放有一根质量m＝0.2 kg、长l＝1 m的导体棒，导体棒中通有方向垂直纸面向外、大小恒为I＝1 A的电流，斜面上方有平行于斜面向下的均匀磁场，磁场的磁感应强度B随时间t的变化关系如图乙所示．已知导体棒与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8．在t＝0时刻将导体棒由静止释放，则在导体棒沿斜面向下运动的过程中( )
甲 乙
A．导体棒受到的安培力方向垂直斜面向上
B．导体棒达到最大速度所用的时间为4 s
C．导体棒的最大速度为8 m/s
D．导体棒受到的摩擦力的最大值为5.2 N
二、洛伦兹力、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．运动电荷v⊥B时，运动电荷受洛伦兹力F＝qvB，提供运动电荷做匀速圆周运动的向心力．
2．解题思路
(2024·广州阶段训练)(多选)如图所示，圆心为O、半径为r的圆形区域外存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场；圆形区域内无磁场．P是圆外一点，且OP＝3r，一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从P点在纸面内垂直于OP射出．已知粒子运动轨迹经过圆心O，不计重力，下列说法中正确的是( )
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径R＝r
B．粒子在磁场中做圆周运动的半径R＝r
C．粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间t＝
D．粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间t＝
三、带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1．直线边界：粒子进出磁场具有__对称性__，如图甲所示，θ1＝θ2＝θ3，α1＝α2．
2．平行边界：往往存在临界条件，
3．圆形边界：
(1) 沿径向射入圆形磁场的粒子必沿__径向__射出，运动具有对称性，如图乙所示．
(2) 不沿径向射入时，若速度方向与半径的夹角为θ，则射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ，如图丙所示．
4．环形边界：注意分析运动的可能性．三个环形磁场的临界半径分别为r1＝；r2＝；由勾股定理(R2－r3)2＝，解得r3＝．
5．其他边界：如三角形、六边形等，注意几何分析．
(2025·广东省三模)如图所示，左侧为一对平行金属板，平行金属板长度为10 cm，板间距为20 cm，两金板间电压为200 V，上极板带正电荷．现有一质量为m＝1.6×10-25 kg、电荷量为1.6×10-17C的负电荷从静止状态经一加速电场加速后从左侧中点处，沿平行于极板方向射入，已知加速电压为50 V，然后进入右侧匀强磁场中．匀强磁场紧邻电场，宽度为10 cm，匀强磁场上下足够长，方向垂直纸面向里，磁感应强度B＝0.02 T(不计粒子重力，不计电场、磁场的边缘效应)．求：
(1) 进入偏转电场的速度v0．
(2) 带电粒子射出金属板时速度的大小、方向．
(3) 带电粒子在磁场中运动的时间以及从匀强磁场射出时的位置．
四、 带电粒子在有界匀强磁场中的多解、临界与极值问题
(2025·深圳红岭教育集团第五次统考) 如图所示，边长为a的正六边形abcdef区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B．正六边形中心O处有一粒子源，可在纸面内向各个方向发射不同速率带负电的粒子，已知粒子质量均为m、电荷量均为q，不计粒子重力和粒子间的相互作用．下列说法中正确的是( )
A．沿Oa方向发射的粒子要想离开正六边形区域，速率至少为
B．垂直ab向上发射的粒子要想离开正六边形区域，速率至少为
C．要想从d点离开正六边形区域的粒子，速率至少为
D．所有要想离开正六边形区域的粒子，其速率至少为
1．临界及极值问题
(1) 解题关键：通常以题目中的“恰好”、“最大”、“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解．
(2) 解题步骤：分析情景→作基础图→作动态图→确定临界轨迹→分析临界状态→构建三角形→解三角形．
(3) 常用的结论：
①刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
②时间最长或最短的临界条件：当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，运动时间越长；当比荷相同，入射速率v不同时，圆心角越大，运动时间越长．
③在圆形匀强磁场中，若带电粒子速率v一定且运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)．
2．多解问题
(1) 多解原因：带电粒子的电性不确定、磁场的方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性等．
(2) 分析方法：画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
(3) 解决多解问题的一般思路
配套热练
题组练
题组一 磁感应强度、带电体在安培力作用下的运动
1．(2025·广州执信中学检测)图中a、b为两根互相垂直的无限长直导线，导线中通有大小相等、方向如图的电流，O为a、b最短连线上的中点，A、B、C、D分别是纸面内正方形的四个顶点．下列说法中正确的是( )
A．O点的磁感应强度为0
B．A点与C点磁感应强度的大小相等
C．B点与D点磁感应强度的方向相同
D．撤去b导线，O点磁感应强度的方向垂直纸面向里
2．(2025·广东省第一次调研)如图所示，竖直平面内通有电流的正三角形金属线框，悬挂在两根相同的绝缘轻质弹簧下端，线框静止时，弹簧处于原长状态，线框有部分处在虚线框内的匀强磁场中，则虚线框内磁场方向可能为( )
A．沿纸面竖直向上
B．沿纸面竖直向下
C．垂直于纸面向外
D．垂直于纸面向里
3．(2025·广州一模)(多选)无人机电磁弹射技术的原理简化如图所示：两根固定、水平平行放置的弹射轨道处于方向竖直向上的匀强磁场中，与机身相连的金属牵引杆ab垂直静置在轨道上．ab杆通上恒定电流后做匀加速运动，到轨道末端时，无人机脱离金属杆起飞．忽略一切阻力，若( )
A．仅将电流大小变为两倍，则无人机起飞速度变为原来两倍
B．仅将电流大小变为两倍，则无人机起飞动能变为原来两倍
C．仅将磁感应强度变为两倍，则无人机起飞速度变为原来两倍
D．仅将磁感应强度变为两倍，则无人机起飞动能变为原来两倍
题组二 洛伦兹力 带电粒子在磁场中的圆周运动
4．(2025·佛山顺德区二模)(多选)如图甲所示，地磁场对带电的粒子有阻挡作用．图乙是赤道周围的磁场分布情况，磁场垂直纸面向里，认为该厚度内的磁场大小均匀．三个射向地球的宇宙粒子1、2、3的运动情况如图乙所示，三个粒子的动能大小相等，粒子3沿着直线射向地球，则有( )
