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专题06 相交线与平行线单元过关（培优版）
考试范围：第7章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．如图要被移动到其它位置，下面哪个图形是移动后的该图（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】图形的平移、判断由一个图形旋转而成的图案
【分析】根据移动的特点，移动只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化．要注意移动时不改变图形的大小和形状．
【详解】解：根据移动的特点，B、C、D中图形的形状发生了改变，不是平移；
A、是图形旋转得到的，是移动．
故选：A．
2．如图，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据题意，过作，由平行线的性质可得，结合即可求解．
【详解】解：过作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
3．下列说法中正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．有一个公共顶点和一组公共边，并且和为的两个角互为邻补角
C．直线外一点到这条直线的垂线段的叫做点到直线的距离
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】D
【知识点】点到直线的距离、对顶角的定义、邻补角的定义理解、平行公理的应用
【分析】分别根据对顶角，邻补角，点到直线的距离和平行公理进行判断即可．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意；
B、两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫作互为邻补角，原说法错误，不符合题意；
C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离，故不符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，点到直线的距离，平行公理，熟知相关知识是解题的关键．
4．如图，将一块带有角的直角三角板放置在一组平行线上，若，则的度数应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行公理推论的应用、两直线平行内错角相等、等式的性质1
【分析】本题主要考查了平行公理的推论，两直线平行内错角相等，等式的性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
过三角形的角的顶点作，由两直线平行内错角相等可得，由等式的性质可得，由平行公理的推论可得，由两直线平行内错角相等可得，于是得解．
【详解】解：如图，过三角形的角的顶点作，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
5．如图，若，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同旁内角互补两直线平行、两直线平行同旁内角互补、对顶角相等、等式的性质1
【分析】本题主要考查了对顶角相等，平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
由对顶角相等可得，进而可得，由同旁内角互补两直线平行可得，由两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，由对顶角相等可得，于是得解．
【详解】解：如图，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
6．用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A． 测量跳远成绩
B． 木板上弹墨线
C． 两钉子固定木条
D． 弯曲河道改直
【答案】A
【知识点】垂线段最短、两点确定一条直线、两点之间线段最短
【分析】本题考查了线段的性质，根据给出的现象逐一分析即可，解题时注意：两点的所有连线中可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质是垂线段最短．
【详解】解：A、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故选项符合题意；
B、木板上弹墨线是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意；
C、两钉子固定木条是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意；
D、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故选项不符合题意；
故选：A．
7．如图，、分别在和内部，若，则下列条件中，不能判定的是（ ）
A． B．且
C．且 D．
【答案】D
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、内错角相等两直线平行
【分析】根据“内错角相等，两直线平行”，进行逐一判断即可求解．
【详解】A.因为，，所以，所以，由“内错角相等，两直线平行” ，可得，故此项不符合题意；
B.因为且，，所以，由A可得，故此项不符合题意；
C.因为且，所以，由“内错角相等，两直线平行” ，可得，故此项不符合题意；
D.由无法判断，故此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握判定方法是解题的关键．
8．如图，下列说法正确的是（ ）
A．与是同位角 B．与是内错角
C．与是同位角 D．与是同旁内角
【答案】D
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义逐个判断即可．
【详解】解：、和不是同位角，故本选项不符合题意；
B、和不是内错角，故本选项不符合题意；
C、和是内错角，不是同位角，故本选项不符合题意；
D、和是同旁内角，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角的定义等知识点，能正确找出同位角、内错角、同旁内角是解此题的关键．
9．如图，有下列条件：①；②；③；④．其中，能判断直线的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论．
【详解】解：①由∠1＝∠2，可得ab；
②由∠3＋∠4＝180°，可得ab；
③由∠5＋∠6＝180°，∠3＋∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到ab；
④由∠2＝∠3，不能得到ab；
故能判断直线ab的有3个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
10．如图，在中，，将沿平移得到，与相交于点G，则的长为 ．
