中小学教育资源及组卷应用平台
微专题01 平行线拐点模型通关专练
平行线拐点模型
一、单选题
1．如图，，，则，与之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，，则、、的关系为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知直线，则、、之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，已知，记，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，平分，下列结论：①；②
；③；④；⑤若，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（ ）
A． B． C． D．无法表示
8．如图，，，平分，设，，，则的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
①；②若，则；
③如图（2）中，若，，，则．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
10．下列结论：①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线，点在直线上，则．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，已知，则三者之间的数量关系是 ．
12．如图，，思考解决下列问题：试探究 ．
13．如图，如果、，则 ．
14．如图，由线段组成的图形像∑，称为“形”．
（1）如图1，形中，若，，则 ；
（2）如图2，连接形中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系 ．
15．如图，，，则、、之间满足的数量关系为 ．
16．如图，，则，，的关系是 .
17．已知：，点、分别在、上，且．如图，分别在、上取点、，使平分，要使．则与满足的关系是 ．
18．如图，已知，点E，F分别在直线上，点O在直线之间， 如图所示，分别在和的平分线上取点M，N，连接，则 ；如果，，，连接，则 （用m，n的代数式表示）
19．①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是 ．
20．探索：微微和为锦在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C数量关系．
发现：在图1中，微微和为锦都发现∠P与∠A，∠C的数量关系为 ；
应用：在图2中，∠A＝125°，∠C＝135°，则∠P＝ ．
在图3中，若∠A＝35°，∠C＝75°，则∠P＝ ．
三、解答题
21．如图，已知直线，直线和直线、分别交于点和点，为直线上一点，、分别是直线、上的定点．设，，．
(1)若点在线段（、两点除外）上）运动时，问、、之间的关系是什么？说明理由．
(2)在的前提下，若点在线段之外时，、、之间的关系又怎样？
22．如图，，猜想与、的关系，并说明理由．
(1)填空：
解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以 (①___________)．因为，，所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以 (③___________)，所以④___________，即；
(2)依照上面的解题方法，观察图，已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由；
(3)观察图和图，已知，猜想图中的与、的关系，不需要说明理由．
23．学习情境·类比探究 问题情境：如图，，，，求的度数．
(1)小机灵同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据．
如图2，过点作，
，
，
（_____）
，．
（_____）
，，
，．
．（_____）
问题迁移：
(2)如图，，当点在线段上运动时，，，求与、之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点在射线上，且在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系．
24．已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上一动点．
(1)猜想论证：如图，当点在线段上运动时，，，之间存在什么数量关系？并说明理由．
请把下列过程补充完整：
猜想：．
证明：过点作．
，
______（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
又，
，______（______）．
，
（______）．
(2)类比探究：
如图，当点在线段的延长线上运动时，上述中的结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，并说明理由；
如图，当点在线段的延长线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不必写理由．
25．（1）如图①，，则________；
如图②，，则________，请你说明理由；
（2）如图③，，则________；
（3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数．
26．已知，直线，点为平面内一点，连接与．
(1)如图1，当点在直线，之间，且时，则_____
(2)如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）．
27．已知，直线，点P为平面上一点，连接与．
(1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数．
(2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，点P落在外．
①直接写出、、的数量关系为______．
②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______．
28．【提出问题】睿睿在学行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：