图甲 图乙
A．粒子3带正电
B．粒子2带正电
C．若粒子1、2电荷量大小相等，则粒子1的质量较小
D．若粒子1、2质量相同，则粒子2的电荷量较大
5．(2024·惠州第三次调研)(多选)一种圆柱形粒子探测装置的横截面如图所示．内圆区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器，AB和PM分别为内圆的两条相互垂直的直径，两个粒子先后从P点沿直径射入磁场．粒子1经磁场偏转后打在探测器上的Q点，粒子2经磁场偏转后从磁场边界C点离开，最后打在探测器上的N点，PC圆弧恰好为内圆周长的三分之一，粒子2在磁场中运动的时间为t．装置内部为真空状态，忽略粒子所受重力及粒子间相互作用力．下列说法中正确的是( )
A．粒子1可能为电子
B．若两粒子的入射速率相等，则粒子1的比荷小于粒子2的比荷
C．若仅减小粒子2的入射速率，则粒子2在磁场中的运动时间增加
D．改变粒子2入射方向，速率变为原来的，则粒子2在磁场中运动的最长时间为t
题组三 带电粒子在有界磁场中的运动
6．(2025·汕头二模)(多选)如图所示，在直角坐标系xOy中，有一个边长为L的正方形区域，a点在原点，b点和d点分别在x轴和y轴上，该区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带正电的粒子质量为m、电荷量为q，以速度v0从a点沿x轴正方向射入磁场．不计粒子重力，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6．下列说法中正确的是( )
A．若粒子恰好从c点射出磁场，则粒子的速度大小为v0＝
B．若粒子恰好从bc边的中点射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间t＝
C．若粒子的速度大小为v0＝，则粒子射出磁场时的速度方向与y轴正方向的夹角为60°
D．若粒子从cd边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间一定不超过
7．(2025·湛江二模)(多选)我国在磁约束方面取得重大突破，如图所示为一种磁约束的示意图．空间存在一半径为R的半圆形匀强磁场区域，O为圆心，MN为直径边界，磁场方向垂直纸面向里．磁场区域左侧有一电子源和加速电场组成的发射器，可将质量为m、电荷量为－q(q>0)的电子由静止加速到v0．改变发射器的位置，使带电粒子在圆弧范围内都沿着垂直MN的方向以相同的速度v0沿纸面射入磁场区域．当电子沿PQ方向进入磁场时，能恰好从O点离开磁场，Q点是OM的中点．忽略电子的重力和电子间的相互作用．则( )
A．加速电场两板间的电压为
B．磁感应强度的大小为
C．改变发射器的位置，电子都能汇聚于N点
D．改变发射器的位置，电子能在磁场中运动的最长时间为
题组四 带电粒子在有界磁场中的多解、临界与极值问题
8．(2024·揭阳二模)如图所示，在以半径为R和2R的同心圆为边界的区域中，有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场．在圆心O处有一粒子源(图中未画出)，在纸面内沿各个方向发射出比荷为 的带负电的粒子，粒子的速率分布连续，忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用力，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8．若所有的粒子都不能射出磁场，则下列说法中正确的是( )
A．粒子速度的最大值为
B．粒子速度的最大值为
C．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为 (不考虑粒子再次进入磁场的情况)
D．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为 (不考虑粒子再次进入磁场的情况)
9．(2024·广东省5月模拟改编)如图所示为电子发射器原理图，M处是电子出射口，它是宽度为d的狭缝．D为绝缘外壳，整个装置处于真空中，半径为a的金属圆柱A可沿任意方向向外发射速率为v0的电子；与A同轴放置的金属网C的半径为2a．在金属网内环形区域加垂直于圆平面向里的匀强磁场．不考虑A、C的静电感应电荷对电子的作用和电子之间的相互作用，忽略电子所受重力和相对论效应，已知电子质量为m、电荷量为e．
(1) 要使由A发射的沿半径方向射出的电子不从金属网C射出，求所加磁场磁感应强度B的最小值．
(2) 要使所有电子均不从C射出，求所加磁场磁感应强度B的最小值．
10．(2025·大湾区联考)如图所示，一个质量为m、带负电荷粒子的电荷量为q，从x轴上的P点以速度v沿与＋x轴成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于y轴射出第一象限．不计带电粒子的重力．已知OP＝a.
(1) 求匀强磁场的磁感应强度B的大小．
(2) 让大量这种带电粒子同时从x轴上的P点以速度v沿与＋x轴成0～180°的方向垂直磁场射入第一象限内，求y轴上有带电粒子穿过的区域范围和带电粒子在磁场中运动的最长时间．
增强练
一、单项选择题
1．(2025·茂名一中模拟)如图所示，两个带等量异种电荷的粒子分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，则( )
A．两粒子圆周运动的周期之比Ta∶Tb＝2∶1
B．两粒子的质量之比ma∶mb＝1∶2
C．两粒子的轨道半径之比Ra∶Rb＝1∶
D．两粒子的速率之比va∶vb＝3∶2
二、多项选择题
2．(2025·清远联考)地磁场能有效抵御宇宙射线的侵入．如图所示为地球赤道平面的剖面图，地球半径为R，把地面上高度为d区域内的地磁场视为磁感应强度为方向垂直于剖面的匀强磁场．宇宙射线中对地球危害最大的带电粒子主要是β粒子．设β粒子的质量为m、电荷量为－e，最大速率为v．下列说法中正确的是( )
A．无论从哪个点垂直磁场入射，β粒子都做顺时针转动
B．无论从哪个点垂直磁场入射，β粒子都做逆时针转动
C．从任何方向垂直磁场入射的β粒子均不能到达地面，则d>
D．从任何方向垂直磁场入射的β粒子均不能到达地面，则d>－2R
3．(2025·佛山禅城区统一调研)如图所示，空间存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场，OA距离为2L，OP是一足够大的荧光屏，粒子打在荧光屏上均被吸收，在O、A之间有大量质量为m、电荷量为＋q的粒子，以相同的速度沿纸面垂直于OA开始运动．其中从OA中点射入的粒子恰好能垂直打在荧光屏上(不计粒子重力及其相互作用)．图中∠POA＝120°，则可判断带电粒子( )
A．运动速度大小为
B．在磁场中运动的最长时间
C．打在荧光屏上的位置距离O点最远为 L
