综合提能五 力、电、能、动为靶向的情境问题
考向1 导轨模型下单杆力、电问题
(2020·新课标Ⅰ)(多选)如图所示，U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，ab和dc边平行，和bc边垂直．ab、dc足够长，整个金属框电阻可忽略．一根具有一定电阻的导体棒MN置于金属框上，用水平恒力F向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，MN与金属框保持良好接触，且与bc边保持平行．经过一段时间后( BC )
A．金属框的速度大小趋于恒定值
B．金属框的加速度大小趋于恒定值
C．导体棒所受安培力的大小趋于恒定值
D．导体棒到金属框bc边的距离趋于恒定值
【解析】当金属框在恒力F作用下向右加速时，bc边产生从c向b的感应电流I，线框的加速度为a1，对线框，由牛顿第二定律得F－BIL＝Ma1，导体棒MN中感应电流从M向N，在安培力作用下向右加速，加速度为a2，对导体棒MN，由牛顿第二定律得BIL＝ma2，当线框和导体棒MN都运动后，线框速度为v1，MN速度为v2，感应电流为I＝＝，感应电流从0开始增大，则a2从零开始增加，a1从开始减小，则加速度差值减小，当差值为零时a1＝a2＝a，故有F＝(M＋m)a，解得I＝＝，此后金属框与MN的速度差维持不变，感应电流不变，MN受到的安培力不变，加速度不变，v－t图像如图所示，A错误，B、C正确；MN与金属框的速度差不变，但MN的速度小于金属框速度，MN到金属框bc边的距离越来越大，D错误．
考向2 导体框模型下的力、电、图问题
(2023·广东卷)光滑绝缘的水平面上有垂直平面的匀强磁场，磁场被分成区域Ⅰ和Ⅱ，宽度均为h，其俯视图如图甲所示，两磁场磁感应强度随时间t的变化如图乙所示，0～τ时间内，两区域磁场恒定，方向相反，磁感应强度大小分别为2B0和B0，一电阻为R，边长为h的刚性正方形金属框abcd，平放在水平面上，ab、cd边与磁场边界平行．t＝0时，线框ab边刚好跨过区域Ⅰ的左边界以速度v向右运动．在τ时刻，ab边运动到距区域Ⅰ的左边界处，线框的速度近似为零，此时线框被固定，如图甲中的虚线框所示．随后在τ～2τ时间内，Ⅰ区磁感应强度线性减小到0，Ⅱ区磁场保持不变；2τ～3τ时间内，Ⅱ区磁感应强度也线性减小到0．求：
甲 乙
(1) t＝0时线框所受的安培力F．
(2) t＝1.2τ时穿过线框的磁通量Φ．
(3) 2τ～3τ时间内，线框中产生的热量Q．
答案：(1) 方向水平向左 (2) (3)
【解析】(1) 由图可知t＝0时线框切割磁感线的感应电动势为E＝2B0hv＋B0hv＝3B0hv
则感应电流大小为I＝＝
所受的安培力为
F＝2B0h＋B0h＝，方向水平向左
(2) 在τ时刻，ab边运动到距区域Ⅰ的左边界处，线框的速度近似为零，此时线框被固定，则t＝1.2τ时穿过线框的磁通量为
Φ＝1.6B0h·h－B0h·h＝，方向垂直纸面向里
(3) 2τ～3τ时间内，Ⅱ区磁感应强度也线性减小到0，则有E′＝＝＝
感应电流大小为I′＝＝
则2τ～3τ时间内，线框中产生的热量为
Q＝I′2Rt＝
一、电磁感应中的力、电、能、动问题
(2025·清远二模)如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L．ab边右侧有足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上．M、N两细金属杆的质量均为m，在导轨间的电阻均为R．初始时刻，磁场外的杆M以初速度v0向右运动，磁场内的杆N距ab边的距离为x0且处于静止状态．两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直，两杆始终未相撞，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计，求：
(1) 杆M所受安培力的最大值．
(2) 杆M在磁场内运动的速度最小值．
(3) 两杆的最短距离．
答案：(1) (2) (3) x0－
【解析】(1) 杆M刚进入磁场时所受安培力最大，此时杆M产生的感应电动势E0＝BLv0
电路中的电流I0＝
杆M所受安培力的最大值F0＝BI0L＝
(2) 两杆在磁场中运动，当M、N两细金属杆速度相等时，杆M的速度最小，由动量守恒定律可得
mv0＝(m＋m)v
解得最小速度v＝
(3) 当两杆达到共速时两杆距离最短，设最短距离为x，
此时＝＝
又有ΔΦ＝BL(x0－x)
根据动量定理得－BLΔt＝mΔv
可得q＝Δt＝
联立解得x＝x0－
1．导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时：
安培力的冲量为I安＝Blt＝Blq
通过导体棒或金属框的电荷量为
q＝Δt＝Δt＝nΔt＝n
磁通量变化量ΔΦ＝B·ΔS＝Blx
如果安培力是导体棒或金属框受到的合力，则I安＝ mv2－mv1
当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时用动量定理求解更方便．
2．动量守恒定律在电磁感应现象中的应用
在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，如果两安培力等大反向，且它们受到的其他外力的合力为0，则满足动量守恒条件，运用动量守恒定律求解比较方便．
二、“单杆＋导轨”模型
(2025·深圳高级中学三模)如图所示，间距为L＝1.0 m的两条平行光滑竖直金属导轨PQ、MN足够长，底部Q、 N之间连有一阻值为R1＝3 Ω的电阻，磁感应强度为B1＝0.5 T的匀强磁场与导轨平面垂直，导轨的上端点P、M分别与横截面积为5×10-3 m2的10匝线圈的两端连接，线圈的轴线与大小均匀变化的匀强磁场B2平行，开关K闭合后，质量为m＝1×10-2 kg、电阻值为R2＝2 Ω的金属棒ab恰能保持静止．金属棒始终与导轨接触良好，其余部分电阻不计，取g＝10 m/s2．求：
(1) 金属棒ab恰能保持静止时，匀强磁场B2的磁感应强度的变化率．
(2) 开关K断开后，金属棒ab下落时能达到的最大速度v．
(3) 开关K断开后，金属棒ab下落x＝2 m时恰好运动至最大速度，在此过程中金属棒产生的焦耳热Q．
答案：(1) 8 T/s (2) 2 m/s (3) 0.072 J
【解析】(1) 金属棒ab保持静止，根据平衡条件得
mg＝B1I1L
可得I1＝0.2 A
则线圈产生的感应电动势为E1＝I1R2＝0.4 V
由电磁感应定律可知E1＝N＝NS
解得 ＝8 T/s
(2) 断开开关K后，金属棒ab向下做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度是0(即合外力是0)时速度最大，此时恰能匀速下降，根据平衡条件得
mg＝B1I2L
此时金属棒ab中产生的感应电动势为E2＝B1Lv
根据闭合电路欧姆定律得I2＝
联立解得金属棒的最大速度为v＝2 m/s
(3) 根据动能定理得mgx－W克安＝mv2－0
金属棒产生的焦耳热Q＝W克安＝0.072 J
“单杆＋导轨＋电阻”四种模型总结
模型一(v0≠0) 模型二(v0＝0) 模型三(v0＝0) 模型四(v0＝0)