【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，．
【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明；
【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系．
①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明；
②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由．
【应用拓展】
（3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由．
29．【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
(1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论．
(2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由．
(3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明）
30．如图1，直线，点A，B在直线上，点、在上，线段交线段于点，且．
(1)求证：；
(2)如图2，当F，G分别在线段、上，且，，标记为，为．
①若，求的度数；
②当k为何值时，为定值，并求此定值．
31．如图，已知直线，且和，分别相交于，两点，和，分别交于，两点，，，，点在线段上．
(1)若，，则 ．
(2)试找出，，之间的等量关系，并说明理由；
(3)应用（）中的结论解答以下问题：如图，点在处北偏东的方向上，在处的北偏西的方向上，求的度数；
(4)如果点在直线上且在，两点外侧运动时，其他条件不变，试探究，，之间的关系（点和，两点不重合），直接写出结论即可．
32．【发现】如图1，直线被直线所截，平分，平分．若，，试判断与平行吗？并说明理由；
【探究】如图2，若直线，点在直线之间，点分别在直线上，，P是上一点，且平分．若，则的度数为________；
【延伸】若直线，点分别在直线上，点在直线之间，且在直线的左侧，是折线上的一个动点，保持不变，移动点，使平分或平分．设，，请直接写出与之间的数量关系．
33．已知，点为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，．
(1)当点在直线，之间时．
如图，过点作，由平行线传递性可得，所以与，之间的数量关系是_________；
如图，平分，平分，当时，求出的度数；
(2)如图，当点在的下方时，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求出的度数．
34．（1）如图（1），，，．求的度数；
（2）如图（2），，点在射线上运动，，，
①当点P在A、B两点之间时，之间有何数量关系并请说明理由
②当点P在A、B两点外侧时（点P与点O不重合），请借助备用图画出图示，写出之间的数量关系并说明理由
35．[课题学习]：
平行线的“等角转化”功能．
（1）[阅读理解]：
如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数．
阅读并补充下面推理过程．
解：过点作，所以 ，
又因为
所以
（2）[方法运用]：
如图2，已知，求的度数．
（3）[深化拓展]：
已知，点在的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．
①如图3，若，则 °
②如图4，点在点的右侧，若，则 °（用含的代数式表示）
36．已知：．
(1)如图1，点在，之间，请说明；
(2)如图2，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，请直接用等式表示，，，，之间的数量关系
37．已知直线，点E在直线，之间，点P，Q分别在直线，上，连接，．
(1)如图1，过点E作，探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，F为直线，之间一点，连接，，，，求出与之间的数量关系；
(3)当点E，F，G在直线，之间的位置如图3所示时，直接写出，，，，之间的数量关系：_________．
38．如图，在中，点D在的延长线上，过点A作直线．
(1)如图1，点F在直线，之间，连接，，探究，，之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，过点C作交于点G，平分，平分，若，求的度数（用含x的式子表示）；
(3)如图3，，，射线从的位置开始绕点A逆时针旋转，旋转，同时射线满足，且始终在前面运动，射线平分，当时，求的度数．
39．问题情境：如图，，，，求度数．
小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．
(1)按小明的思路，易求得的度数为 度；（直接写出答案）
(2)问题迁移：如图，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系．
40．如图1，已知直线与直线交于点，与直线交于点，平分交直线于点，．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)点是射线上的一个动点（不与点，重合），平分交直线于点，过点作交直线于点．设，．
①如图2，当点在点的左侧，且时，求的值；
②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
微专题01 平行线拐点模型通关专练
平行线拐点模型
一、单选题
1．如图，，，则，与之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、平行公理的应用
【分析】本题考查了平行线的性质，添加平行线是解题的关键．过点E作，过点F作，根据平行线的性质可求得，，，所以，再证明，即可代入得到答案．
【详解】过点E作，过点F作，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
2．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则．
【详解】解：过点A作，过点E作，
∵，
∴，
∵，
∴设，，
∵，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴.
