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专题05 相交线与平行线单元过关（基础版）
考试范围：第7章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．下列各图中，和是对顶角的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对顶角的定义
【分析】本题考查了对顶角的定义，正确理解对顶角的定义是解题的关键．对顶角定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角．根据对顶角的定义判断即可．
【详解】A、和没有公共顶点，所以不是对顶角，不符合题意；
B、和有公共顶点且两条边都互为反向延长线，所以是对顶角，符合题意；
C、和有公共顶点，但是两条边不互为反向延长线，所以不是对顶角，不符合题意；
D、和没有公共顶点，所以不是对顶角，不符合题意．
故选B．
2．在灯塔处测到轮船位于北偏西的方向，轮船位于南偏东的方向，轮船A在的角平分线上，则在灯塔处观测轮船A的方向为（ ）
A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东
【答案】A
【知识点】角平分线的有关计算、与方向角有关的计算题
【分析】本题主要考查了方向角及角平分线的定义，解题的关键是正确理解方向角．
利用方向角的定义及角平分线的定义求解即可．
【详解】解∶如图，
在灯塔处测到轮船位于北偏西20°的方向，
，
轮船位于南偏东50°的方向，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
则在灯塔处观测轮船A的方向为北偏东，
故选∶A．
3．甲、乙两人用同种材料制作的楼梯模型如图所示，则他们所用的材料的长度相比，（ ）
A．甲用的长 B．乙用的长 C．一样长 D．无法判断
【答案】C
【知识点】生活中的平移现象
【分析】本题考查了平移的性质，要求左图模型需要的铁丝长度，可以根据平移的方法，将其化为规则的长方形再进行计算
【详解】解：∵两个图形的左右两侧相等，上下两侧相等，
∴两个图形都可以运用平移的方法变为长为，宽为的长方形，
∴两个图形的周长都为即一样长．
故选：C
4．如图所示，直线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的性质求角度，根据得到，再根据平角定义结合进行求解即可．
【详解】解：如图，
，
，，
，
故选：C．
5．如图，直线a，b被直线c所截，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对顶角相等、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查的是平行线的性质，对顶角的性质，先证明，再利用对顶角的性质可得答案.
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴，
故选：A
6．下列命题正确的是（ ）
A．若两个相等的角有一边平行，则另一边也互相平行
B．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直
D．互补的角是邻补角
【答案】B
【知识点】判断命题真假、邻补角的定义理解、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了命题与定理的知识，根据对顶角的定义，平行线的性质，邻补角的性质分别进行分析即可．
【详解】A. 若两个相等的角有一边平行，则另一边互相平行或者相交，故该选项不正确，不符合题意；
B. 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项正确，符合题意；
C. 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直，故该选项不正确，不符合题意；
D. 互补的角不一定是邻补角，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
7．如图，将一张长方形纸片分别沿着，折叠，使边，均落在上，得到折痕，，则等于（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
【答案】C
【知识点】折叠问题
【分析】本题考查了折叠的性质以及轴对称性质,根据折叠得到再根据这四个角的和为直角，进而得出其等于直角的一半．
【详解】解：根据折叠的性质得知,
因为，
所以．
故选：C ．
8．如图，直线、表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（ ）．
方案一 ①将点A向上平移得到； ②连接交于点M； ③过点M作，交于点N，即桥的位置． 方案二 ①连接交于点M； ②过点M作，交于点N，即桥的位置．
A．唯方案一可行 B．唯方案二可行
C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短、利用平移解决实际问题
【分析】本题考查两点之间线段最短，平移的性质，因为河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要最短即可，可利用平移解决问题．
【详解】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要最短即可．
垂直于河岸，，
连接，与另一条河岸相交于M，作直线，
由平移的性质，知，且，
根据“两点之间线段最短”，最短，即最短．
故方案一符合题意，方案二不是最短，
故选：A．
9．如图，2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点…按这样的规律若n条直线相交交点最多有28个，则此时n的值为（ ）
A．18 B．10 C．8 D．7
【答案】C
【知识点】相交线
【分析】由2条直线相交时最多有1个交点、3条直线相交时最多有1+2＝3个交点、4条直线相交时最多有1+2+3＝6个交点，…；可知n条直线相交，交点最多有1+2+3+…+n﹣1＝ ，再将28代入计算即可．
