山西省运城市2025-2026学年上学期期末高三数学试卷（PDF版，含解析）

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运城市2025—2026学年第一学期期末调研测试
高三数学试题
数
2026.02
本试题满分150分，考试时间120分钟。答案一律写在答题卡上。
注意事项：
1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上
的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分 .在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的 .
1.已知集合A = {x|2x - 4 > 0}，B = {x|x2 - 3x - 4 > 0}，则A ∩ RB =
A.{x| -2 < x < 4} B.{x| -2 < x ≤ 4}
C.{x| 2 < x < 4} D.{x| 2 < x ≤ 4}
2.已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，若a1 = b1 = 1, a2 = b2 = 2，则a4 - b4 =
A. -12 B. -4 C. 4 D. 12
3.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，PA = AB = 2，点 C是弧 AB的中
P
点，则三棱锥P-ABC的体积为
A. 1 B. 13 2
B A
C. 2
O
3 D. 1 C（第3题图）
4.已知复数 z满足(1 i) (1 -z) = -2zi，则| z | =
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
数学试题 第1页（共4页）
5.甲、乙、丙、丁、戊、己共 6个班参加元旦合唱比赛，决出第 1名到第 6名的名次 .甲、乙
两个班的学生去询问成绩，评审老师对甲班学生说：“很遗憾，你们班和乙班都不是第
1名 .”对乙班学生说：“你们班当然不会是最后 1名 .”从这两个回答分析，6个班的名
次排列可能的不同情况种数为
A. 480 B. 384 C. 360 D. 288
6.以F (0,1)为焦点，直线 y = -2为准线的抛物线的方程为
A. x2 = -6y + 3 B. x2 = -6y 3 C. x2 = 6y + 3 D. x2 = 6y 3
7.已知a = log0.70.5, b = log0.60.5, c = 0.30.4，则
A. c < b < a B. c < a < b C. b < a < c D. a < b < c
8. x2 y2已知椭圆C： 2 + 2 = 1(a > b > 0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P，M，N在椭圆C上，且a b
???? ??????? ???? ????? ù
满足PF1 = λF1M，PF2 = μ F2N，若椭圆C 3的离心率 e ∈ (0, 2 úú，则λ + μ的取值范围是
A. (3,14 ] B. (2,14 ] C. (3,15 ] D. (2,15 ]
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分 .在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求 .全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 .
9. 1已知函数 f ( x ) = 4 sin ωx -
3
4 cosωx (ω > 0)的最小正周期是π，则
A. ω = 2 B. f ( ) é-πx 在 ê 4 ,
π ù 1
4 ú上的最大值是 2
C. = 5π π πx 12 是 f ( x )的一条对称轴 D. f ( x )在(- 12 , 3 )上单调递增
10. ???? ????? ??? ???? A如图，在 △ABC 中，AM = MC，AN = 2NB，BM 交 CN 于点 E，且
??? ???BE CE = 0，则
1 1 MA. ??? = ??? + ??? B. ??? = 1 ??? 3 ???BE 2 AB 4 AC CE 2 AB 4 AC N E
C. cos A 3的最大值为 2 D. cos A
3 B C
的最小值为 2 （第10题图）
数学试题 第2页（共4页）
11.已知函数 f (x)的定义域为R，定义集合Ma = {x | f (x) < f (a)}，则
A. a ∈ R，Ma ≠ R
B.若 a ∈ R，Ma = ，则 f (x)存在最小值
C.若 a ∈ R，Ma = (-∞, a)，则 f (x)是增函数
D.若 a > 0，Ma = (-a, a)，则 f (x)是偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 .
12.随机变量X~N (3,σ2)，且P (X ≥ 1 + σ2) = 0.7，则P (X > 5 - σ2) = ▲ .
13. ( ) = 1已知函数 f x 2x + 2，则 f (x) + f (2 - x) = ▲ .
14. Sn 2n + 2已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 4, = + 2（n ≥ 2, n ∈ N*），则Sn = ▲ .an n
四、解答题：本题共5小题，共77分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
15.（13分）
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcos A + 3 asin B - a - c = 0.
（1）求B；
（2）设点D为边AC的中点，BD = 3，△ABC的面积为 3，求a，c.