故选：B．
3．如图，，，则、、的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行公理的应用、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．分别过点作，利用平行线的性质建立角之间的关系即可解答．
【详解】解：分别过点作，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
4．如图，已知直线，则、、之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，则，然后根据平行线的性质和角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：．
5．如图，已知，记，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题主要考查的是平行线的判定和性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．过点F作，则，依据平行线的性质可证明，同理可证明，然后结合已知条件可得到问题的答案．
【详解】解：如图所示：过点F作．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
同理：．
∴
∵，
∴．
故选：B．
6．如图，，平分，下列结论：①；②
；③；④；⑤若，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．
由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，故②正确；
∵与不一定相等，
∴不一定成立，故③错误：
∵，，，，
∴
∵，
∴°，即，故④正确；
∵，
∴为定值，故⑤正确．
综上所述，正确的选项①②④⑤共4个，
故选：C．
7．如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（ ）
A． B． C． D．无法表示
【答案】B
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质判断出图中角度之间的关系．根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：过作直线，如图所示，
，
（两直线平行，内错角相等），
，，
，
，
，
，
，
故选：B
8．如图，，，平分，设，，，则的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线，解题的关键是理解题意并掌握这些知识点．
过点E作，过点F作，根据题意得，，根据平行线的性质得，，可得，，，，即可得，，则，，得，即可得，进行计算即可得．
【详解】解：如图所示，过点E作，过点F作，
∵，平分，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
，，
∴，
，
即，，
∴，
∴
∴
∴
故选A．
9．已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
①；②若，则；
③如图（2）中，若，，，则．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的应用，分别过、作，，利用平行线的性质可以得，，即可判定①正确；结合①可得，根据角平分的性质得和，即可得到，判定②正确；根据前面得，可得判定③正确．
【详解】解：分别过、作，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，②正确，
由，，，
同理得，，
∴
，
∴，③正确，
故选：D．
10．下列结论：①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线，点在直线上，则．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质；①过点作直线 ，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；②如图，先根据三角形外角的性质得出，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；③如图，过点作直线 ，由平行线的性质可得出，即得；④如图，根据平行线的性质得出，，再利用角的关系解答即可．
【详解】解：
①如图，过点作直线，
，
，
，，
，
，
故①错误；
②如图，
是的外角，
，
，
，
即，
故②正确；
③如图，过点作直线，
，
，
，，
，
即，
故③错误；
④如图，
，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
综上结论正确的个数为，
故选：B．
二、填空题
11．如图，已知，则三者之间的数量关系是 ．
【答案】
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握其性质的运用是解题的关键．
根据平行线的性质得，，再由，即可解答．
【详解】解： ，
，，
，
，
，
．
12．如图，，思考解决下列问题：试探究 ．
【答案】
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题主要考查学生归纳总结找规律的能力，利用平行线的性质的解答本题的关键.分别过、…作直线平行于，利用平行线的性质即可求出各组的值；再根据规律，归纳总结得到．
【详解】当有个角时，根据两直线平行同旁内角互补， 得出，
当有个角时，过点作直线平行于，同理可得，
当有个角时，分别过点、作直线平行于，同理可得，
根据规律，可得当有个角时， ，
故答案为：．
13．如图，如果、，则 ．
【答案】/180度
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、利用邻补角互补求角度
【分析】本题考查了平行线的性质，由平行线的性质可用、分别表示出和，再由平角的定义可找到关系式．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
同理可得，
∵在上，
∴，
∴，即，
故答案为：．
14．如图，由线段组成的图形像∑，称为“形”．
（1）如图1，形中，若，，则 ；
（2）如图2，连接形中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系 ．
【答案】
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、几何图形中角度计算问题
【分析】本题考查利用平行线的性质探究角的关系：
（1）作，则，根据两直线平行、内错角相等，可得，，由此可解；
（2）作交于点K，根据两直线平行、同位角相等，可得，进而可得，同（1）可证，再利用角的和差关系即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，作，
，，
，
，，
，
故答案为：60；
（2）如图，作交于点K，
，
，
，
，
，
同（1）可得，
，
即，
故答案为：．
15．如图，，，则、、之间满足的数量关系为 ．
【答案】
【知识点】平行公理的应用、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】如图，过E作，过F作，过G作，再证明，再结合平行线的性质可得结论．
【详解】解：如图，过E作，过F作，过G作，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
16．如图，，则，，的关系是 .
