微专题9 带电粒子在复合场中的运动
考向1 带电粒子在立体空间组合场中的的运动
(2022·广东卷)如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场．一质子以某一速度从立方体左侧垂直yOz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域．下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是( )
A B
C D
考向2 带电粒子在叠加场中的运动
(2022·广东卷)(多选)如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场．电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点．已知M、P在同一等势面上，下列说法中正确的有( )
A．电子从N到P，电场力做正功
B．N点的电势高于P点的电势
C．电子从M到N，洛伦兹力不做功
D．电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力
考向3 加速器原理分析
(2025·广东卷)某同步加速器简化模型如图所示，其中仅直通道PQ内有加速电场，三段圆弧内均有可调的匀强偏转磁场B．带电荷量为－q、质量为m的离子以初速度v0从P处进入加速电场后，沿顺时针方向在加速器内循环加速．已知加速电压为U，磁场区域中离子的偏转半径均为R．忽略离子重力和相对论效应，下列说法中正确的是( )
A．偏转磁场的方向垂直纸面向里
B．第1次加速后，离子的动能增加了2qU
C．第k次加速后，离子的速度大小变为
D．第k次加速后，偏转磁场的磁感应强度大小应为
考向4 带电粒子在电磁组合场中的运动
(2021·广东卷)如图所示是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c围成的区域，圆a内为无场区，圆a与圆b之间存在辐射状电场，圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ．各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外．电子以初动能Ek0从圆b上P点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a与圆b之间电势差为U，圆b半径为R，圆c半径为R，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，取tan 22.5°＝0.4．
(1) 当Ek0＝0时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角θ均为45°，最终从Q点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能．
(2) 已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射．当Ek0＝keU时，要保证电子从出射区域出射，求k的最大值．
一、带电粒子在组合场中的运动
1．两种常见模型：
(1) 带电粒子在匀强电场中做匀变速直线运动，在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示．
(2) 带电粒子在匀强电场中做__类平抛__(或类斜抛)运动，在磁场中做匀速圆周运动，如图所示．
2．解题基本思路
(2025·广东省联考)利用电场和磁场来控制带电粒子的运动轨迹，在现代科学实验和技术设备中有着广泛的应用．如图所示，在xOy平面的第一象限内有沿y轴负方向的匀强电场E；第二象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场B1，P点位于x轴负半轴上，在OP处放有可以接收粒子的接收板，其长度为l，厚度不计．在第三和第四象限区域内存在两个匀强磁场，以坐标原点O为圆心，半径为l的半圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场B2；剩余区域的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B3．某一带正电粒子(已知荷质比为k)从x轴上的M点以速度大小v0射入电场，与x轴负方向的夹角为θ，该粒子经电场偏转后，以垂直于y轴的方向从y轴上的N点进入第二象限．已知OM长度为2l，sin θ＝，cos θ＝，不计粒子重力，计算结果可保留根号．(仅l、v0、θ、k为已知值)
(1) 求该粒子在第一象限中运动的时间t和电场强度E的大小．
(2) 要使该粒子从第二象限射出时被接收板接收，求磁场B1的取值范围．
(3) 若B1＝，粒子进入第三和第四象限后，仅进出一次磁场B2，且经过磁场边界时速度方向与边界线垂直，最终回到M点，求磁场B2和B3的大小之比．
二、带电粒子(体)在叠加场中的运动
1．两种常见基本模型
受力 情况 只受电场力和洛伦兹力，且所受合力为零 除洛伦兹力外，重力和电场力的合力为零
实例
运动 情况 匀速直线运动 匀速圆周运动
注意：若三场共存，合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直．
2．“三步”解题法
3．“配速法”在叠加场中的运用
配速法其实就是给物体配一个速度v1，使得v＋v1所产生的洛伦兹力与题目中的重力或者电场力(视情况而定)__抵消__，对应的还会出现一个与v1等大反向的速度v′1，此时等效为只受到一个洛伦兹力，而不再是重力或者电场力加上洛伦兹力，从而降低分析难度．
(2025·中山华侨中学二模)如图所示，空间存在水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，一个带负电的小球，从O点沿电场方向射入，OMN为其一段运动轨迹，M点为轨迹的最右端，N点为O的正下方，不计空气阻力．关于小球从O经M到N点的过程中，下列说法中正确的是( )
A．小球做匀变速运动
B．小球的机械能守恒
C．小球从O到M速度先减小，后增大
D．小球在M、N两点的动能可能相等
三、电磁场与现代科技的综合
1．速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔元件的共同特点：带电粒子在叠加场中受到的静电力和洛伦兹力__平衡__，带电粒子做匀速直线运动．
2．常规回旋加速器的几个要点：
(1) 为使粒子在加速器中不断被加速，加速电场的周期必须__等于__粒子做圆周运动的周期．
(2) 将带电粒子在两盒狭缝之间的运动首尾连起来是一个初速度为0的匀加速直线运动，带电粒子每经电场加速一次，回旋半径就增大一次，所有回旋半径之比为1∶∶…．
(3) 带电粒子在回旋加速器内运动时间的长短，与带电粒子做匀速圆周运动的周期有关，同时还与带电粒子在磁场中转动的圈数有关．设带电粒子在磁场中转动的圈数为n，加速电压为U．因每加速一次粒子获得能量为qU，每圈有两次加速，则Ek＝2nqU＝＝，则n＝，带电粒子在回旋加速器内偏转的时间t＝nT＝．
3．质谱仪的作用：测量带电粒子质量和分离同位素．粒子由静止被加速电场加速，qU＝mv2，在磁场中做__匀速圆周__运动，qvB＝m，则比荷＝．
(2023·广东卷)某小型医用回旋加速器，最大回旋半径为0.5 m，磁感应强度大小为1.12 T，质子加速后获得的最大动能为1.5×107 eV．根据给出的数据，可计算质子经该回旋加速器加速后的最大速率约为(忽略相对论效应，1 eV＝1.6×10-19 J)( )
A．3.6×106 m/s B．1.2×107 m/s
C．5.4×107 m/s D．2.4×108 m/s
四、带电粒子在立体空间电磁场中的运动
