中山市高二级2007—2008学年度第二学期期末统一考试
数学科试卷（文科）
本试卷分第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分。共100分，考试时间100分钟。
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：
1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
一、选择题(本大题共10小题，每题4分，共40分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的)
1．在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的
A．预报变量在轴上，解释变量在轴上
B．解释变量在轴上，预报变量在轴上
C．可以选择两个变量中任意一个变量在轴上
D．可以选择两个变量中任意一个变量在轴上
2．数列…中的等于
A．28 B．32 C．33 D．27
3．复数的共轭复数是
A．i +2 B．i -2 C．-i -2 D．2 - i
4．下面框图属于
A．流程图 B．结构图 C．程序框图 D．工序流程图
5．设大于0，则，的值
A．都大于2 B．至少有一个不大于2
C．都小于2 D．至少有一个不小于2
6．当时，复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，直线和圆C，当从开始在平面上绕点P按逆时针方向匀速转动 （转动角度不超过900）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间的函数，这个函数的图象大致是
8．变量与具有线性相关关系，当取值16,14,12,8时，通过观测得到的值分别为11,9，8,5，若在实际问题中，的预报最大
取值是10，则的最大取值不能超过
A．16 B．17 C．15 D．12
9．根据右边程序框图，当输入10时，输出的是
A．12
B．19
C．14.1
D．－30
10．把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2005的箭头方向依次为
第II卷（非选择题 共60分）
二、填空题（本大题共6个小题，其中14.15.16三题中选一题做答，若在这三题中答两题以上，只计第一题的分。每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的横线上）
11．在复平面内，平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C对应的复数分别是1+3i,-i,2+i,则点D对应的复数为_________.
12．在研究身高和体重的关系时，求得相关指数___________，可以叙述为“身高解释了64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%”所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。
13．从中得出的一般性结论是_____________。
14．如图所示，⊙上一点在直径上的射影为，,则⊙的半径等于 .
15．在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为 .
16．设，则的最小值为 .
三、解答题：（本大题共 5 小题，共 44分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分9分）
⑴求证： ⑵求证：不可能成等差数列
18．（本小题满分9分）
已知
19．（本小题满分9分）
某工厂加工某种零件有三道工序：粗加工、返修加工和精加工。每道工序完成时，都要对产品进行检验。粗加工的合格品进入精加工，不合格品进入返修加工；返修加工的合格品进入精加工，不合格品作为废品处理；精加工的合格品为成品，不合格品为废品。用流程图表示这个零件的加工过程。
20．（本小题满分9分）
已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）求证：时，
21．（本小题满分8分）设函数中，均为整数，且均为奇数。 求证：无整数根。
中山市高二级2007—2008学年度第二学期期末统一考试
数学科试卷（文科）参考答案
一、选择题：
1、B 2、B 3、B 4、A 5、D 6、D 7、D 8、C 9、C 10、B
二、填空题：
11．3+5i 12．0.64 13． （注意左边共有项） 14．5 15．3 16．
三、解答题：
17．⑴证明：要证明
只需证：
只需证：
只需证：
即证： 21<25
显然成立，所以原不等式成立。
⑵反证法：假设成等差数列，则
∴
∴
∴显然不成立
∴不可能成等差数列
18．解：
19．解：流程图如右：
20．解：函数的定义域为，.
（1）由得，，即在上是增函数.由得，. 在上是减函数.
（2）令，
当时，，即在上是增函数，
故，即，
.
21．解：证明：假设有整数根，则； 因为 均为奇数，所以为奇数，为偶数，即
同时为奇数 或 为偶数为奇数，
（1）当为奇数时，为偶数；
（2）当为偶数时，也为偶数，
即为奇数与矛盾.
所以假设不成立。 无整数根.