【答案】
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、平行公理推论的应用
【分析】过作，利用两直线平行同旁内角互补可得，，的关系．
【详解】解：过作，
，
，
，，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
17．已知：，点、分别在、上，且．如图，分别在、上取点、，使平分，要使．则与满足的关系是 ．
【答案】
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系
【分析】过点O作，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质得出，可得，再证明，进一步可得出结论．
【详解】解：过点O作，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
故要使．则与满足的关系是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线定义等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
18．如图，已知，点E，F分别在直线上，点O在直线之间， 如图所示，分别在和的平分线上取点M，N，连接，则 ；如果，，，连接，则 （用m，n的代数式表示）
【答案】
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数
【分析】过点O作，过点M作，过点，则，由平行线的性质推出，同理得，由此推出，再由角平分线的定义得到，进一步推出，由此即可得到答案；同理求出当，，时，的值即可．
【详解】解：如图所示，过点O作，过点M作，过点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可证，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵分别是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴；
；
同理当时，可得，，
∵，，
∴，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
19．①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是 ．
【答案】②③④
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系
【分析】①过点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
②过点点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC；
④过点P作PFAB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．
【详解】解：①如图1，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；
②如图2，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，则②正确；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，
∵ABEF，
∴ABEFCD，
∴∠DCF=∠EFC，
由②的结论可知∠GBH+∠HCD=∠BHC，
又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC，
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC，
∴，故③正确；
④如图4，过点P作PFAB，
∵ABCD，
∴ABPFCD，
∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF，
∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
20．探索：微微和为锦在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C数量关系．
发现：在图1中，微微和为锦都发现∠P与∠A，∠C的数量关系为 ；
应用：在图2中，∠A＝125°，∠C＝135°，则∠P＝ ．
在图3中，若∠A＝35°，∠C＝75°，则∠P＝ ．
【答案】 ∠APC＝∠A+∠C 100° 40°
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系
【分析】发现：过点作，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
应用：过点作，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；根据平行线的性质得出，根据三角形外角性质得出即可．
【详解】解：发现：过点作，
所以，
，．
，
，
，
即，
故答案为：；
应用：在图2中，过点作，
所以，
，．
，
，
，
即，
，，
，
故答案为：；
在图3中，
，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是能正确作出辅助线．
三、解答题
21．如图，已知直线，直线和直线、分别交于点和点，为直线上一点，、分别是直线、上的定点．设，，．
(1)若点在线段（、两点除外）上）运动时，问、、之间的关系是什么？说明理由．
(2)在的前提下，若点在线段之外时，、、之间的关系又怎样？
【答案】(1)，理由见解析
(2)或
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、平行公理的应用
【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．
（1）过点P作，根据可知，故可得出，，再由即可得出结论；
（2）由于点P的位置不确定，故应分当点P在线段的延长线上与点P在线段的延长线上两种情况进行讨论．
【详解】（1）解：．理由如下：
如图，过点作，
因为，
所以，
所以，．
又因为，
所以；
（2）解：①当点在线段的延长线上时，．理由如下：
如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作，
所以．
因为，所以，
所以，
所以；
②当点在线段的延长线上时，．理由如下：
如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以．
22．如图，，猜想与、的关系，并说明理由．
(1)填空：
解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以 (①___________)．因为，，所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以 (③___________)，所以④___________，即；
(2)依照上面的解题方法，观察图，已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由；
(3)观察图和图，已知，猜想图中的与、的关系，不需要说明理由．
【答案】(1)①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；④
(2)，见解析
(3)图中，图中
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）根据平行线的性质补充完整即可；
（2）过点P作，根据平行线的性质求解即可；
（3）过点P作，根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：猜想．
理由：过点作，如图所示，
所以 (①两直线平行，同旁内角互补)．
因为，，
所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②这两条直线也互相平行)，
所以 (③两直线平行，同旁内角互补)，
所以④，即．
故答案为：①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；④
（2）解：猜想．
理由：过点P作，如图所示，
所以．
因为，，
所以，
所以，
所以，即；
（3）解：图中，图中．
如图，过作，
，
则，
因为，，
所以，
所以，
∴；
如图，过作，
，
则，
因为，，