(2025·汕头一模)如图所示，三维坐标系O－xyz中，在y>0的空间同时存在沿y轴正方向的匀强电场和沿x轴负方向的匀强磁场，在y<0的空间存在z轴正方向的匀强磁场．带负电的离子从P(0，d，0)以速度v0在yOz平面内沿z轴正方向发射，恰好做匀速直线运动．两处磁场磁感应强度大小均为B，不计离子重力，答案可含π．
(1) 求匀强电场的电场强度大小E．
(2) 撤去y>0空间内的匀强磁场，离子仍从P点以相同速度发射，且经Q(0，0，2d)进入y<0的磁场空间，求离子在Q点的速度．
(3) 离子在y<0的磁场空间中速度第一次垂直y轴时，求离子的坐标．
解题策略
运动类型 解题策略
在三维坐标系中运动，每个轴方向上都是常见运动模型 将粒子的运动分解为三个方向的运动
一维加一面，如旋进运动 旋进运动中将粒子的运动分解为一个轴方向上的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴的所在面内的圆周运动
运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内 把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每个面的运动
五、磁聚焦与磁发散模型
(2025·汕头潮南区摸底考)如图所示，xOy坐标系中内存在圆形有界匀强磁场，圆心在A点(0，R)、半径为R，磁感应强度为B、方向垂直纸面向外．在x>R的区域存在沿y轴负方向的匀强电场，x轴上有无限长的收集板．原点O处有一离子源，它可向各个方向发射速率相同的同种离子．沿y轴正方向发射的离子经磁场从P点射出后，在电场中落到收集板上的Q点．已知离子质量为m、带电荷量为＋q(q>0)，P、Q两点坐标分别为(R，R)、(3R，0)，离子重力不计，落到收集板后不反弹，求：
(1) 离子的发射速率．
(2) 匀强电场的电场强度大小．
(3) 沿与y轴正方向均成30°角发射的离子1、离子2落到收集板上的间隔距离．
磁聚焦与磁发散模型
磁聚焦：带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹圆半径与磁场区域圆半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射速度平行 磁发散：带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹圆半径与磁场区域圆半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行
证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(沿水平方向)
配套热练
题组练
题组一 带电粒子在组合场中的运动
1．医院X光检测设备的核心器件为X射线管．如图所示，在X射线管中，电子(质量为m、电荷量为－e，初速度可以忽略)经电压为U的电场加速后，从P点垂直磁场边界水平射入匀强磁场中．磁场宽为2L，磁感应强度大小可以调节．电子经过磁场偏转后撞击目标靶，撞在不同位置就会辐射出不同能量的X射线．已知水平放置的目标靶MN长为2L，PM长为L，不计电子重力、电子间相互作用力及电子高速运行中辐射的能量．
(1) 求电子进入磁场的速度大小．
(2) 调节磁感应强度大小使电子垂直撞击在目标靶的中点Q上，求电子在磁场中运动的时间．
(3) 为使电子能够撞击在目标靶MN上，求磁感应强度大小的取值范围．
2．(2025·广东省开学考)现代物理经常用磁场来研究粒子运动规律．如图所示，在xOy坐标系内有垂直于平面向里的匀强磁场，第二、四象限内匀强磁场的磁感应强度大小B＝1×10-2 T，另两象限内的磁感应强度大小为2B．现有完全相同的a、b两带正电粒子质量均为m＝5×10-6 kg、电荷量均为q＝5×10-2 C，从坐标原点O以相同速率v＝2×102 m/s同时射入磁场，粒子a沿x轴正方向，粒子b沿y轴正方向．不计粒子受到的重力以及粒子间的相互作用．求：
(1) 粒子a在第一象限运动的半径r．
(2) 粒子a第8次经过x轴时粒子b的坐标(从原点射出时不算次数)．
(3) 粒子a、b在y轴上投影的间距的最大值Δym．
题组二 带电粒子(体)在叠加场中的运动
3．(2025·汕头三模)(多选)用轻质绝缘细绳悬挂带正电的小球，小球可视为质点，如图甲所示．将装置分别放入图乙所示的匀强电场、图丙所示的匀强磁场中．将小球从偏离竖直方向左侧的一个小角度θ(θ<5°)位置由静止释放，在图中三种情况下，小球均在竖直平面内周期性往复运动，周期分别为T1、T2、T3，小球第1次到达轨迹最低点时的速度大小分别为v1、v2、v3，拉力大小分别为F1、F2、F3，不计空气阻力．关于图中三种情况，下列说法中正确的是( )
甲 乙
丙
A．图1和图3的小球在运动过程中机械能都守恒
B．三个小球运动的周期大小关系T2C．三个小球第1次到达最低点时拉力大小关系F2>F1>F3
D．三个小球第1次到达最低点时的速度大小关系v1题组三 电磁场与现代科技的综合
4．(2025·肇庆鼎湖区第一次调研)如图所示为回旋加速器示意图，利用回旋加速器对H粒子进行加速，此时D形盒中的磁场的磁感应强度大小为B，D形盒缝隙间电场变化周期为T，加速电压为U．忽略相对论效应和粒子在D形盒缝隙间的运动时间，下列说法中正确的是( )
A．保持B、U和T不变，该回旋加速器可以加速质子
B．只增大加速电压U，H粒子获得的最大动能增大
C．只增大加速电压U，H粒子在回旋加速器中运动的时间变短
D．回旋加速器只能加速带正电的粒子，不能加速带负电的粒子
5．(2025·汕头一模)(多选)我国空间站“天和”核心舱配备了4台霍尔推进器．如图所示，进入电离室的气体被电离成正离子，经电场加速后以极高速度喷出，在相反的方向上对航天器产生推力．假设核心舱的质量为M，电离后的离子初速度为0，加速电压为U，单台推进器单位时间喷出的离子数量为n，离子质量为m、电荷量为e，忽略离子间的相互作用力，下列说法中正确的是( )
A．离子喷出加速电场时的速度大小为
B．单台霍尔推进器的离子向外喷射形成的等效电流为ne
C．离子在电场中加速的过程中，动能和电势能都增大
D．推进器全部同向开启时，核心舱的加速度为
题组四 带电粒子在立体空间电磁场的运动
6．(2025·广州天河区综合测试二)如图所示，abcd－a′b′c′d′为上表面水平的正方体区域，整个正方体空间内存在竖直向上的匀强磁场．abcd表面的正中央有一小孔P．粒子源S发射了两个速度大小相同、比荷不同的粒子M、N(重力不计)，从P孔垂直于abcd表面射入后，M打在bc边上，N打在b′c′边上，则粒子M、N的比荷之比为( )
A．2∶1 B．1∶2
C．5∶1 D．1∶5
7．(2025·广州二中学月考)现代科技中常常利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，某控制装置如图所示，区域Ⅰ是圆弧形均匀辐向电场，半径为R的中心线O′O处的场强大小处处相等，且大小为E1，方向指向圆心O1；在空间坐标系O－xyz中，区域Ⅱ是边长为L的正方体空间，该空间内充满沿y轴正方向的匀强电场E2(大小未知)；区域Ⅲ也是边长为L的正方体空间，空间内充满平行于xOy平面，与x轴负方向成45°角的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在区域Ⅲ的上表面是一粒子收集板；一群比荷不同的带正电粒子以不同的速率先后从O′沿切线方向进入辐向电场，所有粒子都能通过辐向电场从坐标原点O沿x轴正方向进入区域Ⅱ，不计带电粒子所受重力和粒子之间的相互作用．
(1) 若某一粒子进入辐向电场的速率为v0，该粒子通过区域Ⅱ后刚好从P点进入区域Ⅲ中，已知P点坐标为，求该粒子的比荷和区域Ⅱ中电场强度E2的大小．
(2) 保持(1) 问中E2不变，为了使粒子能够在区域Ⅲ中直接打到粒子收集板上，求粒子的比荷需要满足的条件．
题组五 磁聚焦与磁发散模型
8．(2025·深圳红岭教育集团第五次统考)如图所示，在xOy坐标平面内，半径为R的圆形匀强磁场区域与x轴相切于原点O，与PM相切于A点，PQNM为第一象限内边长为2R、下边在x轴上的正方形，其内部有沿y轴正方向的匀强电场．现有大量质量为m、电荷量为q的正离子，从O点以相同的速率v0沿纸面均匀向各个方向射出，进入磁场的离子从磁场边界出射的点分布在三分之一的圆周上，离子到达MN边界即被吸收，不计离子受到的重力及离子间的相互作用．