D．打在荧光屏上的位置距离O点最远为 L
三、非选择题
4．(2024·韶关综合测试二)如图所示，矩形区域Ⅰ和Ⅱ内分别存在方向垂直于纸面向外和向里的匀强磁场，aa′、bb′、cc′、dd′为磁场边界线，四条边界线相互平行，区域Ⅰ的磁感应强度大小为B，区域Ⅱ的磁感应强度大小为 B，矩形区域的长度足够长，磁场宽度及bb′与cc′之间的距离相同．某种带正电的粒子从aa′上的O1处以大小不同的速度，沿与O1成α＝30°角进入磁场(不计粒子所受重力)，当粒子的速度小于某一值时，粒子在区域Ⅰ内的运动时间均为t0；当速度为v0时，粒子垂直bb′进入无场区域，最终从dd′上的A点射出，求：
(1) 粒子的比荷 ．
(2) 磁场区域Ⅰ的宽度L．
(3) 出射点A偏离入射点O1竖直方向的距离y．
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考向1 安培力方向的判断
(2021·广东卷)截面为正方形的绝缘弹性长管中心有一固定长直导线，长管外表面固定着对称分布的四根平行长直导线，若中心直导线通入电流I1，四根平行直导线均通入电流I2，且I1 I2，电流方向如图所示，下列关于通电后长管发生形变的截面图中可能正确是( C )
A B
C D
【解析】因I1 I2，则可不考虑四个边上的直导线之间的相互作用，根据两通电直导线间的安培力作用满足“同向电流相互吸引，异向电流相互排斥”，则正方形左右两侧的直导线I2要受到I1吸引的安培力，形成凹形，正方形上下两边的直导线I2要受到I1排斥的安培力，形成凸形，故变形后的形状如图C，故C正确，A、B、D错误．
考向2 安培力大小的计算
(2019·新课标Ⅰ)如图所示，等边三角形线框LMN由三根相同的导体棒连接而成，固定于匀强磁场中，线框平面与磁感应强度方向垂直，线框顶点M、N与直流电源两端相接，已知导体棒MN受到的安培力大小为F，则线框LMN受到的安培力的大小为( B )
A．2F B．1.5F
C．0.5F D．0
【解析】设每一根导体棒的电阻为R，长度为L，则电路中上下两支路电阻之比为R1∶R2＝2R∶R＝2∶1，根据并联电路两端电压相等的特点可知，上下两支路电流之比I1∶I2＝1∶2．如下图所示，由于上支路通电的导体受安培力的有效长度为L，根据安培力计算公式F＝ILB，可知F′∶F＝I1∶I2＝1∶2，得F′＝F，根据左手定则可知，两力方向相同，故线框LMN所受的合力大小为F＋F′＝F，B正确．
考向3 带电粒子在有界磁场中的运动
(2019·新课标Ⅰ)如图所示，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外．一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出．已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力．求：
(1) 带电粒子的比荷．
(2) 带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间．
答案：(1) (2)
【解析】(1) 粒子从静止被加速的过程，根据动能定理得qU＝
解得v0＝
根据题意，下图为粒子的运动轨迹，由几何关系可知，该粒子在磁场中运动的轨迹半径为r＝d
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即qv0B＝m
联立方程得 ＝
(2) 根据题意，粒子在磁场中运动的轨迹为四分之一圆周，长度s1＝·2πr＝πd
粒子射出磁场后到运动至x轴，运动的轨迹长度
s2＝r·tan 30°＝d
粒子从射入磁场到运动至x轴过程中，一直匀速率运动，则t＝
解得t＝
一、 磁感应强度、磁场力 带电体在安培力作用下的运动
1．某点的磁感应强度等于各场源单独存在时在该点产生的磁感应强度的__矢量和__．
2．两个定则：
(1) 判断电流产生的磁场方向用安培定则(右手螺旋定则)．
(2) 判断磁场对通电导线的安培力用左手定则．
3．两个结论：
(1) 同向平行电流相互吸引，反向平行电流相互__排斥__．
(2) 两个电流不平行时，有转动到相互平行且电流方向__相同__的趋势．
4．求解安培力作用下的平衡或动力学问题的关键：电磁问题力学化；立体图形平面化．
(2025·深圳外国语学校一模) (多选)A、B、C三条通电长直导线等距分布，电流方向如图所示，横截面恰好形成边长为d的等边三角形，O点为等边三角形的中心，A、B两条导线中的电流大小相同，都为I，导线C中的电流为 2I，导线半径不计．则( BC )
A．A内电流产生的磁场的磁感线是一系列同心圆，方向为逆时针方向
B．A、B内电流在C 处产生的磁感应强度大小相同
C．C处的磁场方向水平向左
D．O点的磁场方向竖直向下
【解析】根据右手螺旋定则，A 内电流产生的磁场的磁感线是一系列同心圆，方向为顺时针方向，A 错误；A、B内电流在C处产生的磁感应强度大小相同，方向不同，B正确；A 内电流在C 处产生的磁感应强度为B1，B内电流在C 处产生的磁感应强度为B2，其合磁场方向水平向左，如图所示，C正确；同理可知，A、B内电流在O点处产生的合磁场方向水平向左，C内电流在O点处产生的磁场方向水平向左，因此A、B、C中电流在O点处的合磁场方向不是竖直向下，D错误．
(2025·广州三模)(多选)如图甲所示，在倾角θ＝37°的足够长绝缘斜面上放有一根质量m＝0.2 kg、长l＝1 m的导体棒，导体棒中通有方向垂直纸面向外、大小恒为I＝1 A的电流，斜面上方有平行于斜面向下的均匀磁场，磁场的磁感应强度B随时间t的变化关系如图乙所示．已知导体棒与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8．在t＝0时刻将导体棒由静止释放，则在导体棒沿斜面向下运动的过程中( BC )
甲 乙
A．导体棒受到的安培力方向垂直斜面向上
B．导体棒达到最大速度所用的时间为4 s
C．导体棒的最大速度为8 m/s
D．导体棒受到的摩擦力的最大值为5.2 N
【解析】根据左手定则可知，导体棒受到的安培力方向垂直斜面向下，A错误；对导体棒受力分析可知，当导体棒沿斜面向下运动的速度达到最大时，导体棒所受外力的合力为0，则有mg sin θ＝Ff，FN＝mgcos θ＋F安，其中F安＝BIl，B＝t＝0.8t，Ff＝μFN，解得t＝4 s，B正确；在导体棒沿斜面向下运动的过程中，由牛顿第二定律可得mg sin θ－Ff＝ma，结合上述解得a＝4－t，作出导体棒运动的a－t图像如图所示，由于导体棒初速度为零，故图像中的面积即可表示导体棒的末速度，结合上述由图可知，导体棒的最大速度为vm＝4×4× m/s＝8 m/s，C正确；导体棒受到的摩擦力为Ff＝μ(mgcos θ＋BIl)，即有Ff＝0.2t＋0.4，可知导体棒运动时间越长，受到的摩擦力就越大，故可判断出导体棒的速度再次减为零时，导体棒受到的摩擦力最大，由图可知，t＝8 s时导体棒的速度为零，结合上述解得此时导体棒受到的摩擦力大小为Ff＝2.0 N，D错误．