说明 质量为m，电阻不计的单杆cd以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为L 轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定 倾斜轨道光滑，倾角为α，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L 竖直轨道光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L
示意图
力学 杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，电流I＝，安培力F＝BIL＝．杆做减速运动，v↓ F↓ a↓，当v＝0时，a＝0，杆保持静止 开始时a＝，杆cd速度v↑ 感应电动势E＝BLv↑ I↑ 安培力F安＝BIL↑，由F－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝ 开始时a＝g sin α，杆cd速度v↑ 感应电动势E＝BLv↑ I↑ 安培力F安＝BIL↑，由mg sin α－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝ 开始时a＝g，杆cd速度v↑ 感应电动势E＝BLv↑ I↑ 安培力F安＝BIL↑，由mg－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝
图像
能量 动能全部转化为内能： Q＝ F做的功一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能： WF＝ 重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：WG＝ 重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：WG＝
三、“双杆＋导轨”模型
(2025·深圳实验中学三模)如图所示，平行金属导轨MN、M′N′和平行金属导轨PQR、P′Q′R′固定在高度差为h(数值未知)的两水平台面上．导轨MN、M′N′左端接有电源，MN与M′N′的间距为L＝0.10 m，线框空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B1＝0.20 T；平行导轨PQR与P′Q′R′的间距也为L＝0.10 m，其中PQ与P′Q′是圆心角为60°、半径为r＝0.50 m的圆弧形导轨，QR与Q′R′是足够长水平长直导轨，QQ′右侧有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B2＝0.40 T．导体棒a、b、c长度均为L，a质量m1＝0.02 kg，接在电路中的电阻R1＝2.0 Ω，放置在导轨MN、M′N′右侧 N′N边缘处；导体棒b、c质量均为m2＝0.02 kg，接在电路中的电阻均为R2＝4.0 Ω，用绝缘轻杆ef将b、c导体棒连接成“工”字型框架(以下简称“工”型架)．“工”型架静止放置在水平导轨某处．闭合开关K后，导体棒a从NN′水平抛出，恰能无碰撞地从PP′处以速度v1＝2 m/s滑入平行导轨，且始终没有与“工”型架相碰．取g＝10 m/s2，不计一切摩擦及空气阻力．求：
(1) 导体棒a刚进入水平磁场B2时，b棒两端的电压．
(2) “工”型架的最大加速度大小．
(3) 导体棒b在QQ′右侧磁场中产生的焦耳热．
(4) 闭合开关K后，通过电源的电荷量q．
答案：(1) 0.06 V (2) 0.03 m/s2 (3) 0.015 J (4) 1 C
【解析】(1) 由动能定理得
m1g(r－rcos 60°)＝
解得v0＝3 m/s
E＝B2Lv0＝0.12 V
U＝E，R并＝
解得U＝0.06 V
(2) a棒刚进磁场时，回路中电流最大，“工”型架受力最大，加速度最大，此时I＝
由牛顿第二定律有B2IL＝2m2amax
解得“工”型架的最大加速度大小amax＝0.03 m/s2
(3) 设a中的电流为I，则“工”型架b、c中的电流为，a受到的安培力为F＝B2IL
b、c受到的安培力大小分别为
F1＝B2L，F2＝B2L
则“工”型架受到的安培力的合力
F′＝F1＋F2＝B2IL
所以“工”型架与金属棒a所受合外力为零，动量守恒，取向右为正方向，设“工”型架与金属棒a一起运动的共同速度为v共，则
m1v0＋0＝(m1＋2m2)v共
＋0＝＋Q
结合Qb＝Q外，Q外＝Q
解得Qb＝0.015 J
(4) 设闭合开关后，a棒以速度v01水平抛出，则有
v01＝v1cos 60°＝1 m/s
对a棒冲出过程由动量定理得＝m1v01
即B1Lq＝m1v01
解得q＝1 C
两类双杆模型总结
类型 模型 运动图像 运动过程 分析方法
不受外力 杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动；稳定时，两杆以相等的速度匀速运动 将两杆视为整体，不受外力，最后a＝0
受到恒力 开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动 将两杆视为整体，只受外力F，最后a＝
四、导体框类问题
(2025·广东省三模)(多选)如图所示，光滑斜面的倾角为θ，斜面上放置一矩形导体线框abcd，ab边的边长为l1，bc边的边长为l2，线框的质量为m，电阻为R，线框通过绝缘细线绕过光滑的定滑轮与一重物相连，重物质量为M，斜面上ef线(ef平行底边)的右方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为B，如果线框从静止开始运动，进入磁场的最初一段时间是做匀速运动的，且线框的ab边始终平行于底边，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是( CD )
A．线框进入磁场前运动的加速度为
B．线框进入磁场时匀速运动的速度为
C．线框做匀速运动的总时间为
D．该匀速运动过程中产生的焦耳热为(Mg－mg sin θ)l2
【解析】设线框进入磁场前运动的加速度为a，以重物为对象，根据牛顿第二定律可得Mg－T＝Ma，以线框为对象，根据牛顿第二定律可得T－mg sin θ＝ma，联立可得a＝，A错误；设线框进入磁场时匀速运动的速度为v，则有I＝，根据受力平衡可得Mg＝mg sin θ＋BIl1，联立解得v＝，B错误；线框做匀速运动的总时间为t＝＝，C正确；根据能量守恒可知，匀速运动过程中产生的焦耳热等于系统减少的重力势能，则有Q＝Mgl2－mgl2 sin θ＝(Mg－mg sin θ)l2，D正确
电磁感应中的导体框类问题
1．线框在进入和穿出磁场的过程中，磁通量发生变化，产生感应电流，在磁场中切割磁感线的部分相当于电源，其余部分相当于外电路．
2．线框进入和穿出磁场过程中，要克服安培力做功，伴随其他形式的能与电能的转化，应利用能的转化与守恒的观点解决问题．
配套热练
题组练
题组一 电磁感应中的力、电、能、动问题
1．(2025·茂名一中月考)(多选)如图所示是我国某磁悬浮列车利用电磁阻尼辅助刹车的示意图，在车身下方固定一由粗细均匀导线制成的N匝矩形线框abcd，ab边长为L，bc边长为d，在站台轨道上存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的有界矩形匀强磁场MNPQ，区域长也为d，MN边界与ab平行．若ab边刚进入磁场时列车关闭发动机，此时的速度大小为v0，cd边刚离开磁场时列车刚好停止运动．已知线框总电阻为R，列车的总质量为m，列车停止前所受铁轨阻力及空气阻力的合力恒为f．重力加速度为g．下列说法中正确的是( BD )