(1) 求匀强磁场的磁感应强度大小B．
(2) 若仅改变磁感应强度的大小，使得其中沿y轴正方向入射的离子能经过A点打到N点，求电场强度的大小E．
(3) 在(2)的基础上，仅将电场强度的大小调整为E，求MN区域接收到的离子数占发射出的总离子数的比例η．
增强练
一、单项选择题
1．(2024·广州二模)如图所示，水平放置的两个正对的带电金属板MN、PQ间存在着相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外．在a点由静止释放一带电的微粒，释放后微粒沿曲线acb运动(a、b两点在同一水平高度)，c点是曲线上离MN板最远的点．不计微粒所受空气阻力，下列说法中正确的是( )
A．微粒在c点时电势能最大
B．a点电势低于c点电势
C．微粒在运动到c点过程中电场力做的功等于动能的变化量
D．微粒到达b点后将沿原路径返回a点
二、多项选择题
2．(2025·深圳实验高中三模)据报道，我国空间站安装了现代最先进的霍尔推进器用以空间站的轨道维持．如图乙所示，在很窄的圆环空间内有沿半径向外的磁场1，其磁感应强度大小可近似认为处处相等；垂直圆环平面同时加有匀强磁场2和匀强电场(图中没画出)，磁场1与磁场2的磁感应强度大小相等．已知电子电量荷为e、质量为m，若电子恰好可以在圆环内沿顺时针方向做半径为R、速率为v的匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
甲 乙
A．电场方向垂直环平面向外
B．电子运动周期为
C．垂直圆环平面的磁感应强度大小为
D．电场强度大小为
3．(2025·广州普通高中二模)如图所示，长方体区域＝2＝21＝2L．a处的粒子源可在∠bad范围内朝各个方向发射速率相等的同种粒子．该区域仅存在由a指向a1的匀强电场时，粒子均落在a1b1c1d1矩形范围内；该区域仅存在由a指向a1的匀强磁场时，粒子均通过ab边．不计重力及粒子间的相互作用，则其中某个粒子在该区域运动过程中( )
A．仅存在上述电场时，可能通过a1c1的中点
B．仅存在上述电场时，最大位移可能为 L
C．仅存在上述磁场时，可能通过ac的中点
D．仅存在上述磁场时，运动的最大半径可能为L
三、非选择题
4．(2025·广州普通高中冲刺)如图所示，空间存在两同心圆形边界，半径分别为R1＝1 m、R2＝ m，中间圆形区域内分布着垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B1＝2 T的匀强磁场，环形区域内分布着方向垂直于纸面向内、磁感应强度大小为B2＝0.5 T的匀强磁场．一不计重力、比荷＝1×108 C/kg、带正电的粒子从P点以某一初速度沿径向射入匀强磁场．
(1) 若入射粒子恰好不能进入中间的圆形区域，求粒子入射的速度大小v0和粒子在外面环形区域运动的时间t．
(2) 若入射粒子能进入中间的圆形区域，且进入中间的圆形区域后竖直向下通过圆心O，求粒子入射速度的大小v1．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)微专题9 带电粒子在复合场中的运动
考向1 带电粒子在立体空间组合场中的的运动
(2022·广东卷)如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场．一质子以某一速度从立方体左侧垂直yOz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域．下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是( A )
A B
C D
【解析】由题意知当质子射出后先在MN左侧运动，刚射出时根据左手定则可知在MN左侧受到y轴正方向的洛伦兹力，即在MN左侧会向y轴正方向偏移，做匀速圆周运动，y轴坐标增大；在MN右侧根据左手定则可知洛伦兹力反向，质子在y轴正方向上做减速运动，故A正确，B错误；根据左手定则可知质子在整个运动过程中都只受到平行于xOy平面的洛伦兹力作用，在z轴方向上没有运动，z轴坐标不变，故C、D错误．
考向2 带电粒子在叠加场中的运动
(2022·广东卷)(多选)如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场．电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点．已知M、P在同一等势面上，下列说法中正确的有( BC )
A．电子从N到P，电场力做正功
B．N点的电势高于P点的电势
C．电子从M到N，洛伦兹力不做功
D．电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力
【解析】由题可知电子所受电场力水平向左，电子从N到P的过程中电场力做负功，故A错误；根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知N点的电势高于P点，故B正确；洛伦兹力永不做功，故C正确；由于M点和P点在同一等势面上，故从M到P电场力做功为0，而洛伦兹力不做功，电子在M点速度为0，根据动能定理可知电子在P点速度也为0，则电子在M点和P点都只受电场力作用，在匀强电场中电子在这两点电场力相等，即合力相等，故D错误．
考向3 加速器原理分析
(2025·广东卷)某同步加速器简化模型如图所示，其中仅直通道PQ内有加速电场，三段圆弧内均有可调的匀强偏转磁场B．带电荷量为－q、质量为m的离子以初速度v0从P处进入加速电场后，沿顺时针方向在加速器内循环加速．已知加速电压为U，磁场区域中离子的偏转半径均为R．忽略离子重力和相对论效应，下列说法中正确的是( A )
A．偏转磁场的方向垂直纸面向里
B．第1次加速后，离子的动能增加了2qU
C．第k次加速后，离子的速度大小变为
D．第k次加速后，偏转磁场的磁感应强度大小应为
【解析】直线通道PQ有电势差为U的加速电场，离子带负电，且离子运动方向为P→Q，由左手定则可知，偏转磁场的磁感应强度方向垂直纸面向里，A正确；根据题意，由动能定理可知，加速一次后，离子的动能增量为qU，由于洛伦兹力不做功，则加速k次后，离子的动能增量为kqU，由动能定理有kqU＝，解得v＝，B、C错误；离子在偏转磁场中运动的半径为R，则有qvB＝m，联立解得B＝＝＝，D错误．
考向4 带电粒子在电磁组合场中的运动
(2021·广东卷)如图所示是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c围成的区域，圆a内为无场区，圆a与圆b之间存在辐射状电场，圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ．各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外．电子以初动能Ek0从圆b上P点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a与圆b之间电势差为U，圆b半径为R，圆c半径为R，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，取tan 22.5°＝0.4．
(1) 当Ek0＝0时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角θ均为45°，最终从Q点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能．
(2) 已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射．当Ek0＝keU时，要保证电子从出射区域出射，求k的最大值．