【详解】解：∵2条直线相交时，最多有1个交点；
3条直线相交时，最多有1+2＝3个交点；
4条直线相交时，最多有1+2+3＝6个交点；
…
n条直线相交，交点最多有1+2+3+…+n﹣1＝，
当＝28时，解得：n＝8或﹣7（舍）
故若有8条直线相交，最多有28个交点；
故选C．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形中相交点数量得出：n条直线相交，交点最多有1+2+3+…+n﹣1个是解题的关键．
10．如图，将沿方向平移得到对应的，延长，交于点．若，，，，为线段上一动点，连接，则的最小值为（ ）．
A． B．5 C． D．6
【答案】A
【知识点】利用平移的性质求解、垂线段最短
【分析】根据平移的性质得，当时，最小，此时有，即，即可求出答案．
【详解】解：将沿方向平移得到对应的，
，
，
，
，，，
当时，最小，
此时有，
即，
，
的最小值为．
故选：A．
【点睛】本题考查了平移的性质和垂线段最短，根据平移的性质得到是解题的关键．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．如图，是的平分线，是内部一条射线，且，已知，的度数为 ．
【答案】
【知识点】几何图形中角度计算问题、几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算
【分析】题目主要考查角平分线的计算及一元一次方程的应用，熟练掌握角平分线的计算是解题的关键；
根据题意设，则，得出，列出方程求解即可．
【详解】解：设，则，
所以．
因为是的平分线，
所以．
因为，
所以，
解得，
所以．
故答案为：
12．已知的两边与的两边分别垂直，且比的倍少，则 ．
【答案】或
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、垂线的定义理解、同(等)角的余(补)角相等的应用、对顶角相等
【分析】此题主要考查了垂线，因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因比的3倍少，所以可设是度，利用方程即可解决问题．
【详解】设是度，
如图：
∴，
∵，
∴，
∵比的3倍少
∴，
解得：，
故；
如图：
根据四边形的内角和可得：，
∴
∵比的3倍少
∴，
∴，
∴
综上所述：的度数为：或．
故答案为：或．
13．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】22
【知识点】利用平移的性质求解
【分析】本题主要考查平移的性质，根据平移的性质可得，，，推出阴影部分的面积，即可求解．
【详解】解：由平移的性质得，，，，
为和的公共部分，
阴影部分的面积，
，，
，
，
阴影部分的面积为22．
故答案为：22．
14．命题“内错角相等”的题设是 ，结论是 ，它是 （“真”或“假”）命题．
【答案】 两个角是内错角 这两个角相等 假
【知识点】判断命题真假、写出命题的题设与结论
【分析】将这个命题改写成“如果，那么”的形式，由此即可得出它的题设和结论，再根据同位角的定义即可判断真假．
【详解】解：命题“内错角相等”可改写为“如果两个角是内错角，那么这两个角相等”，
则命题“内错角相等”的题设是两个角是内错角，结论是这两个角相等，
因为两个内错角不一定相等，
所以它是假命题，
故答案为：两个角是内错角；这两个角相等；假．
【点睛】本题考查了命题的题设与结论、判断命题的真假，熟练掌握将命题改写成“如果，那么”的形式是解题关键．
15．如图，，平分，，，将以每秒的速度绕着点顺时针旋转，旋转到边落到射线上停止，若的边与或平行时，则旋转的时间可以是 秒．
【答案】2或8或11
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题主要考查了平行线的性质，分类思想，先分别求出，，再利用垂直的定义以及角平分线的定义求出，再分类讨论，当时，当时，当时，根据内错角相等求出旋转的角度，再根据旋转的角度除以旋转的速度即可求出对应的时间．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
当时，如下图：
，
∵，平分，
∴，
∴此时，
此时旋转了，
则旋转的时间为：（秒）；
当时，如下图：
，
此时旋转了，
则旋转的时间为：（秒）；
当时，如下图：
此时，
此时旋转了，
则旋转的时间为：（秒），
综上，满足条件的旋转时间可以是2秒或8秒或11秒．
故答案为：2或8或11．
评卷人得分
三、解答题
16．如图，点C在的边OB上，过C作，平分于C．
(1)若，求；
(2)过O作，交于点 H，求证：平分．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，解题的关键是利用平行线和角平分线得到各对相等的角．
（1）根据垂线的定义得到，求出，根据角平分线的定义可得，从而得到，再根据平行线的性质可得；
（2）根据平行线的性质得到，，，推出，根据角平分线的定义可得，从而推出，即可证明．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，即为所求；
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即是的平分线．
17．如图，已知直线、相交于点，．
(1)若，求的度数．
(2)若，平分，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算、对顶角相等
【分析】本题主要考查互补、互余的定义，角平分线的定义，对顶角相等，理解图示，掌握角平分线的定义，几何中角度的和差计算即可求解．
（1）根据对顶角相等可得，根据互余的计算即可求解；
（2）根据补角的性质可得，由对顶角相等可得，根据角平分线的定义可得，再根据互补的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
18．如图，平面上的三个点A，B，D．按照下列要求画出图形：