甲 乙
A．列车进站过程中电流方向为adcb
B．线框ab边刚进入磁场时列车的加速度大小 a＝
C．线框从进入到离开磁场过程中，线框产生的焦耳热Q＝－fd
D．线框从进入到离开磁场过程所用的时间t＝
【解析】列车进站过程中穿过线框的磁通量变大，由楞次定律及安培定则可知列车进站过程中电流方向为abcd，A错误；列车ab边进入磁场瞬间产生的感应电动势为E＝NBLv0，由闭合电路的欧姆定律得I＝＝，对列车由牛顿第二定律得NBIL＋f＝ma，联立解得a＝，B正确；线框由进入磁场到离开磁场过程中，由动能定理得－W－f·2d＝，又W＝Q，联立方程解得Q＝－2fd，C错误；线框由进入磁场到离开磁场过程中，由动量定理得－NBLt1－NBLt2－ft＝0－，又q＝t，则|q1|＝|q2|＝，联立方程解得t＝，D正确．
2．(2025·广州二中开学测试)某游乐设施主体结构如图甲所示为一绝缘的弯曲轨道与略微倾斜的直轨道组成，弯曲轨道与直轨道在B处相切．一绝缘材料做成的小车从弯曲轨道顶端A点自由滑下，A点与B点的竖直高度差为h．如图乙所示，小车车厢底板内有一组平放的匝数为n匝，电阻为R的矩形铜线圈，线圈长、宽分别为L1和L2(L1>L2)，其短边与轨道垂直．小车包含游客的总质量为M．小车滑至B处时，速度为v(v<)，小车滑上倾斜直轨道时，能够自由匀速下滑．小车在直轨道的C处开始穿过一隧道，在隧道的顶部和底部每隔L1放置一对正对着的强磁体，每组磁体产生的磁场区域可近似认为是长为L1，略宽于L2的矩形，磁感应强度相同且大小等于B．小车在AB轨道上运动时可视为质点．求：
甲
乙
(1) 小车从A处静止滑至B处的过程中，小车克服阻力所做的功．
(2) 小车内的线圈刚进入第一组强磁体产生的磁场时小车的加速度大小．
(3) 小车线圈前端最终静止时的位置距离C点的距离．
答案：(1) mgh－mv2 (2) (3)
【解析】(1) 小车由A→B的过程中，由动能定理可得mgh－W克＝mv2
解得W克＝mgh－mv2
(2) 当小车线圈刚进入磁场时E＝nBL2v
根据闭合电路欧姆定律可得I＝＝
则安培力F＝nBIL2＝
再由牛顿第二定律F＝ma
联立解得a＝
(3) 小车进入交替磁场中运动的过程中，始终只有一条边在切割磁感线，安培力F＝
对任意Δt微过程，根据动量定理可得
·Δt＝mΔv
对全过程求和可得·Δt＝mv
又因为＝x，所以到停止时小车的位移x＝
题组二 “单杆＋导轨”模型
3．(2025·广东省质量检测)(多选)如图甲所示，间距为L的足够长光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨左侧连接有阻值为R的定值电阻，金属棒垂直静止在导轨上，整个导轨处在垂直导轨平面向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，给金属棒施加水平向右的拉力F，使金属棒从静止开始运动，金属棒运动x0的距离时撤去拉力，金属棒整个运动过程中的速度v与运动的位移x关系如图乙所示．金属棒运动过程中始终与导轨垂直并与两导轨接触良好，金属棒接入电路的电阻为R，则金属棒运动过程中( BC )
甲 乙
A．加速度大小保持不变
B．通过电阻R的电荷量为
C．电阻R中产生的焦耳热为
D．拉力F的冲量大小为
【解析】图像斜率k＝＝，则金属棒加速运动过程中，随着速度增大，加速度增大，减速运动过程中，随着速度减小，加速度减小，A错误；根据q＝＝，由法拉第电磁感应定律＝，联立解得通过电阻R的电荷量q＝＝＝，B正确；整个过程克服安培力做攻W安＝安·x＝·x＝，因此电阻R中产生的焦耳热为Q＝W安＝，C正确；整个过程根据动量定理IF－I安＝0，又I安＝t＝BqL，联立解得IF＝，D错误．
4．(2025·茂名一中模拟)如图甲所示，两根完全相同的光滑平行导轨固定，每根导轨均由两段与水平面成θ＝30°的长直导轨和一段圆弧导轨平滑连接而成，导轨两端均连接电阻，阻值R1＝R2＝2 Ω，导轨间距L＝0.6 m．在右侧导轨所在斜面的矩形区域M1M2P2P1内分布有垂直斜面向上的磁场，磁场上下边界M1P1、M2P2的距离d＝0.2 m，磁感应强度大小随时间的变化规律如图乙所示．t＝0时刻，在右侧导轨斜面上与M1P1距离s＝0.1 m处，有一根阻值r＝2 Ω的金属棒ab垂直于导轨由静止释放，恰好匀速通过整个磁场区域，取g＝10 m/s2，导轨电阻不计．求：
甲 乙
(1) ab在磁场中运动的速度大小v．
(2) 在t1＝0.1 s时刻和t2＝0.25 s时刻电阻R1的电功率之比．
(3) 最终电阻R2产生的总热量Q总．
答案：(1) 1 m/s (2) 4∶1 (3) 0.01 J
【解析】(1) ab释放后在进入磁场之前下滑的加速度大小为a＝g sin θ＝5 m/s2
ab从释放到进入磁场所经历的时间为
t1＝＝0.2 s
即ab进入磁场时磁感应强度刚好趋于恒定，所以ab在磁场中运动的速度大小为v＝at1＝1 m/s
(2) 在t1＝0.1 s时刻，回路中的感应电动势为
E1＝＝Ld＝0.6 V
此时R2和ab并联后再与R1串联，则通过R1的电流为I1＝＝0.2 A
电阻R1的电功率为P1＝R1＝0.08 W
在t2＝0.25 s时刻，回路中的感应电动势为
E2＝BLv＝0.6 V
此时ab相当于电源，R1和R2并联在ab两端，则通过R1的电流为I′1＝＝0.1 A
此时电阻R1的电功率为P′1＝R1＝0.02 W
所以在t1＝0.1 s时刻和t2＝0.25 s时刻电阻R1的电功率之比为P1∶P′1＝4∶1
(3) 0～0.2 s时间内，通过R2的电流为
I2＝＝0.1 A
R2产生的焦耳热为Q1＝R2t1＝0.004 J
设ab的质量为m，当ab在磁场中做匀速运动时，根据平衡条件有mg sin θ＝BIL＝
解得m＝0.024 kg
最终ab将在M2P2下方做往复运动，且回到M2P2时速度恰好为零，根据功能关系可得0.2 s时刻后整个电路产生的总焦耳热为
Q＝mgd sin θ＋mv2＝0.036 J
当ab在磁场中运动时，通过R1和R2的电流始终相等，且等于通过ab的电流的一半，根据焦耳定律可知0.2 s时刻后R2产生的焦耳热为
Q2＝Q＝Q＝0.006 J
所以Q′总＝Q1＋Q2＝0.01 J
题组三 “双杆＋导轨”模型
5．(2025·广州最后冲刺题三)(多选)将一足够长光滑平行金属导轨固定于水平面内(如图所示)，已知左侧导轨间距为L，右侧导轨间距为2L，导轨足够长且电阻可忽略不计．左侧导轨间存在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场，右侧导轨间存在磁感应强度大小为2B、方向竖直向下的匀强磁场．在t＝t1时刻，长为L、电阻为r、质量为m的匀质金属棒EF静止在左侧导轨右端，长为2L、质量为3m的匀质金属棒GH从右侧导轨左端以大小为v0的初速度水平向右运动．一段时间后，流经棒EF的电流为0，此时t＝t2．已知金属棒EF、GH由相同材料制成，在运动过程中两棒始终与导轨垂直且接触良好，不计电流的磁效应，则( ABD )
A．t1时刻流经棒GH的电流为
B．t2时刻棒EF的速度大小为 v0
C．t1～t2时间内，回路磁通量的变化率逐渐增大
D．t1～t2时间内，棒EF产生的焦耳热为