答案：(1) 8eU (2)
【解析】(1) 进入磁场Ⅰ前，电子在电场中加速有2eU＝mv2
在磁场Ⅰ中，由几何关系可得r＝R tan 22.5°＝0.4R
eBv＝m，联立解得B＝
在磁场Ⅰ中的运动周期为T＝，由几何关系可得，电子在磁场Ⅰ中运动的圆心角为φ＝π
在磁场Ⅰ中的运动时间为t＝T
联立解得t＝
从Q点出来的动能为Ek＝8eU
(2) 在磁场Ⅰ中做匀速圆周运动的最大半径为rm，此时圆周的轨迹与Ⅰ边界相切，由几何关系可得，(R－rm)2＝
解得rm＝R
由于eBvm＝
2eU＝－keU
联立解得k＝
一、带电粒子在组合场中的运动
1．两种常见模型：
(1) 带电粒子在匀强电场中做匀变速直线运动，在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示．
(2) 带电粒子在匀强电场中做__类平抛__(或类斜抛)运动，在磁场中做匀速圆周运动，如图所示．
2．解题基本思路
(2025·广东省联考)利用电场和磁场来控制带电粒子的运动轨迹，在现代科学实验和技术设备中有着广泛的应用．如图所示，在xOy平面的第一象限内有沿y轴负方向的匀强电场E；第二象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场B1，P点位于x轴负半轴上，在OP处放有可以接收粒子的接收板，其长度为l，厚度不计．在第三和第四象限区域内存在两个匀强磁场，以坐标原点O为圆心，半径为l的半圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场B2；剩余区域的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B3．某一带正电粒子(已知荷质比为k)从x轴上的M点以速度大小v0射入电场，与x轴负方向的夹角为θ，该粒子经电场偏转后，以垂直于y轴的方向从y轴上的N点进入第二象限．已知OM长度为2l，sin θ＝，cos θ＝，不计粒子重力，计算结果可保留根号．(仅l、v0、θ、k为已知值)
(1) 求该粒子在第一象限中运动的时间t和电场强度E的大小．
(2) 要使该粒子从第二象限射出时被接收板接收，求磁场B1的取值范围．
(3) 若B1＝，粒子进入第三和第四象限后，仅进出一次磁场B2，且经过磁场边界时速度方向与边界线垂直，最终回到M点，求磁场B2和B3的大小之比．
答案：(1) (2) ≤B1≤ (3)
【解析】(1) 粒子在第一象限中做类斜抛运动，x方向匀速直线运动，有2l＝v0cos θ·t
y方向，v0sin θ＝at，Eq＝ma
解得t＝，E＝
(2) 由(1) 可得ON＝t＝2l
设v＝v0cos θ，若粒子恰能打在O点，则2r1＝2l
由qvB1max＝，解得B1max＝
粒子恰能打在P点时，由几何关系(2l－r2)2＋l2＝
由qvB1min＝，解得B1min＝
故 ≤B1≤
(3) 若B1＝，由qvB1＝，可得r3＝2l
故粒子垂直于x轴进入第三象限．粒子进入第三和第四象限后，运动的轨迹如图所示，设进入磁场B3的半径为r4，则由几何关系得＋l2＝(2l－r4)2
解得r4＝l
设粒子在B2中的运动半径为r5，则由几何关系得
tan ∠O3OI＝＝，解得r5＝l
由qvB3＝，qvB2＝
联立解得 ＝＝
二、带电粒子(体)在叠加场中的运动
1．两种常见基本模型
受力 情况 只受电场力和洛伦兹力，且所受合力为零 除洛伦兹力外，重力和电场力的合力为零
实例
运动 情况 匀速直线运动 匀速圆周运动
注意：若三场共存，合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直．
2．“三步”解题法
3．“配速法”在叠加场中的运用
配速法其实就是给物体配一个速度v1，使得v＋v1所产生的洛伦兹力与题目中的重力或者电场力(视情况而定)__抵消__，对应的还会出现一个与v1等大反向的速度v′1，此时等效为只受到一个洛伦兹力，而不再是重力或者电场力加上洛伦兹力，从而降低分析难度．
(2025·中山华侨中学二模)如图所示，空间存在水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，一个带负电的小球，从O点沿电场方向射入，OMN为其一段运动轨迹，M点为轨迹的最右端，N点为O的正下方，不计空气阻力．关于小球从O经M到N点的过程中，下列说法中正确的是( C )
A．小球做匀变速运动
B．小球的机械能守恒
C．小球从O到M速度先减小，后增大
D．小球在M、N两点的动能可能相等
【解析】小球在复合场中受重力、电场力和洛伦兹力三个力的作用，洛伦兹力与速度方向垂直，所以洛伦兹力的大小和方向均会发生变化，小球的加速度会变化，A错误；洛伦兹力不做功，电场力做功，所以机械能不守恒，B错误；把重力和电场力合成为一个等效重力，其方向斜向左下方，等效最高点在O到M的中途某处，而洛伦兹力不做功，所以小球从O到M的过程中速度先减小，后增大，C正确；小球从M点到N点洛伦兹力不做功，但重力和电场力都做正功，动能增加，D错误．
三、电磁场与现代科技的综合
1．速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔元件的共同特点：带电粒子在叠加场中受到的静电力和洛伦兹力__平衡__，带电粒子做匀速直线运动．
2．常规回旋加速器的几个要点：
(1) 为使粒子在加速器中不断被加速，加速电场的周期必须__等于__粒子做圆周运动的周期．
(2) 将带电粒子在两盒狭缝之间的运动首尾连起来是一个初速度为0的匀加速直线运动，带电粒子每经电场加速一次，回旋半径就增大一次，所有回旋半径之比为1∶∶…．
(3) 带电粒子在回旋加速器内运动时间的长短，与带电粒子做匀速圆周运动的周期有关，同时还与带电粒子在磁场中转动的圈数有关．设带电粒子在磁场中转动的圈数为n，加速电压为U．因每加速一次粒子获得能量为qU，每圈有两次加速，则Ek＝2nqU＝＝，则n＝，带电粒子在回旋加速器内偏转的时间t＝nT＝．
3．质谱仪的作用：测量带电粒子质量和分离同位素．粒子由静止被加速电场加速，qU＝mv2，在磁场中做__匀速圆周__运动，qvB＝m，则比荷＝．
(2023·广东卷)某小型医用回旋加速器，最大回旋半径为0.5 m，磁感应强度大小为1.12 T，质子加速后获得的最大动能为1.5×107 eV．根据给出的数据，可计算质子经该回旋加速器加速后的最大速率约为(忽略相对论效应，1 eV＝1.6×10-19 J)( C )
A．3.6×106 m/s B．1.2×107 m/s
C．5.4×107 m/s D．2.4×108 m/s
【解析】电子在回旋加速器中运动的最大速度与D形盒的半径有关，当电子的轨迹半径等于D形盒的半径时，速度最大，由洛伦兹力提供向心力，有evmB＝，最大动能Ekm＝，联立解得vm＝＝，其中＝1 V，解得vm＝5.4×107 m/s，故C正确，A、B、D错误．
四、带电粒子在立体空间电磁场中的运动
(2025·汕头一模)如图所示，三维坐标系O－xyz中，在y>0的空间同时存在沿y轴正方向的匀强电场和沿x轴负方向的匀强磁场，在y<0的空间存在z轴正方向的匀强磁场．带负电的离子从P(0，d，0)以速度v0在yOz平面内沿z轴正方向发射，恰好做匀速直线运动．两处磁场磁感应强度大小均为B，不计离子重力，答案可含π．
(1) 求匀强电场的电场强度大小E．
(2) 撤去y>0空间内的匀强磁场，离子仍从P点以相同速度发射，且经Q(0，0，2d)进入y<0的磁场空间，求离子在Q点的速度．
(3) 离子在y<0的磁场空间中速度第一次垂直y轴时，求离子的坐标．
答案：(1) v0B (2) v0，方向与z轴正方向夹角θ＝45° (3) [2d，－2d，(2＋π)d ]
【解析】(1) 离子做匀速直线运动，有qv0B＝qE
解得E＝v0B
(2) 撤去磁场后，离子做类平抛运动，y方向上，有d＝at2
z方向上，有2d＝v0t
y方向上的速度分量vy＝at
Q点时的速度大小为v＝
解得v＝v0
由tan θ＝＝1得速度与z轴正方向夹角θ＝45°