中山市高二级2008—2009学年度第二学期期末统一考试
数学科试卷（文科）
本试卷分第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
回归分析有关公式：， =，=，，，．
独立性检验有关数据：
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．是虚数单位，
A． B．1 C． D．
2．下面几种推理是合情推理的是
（1）由圆的性质类比出球的有关性质；
（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是，归纳出所有三角形的内角和都是；
（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；
（4）三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，由此得凸多边形内角和是
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（4）
3．对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是
A．“”是“”的必要条件
B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件
D．“”是“”的充分条件
4．两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是
A．模型1的相关指数为0.98 B．模型2的相关指数为0.80
C．模型3的相关指数为0.50 D．模型4的相关指数为0.25
5．已知x与y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程为=bx+a必过
A．点 B．点 C．点 D．点
6．若由一个2*2列联表中的数据计算得k2=4.013，那么有( )把握认为两个变量有关系
A．95% B．97.5%
C．99% D．99.9%
7．下列程序框图中，输出的结果是
A．5 B．10
C．20 D．60
8．中心在坐标原点，离心率为的双曲线
的焦点在轴上，则它的渐近线方程为
A． B．
C． D．
9．抛物线上一点P到焦点F的距
离是10，则点P的坐标是
A．（） B．（） C．（9，6） D．（6，9）
10．若函数f(x)=x3－3a2x＋1的图象与直线y=3只有一个公共点，则实数a的取值范围为
A． B． C． D．（－1，1）
第II卷（非选择题共100分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11． 已知复数是纯虚数，则实数= ．
12．已知函数f(x)＝x3－ax2＋1在区间（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围是 .
13．从概括出第个式子为___________.
14．从以下二个小题中选做一题（请回答且只能回答其中一个，回答两个按得分最低的记分）．
(1)（坐标系与参数方程选做题）已知曲线、的极坐标方程分别为，，则曲线、交点的极坐标为 ．
(2)（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R= ．
三、解答题：（本大题共5小题，共80分）
15．（本题满分13分）
当实数m取何值时，复平面内表示复数的点
（1）位于第四象限？
（2）位于第一、三象限？
（3）位于直线上？
16．（本题满分13分）
一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产有缺点的零件数y(件)
11
9
8
5
（1）利用散点图或相关系数r的大小判断变量y对x是否线性相关？为什么？
（2）如果y对x有线性相关关系，求回归直线方程；
（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？（最后结果精确到0.001．参考数据：，，，=291）．
17．（本题满分13分）
已知是内任意一点，连结，，并延长交对边于，，，则，这是平面几何中的一个命题，其证明方法常采用“面积法”：．运用类比猜想，对于空间四面体存在什么类似的命题？并用“体积法”证明．
18．（本题满分13分）
点P是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，又知点P在轴上方，为椭圆的右焦点，直线的斜率为，求的面积．
19．（本题满分14分）
如右图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A、B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP ，设排污管道的总长度为km．
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数；②设OP(km) ，将表示成的函数．
（2）请选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道总长度最短．
20．（本题满分14分）
已知f(x)=x+lnx，x∈（0，e]，，其中e=2.71828…是自然对数的底数，∈R.
（1）若=－1，求f(x)的极值；
（2）求证：在（1）的条件下， ；
（3）是否存在实数，使f(x)的最大值是-3，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.
中山市高二级2008—2009学年度第二学期期末统一考试
数学科试卷（文科）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
A
D
A
C
D
B
D
二、填空题
11．=2．
12．a≥3．
13．．
14．（1） （2）
三、解答题：
15．（本题满分13分）
解：（1）由，
得即
或
（2）由得
或或
（3）由得
16．（本题满分13分）
解：（1），，
∴，y与x有线性性相关关系．
（2）解：
∴，
∴回归直线方程为：
（3），解得
17．（本题满分13分）
解：猜想：若四面体内任意点，，，，并延长交对面于，，，，则．
用“体积法”证明如下：
===1
18．（本题满分13分）
解：、是是椭圆的左、右焦点，则，，
设P是椭圆上一点，则
消去，得，得或
当时，代入（2）得与（3）矛盾，舍去．
由，得．
所以，的面积S===．
19．（本题满分14分）
解：（1）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故
，又OP＝，
所以，
所求函数关系式为
②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB=
所求函数关系式为
（2）选择函数模型①，
令0 得sin ，因为，所以=，
当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以函数在=时取得极小值，这个极小值就是最小值． ．
这时(km)
因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B的距离均为(km)时，铺设的排污管道总长度最短．
20．（本题满分14分）
解：(1)∵f(x)=－x+lnx，f′(x)= －1+=，
∴当1＜x＜e时， f′(x)＜0，此时f(x)单调递减，当0＜x＜1时，f′(x)＞0，
此时f(x) 单调递增，∴f(x)的极大值为f(1)=-1．
（2）∵f(x)的极大值即f(x)在（0，e]上的最大值为-1
令h(x)= ， ∴，
∴当0＜x＜e时， h′(x) ＜0，且h(x)在x=e处连续
∴h(x)在（0，e]上单调递减，∴h(x)min=h(e)=>-1=
∴当x∈（0，e]时，
（3）假设存在实数，使f(x)=x+lnx有最大值-3，x∈（0，e]， f′(x)= ，
①当时， 由于x∈（0，e]， 则f′(x)= 且f(x) 在x=e处连续
∴函数f(x)=x+lnx是（0，e]上的增函数，∴f(x)max=f(e)= ae+1=-3，
解得（舍去）.