二、洛伦兹力、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．运动电荷v⊥B时，运动电荷受洛伦兹力F＝qvB，提供运动电荷做匀速圆周运动的向心力．
2．解题思路
(2024·广州阶段训练)(多选)如图所示，圆心为O、半径为r的圆形区域外存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场；圆形区域内无磁场．P是圆外一点，且OP＝3r，一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从P点在纸面内垂直于OP射出．已知粒子运动轨迹经过圆心O，不计重力，下列说法中正确的是( BC )
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径R＝r
B．粒子在磁场中做圆周运动的半径R＝r
C．粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间t＝
D．粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间t＝
【解析】根据题意，画出粒子在磁场中运动的轨迹，如图所示，设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，由几何关系有(3r－R)2＝R2＋r2，解得R＝r，A错误，B正确；由qvB＝m可得粒子在圆形区域做匀速直线运动的速度大小为v＝，则粒子第一次在圆形区域内运动的时间为t＝＝，C正确，D错误．
三、带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1．直线边界：粒子进出磁场具有__对称性__，如图甲所示，θ1＝θ2＝θ3，α1＝α2．
2．平行边界：往往存在临界条件，
3．圆形边界：
(1) 沿径向射入圆形磁场的粒子必沿__径向__射出，运动具有对称性，如图乙所示．
(2) 不沿径向射入时，若速度方向与半径的夹角为θ，则射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ，如图丙所示．
4．环形边界：注意分析运动的可能性．三个环形磁场的临界半径分别为r1＝；r2＝；由勾股定理(R2－r3)2＝，解得r3＝．
5．其他边界：如三角形、六边形等，注意几何分析．
(2025·广东省三模)如图所示，左侧为一对平行金属板，平行金属板长度为10 cm，板间距为20 cm，两金板间电压为200 V，上极板带正电荷．现有一质量为m＝1.6×10-25 kg、电荷量为1.6×10-17C的负电荷从静止状态经一加速电场加速后从左侧中点处，沿平行于极板方向射入，已知加速电压为50 V，然后进入右侧匀强磁场中．匀强磁场紧邻电场，宽度为10 cm，匀强磁场上下足够长，方向垂直纸面向里，磁感应强度B＝0.02 T(不计粒子重力，不计电场、磁场的边缘效应)．求：
(1) 进入偏转电场的速度v0．
(2) 带电粒子射出金属板时速度的大小、方向．
(3) 带电粒子在磁场中运动的时间以及从匀强磁场射出时的位置．
答案：(1) 1.0×105 m/s (2) ×105 m/s，与水平方向夹角为45° (3) 7.9×10-7s，射出的位置为上极板偏下方且竖直距离为5 cm
【解析】(1) 加速电场中，由动能定理得qU0＝
解得v0＝1.0×105 m/s
(2) 带电粒子在电场中受电场力F＝Eq
而电场强度E＝
由牛顿第二定律得F＝ma＝q
得加速度为a＝
粒子沿平行于极板方向射入做类平抛运动，设粒子射出金属板时速度的大小为v、方向与水平方向夹角为θ
水平方向做匀速直线运动得L＝v0t
竖直方向有vy＝at
那么带电粒子射出金属板时速度的大小为
v＝
代入数据解得v＝×105 m/s
因tan θ＝，代入数据解得tan θ＝1，所以得与水平方向夹角为θ＝45°
(3) 粒子进入磁场做圆周运动，则有Bqv＝m
解得半径r＝5 cm
因θ＝45°，y＝vyt＝5 cm，磁场宽度为10 cm，则粒子射出的位置为从上极板向右延长线与磁场右边界交点处下方，恰好与上极板的竖直距离为5 cm．如图所示
由T＝，得带电粒子在磁场中运动的时间
t＝T＝T＝T＝7.9×10-7s
四、 带电粒子在有界匀强磁场中的多解、临界与极值问题
(2025·深圳红岭教育集团第五次统考) 如图所示，边长为a的正六边形abcdef区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B．正六边形中心O处有一粒子源，可在纸面内向各个方向发射不同速率带负电的粒子，已知粒子质量均为m、电荷量均为q，不计粒子重力和粒子间的相互作用．下列说法中正确的是( B )
A．沿Oa方向发射的粒子要想离开正六边形区域，速率至少为
B．垂直ab向上发射的粒子要想离开正六边形区域，速率至少为
C．要想从d点离开正六边形区域的粒子，速率至少为
D．所有要想离开正六边形区域的粒子，其速率至少为
【解析】沿Oa方向发射的粒子，其运动轨迹恰好与bc边相切时，该粒子恰好能离开磁场，如图甲所示，此时根据几何知识可知，轨迹半径为 a，则根据洛伦兹力提供向心力有Bqv＝m，代入数据求得此时粒子的速度为v＝，所以要想离开正六边形区域，速率至少为 ，A错误；垂直ab向上发射的粒子，当其轨迹与bc边和cd边恰好相切时，该粒子从bc边离开磁场，如图乙所示，设轨迹半径为r，则根据几何知识有r＋＝a，求得轨迹半径为 (2－3)a，则根据洛伦兹力提供向心力有Bqv＝m，代入数据可知，此时粒子的速度为v＝，所以垂直ab向上发射的粒子要想离开正六边形区域，速率至少为 ，B正确；当粒子的运动轨迹与cd边相切于d点时，该粒子恰好从d点离开磁场，如图丙所示，设轨迹半径为r，则根据几何知识有r sin 60°＝a，求得轨迹半径为 a，则根据洛伦兹力提供向心力有Bqv＝m，代入数据可得此时粒子的速度为v＝，所以要想从d点离开正六边形区域的粒子，速率只能为 ，C错误；由上述分析可知，要想离开正六边形区域的粒子，其轨迹半径最小为 a，则所有要想离开正六边形区域的粒子，其速率至少为 ，D错误．
甲 乙
丙
1．临界及极值问题
(1) 解题关键：通常以题目中的“恰好”、“最大”、“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解．
(2) 解题步骤：分析情景→作基础图→作动态图→确定临界轨迹→分析临界状态→构建三角形→解三角形．
(3) 常用的结论：
①刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
②时间最长或最短的临界条件：当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，运动时间越长；当比荷相同，入射速率v不同时，圆心角越大，运动时间越长．
③在圆形匀强磁场中，若带电粒子速率v一定且运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)．