【答案】5
【知识点】两直线平行同位角相等、等腰三角形的性质和判定、利用平移的性质求解
【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质得，，从而得到，进而即可求解．
【详解】解：将沿平移得到，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：5．
11．如图，一楼梯的高度为6.4m，水平宽度为8.6m，现要在楼梯的表面铺一种地毯，此种地毯每米需10元钱，那么购买地毯需要 元．
【答案】150
【知识点】利用平移解决实际问题
【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．
【详解】利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6.4米，8.6米
∴地毯的长度为6.4+8.6=15米，
答：购买地毯至少需要150元．
【点睛】本题考查了平移性质，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．
12．已知和互为邻补角，平分，射线在内部，且，，，则 ．
【答案】或
【知识点】垂线的定义理解、利用邻补角互补求角度、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的定义，根据等量关系，利用方程思想求得的度数是解决问题的关键．分两种情况进行讨论：在上方，或在下方，先依据已知条件求得的度数，再根据，即可得到结果．
【详解】解：分两种情况进行讨论：①如图1所示，若在上方，
平分，
，
，
，即，
设，则，，
为平角，
，
即，
解得，
，
又，
，
；
②如图2所示，若在下方，
同理可得，，
又，
，
，
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
13．已知：在同一平面内，三条直线a，b，c．下列四个命题为真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）
①如果ab，，那么； ②如果，，那么；
③如果ab，cb，那么ac； ④如果，，那么bc．
【答案】①③④
【知识点】平行公理的应用、判断命题真假、垂直于同一直线的两直线平行
【分析】分别根据每种情况画出符合条件的图形，再结合垂直的定义，平行线的判定逐一判断即可．
【详解】解：如图，ab，，
则，故①符合题意；
如图，，，
则 故②不符合题意；④符合题意；
如图，ab，cb，
则ac；故③符合题意；
故答案为：①③④
【点睛】本题考查的是平面内直线与直线的位置关系，平行线的性质，垂直的定义，命题真假的判断，掌握“平行公理，平面内垂直于同一直线的两直线平行”是解本题的关键．
14．如图，AC⊥BC，垂足为C，且BC＝5，AC＝12，AB＝13，则点A到BC的距离是 ，点B到点A的距离是 ．
【答案】 12 13
【知识点】两点间的距离、点到直线的距离
【分析】点到直线的距离是指垂线段的长度，两点间的距离是连接两点的线段的长度．
【详解】点A到直线BC的垂线段是AC，所以线段AC的长是点A到直线BC的距离，即点A到BC的距离是12；
点B到点A的距离是线段AB的长，即点B到点A的距离是13.
故答案为12，13.
【点睛】本题考查的知识点是点到直线的距离，两点间的距离，解题的关键是熟练的掌握点到直线的距离，两点间的距离.
15．已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ．
【答案】/88度
【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等
【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；过点、、分别作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解；
【详解】过点、、分别作，
∵
，
，
平分，平分 ，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
评卷人得分
三、解答题
16．如图所示，直线，相交于点O，平分，平分，，垂足为H，与平行吗？说明理由．
【答案】，理由见解析
【知识点】同位角相等两直线平行、角平分线的有关计算、垂线的定义理解
【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
由平分，平分，可得，，由可得，即，由可得．
【详解】解：，理由如下：
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，即，
∵ ，
∴，
∴
∴．
17．如图，在中，点、分别在、上，且，．
(1)试猜想与的关系，并说明理由；
(2)若平分，判断与位置关系，并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【知识点】内错角相等两直线平行、两直线平行同旁内角互补
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质及平行线的判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
（1）由平行线的性质和，可推出与的关系；
（2）由（1）的结论和平分，可得与的关系，利用平行线的判定得结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵平分，
∴，
由（1）知，
∴，
∴．
18．如图，，，．将求的过程填写完整．
解：∵（已知）
∴________（________），
又∵（已知），
∴（________），
∴________（________），
∴________（________），
∵（已知），
∴________．
【答案】；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查了平行线的性质与判定．根据平行线的性质与判定即可求出答案．
【详解】解：∵（已知）
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴．
故答案为：；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；．
19．已知的两边与的两边分别平行，即，试探究：
(1)如图1，与的关系是 ___________ ；
(2)如图2，写出与的关系，并说明理由；
(3)根据上述探究，请归纳概括出一个真命题．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、写出命题的题设与结论
【分析】（1）根据平行线的性质得出，即可得出答案；
（2）根据平行线的性质得出，即可得出答案；
（3）根据（1）（2）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
【详解】（1）解：，理由如下：
如下图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