②当＜时， 则当－＜x＜e时，f′(x)= 0， 此时f(x)=x+lnx 是减函数，
当时，f′(x)= 此时f(x)= f(x)=x+lnx 是增函数，
∴f(x)max=f(-)=-1+ln()=-3，解得=－e2.
由①、②知，存在实数=－e2,使得当（0，e]，时f(x)有最大值-3.
中山市高二级2006—2007学年度第二学期期末统一考试
数学科试卷（文科）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分100分，考试时间100分钟。
注意事项：
1．答题前，考生必须将自己的姓名、统考考号、座号和考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．第I卷共10小题，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如要改动，必须用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。第II卷则用黑色的钢笔（或圆珠笔）按各题要求答在答题卡相应的位置上。
3．不可以使用科学型计算器.
4．考试结束时，将答题卡交回。
第I卷（选择题共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数z满足，则数z在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在数列中，，，试猜想这个数列的通项公式为
A． B． C． D．
3．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数的单调递减区间是
A． B． C．或 D．或
5．双曲线的焦距是
A．2 B. 4 C．8 D．16
6．命题“，”的否命题是
A．， B．，
C．， D．，
7．某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列表：
文化程度与月收入列表 单位：人
月收入2000元以下
月收入2000元及以上
总计
高中文化以上
10
45
55
高中文化及以下
20
30
50
总计
30
75
105
由上表中数据计算得=6.109，请根据下表，估计有多大把握认为“文化程度与月收入有关系”
P(K2>k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.84
5.024
6.635
7.879
10.83
A．1％ B．99％ C．2.5％ D．97.5％
8．把正整数按下面的数阵排列，
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
… … … … … …
则第20行的最后一个数字为
A．191 B．200 C．210 D．220
9．设点的坐标分别为. 直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为常数k ，则点M的轨迹是
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
10．在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两互相垂直，，则四面体的外接球半径
A． B． C． D．
第II卷（非选择题共60分）
二、填空题（本大题共5小题，其中11～13题是必做题，14～15题是选做题，每小题4分，满分16分）
11．如图，椭圆+=1上一点P到左焦点F1的距离为3，M是线段PF1的中点，则M
到原点O的距离等于 ．
12．规定复数集范围内的运算，
则（其中为虚数单位，x、y为实数）的值为 ．
13．外国数学家角谷提出一个猜想：任何一个大于1的自然数经过如下的有限步运算，最后结果为1：（1）如果是偶数，将其除以2；（2）如果是奇数，将其乘以3，再加上1. 这就是著明的“角谷猜想”. 如果从13开始，则经过 步运算可验证结果为1.
▲选做题：在下面两道小题中选做一题，两题都选的只计算第一题的得分．
14．在极坐标系中，定点，动点B在直线上运动，则线段AB的最短长度为 .
15．已知圆的半径为，从圆外一点引切线和割
线，切线的长为，，则圆心到
的距离为____________.
三、解答题（本大题共5小题，共44分）
16．（9分）已知函数.
（1）求函数的导数；
（2）求函数的极值.
17．（9分）设，，并且对任意，成立.
先计算的值，然后猜想的表达式.
