(共21张PPT)
第 3 章 函数的概念及其表示
3.2.2 奇偶性
人教A版2019必修第一册
情景导入
01
情景导入
在我们的日常生活中，随时随处可以看到许许多多对称的现象。数学上有对称的函数图象吗？它们体现了函数的什么性质？一起让我们来学习这个性质吧！
观察这些图片，它们有什么特征？
偶函数
02
概念讲解
探究1：在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数f(x)=x2和g(x)=2-|x|的图象，并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征。
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=x2 … …
9 4 1 0 1 4 9
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=2-|x| … …
-1 0 1 2 1 0 -1
x
y
o
1
2
3
4
5
-1
1
2
3
-1
-2
-3
x
y
o
1
2
3
4
5
-1
1
2
3
-1
-2
-3
两个函数图象关于y轴对称
概念讲解
思考：类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”这一特征吗？
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)= x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
g(x)=2-|x| … -1 0 1 2 1 0 -1 …
可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)相等.
对于函数f(x)=x2，
有f(-3)=9=f(3)
f(-2)=4=f(2)
f(-1)=1=f(1)
……
f(-x)=f(x)
概念讲解
偶函数
一般地，设函数的定义域为D，如果，都有
且，那么，函数就叫做偶函数。
定义
x∈D，都有-x∈D，且f(－x)=f(x)
图像关于y轴对称
图象特征
符号语言
即定义域关于原点对称
奇函数
03
类比学习
探究2：在平面直角坐标系中，作出函数f(x)=x和g(x)=的图象，并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征。
两个函数图象都关于原点对称。
类比学习
思考：类比偶函数的学习过程，你能用符号语言精确地描述“函数图象关于原点对称”这一特征吗？
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)= x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
g(x)= … - - -1 1 …
对于函数f(x)=x，
有f(-3)=-3=-f(3)
f(-2)=-2=-f(2)
f(-1)=-1=-f(1)
……
可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也互为相反数.
f(-x)=-f(x)
概念讲解
奇函数
一般地，设函数的定义域为D，如果，都有，且，那么，函数就叫做奇函数。
定义
x∈D，都有-x∈D，且f(－x)=-f(x)
图像关于原点对称
图象特征
符号语言
概念辨析
一般地，设函数f(x)的定义域为D
若，都有-，且f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
若，都有-，且f(-x)=f(x)， 则称f(x)为偶函数。
问：奇函数与偶函数的相同点与不同点有哪些？
相同点：
1、定义域关于原点对称；
2、都是函数的整体性质。
不同点：
1、；；
2、偶函数图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称。
概念讲解
探究：若函数f(x)为奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)的值能确定吗？
由奇函数的定义知f(－0)＝－f(0)，而-0=0，
所以f(0)＝－f(0)，移项得，2f(0)=0
∴f(0)＝0.
结论：f(x)为奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)=0
函数奇偶性的判断
04
例题讲解
例
例题讲解
例.判断下列函数的奇偶性.
解：(1)定义域为R，关于原点对称
∴此函数是偶函数；
(2）定义域为R，关于原点对称
∴此函数是奇函数；
判断函数奇偶性，首先要看定义域.
例题讲解
例1.判断下列函数的奇偶性.
(3)定义域为 ，不关于原点对称
∴此函数即不是奇函数，也不是偶函数
(4)定义域为 ,关于原点对称
∴此函数是偶函数.
判断函数奇偶性，首先要看定义域.
概念讲解
归纳小结：判定函数奇偶性基本方法:
（1）定义法:一看定义域是否关于原点对称；二看等式：
①是偶函数；
②是奇函数；
③是非奇非偶函数；
④ 既是奇函数，又是偶函数.
（2）图象法:
图象关于y轴对称是偶函数；图象关于原点对称是奇函数.
达标检测
1. 已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整.