16.（15分）
如图，三棱锥 P-ABC中，PA⊥平面 ABC，△ABC为以 B P
为顶角的等腰三角形，M为 PC的中点，N为 BM的中点， M
PA = 1，PB = 3，PC = 5. A N C
（1）证明：点M为三棱锥P-ABC的外接球球心；
B
（第16题图）
（2）求AN与平面PBC所成角的正弦值 .
数学试题 第3页（共4页）
17.（15分）
在新能源电动汽车的电池质量考核中，“典型里程衰减”是一个重要的指标 .某公司
的质检员甲从某型号电池的A批次产品中随机获取了一个容量为 8的样本进行测试，并
记录每个样本点在其性能衰减至初始值的 80%时，汽车所行驶的总公里数，得到如下数
数
据（单位：万公里）：24，23，26，22，24，23，26，28.
（1）求样本的第40百分位数，平均数和方差；
（2）若行驶的总公里数超过 24万公里，则认为该电池为优等品 .用样本数据估计总
体数据，现从 A批次电池中随机抽取 3个电池进行检测，求这 3个电池中优等品的个数
不少于2个的概率；
（3）该公司的质检员乙同时测试了该型号电池的B批次产品，得到的样本平均数为
24.4，方差为 1.若A，B两个批次电池质量按照“高均值”和“低波动性”进行选择，你认为
应选择哪个批次的电池？请说明你的理由 .
18.（17分）
已知双曲线C的渐近线方程为 y = ± 3 x，且该双曲线过点P (-7, 12).
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设A (1, 0)，B (1, -2)，过点B的直线 l交双曲线C于点M，N，直线AM，AN的斜率分
别为 k1，k2.
（i）证明：k1 + k2为定值；
（ii）过M作 x轴的垂线分别交直线 AN，AP于点Q，T.证明：M，T，Q三点纵坐标成等
差数列 .
19.（17分）
已知函数 f (x) = [ (a - 1) x - a ]ex + x + a.
（1）若 f (x)在区间(0, +∞)上单调，求实数a的取值范围；
（2）设a1 = 1, an + 1 = ln (an + 1)，n ∈ N*，证明：
（i 2）an ≥ + 1；n
（ii）an + an + 1 + + a2n > 2ln 2.
数学试题 第4页（共4页）
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高三数学参考答案详解及评分说明
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 .
1. D
【解析】由已知可得A = {x|x > 2}，B = {x|x > 4或x < -1}，所以 RB = {x| -1 ≤ x ≤ 4}，所以A ∩ RB = {x|2 < x ≤ 4}.
2. B
【解析】易知a = n,b = 2n - 1n n ,a4 - b4 = 4 - 8 = -4.
3. C
1 1
【解析】由题易知，AC⊥BC，且 AC = BC = 2，所以 S△ABC = 2 × AC × BC = 1，则三棱锥P-ABC的体积为 V = 3 ×
2
S△ABC × PA = 3.
4. A
【解析】设 z = a + bi，则 -z = a - bi，所以(1 i)[ (1 a) + bi ] = -2 (a + bi) i，
即(1 a + b) + (a + b 1) i = 2b 2ai，
{1 a + b = 2b,即 a + b 1 = -2 解得a = 0, b = 1，即 z = i，所以| z | = 1.a,
5. B
【解析】分步乘法原理，分三步完成 .第 1名只能是丙、丁、戊、己这 4个班，有A14 = 4种可能；乙班的名次只可能是
第2，3，4，5名，有A14 = 4种可能；剩余4个班的名次有A44 = 24种可能 .所以6个班的名次排列有4 × 4 × 24 = 384
种不同情况 .
6. C
【解析】设P (x,y)为抛物线上任意一点，
2
根据抛物线的定义可得 x2 + (y 1) = | y + 2 |，
2
即 x2 + (y 1) = (y + 2) 2，
化简得 x2 = 6y + 3.
7. A
【解析】易知0 < log0.50.7 < log0.50.6 < 1，故 log0.70.5 > log0.60.5 > 1，即a > b > 1，又 c = 0.30.4 < 0.30 = 1，故 c < b < a.