所以，
所以，
∴．
23．学习情境·类比探究 问题情境：如图，，，，求的度数．
(1)小机灵同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据．
如图2，过点作，
，
，
（_____）
，．
（_____）
，，
，．
．（_____）
问题迁移：
(2)如图，，当点在线段上运动时，，，求与、之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点在射线上，且在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系．
【答案】(1)平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换
(2)，理由见解析
(3)或，理由见解析
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定并且作出平行的辅助线是解答本题的关键．
（1）根据平行线的判定与性质填写即可；
（2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，代入，即可得出答案；
（3）画出图形（分两种情况：点在的延长线上，点在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图2，过点作，
，
，
（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
，．
（两直线平行，同旁内角互补）
，，
，．
．（等量代换）
故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；
（2）解：，理由：过点作交于点，
，
，
，，
；
（3）解：或，
当点在延长线上时，过点作交延长线于点，
，
，
，，
；
当点在延长线上时，过点作交于点，
，
，
，，
，
综上，或．
24．已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上一动点．
(1)猜想论证：如图，当点在线段上运动时，，，之间存在什么数量关系？并说明理由．
请把下列过程补充完整：
猜想：．
证明：过点作．
，
______（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
又，
，______（______）．
，
（______）．
(2)类比探究：
如图，当点在线段的延长线上运动时，上述中的结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，并说明理由；
如图，当点在线段的延长线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不必写理由．
【答案】(1)见解析
(2)不成立，应为，见解析；
．
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是添加辅助线，利用平行线的性质把两个角转化到同一个顶点的位置．
过点作，根据平行线的性质可得，，利用等量代换可得：；
仿照的证明过程添加辅助线，然后利用平行线的性质证明即可．
【详解】（1）解：猜想：，
证明：过点作，
，
（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
又，
，（两直线平行内错角相等），
，
（等量代换），
故答案为：，，两直线平行，内错角相等， 等量代换；
（2）中的结论不成立，，
理由如下：
如下图所示，
过点作，
，
，
又，
，，
，
；
，
如下图所示，
过点作，
，
，
，，
．
25．（1）如图①，，则________；
如图②，，则________，请你说明理由；
（2）如图③，，则________；
（3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数．
【答案】（1），，见解析；（2）；（3）
【知识点】平行公理的应用、根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，角平分线的定义；
（1）直接由两直线平行，同旁内角互补可得图①答案；如图，过点作，证明，再利用平行线的性质可得图②的答案；
（2）如图，过点作，证明，再结合（1）的结论可得答案；
（3）过作．证明，可得．求解，再结合角平分线的定义可得答案．
【详解】解：（1） ，理由如下：
理由：∵，
∴．
如图，过点作．
，
，
，
．
（2）如图，过点作．
，
，
∴，
结合（1）的结论可得：，
∴；
（3）如图，过作．
，
，
．
，
．
平分，平分，
，
26．已知，直线，点为平面内一点，连接与．
(1)如图1，当点在直线，之间，且时，则_____
(2)如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算．
（1）先过作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可；
（2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到；
（3）过作，根据，可得，，进而得到，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，过作，
∵，
，
，，
，
故答案为：80；
（2）解：，理由如下：
如图2，过作，
∵，
，
，，
，
过作，
∵，
∴，
，，
，
，
与的角平分线相交于点，
，
；
（3）如图3，过作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
过作，
∵，
∴，
，，
，
，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∴，
∴，
∴．
27．已知，直线，点P为平面上一点，连接与．
(1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数．
(2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，点P落在外．
①直接写出、、的数量关系为______．
②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)①；②
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用：
（1）先过P作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可；
（2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到；
（3）①过P作，根据，可得，，进而得到；
②过K作，根据，可得，，进而得到，由①，再根据角平分线的定义，得出，进而得到．
【详解】（1）解：如图1，过P作，
，
，
，，
；
（2）解：，理由如下：
如图2，过作，
，
，
，，
，
过P作，
同理可得，，
与的角平分线相交于点K，
，
；
（3）解：①如图3，过P作，
，
，
，，
，
故答案为：；
②如图3，过K作，
，
，
，，
，
由①知，，
与的角平分线相交于点K，
，
．
28．【提出问题】睿睿在学行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：
【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，．
【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明；
【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系．
①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明；
②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由．
【应用拓展】
（3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由．
【答案】（1），见解析， （2）①不成立，新的结论为 ②不成立，结论为: （3）
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系
【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键.