如下图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：由题意得：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
20．如图，点A，O，B在同一直线上，是的平分线．
(1)请用一个直角三角尺作出的平分线；
(2)在（1）作图的基础上，说明平分的理由．
理由：因为是的平分线，
所以，
因为_______，
所以_______，
所以，
因为，
所以______________（理由：______________），
所以是的平分线．
【答案】(1)见解析
(2)；；；；等角的余角相等
【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、同(等)角的余(补)角相等的应用
【分析】本题考查了角平分线的定义，以及等角的余角相等，熟练掌握角平分线的定义，以及等角的余角相等是解题的关键．
（1）利用三角尺作，即可；
（2）先推出，，然后根据等角的余角相等逐步推理证明，即可求证是的平分线．
【详解】（1）解：作，如图；
（2）理由：因为是的平分线，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以（理由：等角的余角相等），
所以是的平分线．
故答案为：；；；；等角的余角相等．
21．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F．
(1)求的度数，若，请直接用含的式子表示；
(2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；
(3)当时，请直接写出的度数．
【答案】(1)，
(2)不改变，恒为，理由见解析
(3)
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义的运用等知识点，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
（1）先根据平行线的性质得出，再根据分别平分和，即可得出的度数；同理：当，用含的式子表示即可；
（2）根据平行线的性质得出，再根据平分，即可得到进而得出，进而完成解答；
（3）根据，得出，进而得，根据，进而求得的度数．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵分别平分和，
∴
∴；
若，
∵，．
∴，
∴，
∵分别平分和，
∴，
∴；
（2）解：不变．恒为，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
当时，则有，
∴，
∴，
∴．
22．完成下面的推理填空：
已知：如图，、分别在和上，，与互余，于．
求证：．
证明：，（已知）
．（垂直的定义）
，（已知）
__________．（_____）
，（_____）
又，
_____．
又与互余，（已知）
．（同角的余角相等）
．（_____）
【答案】，，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，，内错角相等，两直线平行；
【知识点】根据平行线判定与性质证明、与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可．
【详解】证明：，（已知）
．（垂直的定义）
，（已知）
．（同位角相等，两直线平行）
，（两直线平行，同位角相等）
又，
．
又与互余，（已知）
．（同角的余角相等）
．（内错角相等，两直线平行）
23．【感知】如图①，，点E在直线上，点F在直线上，点P为，之间一点，求证：．
小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程．
证明：如图①，过点P作．
∵（已知），
∴（平行与同一条直线的两条直线平行），
∴________，
∴（等式性质），
∴．
（1）【应用】小明同学进行了更进一步的思考：利用【感知】中的结论进行证明如图②，直线，点A，C在直线a上，点B，D在直线b上，直线，分别平分，且交于点E．猜想并证明与的数量关系．
（2）【拓展】如图③，，直线与分别交于点M，N，点P在上，点G在上，，若动点E在线段上移动（不与M，G，N重合），连接PE，和的平分线交于点H，补全图形，请直接写出与的数量关系．
（3）在（1）的条件下，若直线的位置如图④所示，请直接写出与的数量关系．
【答案】感知：，两直线平行，内错角相等；
（1）与，证明见解析；
（2），图形见解析；
（3）
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明
【分析】感知：根据平行线的性质可以直接求解；
应用：（1）分别过作直线的平行线，将根据平行线的性质，将表示成与相关的角，最后通过等量代换找到与的等量关系，进而求解；
（2）先根据题目要求补全图形，过作，过作，然后根据平行线的性质，通过等量代换找到与及之间的关系；
（3）过作，过作，然后根据平行线的性质，通过等量代换找到与、之间的关系；
【详解】感知：证明：如图①，过点P作．
∵（已知），
∴（平行与同一条直线的两条直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴（等式性质），
∴．
故答案为：，两直线平行，内错角相等；
应用：
（1）
证明：过F作，过E作；如下图：
则有，
∴
∴
即
又∵、为角平分线，
∴
∴
即
根据
有
即
∴
（2）如图所示，过作
∵
∴
同理过作，
设平分的角分别为
∴,
∴
同理，，可得到
又∵
∴
即
（3）如图所示，过点作
∵
∴
同理，过作，可得
∴
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质定理．
24．如图，直线，直线分别交、于点、．点在直线上方，点在直线上（在点的右边），连接，平分．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，若平分，直线交于点，请探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）问的条件下，连接并延长．若，，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，射线始终平分，是内部一条射线，平分，当，且的度数为射线与直线所夹锐角的倍时，直接写出的值（本题研究的所有角度均小于）．
【答案】(1)
(2)，理由加解析
(3)或30或秒
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）根据平分，且，得出，过点作，根据平行线的性质即可求解；
（2）设，，过点作，得出，根据平行线的性质可得过点作，进而根据平行线的性质可得，即可求解；
（3）根据旋转的性质可得，分四种情况讨论，当在的上方时，设，则，依题意，始终平分，平分，则根据得出①，根据得出②，即可求解，进而当在的下方时，则，同理可得；当时，且在的上方和下方时，列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解： 平分，且，
，
过点作，
，
，
又，
，
，
，
；
（2）解：数量关系为：或．