(1)作直线，射线，连接；
(2)在射线上作点C，使；
(3)在中，最短的线段是______，依据是______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，垂线段最短
【知识点】画出直线、射线、线段、垂线段最短
【分析】（1）按照要求分别作出直线，射线，线段．注意直线没有端点，射线一个端点，线段两个端点；
（2）作即可；
（3）在两点之间所有的连线中，垂线段最短．
【详解】（1）解：直线，射线，线段如图：
；
（2）解：点C，如图所示；
（3）解：在中，最短的线段是，依据是垂线段最短．
故答案为：，垂线段最短．
【点睛】本题考查直线，射线，线段的作法，及两点之间线段最短这一基本事实，注意端点个数解题的关键．
19．如图，在中，，，，沿方向平移至，若，．求：
(1)沿方向平移的距离；
(2)四边形的周长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】利用平移的性质求解
【分析】(1)根据平移的性质可得AD=BE，由，可求出的长，即为平移的距离；
(2)根据平移的性质可求出和的长，进一步即可求出结果．
【详解】（1）∵沿方向平移至，
∴．
∵，
∴ ；
即沿方向平移的距离是．
（2）由平移的性质可得：，
∵，
∴四边形的周长 ．
∴四边形的周长是．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握平移的性质是解题的关键．
20．已知：如图，平分平分，求的度数．
解：过P点作交于点M．
∵，（________________）
∴________．（________________）
∵，
∴________________，（两直线平行，内错角相等）
且________．（平行于同一直线的两直线也互相平行）
∴________．（两直线平行，内错角相等）
∵平分平分，（ ）
∴________，________．（ ）
∴（ ）
∴．（ ）
【答案】已知，，两直线平行，同旁内角互补，，，4，已知，，角的平分线的定义，等式的性质，等量代换
【知识点】角平分线的性质定理、根据平行线的性质探究角的关系、角平分线性质定理及证明
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义进行证明即可．
【详解】解：过P点作交于点M．
∵，（已知）
∴DCA．（两直线平行，同旁内角互补）
∵，
∴∠1=∠2，（两直线平行，内错角相等）
且CD．（平行于同一直线的两直线也互相平行）
∴4．（两直线平行，内错角相等）
∵平分，平分，（已知）
∴ ， ．（角的平分线的定义）
∴（等式的性质）
∴．（等量代换）
故答案为：已知， DCA，两直线平行，同旁内角互补，∠1=∠2， CD，4，已知，，，角的平分线的定义，等式的性质，等量代换．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
21．已知：如图，，平分，与相交于，．
(1)若，求的度数；
(2)与是什么位置关系？并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明
【分析】（1）根据题意得出，根据平行线的性质得出，进而即可求解；
（2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，等量代换得出，，根据平行线的判定定理得出
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
（2），理由如下：
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
22．如图，每个小正方形的边长均为1，每个小方格的顶点叫作格点．
(1)画出向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的；
(2)图中与相等的角有______；
(3)连接，四边形的面积为______．
【答案】(1)图见解析
(2)和
(3)
【知识点】利用网格求三角形面积、两直线平行内错角相等、平移(作图)、利用平移的性质求解
【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）由平移的性质可知，平移前后对应角相等，对应线段互相平行，据此即可得出答案；
（3）根据图中的面积关系列式计算即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作：
（2）解：根据平移前后对应角相等，可得：，
，
，
与相等的角有：和，
故答案为：和；
（3）解：如图，
四边形的面积为：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平移（作图），平移的性质，平行线的性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握平移的性质以及作平移图形的一般步骤是解题的关键．
23．如图，在中，点分别是上的点，点是上的点，连接 ，．
(1)试说明；
(2)若是的平分线，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】两直线平行同位角相等、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义：
（1）根据两直线平行、内错角相等，可得，结合可得，进而可判定；
（2）根据和角平分线的定义求得，进而根据平行线的性质可得．
【详解】（1）解： ，
．
，
，
．
（2）解：，，
，
是的平分线，
，
∵，
．
24．已知，点在上，点在上，点为射线上一点．
(1)如图1，若，，则 ．
(2)如图2，当点在线段的延长线上时，请写出、和三者之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，平分，交于点．
①若平分，求和的数量关系．
②若，，，直接写出的度数为 ．
【答案】(1)
(2)数量关系：，理由见解析
(3)① ，②