(3) 当离子进入y<0的磁场后，在z方向做匀速直线运动，在xOy平面做匀速圆周运动，当圆周运动转过的圆心角为90°时，速度第一次垂直y轴，在电场中qE＝ma
在磁场中，xOy平面qv0B＝
解得R＝2d
又T＝，转过90°圆心角的时间为t＝T
z方向上，z＝v0t
可得此时离子坐标 [2d，－2d，(2＋π)d]
解题策略
运动类型 解题策略
在三维坐标系中运动，每个轴方向上都是常见运动模型 将粒子的运动分解为三个方向的运动
一维加一面，如旋进运动 旋进运动中将粒子的运动分解为一个轴方向上的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴的所在面内的圆周运动
运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内 把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每个面的运动
五、磁聚焦与磁发散模型
(2025·汕头潮南区摸底考)如图所示，xOy坐标系中内存在圆形有界匀强磁场，圆心在A点(0，R)、半径为R，磁感应强度为B、方向垂直纸面向外．在x>R的区域存在沿y轴负方向的匀强电场，x轴上有无限长的收集板．原点O处有一离子源，它可向各个方向发射速率相同的同种离子．沿y轴正方向发射的离子经磁场从P点射出后，在电场中落到收集板上的Q点．已知离子质量为m、带电荷量为＋q(q>0)，P、Q两点坐标分别为(R，R)、(3R，0)，离子重力不计，落到收集板后不反弹，求：
(1) 离子的发射速率．
(2) 匀强电场的电场强度大小．
(3) 沿与y轴正方向均成30°角发射的离子1、离子2落到收集板上的间隔距离．
答案：(1) (2) (3) ()R
【解析】(1) 根据题意作出离子的运动轨迹
离子在磁场中做匀速圆周运动qvB＝
根据几何关系有r＝R
解得v0＝
(2) P→Q离子做类平抛运动，则x＝v0t＝2R
y＝at2＝R
加速度为a＝
解得E＝
(3) 因为r＝R，离子1和离子2射出圆形磁场时，速度方向都沿x轴正方向．进入电场后都做类平抛运动
离子1做类平抛运动，在y轴方向有
R sin 30°＝
离子1做类平抛运动，在x轴方向的位移
x1＝v0t1＝R
离子2做类平抛运动，在y轴方向有
R＋R sin 30°＝
离子2做类平抛运动在x轴方向的位移
x2＝v0t2＝R
由于离子1和离子2都是进入电场后才开始做类平抛运动的，离子1、离子2落到收集板上的间隔距离为
Δx＝x2－x1＝()R
磁聚焦与磁发散模型
磁聚焦：带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹圆半径与磁场区域圆半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射速度平行 磁发散：带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹圆半径与磁场区域圆半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行
证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(沿水平方向)
配套热练
题组练
题组一 带电粒子在组合场中的运动
1．医院X光检测设备的核心器件为X射线管．如图所示，在X射线管中，电子(质量为m、电荷量为－e，初速度可以忽略)经电压为U的电场加速后，从P点垂直磁场边界水平射入匀强磁场中．磁场宽为2L，磁感应强度大小可以调节．电子经过磁场偏转后撞击目标靶，撞在不同位置就会辐射出不同能量的X射线．已知水平放置的目标靶MN长为2L，PM长为L，不计电子重力、电子间相互作用力及电子高速运行中辐射的能量．
(1) 求电子进入磁场的速度大小．
(2) 调节磁感应强度大小使电子垂直撞击在目标靶的中点Q上，求电子在磁场中运动的时间．
(3) 为使电子能够撞击在目标靶MN上，求磁感应强度大小的取值范围．
答案：(1) (2) (3) ≤B≤
【解析】 (1) 在加速电场中，根据动能定理有
eU＝mv2
解得电子进入磁场的速度大小v＝
(2) 设电子垂直打在MN中间时，做匀速圆周运动的半径为R1，由几何关系得R1＝L，对应的圆心角为，则在磁场中运动时间t＝，周期为T＝
联立解得t＝＝
(3) 电子在磁场中运动由洛伦兹力提供向心力，有
evB＝m，解得B＝
设打在M点时的运动半径为R2，由几何关系可知R2＝L
联立以上各式解得磁感应强度最大值为
B1＝
同理，打在N点的半径为R3，由几何关系可知
＝(R3－L)2＋(2L)2
联立以上各式解得磁感应强度最小值为
B2＝
综上所述，磁感应强度大小的取值范围为
≤B≤
2．(2025·广东省开学考)现代物理经常用磁场来研究粒子运动规律．如图所示，在xOy坐标系内有垂直于平面向里的匀强磁场，第二、四象限内匀强磁场的磁感应强度大小B＝1×10-2 T，另两象限内的磁感应强度大小为2B．现有完全相同的a、b两带正电粒子质量均为m＝5×10-6 kg、电荷量均为q＝5×10-2 C，从坐标原点O以相同速率v＝2×102 m/s同时射入磁场，粒子a沿x轴正方向，粒子b沿y轴正方向．不计粒子受到的重力以及粒子间的相互作用．求：
(1) 粒子a在第一象限运动的半径r．
(2) 粒子a第8次经过x轴时粒子b的坐标(从原点射出时不算次数)．
(3) 粒子a、b在y轴上投影的间距的最大值Δym．
答案：(1) 1 m (2) (－8 m，0) (3) 0.5 m
【解析】 (1) 由题意知，粒子a在匀强磁场中做匀速圆周运动，有qv·2B＝m，解得r＝1 m
(2) 设粒子a在第一象限运动的周期为Ta，粒子b在第二象限运动的周期为Tb，有Ta＝，解得Ta＝π×10-2 s
同理可得粒子b在第二象限运动的半径r′＝2r＝2 m，运动周期Tb＝2π×10-2 s
粒子a从坐标原点O至第一次到达x轴的时间
ta＝Ta＋Tb＝π×10-2 s，第一次到达x轴的坐标为(－2r，0)，即(－2 m，0)
粒子b第一次到达x轴的时间tb＝Tb＝π×10-2 s，第一次到达x轴的坐标为(－2r′，0)，即(－4 m，0)
可推得此后二者完全同步，当粒子a第8次经过x轴时，粒子b也经过x轴．由几何关系可知，粒子b第8次经过x轴的横坐标xb8＝－8 m，则此时粒子b的坐标为(－8 m，0)．
(3) 由题意可知，粒子a经过y轴后就和粒子b同步运动，即Δy＝0
当粒子a在第一象限运动时，由ω＝和θ＝ωt可知粒子a运动的角度是粒子b的两倍，设粒子b运动的圆心角为θ，则粒子a运动的圆心角为2θ，由几何关系有
Δy＝2r sin θ－r(1－cos 2θ)＝2r sin θ(1－sin θ)
由数学基本不等式可知当sin θ＝时，Δy有最大值，Δym＝0.5 m
题组二 带电粒子(体)在叠加场中的运动
3．(2025·汕头三模)(多选)用轻质绝缘细绳悬挂带正电的小球，小球可视为质点，如图甲所示．将装置分别放入图乙所示的匀强电场、图丙所示的匀强磁场中．将小球从偏离竖直方向左侧的一个小角度θ(θ<5°)位置由静止释放，在图中三种情况下，小球均在竖直平面内周期性往复运动，周期分别为T1、T2、T3，小球第1次到达轨迹最低点时的速度大小分别为v1、v2、v3，拉力大小分别为F1、F2、F3，不计空气阻力．关于图中三种情况，下列说法中正确的是( ABC )
甲 乙
丙
A．图1和图3的小球在运动过程中机械能都守恒
B．三个小球运动的周期大小关系T2C．三个小球第1次到达最低点时拉力大小关系F2>F1>F3
D．三个小球第1次到达最低点时的速度大小关系v1【解析】 由题意可知，图甲小球第一次到达轨迹最低点的过程中，球受拉力与重力的作用，只有重力做正功，机械能守恒；图乙小球受拉力、重力和电场力的作用，除重力做正功外，电场力也做正功，小球机械能增加；图丙小球受拉力、重力和洛伦兹力的作用，只有重力做正功，机械能守恒，A正确；分析图甲和图丙，在相同位置时沿运动方向的受力相同，则图甲和图丙的小球运动情况相同，可知T1＝T3；对图乙分析，电场力与重力的合力为等效重力，则其等效重力加速度变大，由周期公式T＝2π可知，小球周期变小，因此三种情况下小球运动的周期关系为T2F1>F3，C正确，D错误．