【解析】棒EF、GH由相同材料制成，即电阻率ρ1、密度ρ2均相同，根据Rx＝ρ1，mx＝ρ2xS，可得Rx·mx＝ρ1ρ2x2，设GH的电阻为r′，则有＝，可得r′＝r．根据右手定则可知，t1时刻GH产生的感应电动势方向是从H到G，回路中的感应电动势为E＝2B·2Lv0＝4BLv0，根据闭合电路欧姆定律可知此时回路中的感应电流为I＝＝，A正确；设t2时刻，EF、GH的速度大小分别为v1、v2，则有BLv1＝2B·2Lv2，可得v2＝v1，t1～t2时间内，根据动量定理，对EF有B＝mv1－0，对GH有－·2Lt＝3mv2－3mv0，联立解得v1＝v0，v2＝v0，B正确；根据左手定则知EF受到的安培力水平向左，GH受到的安培力水平向左，EF的速度逐渐增大，GH的速度逐渐减小，回路中的感应电动势E′＝2B·2LvGH－BLvEF逐渐减小，根据法拉第电磁感应定律知，回路磁通量的变化率逐渐减小，C错误；在t1～t2时间内，对两棒组成的系统，根据能量守恒定律有×3m＝m＋×3m＋Q总，解得回路中产生的总热量Q总＝，根据焦耳定律有＝，解得QEF＝，D正确．
6．(2025·佛山禅城区一调)如图所示，光滑平行导轨MNPQ固定在水平桌面上，形状如图所示，平行导轨间距d＝0.4 m，质量M＝0.6 kg、长度也为d的金属棒cd静止在水平导轨上，与桌面边缘的距离x＝1.2 m，空间分布有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5 T．现有一质量m＝0.2 kg的绝缘棒ab从距桌面高H＝1.8 m处沿导轨由静止滑下，与金属棒cd发生弹性碰撞．金属棒cd从桌面滑出后落在水平地面上，落点到桌边缘的水平距离s＝0.8 m．已知金属棒cd的电阻R＝0.4 Ω，桌面离地面的高度h＝1.25 m，设两棒落地均不反弹，离开桌面前导轨与两棒端点始终接触，导轨电阻不计，取g＝10 m/s2．求：
(1) 金属棒cd离开桌面边缘的速度大小v1和离开桌面后两端的电势差Ucd．
(2) 金属棒cd被绝缘棒碰撞后瞬间的速度大小v．
(3) 绝缘棒ab落点与金属棒cd落点的距离．
答案：(1) 1.6 m/s 0.32 V (2) 3 m/s (3) 0.7 m
【解析】(1) 金属棒cd离开桌面边缘后做平抛运动
竖直方向h＝gt2，代入数据解得t＝0.5 s
水平初速度v1＝＝ m/s＝1.6 m/s
金属棒切割磁感线产生的感应电动势
E＝Bdv1＝0.5×0.4×1.6 V＝0.32 V
离开桌面后两端的电势差Ucd＝E＝0.32 V
(2) 设绝缘棒ab与金属棒cd碰撞前的速度为v2，根据动能定理mgH＝
代入数据解得v2＝＝ m/s＝6 m/s
ab棒和cd棒组成的系统动量守恒，取v2方向为正方向
根据动量守恒定律mv2＝mv3＋Mv
根据能量守恒定律＝＋Mv2
代入数据解得v3＝－3 m/s，v＝3 m/s
(3) 碰撞后绝缘棒ab向左运动，重新返回后离开水平轨道的速度大小为v′3＝3 m/s
绝缘棒ab落点与金属棒cd落点的距离
Δx＝v3′t－s＝3×0.5 m－0.8 m＝0.7 m
题组四 导体框类问题
7．(2025·广东省开学考)(多选)汽车减震器可以有效抑制车辆振动．某电磁阻尼减震器的简化原理图如图所示．匀强磁场的宽度L0＝1 m，匀强磁场的磁感应强度大小B＝1 T，方向竖直向下．一轻质弹簧处于原长，水平且垂直于磁场边界放置，弹簧右端固定，左端恰与磁场右边界平齐．另一宽度L＝0.2 m，足够长的单匝矩形硬质金属线框abcd水平固定在一塑料小车上(图中小车未画出)，线框右端与小车右端平齐，二者的总质量m＝0.5 kg，线框电阻R＝0.08 Ω，使小车带着线框以v0＝5 m/s的速度沿光滑水平面垂直于磁场边界正对弹簧向右运动，ab边向右穿过磁场右边界后小车开始压缩弹簧，弹簧始终在弹性限度内．下列说法中正确的是( BC )
A．线框刚进入磁场左边界时，小车的加速度大小为1 m/s2
B．线框刚进入磁场左边界时，小车的加速度大小为5 m/s2
C．小车向右运动过程中弹簧获得的最大弹性势能为4 J
D．小车向右运动过程中弹簧获得的最大弹性势能为2 J
【解析】线框刚进入磁场左边界时，有E＝BLv0，I＝，F＝BIL，a＝，解得小车的加速度大小a＝5 m/s2，A错误，B正确；设ab边穿过磁场右边界时的速度大小为v，由动量定理有－BLΔt＝mv－mv0，＝＝＝，ab边从磁场右边界出来后压缩弹簧，则弹簧获得的最大弹性势能Epm＝mv2，解得Epm＝4 J，C正确，D错误．
8．(2025·深圳外国语学校三模)某种新型智能化汽车独立悬架系统的电磁减震器是利用电磁感应原理制造的，如图为其简化的原理图．该减震器由绝缘的橡胶滑动杆及多个相同的单匝矩形闭合线圈组成，线圈相互靠近、彼此绝缘，固定在绝缘杆上，线圈之间的间隔忽略不计．滑动杆及线圈的总质量为m，每个矩形线圈的电阻为R，ab边长为L，bc边长为 ．某次减震过程中，该减震器从距离磁场边缘高h处由静止自由下落，当线圈2恰好完全进入磁场时减震器的速度大小为 ．已知匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，不计空气阻力，该减震器始终保持竖直，重力加速度为g．
(1) 求线圈1的ab边进入磁场瞬间，减震器的加速度大小a．
(2) 求减震器下落过程中，线圈1和2产生的热量之和．
(3) 求从减震器开始下落到线圈2恰好完全进入磁场所用的时间t．
答案：(1) －g (2) mg (3) ＋
【解析】(1) 根据机械能守恒mgh＝mv2
ab边进入磁场瞬间的速度为v＝
根据E＝BLv，I＝，F＝BIL，F－mg＝ma
解得a＝－g
(2) 从开始下落到第二个线圈完全进入磁场，由能量关系可知Q＝mgm
解得Q＝mg
(3) 减震器在磁场中运动，设减震器下落的方向为正方向，根据动量定理
mgt1－BLt1＝m－mv
又q＝t1，＝＝＝＝
解得t1＝
减震器自由下落过程中t0＝
则从减震器开始下落到线圈2恰好完全进入磁场所用的时间t＝t0＋t1＝
增强练
1．(2025·佛山顺德区二模)下列是《普通高中物理课程标准》中列出的三个必做实验，请按要求完成相关内容．
图1
图2
图3 图4
图5 图6
(1) 用螺旋测微器测定金属丝直径时的示数如图1所示，其读数为__0.656(0.654～0.657)__mm．
(2) “探究变压器原、副线圈电压和匝数的关系”实验：
①在图2中所给的器材中，本实验需要用到的是__BD__(填代号)．
②用图3中所示的可拆变压器进行实际实验时，将电源接在原线圈的“0”和“800”两个接线柱上，用电表测得副线圈“0”和“400”两个接线柱间的电压为3.0 V，由于不是理想变压器，可能存在磁漏，则原线圈的输入电压可能__>__(填“>”或“<”)6 V．
(3) 用如图4所示的电路探测热敏电阻的特性，R1为滑动变阻器，R2为电阻箱，RT为热敏电阻，热敏电阻处在虚线所示的温控室中．
①实验时，记录温控室的温度t0，将S2合向1，闭合开关S1前，将滑动变阻器R1的滑片移到__b__(填“a”或“b”)端，调节滑动变阻器的滑片，使电流表有恰当的示数I0；将S2合向2，调节电阻箱，使电流表的示数仍为I0，记录此时电阻箱接入电路的示数为如图5所示，则温度为t0时，热敏电阻的阻值为__86.3__Ω．
②该热敏电阻在不同温度t下对应的电阻值R如图6所示，则该热敏电阻的阻值随温度升高而__减小__(填“增大”或“减小”)．
【解析】(1) 螺旋测微器的读数为固定刻度与可动刻度之和，为0.5 mm＋15.6×0.01 mm＝0.656 mm．
(2) ①由于本实验探究变压器原、副线圈电压和匝数的关系，所以需要用学生电源提供交流电，且用多用电表测量交流电压．故选BD．
②若为理想变压器，则 ＝＝，解得U2＝6 V．由于不是理想变压器，可能存在磁漏，则原线圈的输入电压应大于6 V．