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度、平行公理推论的应用
【分析】（1）过点作 ，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可；
（2）过点作 ，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可；
（3）①过点作 ，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；
②根据①的结论，利用角的关系解答即可．
【详解】（1）解：过点作 ，
，
，
，，
，
故答案为：；
（2）数量关系：，
证明：过点作 ，
，
，
，，
．
（3）①过点作 ，
，
，
，，
．
又平分，平分，
，
由（2）可得
②，理由如下：
：，，，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，关键是添加辅助线，根据两直线平行，内错角相等解答．
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考试范围：第7章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．下列各图中，和是对顶角的是（ ）．
A． B． C． D．
2．在灯塔处测到轮船位于北偏西的方向，轮船位于南偏东的方向，轮船A在的角平分线上，则在灯塔处观测轮船A的方向为（ ）
A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东
3．甲、乙两人用同种材料制作的楼梯模型如图所示，则他们所用的材料的长度相比，（ ）
A．甲用的长 B．乙用的长 C．一样长 D．无法判断
4．如图所示，直线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线a，b被直线c所截，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题正确的是（ ）
A．若两个相等的角有一边平行，则另一边也互相平行
B．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直
D．互补的角是邻补角
7．如图，将一张长方形纸片分别沿着，折叠，使边，均落在上，得到折痕，，则等于（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
8．如图，直线、表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（ ）．
方案一 ①将点A向上平移得到； ②连接交于点M； ③过点M作，交于点N，即桥的位置． 方案二 ①连接交于点M； ②过点M作，交于点N，即桥的位置．
A．唯方案一可行 B．唯方案二可行
C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行
9．如图，2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点…按这样的规律若n条直线相交交点最多有28个，则此时n的值为（ ）
A．18 B．10 C．8 D．7
10．如图，将沿方向平移得到对应的，延长，交于点．若，，，，为线段上一动点，连接，则的最小值为（ ）．
A． B．5 C． D．6
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．如图，是的平分线，是内部一条射线，且，已知，的度数为 ．
12．已知的两边与的两边分别垂直，且比的倍少，则 ．
13．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ．
14．命题“内错角相等”的题设是 ，结论是 ，它是 （“真”或“假”）命题．
15．如图，，平分，，，将以每秒的速度绕着点顺时针旋转，旋转到边落到射线上停止，若的边与或平行时，则旋转的时间可以是 秒．
评卷人得分
三、解答题
16．如图，点C在的边OB上，过C作，平分于C．
(1)若，求；
(2)过O作，交于点 H，求证：平分．
17．如图，已知直线、相交于点，．
(1)若，求的度数．
(2)若，平分，求的度数．
18．如图，平面上的三个点A，B，D．按照下列要求画出图形：
(1)作直线，射线，连接；
(2)在射线上作点C，使；
(3)在中，最短的线段是______，依据是______．
19．如图，在中，，，，沿方向平移至，若，．求：
(1)沿方向平移的距离；
(2)四边形的周长．
20．已知：如图，平分平分，求的度数．
解：过P点作交于点M．
∵，（________________）
∴________．（________________）
∵，
∴________________，（两直线平行，内错角相等）
且________．（平行于同一直线的两直线也互相平行）
∴________．（两直线平行，内错角相等）
∵平分平分，（ ）
∴________，________．（ ）
∴（ ）
∴．（ ）
21．已知：如图，，平分，与相交于，．
(1)若，求的度数；
(2)与是什么位置关系？并说明理由．
22．如图，每个小正方形的边长均为1，每个小方格的顶点叫作格点．
(1)画出向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的；
(2)图中与相等的角有______；
(3)连接，四边形的面积为______．
23．如图，在中，点分别是上的点，点是上的点，连接 ，．
(1)试说明；
(2)若是的平分线，，求的度数．
24．已知，点在上，点在上，点为射线上一点．
(1)如图1，若，，则 ．
(2)如图2，当点在线段的延长线上时，请写出、和三者之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，平分，交于点．
①若平分，求和的数量关系．
②若，，，直接写出的度数为 ．
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