18．（9分）点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点M的轨迹。
19．（9分）某班一次期中考试之后，从全班同学中随机抽出5位，这5位同学的数学、物理分数见下表：
学生编号
1
2
3
4
5
数学分数x
70
75
80
85
90
物理分数y
73
77
80
88
86
先完成下面（1）～（2）的统计分析，将结果直接写在题中横线上，然后解答第（3）小题.
（1）研究变量y与x的相关关系时，计算得，这说明y与x的相关程度是 .
（2）求得y与x的线性回归方程之后，该方程所表示的直线一定过点 .
（3）求得回归方程后，请估计该班本次考试数学成绩为60分的学生的物理成绩.
20．（8分）已知与的等差中项是，等比中项是.
（1）试用综合法证明：；
（2）若，试用分析法证明：.
中山市高二级2006—2007学年度第二学期期末统一考试
数学科试卷（文科）答案
一、选择题：BDCAC BDCBA
二、填空题：11． 12． 13． 9 14． 15．
三、解答题：
16. 解：（1）∵ ，
∴ .
（2）由，解得或.
当x变化时，、的变化情况如下表：
x
－2
2
＋
0
－
0
＋
↗
↘
↗
因此，当时，有极大值为；
当时，有极小值为.
17. 解：令，则有，即.
∵ ， ∴ .
令，则有，即.
令，则有，即.
由3，9，27，81，猜想.
18. 解：设d是点M到直线的距离，根据题意，点M的轨迹就是集合
，
由此得 .
将上式两边平方，并化简，得
，
即
.
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆
19. 答案：（1）具有较强的正相关
（2）（80，80.8）
（3）解：将代入方程，得，
所以，估计本次考试数学成绩为60分的学生的物理成绩为66分.
20. 证明：（1）∵ 与的等差中项是，等比中项是，
∴ ， ①
， ②
①2－②×2，可得 ，
即.
∴ ， 即.
故证得.
（2）要证，
只需证，
即证，
即证，
只需证.
由（1）的结论，显然成立.
所以，.
中山市高二级2007—2008学年度第二学期期末统一考试
数学科试卷（理科）
本试卷分第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分。共100分，考试时间100分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共32分）
注意事项：
1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
一、选择题(本大题共8小题，每题4分，共32分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的)
1．若，则
等于
A． B．0 C．1 D．2
2．5人站成一排，则甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数是
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
3．函数在区间上
A．单调递增 B．单调递减
C．先单调递增后单调递减 D．先单调递减后单调递增
4．曲线在处的切线的倾斜角是
A． B． C． D．
5．下面推理过程是演绎推理的是
A．三角函数是周期函数，是三角函数，所以是周期函数
B．由圆在平面直角坐标系下的坐标方程，推测球在空间直角坐标系下的坐标方程
C．某校高三共有10个班，（1）班有51人，（2）班有53人，（3）班有52人，由此推测各班人数都超过50人
D．地球上有生命存在，因此火星上也可能有生命存在
6．当时，复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限.
7．如图，直线和圆C，当从开始在平面上绕点P按逆时针方向匀速转动 （转动角度不超过900）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间的函数，这个函数的图象大致是
8. 设随机变量服从标准正态分布，已知，则=
A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975
第Ⅱ卷（非选择题 共68分）
二、填空题（本大题共8个小题，其中14.15.16三题中选一题做答，若在这三题中答两题以上，只计第一题的分。每小题4分，共24分，把答案填在答题卡的横线上）
9. 如果数据的方差为，则的方差为 .
10. 一离散型随机变量的概率分布如下表：
0
1
2
3
P
0.1
0.1
且，则 .
11. 在研究身高和体重的关系时，求得相关指数___________，可以叙述为“身高解释了64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%”所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。
12. 从中得出的一般性结论是_____________。
13.观察下列图形中小正方形的个数，则第个图形中有 个小正方形.
14．如图所示，⊙上一点在直径上的射影为，
,则⊙的半径等于 .
15．在极坐标系中，直线的方程为，则点
到直线的距离为 .
16．设，则的最小值为 .
三、解答题：（本大题共 5 小题，共 44分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17. （本小题满分9分）已知
18. （本小题满分9分）数列的前项和满足.
（1）计算的值；
（2）猜想数列的通项公式并证明.
19. （本小题满分9分）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）求证：时，.