题组三 电磁场与现代科技的综合
4．(2025·肇庆鼎湖区第一次调研)如图所示为回旋加速器示意图，利用回旋加速器对H粒子进行加速，此时D形盒中的磁场的磁感应强度大小为B，D形盒缝隙间电场变化周期为T，加速电压为U．忽略相对论效应和粒子在D形盒缝隙间的运动时间，下列说法中正确的是( C )
A．保持B、U和T不变，该回旋加速器可以加速质子
B．只增大加速电压U，H粒子获得的最大动能增大
C．只增大加速电压U，H粒子在回旋加速器中运动的时间变短
D．回旋加速器只能加速带正电的粒子，不能加速带负电的粒子
【解析】 D形盒缝隙间电场变化周期与H粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，为T＝，而质子与H粒子的比荷不相等，所以为了加速器可以加速质子，应对加速器进行参数调节，改变B和T，A错误；设D形盒半径为r，则H粒子离开回旋加速器的最大速度vmax＝，所以只增大加速电压U，H粒子获得的最大动能不会增大，B错误；粒子在回旋加速器回旋一周，增加的动能为2qU，在回旋加速器中运动时间由回旋次数决定，设回旋次数为n，则由2nqU＝n＝，所以粒子运动总时间t＝nT＝·＝，故只增大加速电压U，H粒子在回旋加速器中回旋的次数会变少，即运动的时间会变短，C正确；回旋加速度既能加速带正电的粒子，也能加速带负电的粒子，D错误．
5．(2025·汕头一模)(多选)我国空间站“天和”核心舱配备了4台霍尔推进器．如图所示，进入电离室的气体被电离成正离子，经电场加速后以极高速度喷出，在相反的方向上对航天器产生推力．假设核心舱的质量为M，电离后的离子初速度为0，加速电压为U，单台推进器单位时间喷出的离子数量为n，离子质量为m、电荷量为e，忽略离子间的相互作用力，下列说法中正确的是( ABD )
A．离子喷出加速电场时的速度大小为
B．单台霍尔推进器的离子向外喷射形成的等效电流为ne
C．离子在电场中加速的过程中，动能和电势能都增大
D．推进器全部同向开启时，核心舱的加速度为
【解析】 电场对离子加速有eU＝mv2，解得离子喷出加速电场时的速度大小v＝，A正确；单台霍尔推进器的离子向外喷射形成的等效电流为I＝＝＝ne，B正确；离子在电场中加速的过程中，电场对离子做正功，离子动能增加，电势能减小，C错误；推进器全部同向开启时，设单个推进器给核心舱的作用力大小为F，对离子根据动量定理有m0v＝Ft，其中m0＝nmt，对核心舱，有4F＝Ma，联立解得核心舱的加速度为a＝，D正确．
题组四 带电粒子在立体空间电磁场的运动
6．(2025·广州天河区综合测试二)如图所示，abcd－a′b′c′d′为上表面水平的正方体区域，整个正方体空间内存在竖直向上的匀强磁场．abcd表面的正中央有一小孔P．粒子源S发射了两个速度大小相同、比荷不同的粒子M、N(重力不计)，从P孔垂直于abcd表面射入后，M打在bc边上，N打在b′c′边上，则粒子M、N的比荷之比为( C )
A．2∶1 B．1∶2
C．5∶1 D．1∶5
【解析】 根据题意，画出粒子的运动轨迹，从上往下看，如图所示，设正方体的棱长为L，由几何关系有rM＝＝L2＋2，解得rN＝L，由牛顿第二定律有qvB＝m，可得＝，由于粒子源S发射了两个速度大小相同的粒子进入同一磁场中，设粒子M、N的比荷分别为kM和kN，则粒子M、N的比荷之比为 ＝＝，故选C．
7．(2025·广州二中学月考)现代科技中常常利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，某控制装置如图所示，区域Ⅰ是圆弧形均匀辐向电场，半径为R的中心线O′O处的场强大小处处相等，且大小为E1，方向指向圆心O1；在空间坐标系O－xyz中，区域Ⅱ是边长为L的正方体空间，该空间内充满沿y轴正方向的匀强电场E2(大小未知)；区域Ⅲ也是边长为L的正方体空间，空间内充满平行于xOy平面，与x轴负方向成45°角的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在区域Ⅲ的上表面是一粒子收集板；一群比荷不同的带正电粒子以不同的速率先后从O′沿切线方向进入辐向电场，所有粒子都能通过辐向电场从坐标原点O沿x轴正方向进入区域Ⅱ，不计带电粒子所受重力和粒子之间的相互作用．
(1) 若某一粒子进入辐向电场的速率为v0，该粒子通过区域Ⅱ后刚好从P点进入区域Ⅲ中，已知P点坐标为，求该粒子的比荷和区域Ⅱ中电场强度E2的大小．
(2) 保持(1) 问中E2不变，为了使粒子能够在区域Ⅲ中直接打到粒子收集板上，求粒子的比荷需要满足的条件．
答案： (2) <<
【解析】 (1) 某一粒子进入辐向电场的速率为v0，粒子在辐向电场中做匀速圆周运动，由电场力提供向心力可得q0E1＝
解得该粒子的比荷为＝
粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，沿x轴方向有
L＝v0t
沿y轴方向有a＝＝at2
联立解得区域Ⅱ中电场强度E2的大小为
E2＝
(2) 设粒子电荷量为q、质量为m，粒子进入辐向电场的速率为v，则粒子在辐向电场中有
qE1＝m
解得v＝
粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，设粒子都能进入区域Ⅲ，则沿x轴方向有L＝vt
沿y轴方向有a＝，y＝at2，vy＝at
联立解得y＝，vy＝
可知所有粒子经过区域Ⅱ后都从P点进入区域Ⅲ中，进入区域Ⅲ的速度方向与x轴正方向的夹角为θ，则有tan θ＝＝1
解得θ＝45°
粒子进入区域Ⅲ的速度大小为
v′＝＝
粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，则有qv′B＝m
解得r＝＝
为了保证粒子能够打到粒子收集器上，如图所示
由几何关系可知粒子在磁场中的半径需要满足 L联立解得粒子的比荷需要满足 <<
题组五 磁聚焦与磁发散模型
8．(2025·深圳红岭教育集团第五次统考)如图所示，在xOy坐标平面内，半径为R的圆形匀强磁场区域与x轴相切于原点O，与PM相切于A点，PQNM为第一象限内边长为2R、下边在x轴上的正方形，其内部有沿y轴正方向的匀强电场．现有大量质量为m、电荷量为q的正离子，从O点以相同的速率v0沿纸面均匀向各个方向射出，进入磁场的离子从磁场边界出射的点分布在三分之一的圆周上，离子到达MN边界即被吸收，不计离子受到的重力及离子间的相互作用．
(1) 求匀强磁场的磁感应强度大小B．
(2) 若仅改变磁感应强度的大小，使得其中沿y轴正方向入射的离子能经过A点打到N点，求电场强度的大小E．
(3) 在(2)的基础上，仅将电场强度的大小调整为E，求MN区域接收到的离子数占发射出的总离子数的比例η．
答案：(1) (3)
【解析】 (1) 离子运动轨迹如图所示
根据几何关系可得轨迹半径r1＝Rcos 30°＝R
根据洛伦兹力提供向心力qv0B＝
解得磁感应强度为B＝
(2) 离子运动轨迹如图所示
根据几何关系可得离子的轨迹半径r2＝R
所有离子均以v0沿x轴正方向进入电场，从A点入射的离子，在x轴方向，有2R＝v0t1
在y轴方向，有R＝，根据牛顿第二定律，有qE＝ma
联立解得E＝
(3) 从某点出射的离子打到N点，粒子运动轨迹如图所示
在x轴方向，有2R＝v0t2
根据牛顿第二定律，有q·＝ma1
在y轴方向，有y＝
联立解得y＝，根据几何关系易得θ＝60°
解得MN区域接收到的离子数占发射出的总离子数的比例η＝＝
增强练
一、单项选择题
1．(2024·广州二模)如图所示，水平放置的两个正对的带电金属板MN、PQ间存在着相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外．在a点由静止释放一带电的微粒，释放后微粒沿曲线acb运动(a、b两点在同一水平高度)，c点是曲线上离MN板最远的点．不计微粒所受空气阻力，下列说法中正确的是( A )