过点作利用两直线平行内错角相等得到，根据 得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证；
①过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证；
②过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证；
（）过点作，点作，得到，，，然后根据等量代换即可．
【详解】（1），理由如下：
过点作，
，
，
，
，
，
；
（2）①不成立，新的结论为 理由为：
过作，
，
，
，
，
，
；
②不成立，如图③所示， 结论为：；
过作，
，
，
，
，
，
；
（3），
过点作，点作，
又∵，
∴，
∴，，，
即，
∴．
29．【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
(1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论．
(2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由．
(3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明）
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)等于
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、平行公理推论的应用
【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键．
（1）如图，过作．得，故，，因此．
（2）过作．由（1）①．再得出②，由①②得，即，再求解即可．
（3）由角平分线得，，由“猪蹄模型”得，再利用平行线和三角形内角和计算即可．
【详解】（1）证明：如图，过作．
，
，
，，
．
（2）解：、、三者之间的数量关系：．
理由如下：
如图：过作．
由（1）①．
，
，
②，
①②得，
即，
，
，
．
答：、、三者之间的数量关系：．
（3）证明：、分别平分和，
，，
由（1）结论得：，
，
．
，
，
，
由三角形内角和得：
．
答：等于．
30．如图1，直线，点A，B在直线上，点、在上，线段交线段于点，且．
(1)求证：；
(2)如图2，当F，G分别在线段、上，且，，标记为，为．
①若，求的度数；
②当k为何值时，为定值，并求此定值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②当时，为定值，此时定值为．
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
（1）利用平行线的性质解答即可；
（2）①设，，则，，结合平行线的性质，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解；
②利用①中的方法，设，，则，，通过计算，令计算结果中的的系数为即可求得结论．
【详解】（1）证明：如图，作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）设，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
由（1）可得：
，，，
∴，
∴，，
①∵，
∴，
∴，，
∴；
②，定值为，理由如下：
当时，，
∴当时，为定值，此时定值为．
31．如图，已知直线，且和，分别相交于，两点，和，分别交于，两点，，，，点在线段上．
(1)若，，则 ．
(2)试找出，，之间的等量关系，并说明理由；
(3)应用（）中的结论解答以下问题：如图，点在处北偏东的方向上，在处的北偏西的方向上，求的度数；
(4)如果点在直线上且在，两点外侧运动时，其他条件不变，试探究，，之间的关系（点和，两点不重合），直接写出结论即可．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析；
(3)；
(4)或．
【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】（）根据平行公理推论，平行线的性质即可求解；
（）根据平行公理推论，平行线的性质即可求解；
（）根据（）中的结论即可求解；
（）分当点在的外侧与当点在的外侧两种情况进行分类讨论，然后根据平行理推论，平行线的性质即可求解；
此题考查了平行线的判定及性质，掌握作平行线的方法、平行线的判定及性质是解题的关键．
【详解】（1）过作，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
（2），理由，
过作，
∴，
∴，，
∴，
即：；
（3）由题意可得：，，
由（）结论可得：；
（4）当点在的外侧时，如图， 过作， 交 于，
∴，
∴，，
∵
∴；
当点在的外侧时，如图， 过作， 交 于，
∴，
∴，，
∵
∴．
32．【发现】如图1，直线被直线所截，平分，平分．若，，试判断与平行吗？并说明理由；
【探究】如图2，若直线，点在直线之间，点分别在直线上，，P是上一点，且平分．若，则的度数为________；
【延伸】若直线，点分别在直线上，点在直线之间，且在直线的左侧，是折线上的一个动点，保持不变，移动点，使平分或平分．设，，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】[发现]平行，理由见解析；[探究] ；[延伸]或
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，通常需要根据题意作出相关的辅助线，运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的位置关系根据平行线的性质从而判断角之间的大小关系，同时注意运用分类讨论的思想方法．
[发现]根据角平分线的定义分别求出，，可得，即可判定平行；