8. B
【解析】解法一：设M (x1, y1)，N (x2, y2)，P (x0, y0)，
ìx0 + λx1

∵ ???? ???????PF = λF M ∴ 1 +
= -c,
λ
1 1 ， í
y + λy 0 11 + = 0. λ
ìx0 2 + y0 2 2 2 = 1, a b 1 x0 + λx1 x0 λx1 x0 λx1又í 2 2 = 1 = - a
2 a2 a2x λx = - + λ，
λ x1 + λ2 y 2 a
2 1 + λ 1 λ 1 λ c 0 1 c c
12 2 = λ2 , a b
数学试题答案 第1页（共6页）
{x0 + λx1 = -c cλ, = - a2 + a2 , 2x0 = - a2 + c2 + a2 c2 λ.x0 λx1 λ c cc c
2 = a2 + c2 a2 c2 a2 + c2 a2 c2 a2 + c2 a2 c2同理 x0 μ，所以 μ = - + λ，c c c c c c
+ = 2 (a2 + c2) 2 (1 + e2)所以λ μ
a2 c2 = 1 .e2
令 t = 1 2 é1 4 é1e，t ∈ ê4 ,1)，则λ + μ = 2，t ∈ t ê 4 ,1)，
所以λ + μ ∈ (2,14 ].
解法二：
???? = ??????? 1 1因为PF1 λF1M，所以 = λ .| F1M | | PF1 |
1 + 1 = 2 1 2 2又 （二级结论），所以(1 + λ) = ，故λ = | PF1 | - 1.| F1M | | PF1 | ep | PF1 | ep ep
= 2 | | - 1 2 2 4a2 4a2 4同理 μ PF2 ，所以λ + μ = (| PF1 | + | PF2 |) - 2 = × 2a - 2 = 2 - 2 = 2 - 2 - 2 = 1 - 2 - 2.ep ep ep b a c e
由 e ∈ (0, 3 ù2 úú，可得λ + μ ∈ (2,14].
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 .
9. ACD
1 π 2π 1 π
【解析】由 题 得 f ( x ) = 2 sin (ωx - 3 )，T = = π，所 以 ω = 2，f ( x ) = 2 sin (2x - 3 )，故 A 选 项 正 确 ；当ω
∈ é-π π ù π é 5π π ù π π 1 5πx ê
4 , 4 ú 时，2x - 3 ∈ ê- 6 , 6 ú，当 2x - 3 = 6 时，f ( x ) 取到最大值 4，故 B 选项错误；当 x = 时， 12
2 - π = π 5π π πx 3 2，此时函数 f ( x )取到最大值，所以 x = 12 是函数 f ( x )的对称轴，故 C选项正确；当 x ∈ (- 12 , 3 )时，
2 - πx 3 ∈ (-π , π2 3 ) π π，y = sin x在(- 2 , 3 )上单调递增，故D选项正确 .
10. ABD
1
【解析】如图，取 CN的中点 H，连接MH，则MH ∥ AB，且MH = 2 AN，所以MH ∥ BN，且 A
= ??? 1 ????? ??? 3 ????MH BN，所以△BEN≌△MEH，所以BE = EM，NE = EH，即BE = 2 BM，CE = 4 CN.
A ??? = 1 ????? = 1 (???? ???) = 1 ( 1 ??? ???) = 1 ???对于 ，BE 2 BM 2 AM AB 2 2 AC AB 4 AC 1 ???
M
2 AB，故A选项正确； N
E H
对于B ??? = 3 ????，CE 4 CN =
3 ??? ??? 3 2 ??? ??? 1 ??? 3 ???
4 (AN AC) = 4 ( 3 AB AC) = 2 AB 4 AC，故B选项正确； B 10 C（第 题答图）
??? ??? = 0 1 ??? 1 ??? 1 ??? 3 ???由BE CE ，可得( 4 AC 2 AB) ( 2 AB 4 AC) = 0，
数学试题答案 第2页（共6页）
1 ??? 2 3 ??? 2 + 1 ??? ???即 4 AB 16 AC 2 AB AC = 0，
1 3 1 2 + 3AB AC2 2
1 3
2 AB2 8 AC2 3
即AB AC cos A = 2 AB2 + 8 AC2，所以 cos A = 2 8 ≥ = ，AB AC AB AC 2
1
当且仅当 2 AB2 =
3
8 AC2
3
，即AB = 2 AC时，
cos A 3取得最小值为 2 ，故C选项错误，D选项正确 .