2．多解问题
(1) 多解原因：带电粒子的电性不确定、磁场的方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性等．
(2) 分析方法：画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
(3) 解决多解问题的一般思路
配套热练
题组练
题组一 磁感应强度、带电体在安培力作用下的运动
1．(2025·广州执信中学检测)图中a、b为两根互相垂直的无限长直导线，导线中通有大小相等、方向如图的电流，O为a、b最短连线上的中点，A、B、C、D分别是纸面内正方形的四个顶点．下列说法中正确的是( B )
A．O点的磁感应强度为0
B．A点与C点磁感应强度的大小相等
C．B点与D点磁感应强度的方向相同
D．撤去b导线，O点磁感应强度的方向垂直纸面向里
【解析】 根据安培定则可知，a导线在O点产生的磁感应强度的方向应垂直于纸面向外，b导线在O点产生的磁感应强度的方向应竖直向上，所以合磁感应强度不为零，A错误；由于A、C点关于ab对称，且A点与C点到两导线的距离相等，则A点与C点磁感应强度的大小相等，B正确；根据磁感应强度的叠加法则可知，B点与D点磁感应强度的方向不同，C错误；根据安培定则可知，撤去b导线，O点磁感应强度的方向垂直纸面向外，D错误．
2．(2025·广东省第一次调研)如图所示，竖直平面内通有电流的正三角形金属线框，悬挂在两根相同的绝缘轻质弹簧下端，线框静止时，弹簧处于原长状态，线框有部分处在虚线框内的匀强磁场中，则虚线框内磁场方向可能为( D )
A．沿纸面竖直向上
B．沿纸面竖直向下
C．垂直于纸面向外
D．垂直于纸面向里
【解析】 弹簧处于原长状态，可知线圈受安培力竖直向上，处在磁场中的线圈等效电流方向向右，由左手定则可知，磁场方向垂直纸面向里，故选D．
3．(2025·广州一模)(多选)无人机电磁弹射技术的原理简化如图所示：两根固定、水平平行放置的弹射轨道处于方向竖直向上的匀强磁场中，与机身相连的金属牵引杆ab垂直静置在轨道上．ab杆通上恒定电流后做匀加速运动，到轨道末端时，无人机脱离金属杆起飞．忽略一切阻力，若( BD )
A．仅将电流大小变为两倍，则无人机起飞速度变为原来两倍
B．仅将电流大小变为两倍，则无人机起飞动能变为原来两倍
C．仅将磁感应强度变为两倍，则无人机起飞速度变为原来两倍
D．仅将磁感应强度变为两倍，则无人机起飞动能变为原来两倍
【解析】 牵引杆所受的安培力为F＝BIL，根据牛顿第二定律，有F＝ma，令加速距离为x，根据速度－位移公式，有v2＝2ax，联立可得v＝．仅将电流大小变为两倍，则无人机起飞速度变为原来倍，A错误；无人机的动能为Ek＝mv2＝BILx，仅将电流大小变为两倍，则无人机起飞动能变为原来两倍，B正确；仅将磁感应强度变为两倍，则无人机起飞速度变为原来倍，C错误；无人机的动能为Ek＝mv2＝BILx，仅将磁感应强度变为两倍，则无人机起飞动能变为原来两倍，D正确．
题组二 洛伦兹力 带电粒子在磁场中的圆周运动
4．(2025·佛山顺德区二模)(多选)如图甲所示，地磁场对带电的粒子有阻挡作用．图乙是赤道周围的磁场分布情况，磁场垂直纸面向里，认为该厚度内的磁场大小均匀．三个射向地球的宇宙粒子1、2、3的运动情况如图乙所示，三个粒子的动能大小相等，粒子3沿着直线射向地球，则有( BD )
图甲 图乙
A．粒子3带正电
B．粒子2带正电
C．若粒子1、2电荷量大小相等，则粒子1的质量较小
D．若粒子1、2质量相同，则粒子2的电荷量较大
【解析】 根据左手定则可知，粒子1应带负电，粒子2带正电，而粒子3不带电，A错误，B正确；根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，所以三个粒子的动能大小为Ek＝，由于三个粒子动能大小相等，若粒子1、2电荷量大小相等，而粒子1的半径大于粒子2的半径，则粒子1的质量较大，若粒子1、2质量相同，则粒子2的电荷量较大，C错误，D正确．
5．(2024·惠州第三次调研)(多选)一种圆柱形粒子探测装置的横截面如图所示．内圆区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器，AB和PM分别为内圆的两条相互垂直的直径，两个粒子先后从P点沿直径射入磁场．粒子1经磁场偏转后打在探测器上的Q点，粒子2经磁场偏转后从磁场边界C点离开，最后打在探测器上的N点，PC圆弧恰好为内圆周长的三分之一，粒子2在磁场中运动的时间为t．装置内部为真空状态，忽略粒子所受重力及粒子间相互作用力．下列说法中正确的是( ACD )
A．粒子1可能为电子
B．若两粒子的入射速率相等，则粒子1的比荷小于粒子2的比荷
C．若仅减小粒子2的入射速率，则粒子2在磁场中的运动时间增加
D．改变粒子2入射方向，速率变为原来的，则粒子2在磁场中运动的最长时间为t
【解析】 粒子1向下偏转，由左手定则可知，粒子1带负电，粒子1可能为电子，故A正确；洛伦兹力提供粒子在磁场中做圆周运动所需的向心力qvB＝m，可得r＝，由题图可知粒子1运动的半径小于粒子2运动的半径，若两粒子的入射速率相等，则粒子1的比荷大于粒子2的比荷，故B错误；若仅减小粒子2的入射速率，则粒子2运动半径减小，从磁场射出时，轨迹所对应的圆心角增大，粒子2在磁场中的运动时间为t1＝T＝·＝，则若仅减小粒子2的入射速率，则粒子2在磁场中的运动时间增加，故C正确；如图所示，PC圆弧恰好为内圆周长的三分之一，则粒子2在磁场中轨迹所对应的圆心角为α＝180°－＝60°，设内圆半径为R，根据几何关系，粒子2在磁场中运动半径为r1＝＝R，开始粒子2在磁场中运动时间为t＝T＝，粒子2速率变为原来的，此时粒子2在磁场中运动半径为r2＝r1＝2R，根据几何关系，当粒子2的轨迹对应的弦为直径PM时，粒子2在磁场中运动的时间最长，此时的圆心角为β＝60°，速度改变后，粒子2在磁场中运动的最长时间为t1＝T＝＝t，故D正确．
题组三 带电粒子在有界磁场中的运动
6．(2025·汕头二模)(多选)如图所示，在直角坐标系xOy中，有一个边长为L的正方形区域，a点在原点，b点和d点分别在x轴和y轴上，该区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带正电的粒子质量为m、电荷量为q，以速度v0从a点沿x轴正方向射入磁场．不计粒子重力，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6．下列说法中正确的是( BD )
A．若粒子恰好从c点射出磁场，则粒子的速度大小为v0＝
B．若粒子恰好从bc边的中点射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间t＝
C．若粒子的速度大小为v0＝，则粒子射出磁场时的速度方向与y轴正方向的夹角为60°
D．若粒子从cd边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间一定不超过
