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专题05 不等式与不等式组单元过关（培优版）
考试范围：第9章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．下列各式中：①；②；③；④；⑤，其中不等式的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】不等式的定义
【分析】本题考查不等式的定义：用“”不等号表示不相等关系的式子是不等式，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．根据不等式定义可得答案．
【详解】解：①；②；③；④；⑤，
其中是不等式的有：①；③；④，
②是等式，⑤是整式，
故不等式的个数为3，
故选：C．
2．如果，那么下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A．，
，故本选项不符合题意；
B．，
，故本选项符合题意；
C．，
，故本选项不符合题意；
D．，
，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．下列各数，不是不等式：﹣x+1＞x﹣3的解的是（ ）
A．3 B．0 C．﹣ D．﹣5
【答案】A
【知识点】不等式的解集、求一元一次不等式的解集
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为1可得．
【详解】解：∵﹣x+1＞x﹣3，
∴4＞2x，
∴x＜2
∴3不是不等式的解，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．正确求出不等式的解集是解题的关键．解不等式要依据不等式的基本性质．
4．若关于x的一元一次方程的解为正整数，且a的值在不等式的解集内，则满足条件的所有整数a的值的和是（ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】A
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了解一元一次方程、解一元一次不等式．先求出方程的解，根据方程的解为正整数求出a的值，再解不等式得出，得出a的值，即可得出答案．
【详解】解：解一元一次方程，得．
因为一元一次方程的解为正整数，
所以或或或，
解得或或或．
解不等式，得，
所以或，
所以满足条件的所有整数a的值的和为．
故选：A．
5．一次智力测验，有20道选择题．评分标准为：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．李明有2道题未答，若他的总分不低于60分，则他至少要答对______道题（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设李明答对x道题，则答错道题，根据总分不低于60分列不等式，求出不等式的最小整数解即可．
【详解】解：设李明答对x道题，
根据题意可得：，
解得，
因为x是整数，所以x所取最小值为14，
即他至少要答对14道题，
故选B．
6．不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求不等式组的解集
【分析】此题考查了求不等式组的解集，求出每个不等式的解集，取公共部分即可．
【详解】解：
解①得，
解②，得．
所以不等式组的解集是2．
故选：C．
7．若为实数，则表示不大于的最大整数，例如等．是大于的最小整数，则方程的解是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题考查新定义，解答本题的关键是明确题意，根据题目中的新定义解答相关问题．
根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得的取值范围，本题得以解决．
【详解】解：∵，
∴，
∵对任意的实数都满足不等式，
，
解得：，
∵是整数，
或，
故选：C．
8．已知关于x的不等式只有两个负整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】先解不等式得出，根据不等式只有2个负整数解知其负整数解为 和，据此得出，解之可得答案．
【详解】解∶，
，
不等式只有2个负整数解，
不等式的负整数解为 和，
则，
解得∶．
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出某一字母的不等式组．
9．关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值范围，再根据不等式组恰好只有四个整数解，求出实数a的取值范围．
【详解】解：由不等式，可得：，
由不等式，可得：，
由以上可得不等式组的解集为：，
因为不等式组恰好只有四个整数解，
即整数解为，
所以可得：，
解得：，
故选A．
【点睛】本题考查了不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.根据原不等式组恰有4个整数解列出关于a的不等式是解答本题的关键．
10．已知非负数 x，y，z 满足，设 W = 3x－2y + z，则 W 的最大值与最小值的和为（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-6
【答案】D
【知识点】不等式组和方程组结合的问题、一元一次不等式组的其他应用
【分析】设，求得，，，则又由x，y，z均为非负实数，即可求得k的取值范围，进而可求得W的取值范围，得出W的最大值和最小值，从而解题．
【详解】解：设，
∴，，，
∵x，y，z均为非负实数，
∴ ，
解得：，
∵，
∴，
∴，即：，
∴W 的最大值是-2，最小值是-4，它们的和为-6；
故选：D．
【点睛】此题考查了最值问题．解此题的关键是设比例式：，根据已知求得k的取值范围及W的取值范围．此题难度适中，注意仔细分析求解．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．不等式组的整数解为
【答案】