11. ABC
【解析】 a ∈ R, a Ma，所以Ma ≠ R，故A选项正确；若 a ∈ R，Ma = ，则 x ∈ R，f (x) ≥ f (a)，故 f (x)存在最小
值为 f (a)，故 B选项正确； x1,x2 ∈ R，且 x1 < x2，可知 x1 ∈ Mx2 = ( -∞, x2 ) = {x| f ( x ) < f ( x2 )}，即 f (x1) < f (x2)，故
| x | , -1 < x ≤ 1,
f (x)是增函数，故C选项正确；对于函数 f (x) = { 可以验证 a > 0，M = (-a,a)，但 f (x)不| x | + 1, x ≤ -1 x > 1, a或
是偶函数，故D选项错误 .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 .
12. 0.3
【解析】因为 X~N (3,σ2)，即 μ = 3，(1 + σ2) + (5 - σ2) = 6 = 2μ，所以 P (X ≤ 5 - σ2) = P (X ≥ 1 + σ2) = 0.7，则
P (X > 5 - σ2) = 1 - P (X ≤ 5 - σ2) = 0.3.
13. 12
1 2x - 1
【解析】f (2 - x) = 22 - + 2 =x 2 + 2 ，x
( 1 2x - 1 1 + 2x - 1 1故 f x) + f (2 - x) = 2x + 2 + 2 + 2 =x 2 + 2 = .x 2
14. (n + 1)2n
≥ 2 = 2n + 2 = 2n + 2 ( - ) S【解析】 n S a S S n Sn - 1 Sn S1当 时， n + 2 n + 2 n n - 1 ，变形得 + 1 = 2 (n ≥ 2)，故n n n n {n + 1}是以 2 = 2
Sn
为首项，2为公比的等比数列，所以 + 1 = 2n，Sn = (n + 1)2n.当 n = 1时，S1 = (1 + 1) × 21 = 4 = a1，所以 Sn n =
(n + 1)2n.
四、解答题：本题共5小题，共77分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
15.解：（1）∵ bcos A + 3 asin B - a - c = 0，
∴ sin Bcos A + 3 sin Asin B - sin A - sin C = 0，……………………………………………………………… 1分
∴ sin Bcos A + 3 sin Asin B - sin A - sin ( A + B ) = 0，
∴ 3 sin Asin B - sin A - sin AcosB = 0. ……………………………………………………………………… 2分
∵ A ∈ (0,π)，∴ sin A ≠ 0，
数学试题答案 第3页（共6页）
∴ 3 sin B - cosB = 1，∴ sin ( - π 1B 6 ) = 2. …………………………………………………………………… 4分
又B ∈ (0, π)，∴ B - π6 ∈ (-π6 , 5π6 )，
∴ - πB 6 =
π π
6，∴ B = 3 . ……………………………………………………………………………………… 6分
2 2 ???? = ??? + ???（）由题得 BD BA BC，……………………………………………………………………………………… 7分
∴ 4 ???? 2 = ??? 2 + ??? 2BD BA BC + 2 ???BA ???BC，
∴ a2 + c2 + 2accosB = 12. ……………………………………………………………………………………… 8分
π
又B = 3，∴ a2 + c2 + ac = 12， ① …………………………………………………………………………… 9分
= 1由S 2 acsin B = 3，得 ac = 4， ② ………………………………………………………………………… 11分
由①②得a = 2，c = 2. …………………………………………………………………………………………… 13分
16.（1）证明:因为PA ⊥平面ABC，所以PA ⊥ AB，PA ⊥ AC. ………………………………………………………… 1分
又因为PA = 1，PB = 3，PC = 5，所以AB = PB2 - PA2 = 2，AC = PC2 - PA2 = 2.