(3) ①闭合开关S1前，将滑动变阻器R1的滑片移到阻值最大处，即b端．由图5可知，温度为t0时，热敏电阻的阻值为86.3 Ω．
②由图乙可知，该热敏电阻的阻值随温度升高而减小．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共68张PPT)
专题四
粤考特色·综合提能五 力、电、能、动为靶向的情境问题
电路与电磁感应
直面高考真题
考向1 导轨模型下单杆力、电问题
(2020·新课标Ⅰ)(多选)如图所示，U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，ab和dc边平行，和bc边垂直．ab、dc足够长，整个金属框电阻可忽略．一根具有一定电阻的导体棒MN置于金属框上，用水平恒力F向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，MN与金属框保持良好接触，且与bc边保持平行．经过一段时间后 ( )
A．金属框的速度大小趋于恒定值
B．金属框的加速度大小趋于恒定值
C．导体棒所受安培力的大小趋于恒定值
D．导体棒到金属框bc边的距离趋于恒定值
BC
1
考向2 导体框模型下的力、电、图问题
2
综合提升
1
2．动量守恒定律在电磁感应现象中的应用
在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，如果两安培力等大反向，且它们受到的其他外力的合力为0，则满足动量守恒条件，运用动量守恒定律求解比较方便．
二、“单杆＋导轨”模型
(2025·深圳高级中学三模)如图所示，间距为L＝1.0 m的两条平行光滑竖直金属导轨PQ、MN足够长，底部Q、 N之间连有一阻值为R1＝3 Ω的电阻，磁感应强度为B1＝0.5 T的匀强磁场与导轨平面垂直，导轨的上端点P、M分别与横截面积为5×10-3 m2的10匝线圈的两端连接，线圈的轴线与大小
均匀变化的匀强磁场B2平行，开关K闭合后，质量为m＝
1×10-2 kg、电阻值为R2＝2 Ω的金属棒ab恰能保持静止．金属
棒始终与导轨接触良好，其余部分电阻不计，取g＝10 m/s2．
求：
(1) 金属棒ab恰能保持静止时，匀强磁场B2的磁感应强度
的变化率．
答案：(1) 8 T/s
2
(2) 开关K断开后，金属棒ab下落时能达到的最大速度v．
答案：(2) 2 m/s
(3) 开关K断开后，金属棒ab下落x＝2 m时恰好运动至最大速度，在此过程中金属棒产生的焦耳热Q．
答案：(3) 0.072 J
“单杆＋导轨＋电阻”四种模型总结
模型一(v0≠0) 模型二(v0＝0) 模型三(v0＝0) 模型四(v0＝0)
说明 质量为m，电阻不计的单杆cd以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为L 轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定 倾斜轨道光滑，倾角为α，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L 竖直轨道光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L
模型一(v0≠0) 模型二(v0＝0) 模型三(v0＝0) 模型四(v0＝0)
示意图
模型一(v0≠0) 模型二(v0＝0) 模型三(v0＝0) 模型四(v0＝0)
力学
模型一(v0≠0) 模型二(v0＝0) 模型三(v0＝0) 模型四(v0＝0)
图像
能量
三、“双杆＋导轨”模型
(2025·深圳实验中学三模)如图所示，平行金属导轨MN、M′N′和平行金属导轨PQR、P′Q′R′固定在高度差为h(数值未知)的两水平台面上．导轨MN、M′N′左端接有电源，MN与M′N′的间距为L＝0.10 m，线框空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B1＝0.20 T；平行导轨PQR与P′Q′R′的间距也为L＝0.10 m，其中PQ与P′Q′是圆心角为60°、半径为r＝
0.50 m的圆弧形导轨，QR与Q′R′是足
够长水平长直导轨，QQ′右侧有方向
竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B2
＝0.40 T．
3
导体棒a、b、c长度均为L，a质量m1＝0.02 kg，接在电路中的电阻R1＝2.0 Ω，放置在导轨MN、M′N′右侧 N′N边缘处；导体棒b、c质量均为m2＝0.02 kg，接在电路中的电阻均为R2＝4.0 Ω，用绝缘轻杆ef将b、c导体棒连接成“工”字型框架(以下简称“工”型架)．“工”型架静止放置在水平导轨某处．闭合开关K后，导体棒a从NN′水平抛出，恰能无碰撞地从PP′处以速度v1＝2 m/s滑入平行导轨，且始终没有与“工”型架相碰．取g＝10 m/s2，不计一切摩擦及空气阻力．求：
(1) 导体棒a刚进入水平磁场B2时，b棒两端的电压．
答案：(1) 0.06 V
(2) “工”型架的最大加速度大小．
答案：(2) 0.03 m/s2
(3) 导体棒b在QQ′右侧磁场中产生的焦耳热．
答案：(3) 0.015 J
(4) 闭合开关K后，通过电源的电荷量q．
答案：(4) 1 C
两类双杆模型总结
类型 模型 运动图像 运动过程 分析方法
不受外力 杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动；稳定时，两杆以相等的速度匀速运动 将两杆视为整体，不受外力，最后a＝0
受到恒力 开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动
CD
4
电磁感应中的导体框类问题
1．线框在进入和穿出磁场的过程中，磁通量发生变化，产生感应电流，在磁场中切割磁感线的部分相当于电源，其余部分相当于外电路．
2．线框进入和穿出磁场过程中，要克服安培力做功，伴随其他形式的能与电能的转化，应利用能的转化与守恒的观点解决问题．
热练
BD
BC
4．(2025·茂名一中模拟)如图甲所示，两根完全相同的光滑平行导轨固定，每根导轨均由两段与水平面成θ＝30°的长直导轨和一段圆弧导轨平滑连接而成，导轨两端均连接电阻，阻值R1＝R2＝2 Ω，导轨间距L＝0.6 m．在右侧导轨所在斜面的矩形区域M1M2P2P1内分布有垂直斜面向上的磁场，磁场上下边界M1P1、M2P2的距离d＝0.2 m，磁感应强度大小随时间的变化规律如图乙所示．t＝0时刻，在右侧导轨斜面上与M1P1距离s＝0.1 m处，
有一根阻值r＝2 Ω的金属棒ab垂直
于导轨由静止释放，恰好匀速通
过整个磁场区域，取g＝10 m/s2，
导轨电阻不计．求：
(1) ab在磁场中运动的速度大小v．
答案：(1) 1 m/s
(2) 在t1＝0.1 s时刻和t2＝0.25 s时刻电阻R1的电功率之比．
答案：(2) 4∶1
(3) 最终电阻R2产生的总热量Q总．
答案：(3) 0.01 J
ABD
6．(2025·佛山禅城区一调)如图所示，光滑平行导轨MNPQ固定在水平桌面上，形状如图所示，平行导轨间距d＝0.4 m，质量M＝0.6 kg、长度也为d的金属棒cd静止在水平导轨上，与桌面边缘的距离x＝1.2 m，空间分布有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5 T．现有一质量m＝0.2 kg的绝缘棒ab从距桌面高H＝1.8 m处沿导轨由静止滑下，与金属棒cd发生弹性