20．（本小题满分9分）根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元，为保护设备，有以下3种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元；
方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；
方案3：不采取措施，希望不发生洪水。
试比较哪一种方案好。
21．（本小题满分8分）
设，分别求，并归纳猜想一般性结论，并证明之.
中山市高二级2007—2008学年度第二学期期末统一考试
数学科试卷（理科）参考答案
一、选择题：
1.C 2.C 3.B 4.C 5.A 6.D 7.D 8.C
二、填空题：
9. 10. 0 11. 0.64 12.
13. 14. 5 15. 3 16.
三、解答题：
17解.
18解. （1）.
（2）猜想证明如下：
①当时，成立.
②假设当时成立，即，
则当时，
所以
所以时结论也成立.
由①②知，对任意的，都成立.
19解.函数的定义域为，.
（1）当时，有在是增函数.
当时，由得，，即在上是增函数.由得，. 在上是减函数.
综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间是为.
（2）令，
当时，，即在上是增函数，
故，即，
.
20. 解：用X1，X2，X3，分别表示三种方案的损失，即
采用第1种方案，无论有无洪水，都有 X1=3800
采用第2种方案，有大洪水时损失2000+60000=62000元；没有大洪水时，损失2000元；却
X2=;
同样，采用第3种方案时，有
X3=，
于是， E X1，
E X2，
E X3
采取方案2的平均损失最小。
21.解：∴，
∴
∴
∴
猜测：
证明如下：
中山市高二级2008—2009学年度第二学期期末统一考试
数学科试卷（理科）
本试卷分第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
回归分析有关公式：， =，=，，，．
独立性检验有关数据：
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
若,则,
,
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．是虚数单位，
A． B．1 C． D．
2．下面几种推理是合情推理的是
（1）由圆的性质类比出球的有关性质；
（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是，归纳出所有三角形的内角和都是；
（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；
（4）三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，由此得凸多边形内角和是
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（4）
3．若由一个2*2列联表中的数据计算得k2=4.013,那么有（ ）把握认为两个变量有关系
A．95% B．97.5% C．99% D．99.9%
4．已知x与y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程为=bx+a必过
A．点 B．点 C．点 D．点
5．从集合A=，B=，C=中各取一个数，组成无重复数字的三位数的个数是
A．54个 B．27个 C．162个 D．108个
6．若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是
A． B． C． D．
7．给出以下命题：
⑴若，则f(x)>0；
⑵；
⑶f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则．
其中正确命题的个数为
A．0 B． 1 C．2 D．3
8．从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中任取三条线段．在这些取法中，以取出的三条线段为边能组成的三角形共有m个，则m的值为
A．3 B．2 C．1 D．4
第II卷（非选择题共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9． 已知复数是纯虚数，则实数= ．
10．设，则= .
11. 某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有_________种．（用数字作答）．
12．从概括出第个式子为___________.
13．若函数f(x)=x3－3a2x＋1的图象与直线y=3只有一个公共点，则实数a的取值范围为__________.
14．从以下三个小题中选做一题（请回答且只能回答其中一个，回答两个或两个以上的，按得分最低的记分）．
（1）（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 ．
（2）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线、的极坐标方程分别为，，则曲线、交点的极坐标为 ．
（3）（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R= ．
三、解答题：（本大题共6小题，共80分）
15．（本题满分13分）
一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产有缺点的零件数y(件)
11
9
8
5
（1）利用散点图或相关系数r的大小判断变量y对x是否线性相关？为什么？
（2）如果y对x有线性相关关系，求回归直线方程；
（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？（最后结果精确到0.001．参考数据：，
，，=291）．
16．（本题满分13分）
已知是内任意一点，连结，，并延长交对边于，，，则. 这是平面几何中的一个命题，其证明方法常采用“面积法”：．运用类比猜想，对于空间四面体存在什么类似的命题？并用“体积法”证明．
17．（本题满分13分）
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个（）．现从袋中任意取一球，表示所取球的标号．
（1）求的分布列、期望和方差；
（2）若，=1，=11，试求、的值．
18．（本题满分13分）
根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元．
方案2：建保护墙，建设费为2000元．但围墙只能防小洪水．
方案3：不采取措施，希望不发生洪水．
试比较哪一种方案好？
19．（本题满分14分）
如右图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A、B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP ，设排污管道的总长度为km．
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数；②设OP(km) ，将表示成的函数．
（2）请选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道总长度最短．
20．（本题满分14分）
已知f(x)=x－ln(－x)，x∈[－e，0），，其中e=2.71828…是自然对数的底数，∈R.