[探究] 过M作，根据平行公理可得，利用两直线平行，内错角相等推出，再根据求出，最后根据角平分线的定义求出；
[延伸]分平分，平分，两种情况，结合[探究]中的结论，结合角平分线的定义可得结果．
【详解】解：[发现]平行，理由如下：
∵，平分，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴；
[探究]如图，过M作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
[延伸]如图，若平分，
∴，
同上可得：，
∴，
∴，即；
若平分，
∴，
同上可得：，
∴；
综上：与之间的数量关系为或．
33．已知，点为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，．
(1)当点在直线，之间时．
如图，过点作，由平行线传递性可得，所以与，之间的数量关系是_________；
如图，平分，平分，当时，求出的度数；
(2)如图，当点在的下方时，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求出的度数．
【答案】(1)①；②
(2)
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题．
（1）如图1，过点作，根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到结论；
（2）如图2，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，得到，作，于是得到结论；
（3）如图3，过点作，设，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，根据角平分线的定义得到，作，于是得到结论．
【详解】（1）①；
理由如下：
∵，，
∴，
，，
，
；
②如图①，过点作，
同理可得，，
，，
，
平分，平分，
，，
，
过点F作，同理可得，；
（2）如图②，过点作，
设，
，
平分，
，
，
∵，，
∴，
，
平分，
，
过点F作，同理可得，．
34．（1）如图（1），，，．求的度数；
（2）如图（2），，点在射线上运动，，，
①当点P在A、B两点之间时，之间有何数量关系并请说明理由
②当点P在A、B两点外侧时（点P与点O不重合），请借助备用图画出图示，写出之间的数量关系并说明理由
【答案】（1）；
（2）①，理由见解析；②当点P在A上方时，，当P在B点下方时，，理由见解析
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用；
（1）过作，构造同旁内角，通过平行线性质，可得．
（2）①过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
②分两种情况：点在的延长线上和点在、两点之间，分别画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出结论．
【详解】（1）如图①，过作，
∵，
∴，
，，
，，
，，
；
（2）①，理由如下：
如图②，过作交于，
∵，
∴，
，，
，
故答案为：；
②当点在的延长线上时，；
理由：如图③，过作交于，
∵，
∴，
又，，
，，
；
当点在、两点之间时，．
理由：如图④，过作交于，
∵，
∴，
又，，
，，
，
故答案为：或．
35．[课题学习]：
平行线的“等角转化”功能．
（1）[阅读理解]：
如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数．
阅读并补充下面推理过程．
解：过点作，所以 ，
又因为
所以
（2）[方法运用]：
如图2，已知，求的度数．
（3）[深化拓展]：
已知，点在的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．
①如图3，若，则 °
②如图4，点在点的右侧，若，则 °（用含的代数式表示）
【答案】（1）；；（2）的度数为；（3）①65；②
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查了平行线的性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）根据两直线平行，内错角相等，即可解答；
（2）过点作，从而利用平行线的性质可得，再根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，再根据周角定义可得，最后利用等量代换可得，即可解答；
（3）①过点作，先根据猪脚模型可得，然后根据角平分线的定义可得，，从而进行计算即可解答；
②过点作，先根据角平分线的定义可得，，再利用平行线的性质可得然后根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：（1）解：过点作，如图所示：
，，
又，
，
故答案为：；；
（2）过点作，如图所示：
，
，
，
，
，
，
的度数为；
（3）①过点作，如图所示：
，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
故答案为：65；
②过点作，如图所示：
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
36．已知：．
(1)如图1，点在，之间，请说明；
(2)如图2，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，请直接用等式表示，，，，之间的数量关系
【答案】(1)见解析
(2)．理由见解析
(3)
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明、平行公理推论的应用
【分析】题目主要考查平行线的判定及性质，通过判定及性质推出各角之间的关系，解题关键在于作出相应的辅助线．