2.判断下列函数的奇偶性
课堂小结
05
课堂小结函数的奇偶性教学设计
一、基本信息
课程名称：函数的奇偶性
教材版本：人教A版2019必修第一册
课时安排：1课时（40分钟）
授课对象：高中一年级学生
授课教师：尤红艳
二、教学目标
（一）知识与技能目标
理解偶函数和奇函数的定义，明确其核心特征与几何意义。
掌握函数奇偶性的判断方法，能准确判断具体函数的奇偶性。
了解“奇函数在处有定义则”这一重要结论。
（二）过程与方法目标
通过观察函数图象、分析函数值关系，经历从直观感知到抽象定义的过程，培养数学抽象素养。
借助类比学习、探究推理等活动，提升直观想象和逻辑推理能力。
形成“先看定义域，再验函数关系”的判断思路，规范解题步骤。
（三）情感态度与价值观目标
感受生活中的对称美与数学中的对称性质的联系，激发学习数学的兴趣。
在小组讨论、合作探究中培养交流意识，增强主动探索的精神。
三、教学重难点
（一）教学重点
偶函数和奇函数的定义及几何意义。
函数奇偶性的判断步骤与方法。
（二）教学难点
理解“定义域关于原点对称”是函数具有奇偶性的前提条件。
从图象特征抽象出函数奇偶性的符号语言定义。
四、教学方法与教学准备
（一）教学方法
情景导入法、类比探究法、讲练结合法、小组讨论法
（二）教学准备
多媒体课件（包含生活中对称现象图片、函数图象、表格数据等）、坐标纸、直尺
五、教学过程
（一）情景导入，激发兴趣（5分钟）
展示生活中的对称现象图片，提问：“这些图片给你最直观的感受是什么？它们有什么共同特征？”引导学生说出“对称”。
过渡提问：“生活中有对称美，数学中函数的图象也存在对称现象，这些对称的图象体现了函数的什么性质呢？今天我们就来深入学习函数的这一重要性质——奇偶性。”
板书课题：函数的奇偶性
（二）探究新知，形成概念（15分钟）
1. 偶函数的探究与定义
提出探究任务1：用描点法作出函数和的图象，观察这两个函数图象有什么共同特征？”
学生动手作图，教师巡视指导，之后利用课件展示两个函数的规范图象。
引导学生观察图象，提问：“这两个函数的图象关于什么对称？”学生通过观察得出“关于轴对称”的结论。
探究数量关系：展示预先设计好的函数值表格，让学生补充完整时的函数值：
… …
… …
g(x)=2-|x| … -1 0 -
提问：“当自变量取一对相反数时，对应的函数值有什么关系？”学生观察表格发现：，。
抽象概括偶函数定义：一般地，设函数的定义域为，如果对任意，都有（即定义域关于原点对称），且，那么函数就叫做偶函数。
强调关键点：定义域关于原点对称；；图象关于轴对称。
2. 奇函数的探究与定义
类比偶函数的学习过程，提出探究任务2：“观察函数和的图象（课件展示），它们的图象有什么共同特征？”
引导学生观察得出：“两个函数的图象都关于原点成中心对称。”
探究数量关系：对于，，，即；同理也满足这一关系。
抽象概括奇函数定义：一般地，设函数的定义域为，如果对任意，都有,且，那么函数就叫做奇函数。
强调关键点：定义域关于原点对称；；图象关于原点中心对称。
3. 概念辨析与补充探究
组织小组讨论：“奇函数与偶函数有哪些相同点和不同点？”
小组代表发言，教师总结并板书：
相同点：定义域关于原点对称；都是函数的整体性质。
不同点：函数值关系不同（偶函数，奇函数）；
图象对称特征不同（偶函数关于轴对称，奇函数关于原点中心对称）。
补充探究：“若函数为奇函数，且在处有定义，则的值是多少？”
引导学生利用奇函数定义推导：，而，故，移项得，所以。
板书结论：奇函数在处有定义，则。
（三）例题讲解，巩固应用（10分钟）
例题1：根据图象判断函数奇偶性
题目：下列所给四个函数图象中，是偶函数的是______，是奇函数的是______（填序号）。
例题2：根据定义判断函数奇偶性
题目：判断下列函数的奇偶性：
（1） （2） （3） （4）
（四）达标检测，强化提升（5分钟）
已知是偶函数，是奇函数，其部分图象如下（课件展示左侧已知部分），请补充右侧图象，并说明补充依据。
判断函数的奇偶性（学生独立完成，指名板演，教师点评）。
（五）课堂小结，梳理知识（3分钟）
引导学生回顾本节课核心内容：
偶函数和奇函数的定义、几何意义。
奇偶性的判断步骤：先判断定义域是否关于原点对称，再验证与的关系。
（六）布置作业，拓展延伸（2分钟）
基础作业：教材中“奇偶性”相关课后习题（重点练习定义判断）。
拓展作业：探究“既是奇函数又是偶函数的函数具有什么特征？”（提示：从定义域和函数值关系两方面分析）。
六、板书设计
函数的奇偶性
情景导入：生活对称→函数奇偶性
偶函数
定义：，且
图象特征：关于轴对称
奇函数
定义：，且
图象特征：关于原点中心对称
异同点
相同：定义域关于原点对称；整体性质
不同：函数值关系；图象对称方式
重要结论：奇函数在处有定义，则
判断步骤
第一步：判断定义域是否关于原点对称
第二步：验证与的关系
例题讲解（略）
课堂小结（略）