（1）若=－1，求f(x)的极值；
（2）求证：在（1）的条件下，；
（3）是否存在实数，使f(x)的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.
中山市高二级2008—2009学年度第二学期期末统一考试
数学科试卷（理科）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
A
D
C
B
C
A
二、填空题
9．=2
10．0.0215
11．96
12．
13．（－1，1）
14．（1）； （2） （3）
三、解答题：
15．（本题满分13分）
解：（1），，
∴，y与x有线性性相关关系．
（2）解：
∴，
∴回归直线方程为：
（3），解得
16．（本题满分13分）
解：猜想：若四面体内任意点，，，，并延长交对面于，，，，则．
用“体积法”证明如下：
===1
17．（本题满分13分）
解：（1）由题意，得的可能值为0，1，2，3，4．
，，，，，则的分布列为：
0
1
2
3
4
P
．
=．
（2）由，，得
得或为所求．
18．（本题满分13分）
解：用、、分别表示三种方案的损失．
采用第1种方案，有=3800；
采用第2种方案，有
采用第3种方案，有
于是，=3800，
，
．
采取方案2的平均损失最小．
所以，可以选择方案2．
19．（本题满分14分）
解：（1）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故
，又OP＝，
所以，
所求函数关系式为
②若OP=(km) ，则OQ＝10－，
所以OA =OB=
所求函数关系式为
（2）选择函数模型①，
令0 得sin ，因为，所以=，
当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以函数在=时取得极小值，这个极小值就是最小值． ．
这时(km)
因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B的距离均为(km)时，铺设的排污管道总长度最短．
20．（本题满分14分）
解：(1)∵f(x)=－x－ln(－x)，f′(x)= －1，
∴当－e＜x＜－1时， f′(x)＜0，此时f(x)单调递减，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，
此时f(x) 单调递增，∴f(x)的极小值为f(－1)=1．
（2）∵f(x)的极小值即f(x)在[－e，0)上的最小值为1，∴| f(x)|min=1，
令h(x)=g(x)＋， 又∴h′(x)=，∴当－e＜x＜0时， h′(x) ＜0，且h(x)在x=－e处连续
∴h(x)在[－e，0)上单调递减，∴h(x)max=h(－e)=
∴当x[－e，0)时，
（3）假设存在实数a，使f(x)=x－ln(－x)有最小值3，[－e，0)， f′(x)=，
①当≥时， 由于（－e，0)， 则f′(x)=a 且f(x) 在x=－e处连续
∴函数f(x)=ax－ln(－x)是[－e，0)上的增函数，∴f(x)min=f(－e)= －ae－1=3，
解得a=（舍去）.
②当＜时， 则当－e＜x＜时，f′(x)= 此时f(x)=ax－ln(－x) 是减函数，
当时，f′(x)=a 此时f(x)=ax－ln(－x) 是增函数，
∴f(x)min=f()=1－ln()=3，解得a=－e2.
由①、②知，存在实数a=－e2，使得当 [－e，0]，时f(x)有最小值3.
中山市高二级2006—2007学年度第二学期期末统一考试
数学科试卷（理科）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分100分，考试时间100分钟。
注意事项：
1．答题前，考生必须将自己的姓名、统考考号、座号和考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．第I卷共10小题，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如要改动，必须用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。第II卷则用黑色的钢笔（或圆珠笔）按各题要求答在答题卡相应的位置上。
3．不可以使用科学型计算器.