【解析】 若粒子恰好从c点射出磁场，根据几何关系可知，粒子圆周运动半径为r＝L，根据r＝，解得v0＝，A错误；若粒子恰好从bc边的中点射出磁场，轨迹如图所示，设轨迹圆半径为R，根据几何关系可知＋L2＝R2，解得R＝L，则sin θ＝＝，可知θ＝53°，则粒子在磁场中运动的时间t＝T＝·＝，B正确；若v0＝，则轨迹圆半径r1＝＝L，这种情况粒子从cd边射出，设粒子射出磁场时速度方向与y轴正方向夹角为β，则sin β＝＝≠sin 60°，即β≠60°，C错误；若粒子从cd边射出磁场，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角最大不超过180°，则最长运动时间t0＝T＝·＝，所以粒子在磁场中运动的时间一定不超过 ，D正确．
7．(2025·湛江二模)(多选)我国在磁约束方面取得重大突破，如图所示为一种磁约束的示意图．空间存在一半径为R的半圆形匀强磁场区域，O为圆心，MN为直径边界，磁场方向垂直纸面向里．磁场区域左侧有一电子源和加速电场组成的发射器，可将质量为m、电荷量为－q(q>0)的电子由静止加速到v0．改变发射器的位置，使带电粒子在圆弧范围内都沿着垂直MN的方向以相同的速度v0沿纸面射入磁场区域．当电子沿PQ方向进入磁场时，能恰好从O点离开磁场，Q点是OM的中点．忽略电子的重力和电子间的相互作用．则( ABD )
A．加速电场两板间的电压为
B．磁感应强度的大小为
C．改变发射器的位置，电子都能汇聚于N点
D．改变发射器的位置，电子能在磁场中运动的最长时间为
【解析】 电子在电场中加速有qU＝，解得U＝，A正确；如图甲所示，电子在磁场中运动的半径r＝＝R，由qv0B＝m，解得B＝，B正确；如图乙所示的是从不同位置进入磁场的电子的运动轨迹示意图，C错误；从A点进入磁场的电子运动轨迹最长，此时电子轨迹为圆周．有t＝·＝，D正确．
甲 乙
题组四 带电粒子在有界磁场中的多解、临界与极值问题
8．(2024·揭阳二模)如图所示，在以半径为R和2R的同心圆为边界的区域中，有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场．在圆心O处有一粒子源(图中未画出)，在纸面内沿各个方向发射出比荷为 的带负电的粒子，粒子的速率分布连续，忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用力，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8．若所有的粒子都不能射出磁场，则下列说法中正确的是( C )
A．粒子速度的最大值为
B．粒子速度的最大值为
C．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为 (不考虑粒子再次进入磁场的情况)
D．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为 (不考虑粒子再次进入磁场的情况)
【解析】 根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得粒子的运动半径为r＝，可知粒子速度最大时，运动半径最大，作出粒子的运动轨迹如图所示，根据几何关系有(2R－r)2＝R2＋r2，联立解得r＝R，v＝，故A、B错误；某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，即粒子速度最大时，根据几何关系有tan ＝＝，解得其在磁场中运动的时间为t＝·T＝，故C正确，D错误．
9．(2024·广东省5月模拟改编)如图所示为电子发射器原理图，M处是电子出射口，它是宽度为d的狭缝．D为绝缘外壳，整个装置处于真空中，半径为a的金属圆柱A可沿任意方向向外发射速率为v0的电子；与A同轴放置的金属网C的半径为2a．在金属网内环形区域加垂直于圆平面向里的匀强磁场．不考虑A、C的静电感应电荷对电子的作用和电子之间的相互作用，忽略电子所受重力和相对论效应，已知电子质量为m、电荷量为e．
(1) 要使由A发射的沿半径方向射出的电子不从金属网C射出，求所加磁场磁感应强度B的最小值．
(2) 要使所有电子均不从C射出，求所加磁场磁感应强度B的最小值．
答案：(1) (2)
【解析】 (1) 沿半径方向射出的电子在CA间磁场中做圆周运动，其轨迹圆与金属网相切时B最小，如图所示
设此轨迹圆的半径为r，根据几何关系可得
(2a－r)2＝r2＋a2
解得r＝a
由洛伦兹力提供向心力得Bev0＝
解得所加磁场磁感应强度的最小值为B＝
(2) 由图可知，所有电子均不射出C，则临界半径为r′＝a
由洛伦兹力提供向心力得B′ev0＝
解得所加磁场磁感应强度的最小值为B′＝
10．(2025·大湾区联考)如图所示，一个质量为m、带负电荷粒子的电荷量为q，从x轴上的P点以速度v沿与＋x轴成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于y轴射出第一象限．不计带电粒子的重力．已知OP＝a.
(1) 求匀强磁场的磁感应强度B的大小．
(2) 让大量这种带电粒子同时从x轴上的P点以速度v沿与＋x轴成0～180°的方向垂直磁场射入第一象限内，求y轴上有带电粒子穿过的区域范围和带电粒子在磁场中运动的最长时间．
答案：(1) (2) 0≤y≤
【解析】 (1) 粒子运动轨迹半径设为r，如图所示
根据几何关系可得r sin 60°＝a，解得r＝a
由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m
解得B＝
(2) 粒子从y轴上OA之间射出，设A点纵坐标为yA，PA为轨迹圆的直径，如图所示
由几何关系得＋a2＝(2r)2，解得yA＝
可知y轴上有带电粒子穿过的区域范围为
0≤y≤
沿＋x方向出发的粒子在磁场中运动时间最长，设该时间为t，轨迹对应的圆心角设为π＋α，如图所示
由几何关系得r sin α＝a解得α＝
则有tmax＝·T＝·＝
增强练
一、单项选择题
1．(2025·茂名一中模拟)如图所示，两个带等量异种电荷的粒子分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，则( A )
A．两粒子圆周运动的周期之比Ta∶Tb＝2∶1
B．两粒子的质量之比ma∶mb＝1∶2
C．两粒子的轨道半径之比Ra∶Rb＝1∶
D．两粒子的速率之比va∶vb＝3∶2
【解析】 如图所示，由几何关系可得，从A运动到B，a粒子转过的圆心角为60°，b粒子转过的圆心角为120°，两粒子运动时间相同，根据t＝θ可得，运动周期为Ta∶Tb＝θb∶θa＝2∶1，A正确；设粒子a的运动轨迹半径为Ra，粒子b的运动轨迹半径为Rb，根据几何关系可知Ra＝＝d，Rb＝＝d，整理可得Ra∶Rb＝∶1，两粒子做匀速圆周运动有v＝，由此可得va∶vb＝∶2，粒子所受洛伦兹力提供向心力，故有qvB＝m，整理可得m＝，由此可得ma∶mb＝2∶1，B、C、D错误．
二、多项选择题