碰撞．金属棒cd从桌面滑出后落在水平地
面上，落点到桌边缘的水平距离s＝0.8 m．
已知金属棒cd的电阻R＝0.4 Ω，桌面离地
面的高度h＝1.25 m，设两棒落地均不反弹，
离开桌面前导轨与两棒端点始终接触，导轨电阻不计，取g＝10 m/s2．求：
(1) 金属棒cd离开桌面边缘的速度大小v1和离开桌面后两端的电势差Ucd．
答案：(1) 1.6 m/s 0.32 V
(2) 金属棒cd被绝缘棒碰撞后瞬间的速度大小v．
答案：(2) 3 m/s
(3) 绝缘棒ab落点与金属棒cd落点的距离．
答案：(3) 0.7 m
【解析】(3) 碰撞后绝缘棒ab向左运动，重新返回后离开水平轨道的速度大小为v′3＝3 m/s
绝缘棒ab落点与金属棒cd落点的距离
Δx＝v3′t－s＝3×0.5 m－0.8 m＝0.7 m
题组四 导体框类问题
7．(2025·广东省开学考)(多选)汽车减震器可以有效抑制车辆振动．某电磁阻尼减震器的简化原理图如图所示．匀强磁场的宽度L0＝1 m，匀强磁场的磁感应强度大小B＝1 T，方向竖直向下．一轻质弹簧处于原长，水平且垂直于磁场边界放置，弹簧右端固定，左端恰与磁场右边界平齐．另一宽度L＝0.2 m，足够长的单匝矩形硬质金属线框abcd水平固定在一塑料小车上(图中小车未画出)，线框右端与小车右端平齐，二者的总质量m＝0.5 kg，线框电阻R＝0.08 Ω，使小车带着线框以v0＝5 m/s的速度沿光滑水平面垂直于磁场边界正对弹簧向右运动，ab边向右穿过磁场右边界后小车开始压缩弹簧，弹簧始终在弹性限度内．下列说法中正确的是 ( )
A．线框刚进入磁场左边界时，小车的加速度
大小为1 m/s2
B．线框刚进入磁场左边界时，小车的加速度
大小为5 m/s2
C．小车向右运动过程中弹簧获得的最大弹性
势能为4 J
D．小车向右运动过程中弹簧获得的最大弹性势能为2 J
BC
1．(2025·佛山顺德区二模)下列是《普通高中物理课程标准》中列出的三个必做实验，请按要求完成相关内容．
(1) 用螺旋测微器测定金属丝直径时的示数如图1所示，其读数为_____________ ________mm．
【解析】(1) 螺旋测微器的读数为固定刻度与可动刻度之和，为0.5 mm＋15.6×0.01 mm＝0.656 mm．
0.656(0.654～0.657)
(2) “探究变压器原、副线圈电压和匝数的关系”实验：
①在图2中所给的器材中，本实验需要用到的是______(填代号)．
②用图3中所示的可拆变压器进行实际实验时，将电源接在原线圈的“0”和“800”两个接线柱上，用电表测得副线圈“0”和“400”两个接线柱间的电压为3.0 V，由于不是理想变压器，可能存在磁漏，则原线圈的输入电压可能______(填“>”或“<”)6 V．
BD
>
(3) 用如图4所示的电路探测热敏电阻的特性，R1为滑动变阻器，R2为电阻箱，RT为热敏电阻，热敏电阻处在虚线所示的温控室中．
①实验时，记录温控室的温度t0，将S2合向1，闭合开关S1前，将滑动变阻器R1的滑片移到_____(填“a”或“b”)端，调节滑动变阻器的滑片，使电流表有恰当的示数I0；将S2合向2，调节电阻箱，使电流表的示数仍为I0，记录此时电阻箱接入电路的示数为如图5所示，则温度为t0时，热敏电阻的阻值为____Ω．
86.3
b
②该热敏电阻在不同温度t下对应的电阻值R如图6所示，则该热敏电阻的阻值随温度升高而______(填“增大”或“减小”)．
减小
【解析】(3) ①闭合开关S1前，将滑动变阻器R1的滑片移到阻值最大处，即b端．由图5可知，温度为t0时，热敏电阻的阻值为86.3 Ω．
②由图乙可知，该热敏电阻的阻值随温度升高而减小．综合提能五 力、电、能、动为靶向的情境问题
考向1 导轨模型下单杆力、电问题
(2020·新课标Ⅰ)(多选)如图所示，U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，ab和dc边平行，和bc边垂直．ab、dc足够长，整个金属框电阻可忽略．一根具有一定电阻的导体棒MN置于金属框上，用水平恒力F向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，MN与金属框保持良好接触，且与bc边保持平行．经过一段时间后( )
A．金属框的速度大小趋于恒定值
B．金属框的加速度大小趋于恒定值
C．导体棒所受安培力的大小趋于恒定值
D．导体棒到金属框bc边的距离趋于恒定值
考向2 导体框模型下的力、电、图问题
(2023·广东卷)光滑绝缘的水平面上有垂直平面的匀强磁场，磁场被分成区域Ⅰ和Ⅱ，宽度均为h，其俯视图如图甲所示，两磁场磁感应强度随时间t的变化如图乙所示，0～τ时间内，两区域磁场恒定，方向相反，磁感应强度大小分别为2B0和B0，一电阻为R，边长为h的刚性正方形金属框abcd，平放在水平面上，ab、cd边与磁场边界平行．t＝0时，线框ab边刚好跨过区域Ⅰ的左边界以速度v向右运动．在τ时刻，ab边运动到距区域Ⅰ的左边界处，线框的速度近似为零，此时线框被固定，如图甲中的虚线框所示．随后在τ～2τ时间内，Ⅰ区磁感应强度线性减小到0，Ⅱ区磁场保持不变；2τ～3τ时间内，Ⅱ区磁感应强度也线性减小到0．求：
甲 乙
(1) t＝0时线框所受的安培力F．
(2) t＝1.2τ时穿过线框的磁通量Φ．
(3) 2τ～3τ时间内，线框中产生的热量Q．
一、电磁感应中的力、电、能、动问题
(2025·清远二模)如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L．ab边右侧有足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上．M、N两细金属杆的质量均为m，在导轨间的电阻均为R．初始时刻，磁场外的杆M以初速度v0向右运动，磁场内的杆N距ab边的距离为x0且处于静止状态．两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直，两杆始终未相撞，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计，求：
(1) 杆M所受安培力的最大值．
(2) 杆M在磁场内运动的速度最小值．
(3) 两杆的最短距离．
1．导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时：
安培力的冲量为I安＝Blt＝Blq
通过导体棒或金属框的电荷量为
q＝Δt＝Δt＝nΔt＝n
磁通量变化量ΔΦ＝B·ΔS＝Blx
如果安培力是导体棒或金属框受到的合力，则I安＝ mv2－mv1
当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时用动量定理求解更方便．
2．动量守恒定律在电磁感应现象中的应用
在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，如果两安培力等大反向，且它们受到的其他外力的合力为0，则满足动量守恒条件，运用动量守恒定律求解比较方便．
二、“单杆＋导轨”模型
(2025·深圳高级中学三模)如图所示，间距为L＝1.0 m的两条平行光滑竖直金属导轨PQ、MN足够长，底部Q、 N之间连有一阻值为R1＝3 Ω的电阻，磁感应强度为B1＝0.5 T的匀强磁场与导轨平面垂直，导轨的上端点P、M分别与横截面积为5×10-3 m2的10匝线圈的两端连接，线圈的轴线与大小均匀变化的匀强磁场B2平行，开关K闭合后，质量为m＝1×10-2 kg、电阻值为R2＝2 Ω的金属棒ab恰能保持静止．金属棒始终与导轨接触良好，其余部分电阻不计，取g＝10 m/s2．求：