（1）过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出答案；
（2）过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出角的关系；
（3）依据（1）的证明方法，可推出角之间的关系．
【详解】（1）解：如图所示：过点作，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图所示：过点作，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：，理由见解析，
如图：过点作，过点作，过点作，
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴；
37．已知直线，点E在直线，之间，点P，Q分别在直线，上，连接，．
(1)如图1，过点E作，探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，F为直线，之间一点，连接，，，，求出与之间的数量关系；
(3)当点E，F，G在直线，之间的位置如图3所示时，直接写出，，，，之间的数量关系：_________．
【答案】(1)，理由见详解
(2)
(3)
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、与余角、补角有关的计算
【分析】本题主要考查平行线的性质和平角的性质，
（1）根据题意得，则，．结合，得．
（2）由（1）得和 ．结合题意得，．利用平角可得，，则 即可；
（3）过点E，F，G分别作的平行线，，，则，有，，，．则有，即．
【详解】（1）解： ．
理由：∵，，
∴，
∴，．
∵，
∴．
（2）解：由（1）得，
同理可得．
∵，，
∴，．
∵，，
∴，，
∴
，
则．
（3）解：．
如图，过点E，F，G分别作的平行线，，，
则，
∴，，，．
∵，，，
∴，
∴，即．
38．如图，在中，点D在的延长线上，过点A作直线．
(1)如图1，点F在直线，之间，连接，，探究，，之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，过点C作交于点G，平分，平分，若，求的度数（用含x的式子表示）；
(3)如图3，，，射线从的位置开始绕点A逆时针旋转，旋转，同时射线满足，且始终在前面运动，射线平分，当时，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
(3)
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
（1）由平行线的性质可得，，即可求解；
（2）由平行线的性质可得，，由角平分线的定义可求，由（1）的结论可求解；
（3）分三种情况讨论，根据，列出方程，即可求解．
【详解】（1），理由如下：
过点作，
，，
，
，，
；
（2），，
，，
，
平分，平分，
，
由（1）可知：；
（3），，
，，
射线平分，
，
当在和之间时，
，
，
，
；
当在的上方时，
，
，
方程无解；
当在直线的左侧时，，
，
方程无解，
综上所述：．
39．问题情境：如图，，，，求度数．
小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．
(1)按小明的思路，易求得的度数为 度；（直接写出答案）
(2)问题迁移：如图，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析；
(3)当在延长线上时，；当在延长线上时，．
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、平行公理推论的应用
【分析】（）过点作，由平行线性质求即可；
（）过点作，交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
（）分两种情况：在延长线上和在延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质解答即可求解；
本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：， 理由如下：
如图，过点作，交于，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：当在延长线上时，如图所示，
由（）可知，，，
∴；
当在延长线上时，如图所示，
由（）可知，，，
∴．
40．如图1，已知直线与直线交于点，与直线交于点，平分交直线于点，．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)点是射线上的一个动点（不与点，重合），平分交直线于点，过点作交直线于点．设，．
①如图2，当点在点的左侧，且时，求的值；
②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】(1)，理由见解析
(2)①；②当点在点的左侧时，；当点在点的右侧时，
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由角平分线的定义结合题意得出，即可得出结论；
（2）①由角平分线的定义得出，，由平行线的性质得出，从而求出，再由平行线的性质即可得出答案；②分两种情况：当点在点的左侧时；当点在点的右侧时；分别求解即可得出答案．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
②如图，当点在点的左侧时，
，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
如图，当点在点的右侧时，
，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
综上所述，当点在点的左侧时，；当点在点的右侧时，．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