又因为△ABC为以B为顶角的等腰三角形，所以BC = AB = 2， …………………………………………… 3分
则PB2 + BC2 = PC2，所以PB⊥BC，
又M为PC的中点，所以在Rt△PBC中，MB = MP = MC. ……………………………………………………… 5分
同理，在Rt△PAC中，MA = MP = MC，
所以MP = MA = MB = MC，则点M为三棱锥P-ABC的外接球球心 . ………………………………………… 7分
（2）解:如图，以 A为坐标原点，过点 A且垂直于平面 PAC的直线为 x轴，AC， z
P
AP所在直线分别为 y，z轴建立空间直角坐标系，
M
则A (0, 0, 0)，B (1, 1, 0)，C (0, 2, 0)，P (0, 0, 1)，
(0, 1, 1 1
A
所以M 2 )，N ( 2 , 1, 1 ) x N C y4 ，……………………………………………… 8分
??? = ( 1 , 1, 1 ) ??? = 1, 1, -1 ??? B所以AN 2 4 ，PB ( )，PC = (0, 2, -1). ………………… 10分 （第16题答图）
???= , , {n PB = x + y - z = 0,设平面PBC的一个法向量为n (x y z)，则 ???n PC = 2y - z = 0,
取 y = 1，解得 x = 1，z = 2，则n = (1, 1, 2)， …………………………………………………………………… 12分
??? || 1 + 1 + 1 ||
所以| cos < ???AN , n > | = | AN n | | 2 2 |??? = 21 =
4 14
21 ， …………………………………………………… 14分| AN || n | 4 × 6
4 14
故AN与平面PBC所成角的正弦值为 21 . ………………………………………………………………… 15分
数学试题答案 第4页（共6页）
17.解（: 1）把样本数据按从小到大的顺序排列：22，23，23，24，24，26，26，28.
因为8 × 40% = 3.2，所以样本的第40百分位数取第4个数据，为24. ………………………………………… 3分
1
样本的平均数为-x = 8 × (22 + 23 + 23 + 24 + 24 + 26 + 26 + 28) = 24.5， ………………………………… 5分
1
方差为 s2 = 8 × [ (-2.5)
2 + (-1.5) 2 + (-1.5) 2 + (-0.5) 2 + (-0.5) 2 + 1.52 + 1.52 + 3.52 ] = 3.5. ……………… 7分
（2）样本数据中超过 24的有 3个，故从样本中随机抽取 1 3个电池，该电池为优等品的概率为 8.用样本数据估计
3
总体数据，所以从A批次电池中随机抽取1个电池，该电池为优等品的概率为 8. …………………………… 9分
2 3
= C2 × ( 3 ) × (1 - 3 ) + C3 × ( 3 ) = 81故所求概率为P 3 8 8 3 8 256 . ………………………………………………… 12分
（3 24.5 - 24.4）虽然 B批次产品的平均值比 A批次降低了 24.5 ≈ 0.41%，但 B批次产品的方差比 A批次降低了
3.5 - 1
3.5 ≈ 71.43%，说明B批次电池的质量更好，
（没有定量计算平均值和方差降低的百分比，只定性比较平均值和方差的降低量，也同样得分 .）………… 14分
所以应选择B批次的电池 . …………………………………………………………………………………… 15分
18. 1 y2（）解：因为双曲线C的渐近线方程为 y = ± 3 x，所以可设双曲线C的方程为 x2 3 = λ(λ ≠ 0).