(1) 金属棒ab恰能保持静止时，匀强磁场B2的磁感应强度的变化率．
(2) 开关K断开后，金属棒ab下落时能达到的最大速度v．
(3) 开关K断开后，金属棒ab下落x＝2 m时恰好运动至最大速度，在此过程中金属棒产生的焦耳热Q．
“单杆＋导轨＋电阻”四种模型总结
模型一(v0≠0) 模型二(v0＝0) 模型三(v0＝0) 模型四(v0＝0)
说明 质量为m，电阻不计的单杆cd以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为L 轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定 倾斜轨道光滑，倾角为α，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L 竖直轨道光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L
示意图
力学 杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，电流I＝，安培力F＝BIL＝．杆做减速运动，v↓ F↓ a↓，当v＝0时，a＝0，杆保持静止 开始时a＝，杆cd速度v↑ 感应电动势E＝BLv↑ I↑ 安培力F安＝BIL↑，由F－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝ 开始时a＝g sin α，杆cd速度v↑ 感应电动势E＝BLv↑ I↑ 安培力F安＝BIL↑，由mg sin α－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝ 开始时a＝g，杆cd速度v↑ 感应电动势E＝BLv↑ I↑ 安培力F安＝BIL↑，由mg－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝
图像
能量 动能全部转化为内能： Q＝ F做的功一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能： WF＝ 重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：WG＝ 重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：WG＝
三、“双杆＋导轨”模型
(2025·深圳实验中学三模)如图所示，平行金属导轨MN、M′N′和平行金属导轨PQR、P′Q′R′固定在高度差为h(数值未知)的两水平台面上．导轨MN、M′N′左端接有电源，MN与M′N′的间距为L＝0.10 m，线框空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B1＝0.20 T；平行导轨PQR与P′Q′R′的间距也为L＝0.10 m，其中PQ与P′Q′是圆心角为60°、半径为r＝0.50 m的圆弧形导轨，QR与Q′R′是足够长水平长直导轨，QQ′右侧有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B2＝0.40 T．导体棒a、b、c长度均为L，a质量m1＝0.02 kg，接在电路中的电阻R1＝2.0 Ω，放置在导轨MN、M′N′右侧 N′N边缘处；导体棒b、c质量均为m2＝0.02 kg，接在电路中的电阻均为R2＝4.0 Ω，用绝缘轻杆ef将b、c导体棒连接成“工”字型框架(以下简称“工”型架)．“工”型架静止放置在水平导轨某处．闭合开关K后，导体棒a从NN′水平抛出，恰能无碰撞地从PP′处以速度v1＝2 m/s滑入平行导轨，且始终没有与“工”型架相碰．取g＝10 m/s2，不计一切摩擦及空气阻力．求：
(1) 导体棒a刚进入水平磁场B2时，b棒两端的电压．
(2) “工”型架的最大加速度大小．
(3) 导体棒b在QQ′右侧磁场中产生的焦耳热．
(4) 闭合开关K后，通过电源的电荷量q．
两类双杆模型总结
类型 模型 运动图像 运动过程 分析方法
不受外力 杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动；稳定时，两杆以相等的速度匀速运动 将两杆视为整体，不受外力，最后a＝0
受到恒力 开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动 将两杆视为整体，只受外力F，最后a＝
四、导体框类问题
(2025·广东省三模)(多选)如图所示，光滑斜面的倾角为θ，斜面上放置一矩形导体线框abcd，ab边的边长为l1，bc边的边长为l2，线框的质量为m，电阻为R，线框通过绝缘细线绕过光滑的定滑轮与一重物相连，重物质量为M，斜面上ef线(ef平行底边)的右方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为B，如果线框从静止开始运动，进入磁场的最初一段时间是做匀速运动的，且线框的ab边始终平行于底边，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是( )
A．线框进入磁场前运动的加速度为
B．线框进入磁场时匀速运动的速度为
C．线框做匀速运动的总时间为
D．该匀速运动过程中产生的焦耳热为(Mg－mg sin θ)l2
电磁感应中的导体框类问题
1．线框在进入和穿出磁场的过程中，磁通量发生变化，产生感应电流，在磁场中切割磁感线的部分相当于电源，其余部分相当于外电路．
2．线框进入和穿出磁场过程中，要克服安培力做功，伴随其他形式的能与电能的转化，应利用能的转化与守恒的观点解决问题．
配套热练
题组练
题组一 电磁感应中的力、电、能、动问题
1．(2025·茂名一中月考)(多选)如图所示是我国某磁悬浮列车利用电磁阻尼辅助刹车的示意图，在车身下方固定一由粗细均匀导线制成的N匝矩形线框abcd，ab边长为L，bc边长为d，在站台轨道上存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的有界矩形匀强磁场MNPQ，区域长也为d，MN边界与ab平行．若ab边刚进入磁场时列车关闭发动机，此时的速度大小为v0，cd边刚离开磁场时列车刚好停止运动．已知线框总电阻为R，列车的总质量为m，列车停止前所受铁轨阻力及空气阻力的合力恒为f．重力加速度为g．下列说法中正确的是( )
甲 乙
A．列车进站过程中电流方向为adcb
B．线框ab边刚进入磁场时列车的加速度大小 a＝
C．线框从进入到离开磁场过程中，线框产生的焦耳热Q＝－fd
D．线框从进入到离开磁场过程所用的时间t＝
2．(2025·广州二中开学测试)某游乐设施主体结构如图甲所示为一绝缘的弯曲轨道与略微倾斜的直轨道组成，弯曲轨道与直轨道在B处相切．一绝缘材料做成的小车从弯曲轨道顶端A点自由滑下，A点与B点的竖直高度差为h．如图乙所示，小车车厢底板内有一组平放的匝数为n匝，电阻为R的矩形铜线圈，线圈长、宽分别为L1和L2(L1>L2)，其短边与轨道垂直．小车包含游客的总质量为M．小车滑至B处时，速度为v(v<)，小车滑上倾斜直轨道时，能够自由匀速下滑．小车在直轨道的C处开始穿过一隧道，在隧道的顶部和底部每隔L1放置一对正对着的强磁体，每组磁体产生的磁场区域可近似认为是长为L1，略宽于L2的矩形，磁感应强度相同且大小等于B．小车在AB轨道上运动时可视为质点．求：