2．(2025·清远联考)地磁场能有效抵御宇宙射线的侵入．如图所示为地球赤道平面的剖面图，地球半径为R，把地面上高度为d区域内的地磁场视为磁感应强度为方向垂直于剖面的匀强磁场．宇宙射线中对地球危害最大的带电粒子主要是β粒子．设β粒子的质量为m、电荷量为－e，最大速率为v．下列说法中正确的是( AC )
A．无论从哪个点垂直磁场入射，β粒子都做顺时针转动
B．无论从哪个点垂直磁场入射，β粒子都做逆时针转动
C．从任何方向垂直磁场入射的β粒子均不能到达地面，则d>
D．从任何方向垂直磁场入射的β粒子均不能到达地面，则d>－2R
【解析】 根据左手定则可知，无论从哪个点垂直磁场入射，β粒子都做顺时针转动，A正确，B错误；设β粒子运动的半径为r，根据牛顿第二定律可得evB＝m，解得r＝，即所有β粒子的r都相同，如图所示，可推知当β粒子沿磁场边界的切线方向射入时，其到达的位置离地面最近，当其轨迹与地面相切时磁场的厚度为2r，因此d应满足的条件是d>，C正确，D错误．
3．(2025·佛山禅城区统一调研)如图所示，空间存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场，OA距离为2L，OP是一足够大的荧光屏，粒子打在荧光屏上均被吸收，在O、A之间有大量质量为m、电荷量为＋q的粒子，以相同的速度沿纸面垂直于OA开始运动．其中从OA中点射入的粒子恰好能垂直打在荧光屏上(不计粒子重力及其相互作用)．图中∠POA＝120°，则可判断带电粒子( AD )
A．运动速度大小为
B．在磁场中运动的最长时间
C．打在荧光屏上的位置距离O点最远为 L
D．打在荧光屏上的位置距离O点最远为 L
【解析】 从OA中点射入的粒子恰好能垂直打在荧光屏上，粒子运动轨迹如图甲所示，由几何知识可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径r＝L，对粒子，由牛顿第二定律得qvB＝m，解得粒子的速度大小v＝，A正确；所有粒子速度相同，则粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径相等，从A点射入磁场的粒子打在O点，该粒子在磁场中转过的圆心角最大，该粒子在磁场中的运动时间最长，最大圆心角θ＝180°，粒子在磁场中的最长运动时间tm＝T＝·＝，B错误；粒子打在荧光屏上时的速度方向平行于AO时，其位置距离O点最远，如图乙所示，由几何关系可知，粒子打在荧光屏上的位置距离O点的最远距离为d＝＝L，C错误，D正确．
甲 乙
三、非选择题
4．(2024·韶关综合测试二)如图所示，矩形区域Ⅰ和Ⅱ内分别存在方向垂直于纸面向外和向里的匀强磁场，aa′、bb′、cc′、dd′为磁场边界线，四条边界线相互平行，区域Ⅰ的磁感应强度大小为B，区域Ⅱ的磁感应强度大小为 B，矩形区域的长度足够长，磁场宽度及bb′与cc′之间的距离相同．某种带正电的粒子从aa′上的O1处以大小不同的速度，沿与O1成α＝30°角进入磁场(不计粒子所受重力)，当粒子的速度小于某一值时，粒子在区域Ⅰ内的运动时间均为t0；当速度为v0时，粒子垂直bb′进入无场区域，最终从dd′上的A点射出，求：
(1) 粒子的比荷 ．
(2) 磁场区域Ⅰ的宽度L．
(3) 出射点A偏离入射点O1竖直方向的距离y．
答案：(1) (2) (3)
【解析】 (1) 当粒子的速度小于某一值时，粒子只在区域Ⅰ内运动，不进入区域Ⅱ，从aa′离开磁场，粒子在磁场Ⅰ中运动转过的圆心角为φ＝300°
粒子的运动时间为t0＝T
粒子在区域Ⅰ内有qvB＝m，T＝
解得T＝＝
(2) 当速度为v0时，垂直bb′进入无场区域，设粒子的轨迹半径为r1
根据牛顿第二定律得qv0B＝
转过的圆心角φ1＝60°
又因为L＝r1sin 60°
解得L＝
(3) 设粒子在磁场Ⅱ中运动时，转过的圆心角为φ2，轨迹半径为r2，根据牛顿第二定律得
qv0·B＝
又因sin φ2＝
解得r2＝r1，φ2＝30°
y＝(r1－r1cos φ1)＋(r2－r2cos φ2)
得y＝
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共73张PPT)
专题三
微专题8 磁场及带电粒子在磁场中的运动
场与磁场
直面高考真题
考向1 安培力方向的判断
(2021·广东卷)截面为正方形的绝缘弹性长管中心有一固定长直导线，长管外表面固定着对称分布的四根平行长直导线，若中心直导线通入电流I1，四根平行直导线均通入电流I2，且I1 I2，电流方向如图所示，下列关于通电后长管发生形变的截面图中可能正确是 ( )
C
1
【解析】因I1 I2，则可不考虑四个边上的直导线之间的相互作用，根据两通电直导线间的安培力作用满足“同向电流相互吸引，异向电流相互排斥”，则正方形左右两侧的直导线I2要受到I1吸引的安培力，形成凹形，正方形上下两边的直导线I2要受到I1排斥的安培力，形成凸形，故变形后的形状如图C，故C正确，A、B、D错误．
考向2 安培力大小的计算
(2019·新课标Ⅰ)如图所示，等边三角形线框LMN由三根相同的导体棒连接而成，固定于匀强磁场中，线框平面与磁感应强度方向垂直，线框顶点M、N与直流电源两端相接，已知导体棒MN受到的安培力大小为F，则线框LMN受到的安培力的大小为 ( )
A．2F
B．1.5F
C．0.5F
D．0
B
2
考向3 带电粒子在有界磁场中的运动
3
强化核心考点
一、 磁感应强度、磁场力 带电体在安培力作用下的运动
1．某点的磁感应强度等于各场源单独存在时在该点产生的磁感应强度的__________．
2．两个定则：
(1) 判断电流产生的磁场方向用安培定则(右手螺旋定则)．
(2) 判断磁场对通电导线的安培力用左手定则．
矢量和
3．两个结论：
(1) 同向平行电流相互吸引，反向平行电流相互________．
(2) 两个电流不平行时，有转动到相互平行且电流方向________的趋势．
4．求解安培力作用下的平衡或动力学问题的关键：电磁问题力学化；立体图形平面化．
排斥
相同
(2025·深圳外国语学校一模) (多选)A、B、C三条通电长直导线等距分布，电流方向如图所示，横截面恰好形成边长为d的等边三角形，O点为等边三角形的中心，A、B两条导线中的电流大小相同，都为I，导线C中的电流为 2I，导线半径不计．则 ( )
A．A内电流产生的磁场的磁感线是一系列同心圆，
方向为逆时针方向
B．A、B内电流在C 处产生的磁感应强度大小相同
C．C处的磁场方向水平向左
D．O点的磁场方向竖直向下
BC
1
【解析】根据右手螺旋定则，A 内电流产生的磁场的磁感线是一系列同心圆，方向为顺时针方向，A 错误；A、B内电流在C处产生的磁感应强度大小相同，方向不同，B正确；A 内电流在C 处产生的磁感应强度为B1，B内电流在C 处产生的磁感应强度为B2，其合磁场方向水平向左，如图所示，C正确；同理可知，A、B内电流在O点处产生的合磁场方向水平向左，C内电流在O点处产生的磁场方向水平向左，因此A、B、C中电流在O点处的合磁场方向不是竖直向下，D错误．