理由如下：
分别平分和，
设，，
过点作，
，
，
，
，
，
，
过点作，
，
，，
，即，
；
（3）解：∵，平分，则，
∵未旋转前，
则，
，
∵将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，
∴，
当在的上方时，如图所示，
设，则，
依题意，始终平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴①
又∵，即，
即②，
将②代入①得，，
解得：；
当在的下方时，如图所示，
则，解得：，
将代入①得，，
∴；
如图所示，当时，且在的下方时，
设，则，
依题意，始终平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，即，即，
将代入，
解得：，
当在的上方时，则，即，
将代入，
解得：（舍去）
综上所述：或或．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质与判定，一元一次方程的应用，分类讨论，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
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专题06 相交线与平行线单元过关（培优版）
考试范围：第7章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．如图要被移动到其它位置，下面哪个图形是移动后的该图（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法中正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．有一个公共顶点和一组公共边，并且和为的两个角互为邻补角
C．直线外一点到这条直线的垂线段的叫做点到直线的距离
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
4．如图，将一块带有角的直角三角板放置在一组平行线上，若，则的度数应该是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，若，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A． 测量跳远成绩
B． 木板上弹墨线
C． 两钉子固定木条
D． 弯曲河道改直
7．如图，、分别在和内部，若，则下列条件中，不能判定的是（ ）
A． B．且
C．且 D．
8．如图，下列说法正确的是（ ）
A．与是同位角 B．与是内错角
C．与是同位角 D．与是同旁内角
9．如图，有下列条件：①；②；③；④．其中，能判断直线的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
10．如图，在中，，将沿平移得到，与相交于点G，则的长为 ．
11．如图，一楼梯的高度为6.4m，水平宽度为8.6m，现要在楼梯的表面铺一种地毯，此种地毯每米需10元钱，那么购买地毯需要 元．
12．已知和互为邻补角，平分，射线在内部，且，，，则 ．
13．已知：在同一平面内，三条直线a，b，c．下列四个命题为真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）
①如果ab，，那么； ②如果，，那么；
③如果ab，cb，那么ac； ④如果，，那么bc．
14．如图，AC⊥BC，垂足为C，且BC＝5，AC＝12，AB＝13，则点A到BC的距离是 ，点B到点A的距离是 ．
15．已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ．
评卷人得分
三、解答题
16．如图所示，直线，相交于点O，平分，平分，，垂足为H，与平行吗？说明理由．
17．如图，在中，点、分别在、上，且，．
(1)试猜想与的关系，并说明理由；
(2)若平分，判断与位置关系，并说明理由．
18．如图，，，．将求的过程填写完整．
解：∵（已知）
∴________（________），
又∵（已知），
∴（________），
∴________（________），
∴________（________），
∵（已知），
∴________．
19．已知的两边与的两边分别平行，即，试探究：
(1)如图1，与的关系是 ___________ ；
(2)如图2，写出与的关系，并说明理由；
(3)根据上述探究，请归纳概括出一个真命题．
20．如图，点A，O，B在同一直线上，是的平分线．
(1)请用一个直角三角尺作出的平分线；
(2)在（1）作图的基础上，说明平分的理由．
理由：因为是的平分线，
所以，
因为_______，
所以_______，
所以，
因为，
所以______________（理由：______________），
所以是的平分线．
21．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F．
(1)求的度数，若，请直接用含的式子表示；
(2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；
(3)当时，请直接写出的度数．
22．完成下面的推理填空：
已知：如图，、分别在和上，，与互余，于．
求证：．
证明：，（已知）
．（垂直的定义）
，（已知）
__________．（_____）
，（_____）
又，
_____．
又与互余，（已知）
．（同角的余角相等）
．（_____）
23．【感知】如图①，，点E在直线上，点F在直线上，点P为，之间一点，求证：．
小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程．
证明：如图①，过点P作．
∵（已知），
∴（平行与同一条直线的两条直线平行），
∴________，
∴（等式性质），
∴．
（1）【应用】小明同学进行了更进一步的思考：利用【感知】中的结论进行证明如图②，直线，点A，C在直线a上，点B，D在直线b上，直线，分别平分，且交于点E．猜想并证明与的数量关系．
（2）【拓展】如图③，，直线与分别交于点M，N，点P在上，点G在上，，若动点E在线段上移动（不与M，G，N重合），连接PE，和的平分线交于点H，补全图形，请直接写出与的数量关系．
（3）在（1）的条件下，若直线的位置如图④所示，请直接写出与的数量关系．
24．如图，直线，直线分别交、于点、．点在直线上方，点在直线上（在点的右边），连接，平分．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，若平分，直线交于点，请探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）问的条件下，连接并延长．若，，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，射线始终平分，是内部一条射线，平分，当，且的度数为射线与直线所夹锐角的倍时，直接写出的值（本题研究的所有角度均小于）．
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