A．微粒在c点时电势能最大
B．a点电势低于c点电势
C．微粒在运动到c点过程中电场力做的功等于动能的变化量
D．微粒到达b点后将沿原路径返回a点
【解析】 由题意可知，刚开始运动时，洛伦兹力向右，根据左手定则，可得粒子带负电，则电场力竖直向上，所以粒子从a到c的过程中，电场力做负功，电势能增加，所以微粒在c点时电势能最大，A正确；两金属板间的电场竖直向下，根据沿着电场线电势降低，可知c点的电势低于a点的电势，B错误；微粒在运动到c点过程中重力和电场力做的功等于动能的变化量，C错误；微粒到达b后，再向下运动，又会受到向右的洛伦兹力，所以它会向右偏转，而不会沿原路返回到a点，D错误．
二、多项选择题
2．(2025·深圳实验高中三模)据报道，我国空间站安装了现代最先进的霍尔推进器用以空间站的轨道维持．如图乙所示，在很窄的圆环空间内有沿半径向外的磁场1，其磁感应强度大小可近似认为处处相等；垂直圆环平面同时加有匀强磁场2和匀强电场(图中没画出)，磁场1与磁场2的磁感应强度大小相等．已知电子电量荷为e、质量为m，若电子恰好可以在圆环内沿顺时针方向做半径为R、速率为v的匀速圆周运动，下列说法中正确的是( BCD )
甲 乙
A．电场方向垂直环平面向外
B．电子运动周期为
C．垂直圆环平面的磁感应强度大小为
D．电场强度大小为
【解析】 根据左手定则可知，电子在圆环内受到沿半径向外的磁场1的洛伦兹力方向垂直环平面向里，电场力需要与该洛伦兹力平衡，电场力方向应垂直圆环平面向外，由于电子带负电，故电场方向垂直圆环平面向里，A错误；电子在圆环内沿顺时针方向做半径为R、速率为v的匀速圆周运动，则电子运动周期为T＝，B正确；电子在圆环内受到磁场2的洛伦兹力提供电子做圆周运动的向心力，则有evB＝m，解得B＝，C正确；电子在垂直圆环平面方向受力平衡，则有eE＝evB，解得E＝，D正确．
3．(2025·广州普通高中二模)如图所示，长方体区域＝2＝21＝2L．a处的粒子源可在∠bad范围内朝各个方向发射速率相等的同种粒子．该区域仅存在由a指向a1的匀强电场时，粒子均落在a1b1c1d1矩形范围内；该区域仅存在由a指向a1的匀强磁场时，粒子均通过ab边．不计重力及粒子间的相互作用，则其中某个粒子在该区域运动过程中( BCD )
A．仅存在上述电场时，可能通过a1c1的中点
B．仅存在上述电场时，最大位移可能为 L
C．仅存在上述磁场时，可能通过ac的中点
D．仅存在上述磁场时，运动的最大半径可能为L
【解析】 仅存在上述电场时，粒子竖直方向均做初速度为零的匀加速运动，粒子均落在a1b1c1d1矩形范围内，说明竖直方向的位移均为L，所以运动时间相同．又因为粒子水平方向做匀速直线运动，均落在a1b1c1d1矩形范围内，说明水平位移最大不能超过L(从a到d1的粒子)，而根据几何关系可知a1c1的一半长度为L>L，即粒子不能通过a1c1的中点，A错误；根据选项A的分析可知，仅存在上述电场时，粒子的竖直位移为L，水平位移最大不能超过L，所以最大位移可能为 L，B正确；仅存在上述磁场时，粒子在abcd面内做匀速圆周运动，粒子均通过ab边，说明最大半径不超过L(图中圆1)，再根据旋转圆可知，粒子完全有可能通过ac的中点(图中圆2)，C、D正确．
三、非选择题
4．(2025·广州普通高中冲刺)如图所示，空间存在两同心圆形边界，半径分别为R1＝1 m、R2＝ m，中间圆形区域内分布着垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B1＝2 T的匀强磁场，环形区域内分布着方向垂直于纸面向内、磁感应强度大小为B2＝0.5 T的匀强磁场．一不计重力、比荷＝1×108 C/kg、带正电的粒子从P点以某一初速度沿径向射入匀强磁场．
(1) 若入射粒子恰好不能进入中间的圆形区域，求粒子入射的速度大小v0和粒子在外面环形区域运动的时间t．
(2) 若入射粒子能进入中间的圆形区域，且进入中间的圆形区域后竖直向下通过圆心O，求粒子入射速度的大小v1．
答案：(1) 5×107 m/s ×10-8 s(或t≈4.19×10-8 s) (2) ×108 m/s(或8.66×107 m/s)
【解析】 (1) 粒子恰好不进入中间圆形磁场区域时，粒子在B2磁场中匀速圆周运动的轨道半径为r
由几何关系有(r＋R1)2＝，得r＝1 m
对该粒子有qvB2＝m，解得v0＝5×107 m/s
设该粒子在磁场B2中匀速圆周运动周期为T＝
由几何关系可知tan θ＝，解得θ＝，t＝T
联立求得t＝×10-8s(或t≈4.19×10-8s)
(2) 设粒子在B1磁场中运动的轨道半径为r1，在B2磁场中运动的轨道半径为r2
则由几何关系有(r1＋r2)2＝＋(R2－r1)2
在B2磁场中，对粒子qv1B2＝m
在B1磁场中，对粒子qv1B1＝m
得r1＝ m，r2＝ m，v1＝×108 m/s(或8.66×107 m/s)
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专题三
微专题9 带电粒子在复合场中的运动
场与磁场
直面高考真题
考向1 带电粒子在立体空间组合场中的的运动
(2022·广东卷)如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场．一质子以某一速度从立方体左侧垂直yOz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域．下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是 ( )
A
1
【解析】由题意知当质子射出后先在MN左侧运动，刚射出时根据左手定则可知在MN左侧受到y轴正方向的洛伦兹力，即在MN左侧会向y轴正方向偏移，做匀速圆周运动，y轴坐标增大；在MN右侧根据左手定则可知洛伦兹力反向，质子在y轴正方向上做减速运动，故A正确，B错误；根据左手定则可知质子在整个运动过程中都只受到平行于xOy平面的洛伦兹力作用，在z轴方向上没有运动，z轴坐标不变，故C、D错误．
考向2 带电粒子在叠加场中的运动
(2022·广东卷)(多选)如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场．电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点．已知M、P在同一等势面上，下列说法中正确的有 ( )
A．电子从N到P，电场力做正功
B．N点的电势高于P点的电势
C．电子从M到N，洛伦兹力不做功
D．电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力
BC
2
【解析】由题可知电子所受电场力水平向左，电子从N到P的过程中电场力做负功，故A错误；根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知N点的电势高于P点，故B正确；洛伦兹力永不做功，故C正确；由于M点和P点在同一等势面上，故从M到P电场力做功为0，而洛伦兹力不做功，电子在M点速度为0，根据动能定理可知电子在P点速度也为0，则电子在M点和P点都只受电场力作用，在匀强电场中电子在这两点电场力相等，即合力相等，故D错误．
考向3 加速器原理分析
A
3
考向4 带电粒子在电磁组合场中的运动
4
强化核心考点
一、带电粒子在组合场中的运动
1．两种常见模型：
(1) 带电粒子在匀强电场中做匀变速直线运动，在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示．
(2) 带电粒子在匀强电场中做__________(或类斜抛)运动，在磁场中做匀速圆周运动，如图所示．
类平抛
2．解题基本思路
1
二、带电粒子(体)在叠加场中的运动
1．两种常见基本模型
受力
情况 只受电场力和洛伦兹力，且所受合力为零 除洛伦兹力外，重力和电场力的合力为零
实例
运动情况 匀速直线运动 匀速圆周运动
注意：若三场共存，合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直．