4．考试结束时，将答题卡交回。
第I卷（选择题共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在数列中，，，试猜想这个数列的通项公式为
A． B. C． D．
3．已知随机变量X的分布列如下表（其中a为常数）：
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
a
则下列计算结果错误的是
A． B． C． D．
4．函数的单调递减区间是
A． B． C. 或 D．或
5．乘积展开后共有
A．3项 B．9项 C．24项 D．45项
6．天气预报，在五一黄金周期间，中山市降雨概率是0.2，珠海市降雨的概率是0.3. 假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内，其中至少有一个地方降雨的概率是
A．0.06 B．0.44 C．0.56 D．0.94
7．某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列表：
文化程度与月收入列表 （单位：人）
月收入2000元以下
月收入2000元及以上
总计
高中文化以上
10
45
55
高中文化及以下
20
30
50
总计
30
75
105
由上表中数据计算得=6.109，请根据下表，估计有多大把握认为“文化程度与月收入有关系”
P(K2>k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.84
5.024
6.635
7.879
10.83
A．1％ B．99％ C．2.5％ D．97.5％
8．把正整数按下面的数阵排列，
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
… … … … … …
则第20行的最后一个数字为
A．191 B．200 C．210 D．220
9．在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两互相垂直，，则四面体的外接球半径（ ）.
A. B． C． D．
10．NBA篮球总决赛采用7场4胜制，先取胜4场的球队夺冠．若甲、乙两队每场比赛获胜的几率相等，则它们打完5场以后仍不能结束比赛的概率为
A． B． C． D．
第II卷（非选择题共60分）
二、填空题（本大题共5小题，其中11～12题是必做题，13～15题是选做题，每小题4分，满分16分）
11．规定复数集范围内的运算，若（其中为虚数单位，x、y为实数），则 ．
12．当时，正态曲线为，我们称其为标准正态曲线，且定义，由此得到Φ(0)= .
▲选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选的只计算前两题的得分．
13．已知函数，则当 时，取最大值.
14．在极坐标系中，定点，动点B在直线上运动，则线段AB的最短长度为 .
15．已知圆的半径为，从圆外一点引切线和割
线，切线的长为，，则圆心到
的距离为____________.
三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）
16．（9分）某批电子元件有10件，其中有1件次品，现从中任意地抽取3件进行检验.
（1）当以不放回的方式抽取时，求恰好抽到1件次品的概率；
（2）当以放回的方式抽取时，求抽到的次品数的均值.
17．（9分）某制造商制造出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8分，其中是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.
（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？（利润不取负数）
学生编号
1
2
3
4
5
数学分数x
70
75
80
85
90
物理分数y
73
77
80
88
86
18．（9分）某班一次期中考试之后，从全班同学中随机抽出5位，这5位同学的数学、物理分数见下表：
先完成下面（1）～（2）的统计分析，将结果直接写在题中横线上，然后解答第（3）小题.
（1）研究变量y与x的相关关系时，计算得，这说明y与x的相关程度是 .
（2）求得y与x的线性回归方程之后，该方程所表示的直线一定过点 .
（3）将这五人站成一排，试计算数学最高分与物理最高分不相邻的概率是多少？
19．（9分）已知与的等差中项是，等比中项是.
试用综合法证明：；
20．（8分）已知函数，其中，
（I）若，求的单调区间；
（II）在（I）的条件下，当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求的取值范围.
中山市高二级2006—2007学年度第二学期期末统一考试
数学科试卷（理科）答案
一、选择题：BDCAC BDCAB
二、填空题：11．5 12．0.5 13．，5 14． 15．
三、解答题：
16．解：设抽到的次品数为X.
（1）当以不放回的方式抽取时，.
（2）当以放回的方式抽取时，，
则.
17．解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是
，
令
当时，
当时，；当时，
因此，当半径时，，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；半径时，，它表示单调递减，即半径越小，利润越低。
①半径为2cm时，利润最小，因为当时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值。
②半径为6cm，利润最大.
18．答案：（1）具有较强的正相关
（2）（80，80.8）
（3）解：数学最高分与物理最高分不相邻的概率是.
19. 证明：（1）∵ 与的等差中项是，等比中项是，
∴ ， ①
， ②
①2－②×2，可得 ，
即.
∴ ， 即.
故证得.
20．解：（I）
当时，有，当变化时，与的变化如下表：
1
<0
0
>0
0
<0
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
由上表知，当时，在单调递减，
在单调递增，在上单调递减.
（II）由已知得，即，
又，所（），①
设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
，
解之得
又，所以的取值范围为.