144
由点P (-7,12)在双曲线C上，所以49 3 = λ，即λ = 1，
y2
所以双曲线C的标准方程为 x2 3 = 1. ……………………………………………………………………… 4分
x2 y2
（说明：若直接设双曲线的方程为 2 2 = 1，扣2分 .）a b
（2）证明：（i）当直线 l的斜率不存在时，直线 l与双曲线C只有一个公共点A，不满足条件，………………… 5分
故设 l:y = kx + m，M (x1,y1)，N (x2,y2)，
直线 l过点B，所以 k + m = -2. ………………………………………………………………………………… 7分
{y = kx + m,联立 2 2 2x2 y2 = 1 得(3 k ) x 2kmx m 3 = 0，3 ,
易知 k ≠ ± 3 + = 2km m2 + 3，故 x1 x2 3 2，x1x2 = - 3 2 ，…………………………………………………………… 8分k k
+ = y1 + y2 = kx1 + m + kx2 + m = (kx1 + m) (x2 1) + (kx2 + m) (x1 1)所以 k1 k2 x1 1 x2 1 x1 1 x2 1 (x1 1) (x2 1)
2 + + 2 6 (k + m)= kx1x2 (m k) (x1 x2) m 3 k2 + + 1 = + 2 =
6
+ = -3. …………………………………………… 11分x1x2 (x1 x2) (k m) k m
3 k2
（ii）设Q (x1 ,yQ)，T (x1 ,yT)，
数学试题答案 第5页（共6页）
y
A，N Q，Q三点共线，所以 k2 = 1，…………………………………………………………………………… 12分x1
y 0 12 3
A，P T T，三点共线，所以 1 = 1 + 7 = - 2. ………………………………………………………………… 14分x1
i + = y yk k 1 + 2由（）可知 1 2 x1 1 x2 1 = -3，
y1 yQ 2yT
即 + = ，
x1 1 x1 1 x1 1
所以 y1 + yQ = 2yT，得证 . ……………………………………………………………………………………… 17分
19.（1）解：f ′(x) = [ (a - 1) x - 1 ]ex + 1, f ″ (x) = [ (a - 1) x + a - 2 ]ex. ………………………………………… 2分
①当a ≤ 1时，若 x > 0，则 f ″ (x) < 0，f ′(x)在(0, + ∞)上单调递减，
∴ f ′(x) < f ′(0) = 0，
∴ f (x)在区间(0, +∞)上单调递减，符合题意；………………………………………………………………… 3分
②当1 < < 2 2 - a 2 - aa 时，易知 f ′(x)在(0, - 1 )上单调递减，在( - 1 , +∞)上单调递增，a a
∴ 2 - ax ∈ (0, - 1 )时，f ′(x) < f ′(0) = 0，f (x)在(0, 2 - aa a - 1 )上单调递减 .
又 f ′( 1- 1 ) = 1 > 0，∴ ∈ ( 2 - a , 1存在 x0 - 1 - 1 )，使得 f ′(x0) = 0，a a a
∴x ∈ (x0 , +∞)时，f ′(x) > f ′(x0) = 0，f (x)在(x0 , +∞)上单调递增，不符合题意；…………………………… 5分
③当a ≥ 2时，若 x > 0，则 f ″ (x) > 0，f ′(x)在(0, + ∞)上单调递增，
∴f ′(x) > f ′(0) = 0，
∴f (x)在(0, +∞)上单调递增，符合题意 . ……………………………………………………………………… 6分
综上，实数a的取值范围是(-∞, 1] [2, +∞). ………………………………………………………………… 7分
（2）证明：（i）若an > 0，则an + 1 = ln (an + 1) > 0.又a1 = 1 > 0，故 n ∈ N*,an > 0. …………………………… 8分
由（1）知当a = 2时，f (x) = (x - 2) ex + x + 2在(0, +∞)上单调递增，故 f (an + 1) > f (0) = 0， ……………… 9分
即(an + 1 - 2) ean + 1 + an + 1 + 2 = (an + 1 - 2) (an + 1) + 1 1 1an + 1 + 2 > 0，变形得 - < 2，………………… 11分an + 1 an
1 = 1 + ( 1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) + + ( 1 - 1 ) ≤ 1 + n - 1 = n + 1 2故 an a1 a2 a1 a3 a2 an an - 1 2 2 ，∴an ≥ + 1. ……………… 12分n
（ii）由（1）知当a = 1时，f (x) = -ex + x + 1在(0, + ∞)上单调递减，………………………………………… 13分
故 f ( 1+ 1 ) < f (0) = 0，………………………………………………………………………………………… 14分n
1 1 1
即-en + 1 + + 1 + 1 < 0，变形得 + 1 > ln
n + 2
+ 1.…………………………………………………………… 15分n n n
由（i 2 n + 2）得an ≥ + 1，故an > 2ln + 1，………………………………………………………………………… 16分n n
故an + an + 1 + + a2n > 2 (ln n + 2 n + 3+ 1 + ln + 2 + + ln 2n + 22 + 1 ) = 2ln 2. ………………………………… 17分n n n
数学试题答案 第6页（共6页）