(2025·广州三模)(多选)如图甲所示，在倾角θ＝37°的足够长绝缘斜面上放有一根质量m＝0.2 kg、长l＝1 m的导体棒，导体棒中通有方向垂直纸面向外、大小恒为I＝1 A的电流，斜面上方有平行于斜面向下的均匀磁场，磁场的磁感应强度B随时间t的变化关系如图乙所示．已知导体棒与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8．在t＝0时刻将导体棒由静止释放，则在导体棒沿斜面向下运动的过程中 ( )
A．导体棒受到的安培力方向垂直斜面向上
B．导体棒达到最大速度所用的时间为4 s
C．导体棒的最大速度为8 m/s
D．导体棒受到的摩擦力的最大值为5.2 N
BC
2
导体棒受到的摩擦力为Ff＝μ(mgcos θ＋BIl)，即有Ff＝0.2t＋0.4，可知导体棒运动时间越长，受到的摩擦力就越大，故可判断出导体棒的速度再次减为零时，导体棒受到的摩擦力最大，由图可知，t＝8 s时导体棒的速度为零，结合上述解得此时导体棒受到的摩擦力大小为Ff＝2.0 N，D错误．
二、洛伦兹力、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．运动电荷v⊥B时，运动电荷受洛伦兹力F＝qvB，提供运动电荷做匀速圆周运动的向心力．
2．解题思路
BC
3
三、带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1．直线边界：粒子进出磁场具有___________，如图甲所示，θ1＝θ2＝θ3，α1＝α2．
2．平行边界：往往存在临界条件，
对称性
3．圆形边界：
(1) 沿径向射入圆形磁场的粒子必沿________射出，运动具有对称性，如图乙所示．
(2) 不沿径向射入时，若速度方向与半径的夹角为θ，则射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ，如图丙所示．
径向
(2025·广东省三模)如图所示，左侧为一对平行金属板，平行金属板长度为10 cm，板间距为20 cm，两金板间电压为200 V，上极板带正电荷．现有一质量为m＝1.6×10-25 kg、电荷量为1.6×10-17C的负电荷从静止状态
经一加速电场加速后从左侧中点处，沿平行于极板方向射入，
已知加速电压为50 V，然后进入右侧匀强磁场中．匀强磁场紧
邻电场，宽度为10 cm，匀强磁场上下足够长，方向垂直纸面
向里，磁感应强度B＝0.02 T(不计粒子重力，不计电场、磁场
的边缘效应)．求：
(1) 进入偏转电场的速度v0．
答案：(1) 1.0×105 m/s
4
(3) 带电粒子在磁场中运动的时间以及从匀强磁场射出时的位置．
答案：(3) 7.9×10-7s，射出的位置为上极板偏下方且竖直距离为5 cm
突破关键问题
B
5
1．临界及极值问题
(1) 解题关键：通常以题目中的“恰好”、“最大”、“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解．
(2) 解题步骤：分析情景→作基础图→作动态图→确定临界轨迹→分析临界状态→构建三角形→解三角形．
(3) 常用的结论：
①刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
②时间最长或最短的临界条件：当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，运动时间越长；当比荷相同，入射速率v不同时，圆心角越大，运动时间越长．
③在圆形匀强磁场中，若带电粒子速率v一定且运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)．
2．多解问题
(1) 多解原因：带电粒子的电性不确定、磁场的方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性等．
(2) 分析方法：画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
(3) 解决多解问题的一般思路
热练
题组一 磁感应强度、带电体在安培力作用下的运动
1．(2025·广州执信中学检测)图中a、b为两根互相垂直的无限长直导线，导线中通有大小相等、方向如图的电流，O为a、b最短连线上的中点，A、B、C、D分别是纸面内正方形的四个顶点．下列说法中正确的是 ( )
A．O点的磁感应强度为0
B．A点与C点磁感应强度的大小相等
C．B点与D点磁感应强度的方向相同
D．撤去b导线，O点磁感应强度的方向垂直纸面向里
B
【解析】 根据安培定则可知，a导线在O点产生的磁感应强度的方向应垂直于纸面向外，b导线在O点产生的磁感应强度的方向应竖直向上，所以合磁感应强度不为零，A错误；由于A、C点关于ab对称，且A点与C点到两导线的距离相等，则A点与C点磁感应强度的大小相等，B正确；根据磁感应强度的叠加法则可知，B点与D点磁感应强度的方向不同，C错误；根据安培定则可知，撤去b导线，O点磁感应强度的方向垂直纸面向外，D错误．
2．(2025·广东省第一次调研)如图所示，竖直平面内通有电流的正三角形金属线框，悬挂在两根相同的绝缘轻质弹簧下端，线框静止时，弹簧处于原长状态，线框有部分处在虚线框内的匀强磁场中，则虚线框内磁场方向可能为 ( )
A．沿纸面竖直向上
B．沿纸面竖直向下
C．垂直于纸面向外
D．垂直于纸面向里
D
【解析】 弹簧处于原长状态，可知线圈受安培力竖直向上，处在磁场中的线圈等效电流方向向右，由左手定则可知，磁场方向垂直纸面向里，故选D．
3．(2025·广州一模)(多选)无人机电磁弹射技术的原理简化如图所示：两根固定、水平平行放置的弹射轨道处于方向竖直向上的匀强磁场中，与机身相连的金属牵引杆ab垂直静置在轨道上．ab杆通上恒定电流后做匀加速运动，到轨道末端时，无人机脱离金属杆起飞．忽略一切阻力，若 ( )
A．仅将电流大小变为两倍，则无人机起飞速度
变为原来两倍
B．仅将电流大小变为两倍，则无人机起飞动能
变为原来两倍
C．仅将磁感应强度变为两倍，则无人机起飞速度变为原来两倍
D．仅将磁感应强度变为两倍，则无人机起飞动能变为原来两倍
BD
题组二 洛伦兹力 带电粒子在磁场中的圆周运动
4．(2025·佛山顺德区二模)(多选)如图甲所示，地磁场对带电的粒子有阻挡作用．图乙是赤道周围的磁场分布情况，磁场垂直纸面向里，认为该厚度内的磁场大小均匀．三个射向地球的宇宙粒子1、2、3的运动情况如图乙所示，三个粒子的动能大小相等，粒子3沿着直线射向地球，则有 ( )
A．粒子3带正电
B．粒子2带正电
C．若粒子1、2电荷量大小相等，
则粒子1的质量较小
D．若粒子1、2质量相同，则粒
子2的电荷量较大
BD
ACD
BD
ABD
C
9．(2024·广东省5月模拟改编)如图所示为电子发射器原理图，M处是电子出射口，它是宽度为d的狭缝．D为绝缘外壳，整个装置处于真空中，半径为a的金属圆柱A可沿任意方向向外发射速率为v0的电子；与A同轴放置的金属网C的半径为2a．在金属网内环形区域加垂直于圆平面向里的匀强磁场．不考虑A、C的静电感应电荷对电子的作用和电子之间的相互作用，忽略电子所受重力和相对论效应，已知电子质量为m、电荷量为e．
A
AC
AD