2．“三步”解题法
3．“配速法”在叠加场中的运用
配速法其实就是给物体配一个速度v1，使得v＋v1所产生的洛伦兹力与题目中的重力或者电场力(视情况而定)________，对应的还会出现一个与v1等大反向的速度v′1，此时等效为只受到一个洛伦兹力，而不再是重力或者电场力加上洛伦兹力，从而降低分析难度．
抵消
(2025·中山华侨中学二模)如图所示，空间存在水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，一个带负电的小球，从O点沿电场方向射入，OMN为其一段运动轨迹，M点为轨迹的最右端，N点为O的正下方，不计空气阻力．关于小球从O经M到N点的过程中，下列说法中正确的是 ( )
A．小球做匀变速运动
B．小球的机械能守恒
C．小球从O到M速度先减小，后增大
D．小球在M、N两点的动能可能相等
C
2
【解析】小球在复合场中受重力、电场力和洛伦兹力三个力的作用，洛伦兹力与速度方向垂直，所以洛伦兹力的大小和方向均会发生变化，小球的加速度会变化，A错误；洛伦兹力不做功，电场力做功，所以机械能不守恒，B错误；把重力和电场力合成为一个等效重力，其方向斜向左下方，等效最高点在O到M的中途某处，而洛伦兹力不做功，所以小球从O到M的过程中速度先减小，后增大，C正确；小球从M点到N点洛伦兹力不做功，但重力和电场力都做正功，动能增加，D错误．
平衡
等于
匀速圆周
(2023·广东卷)某小型医用回旋加速器，最大回旋半径为0.5 m，磁感应强度大小为1.12 T，质子加速后获得的最大动能为1.5×107 eV．根据给出的数据，可计算质子经该回旋加速器加速后的最大速率约为(忽略相对论效应，1 eV＝1.6×10-19 J) ( )
A．3.6×106 m/s B．1.2×107 m/s
C．5.4×107 m/s D．2.4×108 m/s
C
3
突破关键问题
四、带电粒子在立体空间电磁场中的运动
(2025·汕头一模)如图所示，三维坐标系O－xyz中，在y>0的空间同时存在沿y轴正方向的匀强电场和沿x轴负方向的匀强磁场，在y<0的空间存在z轴正方向的匀强磁场．带负电的离子从P(0，d，0)以速度v0在yOz平面内沿z轴正方向发射，恰好做匀速直线运动．两处磁场磁感应强度大小均为B，不计离子重力，答案可含π．
(1) 求匀强电场的电场强度大小E．
答案：(1) v0B
4
【解析】(1) 离子做匀速直线运动，有qv0B＝qE
解得E＝v0B
(3) 离子在y<0的磁场空间中速度第一次垂直y轴时，求离子的坐标．
答案：(3) [2d，－2d，(2＋π)d ]
解题策略
运动类型 解题策略
在三维坐标系中运动，每个轴方向上都是常见运动模型 将粒子的运动分解为三个方向的运动
一维加一面，如旋进运动 旋进运动中将粒子的运动分解为一个轴方向上的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴的所在面内的圆周运动
运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内 把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每个面的运动
5
磁聚焦与磁发散模型
磁聚焦：带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹圆半径与磁场区域圆半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射速度平行 磁发散：带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹圆半径与磁场区域圆半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行
证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(沿水平方向)
热练
题组一 带电粒子在组合场中的运动
1．医院X光检测设备的核心器件为X射线管．如图所示，在X射线管中，电子(质量为m、电荷量为－e，初速度可以忽略)经电压为U的电场加速后，从P点垂直磁场边界水平射入匀强磁场中．磁场宽为2L，磁感应强度
大小可以调节．电子经过磁场偏转后撞击目标靶，撞在
不同位置就会辐射出不同能量的X射线．已知水平放置
的目标靶MN长为2L，PM长为L，不计电子重力、电子
间相互作用力及电子高速运行中辐射的能量．
2．(2025·广东省开学考)现代物理经常用磁场来研究粒子运动规律．如图所示，在xOy坐标系内有垂直于平面向里的匀强磁场，第二、四象限内匀强磁场的磁感应强度大小B＝1×10-2 T，另两象限内的磁感应强度大小为
2B．现有完全相同的a、b两带正电粒子质量均为m＝5×10-6 kg、
电荷量均为q＝5×10-2 C，从坐标原点O以相同速率v＝2×102 m/s
同时射入磁场，粒子a沿x轴正方向，粒子b沿y轴正方向．不计粒
子受到的重力以及粒子间的相互作用．求：
(1) 粒子a在第一象限运动的半径r．
答案：(1) 1 m
(2) 粒子a第8次经过x轴时粒子b的坐标(从原点射出时不算次数)．
答案：(2) (－8 m，0)
(3) 粒子a、b在y轴上投影的间距的最大值Δym．
答案：(3) 0.5 m
题组二 带电粒子(体)在叠加场中的运动
3．(2025·汕头三模)(多选)用轻质绝缘细绳悬挂带正电的小球，小球可视为质点，如图甲所示．将装置分别放入图乙所示的匀强电场、图丙所示的匀强磁场中．将小球从偏离竖直方向左侧的一个小角度θ(θ<5°)位置由静止释放，在图中三种情况下，小球均在竖直平面内周期性往复运动，周期分别为T1、T2、T3，小球第1次到达轨迹最低点时的速度大小分别为v1、v2、v3，拉力大小分别为F1、F2、F3，不计空气阻力．关于图中三种情况，下列说法中正确的是 ( )
A．图1和图3的小球在运动过程中机械能都
守恒
B．三个小球运动的周期大小关系T2C．三个小球第1次到达最低点时拉力大小关
系F2>F1>F3
D．三个小球第1次到达最低点时的速度大小
关系v1ABC
C
ABD
题组四 带电粒子在立体空间电磁场的运动
6．(2025·广州天河区综合测试二)如图所示，abcd－a′b′c′d′为上表面水平的正方体区域，整个正方体空间内存在竖直向上的匀强磁场．abcd表面的正中央有一小孔P．粒子源S发射了两个速度大小相同、比荷不同的粒子M、N(重力不计)，从P孔垂直于abcd表面射入后，M打在bc边上，N打在b′c′边上，则粒子M、N的比荷之比为 ( )
A．2∶1
B．1∶2
C．5∶1
D．1∶5
C
一、单项选择题
1．(2024·广州二模)如图所示，水平放置的两个正对的带电金属板MN、PQ间存在着相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外．在a点由静止释放一带电的微粒，释放后微粒沿曲线acb运动(a、b两点在同一水平高度)，c点是曲线上离MN板最远的点．不计微粒所受空气阻力，下列说法中正确的是 ( )
A．微粒在c点时电势能最大
B．a点电势低于c点电势
C．微粒在运动到c点过程中电场力做的功等于动能的变化量
D．微粒到达b点后将沿原路径返回a点
A
【解析】 由题意可知，刚开始运动时，洛伦兹力向右，根据左手定则，可得粒子带负电，则电场力竖直向上，所以粒子从a到c的过程中，电场力做负功，电势能增加，所以微粒在c点时电势能最大，A正确；两金属板间的电场竖直向下，根据沿着电场线电势降低，可知c点的电势低于a点的电势，B错误；微粒在运动到c点过程中重力和电场力做的功等于动能的变化量，C错误；微粒到达b后，再向下运动，又会受到向右的洛伦兹力，所以它会向右偏转，而不会沿原路返回到a点，D错误．
BCD
BCD
仅存在上述磁场时，粒子在abcd面内做匀速圆周运动，粒子均通过ab边，说明最大半径不超过L(图中圆1)，再根据旋转圆可知，粒子完全有可能通过ac的中点(图中圆2)，C、D正确．