甲
乙
(1) 小车从A处静止滑至B处的过程中，小车克服阻力所做的功．
(2) 小车内的线圈刚进入第一组强磁体产生的磁场时小车的加速度大小．
(3) 小车线圈前端最终静止时的位置距离C点的距离．
题组二 “单杆＋导轨”模型
3．(2025·广东省质量检测)(多选)如图甲所示，间距为L的足够长光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨左侧连接有阻值为R的定值电阻，金属棒垂直静止在导轨上，整个导轨处在垂直导轨平面向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，给金属棒施加水平向右的拉力F，使金属棒从静止开始运动，金属棒运动x0的距离时撤去拉力，金属棒整个运动过程中的速度v与运动的位移x关系如图乙所示．金属棒运动过程中始终与导轨垂直并与两导轨接触良好，金属棒接入电路的电阻为R，则金属棒运动过程中( )
甲 乙
A．加速度大小保持不变
B．通过电阻R的电荷量为
C．电阻R中产生的焦耳热为
D．拉力F的冲量大小为
4．(2025·茂名一中模拟)如图甲所示，两根完全相同的光滑平行导轨固定，每根导轨均由两段与水平面成θ＝30°的长直导轨和一段圆弧导轨平滑连接而成，导轨两端均连接电阻，阻值R1＝R2＝2 Ω，导轨间距L＝0.6 m．在右侧导轨所在斜面的矩形区域M1M2P2P1内分布有垂直斜面向上的磁场，磁场上下边界M1P1、M2P2的距离d＝0.2 m，磁感应强度大小随时间的变化规律如图乙所示．t＝0时刻，在右侧导轨斜面上与M1P1距离s＝0.1 m处，有一根阻值r＝2 Ω的金属棒ab垂直于导轨由静止释放，恰好匀速通过整个磁场区域，取g＝10 m/s2，导轨电阻不计．求：
甲 乙
(1) ab在磁场中运动的速度大小v．
(2) 在t1＝0.1 s时刻和t2＝0.25 s时刻电阻R1的电功率之比．
(3) 最终电阻R2产生的总热量Q总．
题组三 “双杆＋导轨”模型
5．(2025·广州最后冲刺题三)(多选)将一足够长光滑平行金属导轨固定于水平面内(如图所示)，已知左侧导轨间距为L，右侧导轨间距为2L，导轨足够长且电阻可忽略不计．左侧导轨间存在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场，右侧导轨间存在磁感应强度大小为2B、方向竖直向下的匀强磁场．在t＝t1时刻，长为L、电阻为r、质量为m的匀质金属棒EF静止在左侧导轨右端，长为2L、质量为3m的匀质金属棒GH从右侧导轨左端以大小为v0的初速度水平向右运动．一段时间后，流经棒EF的电流为0，此时t＝t2．已知金属棒EF、GH由相同材料制成，在运动过程中两棒始终与导轨垂直且接触良好，不计电流的磁效应，则( )
A．t1时刻流经棒GH的电流为
B．t2时刻棒EF的速度大小为 v0
C．t1～t2时间内，回路磁通量的变化率逐渐增大
D．t1～t2时间内，棒EF产生的焦耳热为
6．(2025·佛山禅城区一调)如图所示，光滑平行导轨MNPQ固定在水平桌面上，形状如图所示，平行导轨间距d＝0.4 m，质量M＝0.6 kg、长度也为d的金属棒cd静止在水平导轨上，与桌面边缘的距离x＝1.2 m，空间分布有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5 T．现有一质量m＝0.2 kg的绝缘棒ab从距桌面高H＝1.8 m处沿导轨由静止滑下，与金属棒cd发生弹性碰撞．金属棒cd从桌面滑出后落在水平地面上，落点到桌边缘的水平距离s＝0.8 m．已知金属棒cd的电阻R＝0.4 Ω，桌面离地面的高度h＝1.25 m，设两棒落地均不反弹，离开桌面前导轨与两棒端点始终接触，导轨电阻不计，取g＝10 m/s2．求：
(1) 金属棒cd离开桌面边缘的速度大小v1和离开桌面后两端的电势差Ucd．
(2) 金属棒cd被绝缘棒碰撞后瞬间的速度大小v．
(3) 绝缘棒ab落点与金属棒cd落点的距离．
题组四 导体框类问题
7．(2025·广东省开学考)(多选)汽车减震器可以有效抑制车辆振动．某电磁阻尼减震器的简化原理图如图所示．匀强磁场的宽度L0＝1 m，匀强磁场的磁感应强度大小B＝1 T，方向竖直向下．一轻质弹簧处于原长，水平且垂直于磁场边界放置，弹簧右端固定，左端恰与磁场右边界平齐．另一宽度L＝0.2 m，足够长的单匝矩形硬质金属线框abcd水平固定在一塑料小车上(图中小车未画出)，线框右端与小车右端平齐，二者的总质量m＝0.5 kg，线框电阻R＝0.08 Ω，使小车带着线框以v0＝5 m/s的速度沿光滑水平面垂直于磁场边界正对弹簧向右运动，ab边向右穿过磁场右边界后小车开始压缩弹簧，弹簧始终在弹性限度内．下列说法中正确的是( )
A．线框刚进入磁场左边界时，小车的加速度大小为1 m/s2
B．线框刚进入磁场左边界时，小车的加速度大小为5 m/s2
C．小车向右运动过程中弹簧获得的最大弹性势能为4 J
D．小车向右运动过程中弹簧获得的最大弹性势能为2 J
8．(2025·深圳外国语学校三模)某种新型智能化汽车独立悬架系统的电磁减震器是利用电磁感应原理制造的，如图为其简化的原理图．该减震器由绝缘的橡胶滑动杆及多个相同的单匝矩形闭合线圈组成，线圈相互靠近、彼此绝缘，固定在绝缘杆上，线圈之间的间隔忽略不计．滑动杆及线圈的总质量为m，每个矩形线圈的电阻为R，ab边长为L，bc边长为 ．某次减震过程中，该减震器从距离磁场边缘高h处由静止自由下落，当线圈2恰好完全进入磁场时减震器的速度大小为 ．已知匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，不计空气阻力，该减震器始终保持竖直，重力加速度为g．
(1) 求线圈1的ab边进入磁场瞬间，减震器的加速度大小a．
(2) 求减震器下落过程中，线圈1和2产生的热量之和．
(3) 求从减震器开始下落到线圈2恰好完全进入磁场所用的时间t．
增强练
1．(2025·佛山顺德区二模)下列是《普通高中物理课程标准》中列出的三个必做实验，请按要求完成相关内容．
图1
图2
图3 图4
图5 图6
(1) 用螺旋测微器测定金属丝直径时的示数如图1所示，其读数为__ __mm．
(2) “探究变压器原、副线圈电压和匝数的关系”实验：
①在图2中所给的器材中，本实验需要用到的是__ __(填代号)．
②用图3中所示的可拆变压器进行实际实验时，将电源接在原线圈的“0”和“800”两个接线柱上，用电表测得副线圈“0”和“400”两个接线柱间的电压为3.0 V，由于不是理想变压器，可能存在磁漏，则原线圈的输入电压可能__ __(填“>”或“<”)6 V．
(3) 用如图4所示的电路探测热敏电阻的特性，R1为滑动变阻器，R2为电阻箱，RT为热敏电阻，热敏电阻处在虚线所示的温控室中．
①实验时，记录温控室的温度t0，将S2合向1，闭合开关S1前，将滑动变阻器R1的滑片移到__ __(填“a”或“b”)端，调节滑动变阻器的滑片，使电流表有恰当的示数I0；将S2合向2，调节电阻箱，使电流表的示数仍为I0，记录此时电阻箱接入电路的示数为如图5所示，则温度为t0时，热敏电阻的阻值为__ __Ω．
②该热敏电阻在不同温度t下对应的电阻值R如图6所示，则该热敏电阻的阻值随温度升高而__ __(填“增大”或“减小”)．
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