【知识点】求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查了求不等式组的整数解，熟练掌握求不等式组解集的方法是解题关键．分别解不等式，求出不等式组的解集，即可得到整数解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的整数解是：，
故答案为：．
12．若关于x和y的二元一次方程组，满足，那么整数m的最大值是 ．
【答案】1
【知识点】加减消元法、求一元一次不等式的解集
【分析】先将两个方程相加，再整理，即可得到，即可得到，即可得到m的取值范围，即可求最大值．
【详解】解：
得：
即：
整数m的最大值为1
故答案为：1．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解不等式，掌握解二元一次方程组的步骤是解题的关键．
13．某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价 元．
【答案】32
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题
【分析】设该商品最多可降价x元，列不等式，求解即可；
【详解】解：设该商品最多可降价x元；
由题意可得，，
解得：；
答：该护眼灯最多可降价32元．
故答案为：32．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，正确理解题意列出不等式是解题的关键．
14．关于的不等式组，的解集中任意一个的值都不在的范围内，则的取值范围是 ．
【答案】或
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了不等式的解集，先解不等式组得到，由于任意一个x值均不在的范围内，所以或，然后解关于a的不等式即可．
【详解】解：
解①得
解②得
所以不等式的解集为
因为任意一个x值均不在的范围内，
所以或，
解得：或
故答案为：或．
15．运行程序如图所示,规定:从“输入一个值x"”到“结果是否为一次程序如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的其他应用
【分析】由输入的数运行了三次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得到x的取值范围
【详解】解：根据题意前两次输入值都小于19，第三次值大于19可得不等式组为：
，解得
故答案为：.
【点睛】本题考查程序框图以及不等式的解法，理解程序框图为解题关键.
评卷人得分
三、解答题
16．解不等式组，并在数轴上把它的解集表示出来．
【答案】，解集在数轴上表示见详解
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再找出公共解即为不等式组的解集．然后再数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解①式得：，
解②式得：，
∴不等式组的解集为：，
解集在数轴上表示如下：
17．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
(1)不等式 （选填“是”或“不是”的“云不等式”)．
(2)若关于x的不等式与不等式互为“云不等式”且有2个公共的整数解，求a的取值范围．
【答案】(1)是
(2)
【知识点】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数
【分析】（1）根据“云不等式”的定义，即可解答；
（2）先分别解两个不等式，然后根据题意可得1＜2a≤2，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：∵x≥3与x≤3有一个公共解x=3，
∴不等式x≥3是x≤3的“云不等式”，
故答案为：是；
（2）解不等式x-2a≥0，得x≥2a，
解不等式1-2x＞x-11，得x＜4，
∵关于x的不等式x-2a≥0与不等式1-2x＞x-11互为“云不等式”且有2个公共的整数解，
∴1＜2a≤2，
解得：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，理解“云不等式”是解题的关键．
18．（1）已知关于x方程的解是非负数，求k的取值范围．
（2）若关于x、y的方程组的解满足，求m的最大整数值．
【答案】（1）；（2）的最大整数值为
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式的解集
【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组，准确熟练进行计算是解题的关键．
（1）求出方程的解，根据题意得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可；
（2）首先解不等式利用m表示出x和y的值，然后根据列不等式求得m的范围．
【详解】解：（1）变形，
得，
为非负数，
，
解得；
（2），
②①得，
，
．
．
的最大整数值为．
19．先阅读，再解答:写出关于的不等式的解集，
解:利用不等式的性质，不等式两边都除以，
因不知的符号，所以应分情况讨论:
当即时，
当即时，；
当，即时，此不等式为无解．
请根据以上解不等式的思想方法，解关于的不等式．
【答案】或或无解．
【知识点】解特殊不等式组
【分析】按照题中的思路解不等式即可．
【详解】解:利用不等式的性质，不等式两边都除以，
因不知的符号，所以应分情况讨论:
当即时，
当即时，
当即时，此不等式为无解．
【点睛】本题考查了解不等式的问题，掌握解不等式的思想方法是解题的关键．
20．对于、定义一种新运算“◎”：，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：，．
(1)求、的值；
(2)求5◎（－3）的值；
(3)不等式的解集是______．
【答案】(1)，
(2)35
(3)
【知识点】新定义下的实数运算、加减消元法、求一元一次不等式的解集
【分析】（1）根据题意得：，然后利用加减消元法解二元一次方程组，进行计算即可解答；
（2）利用的结论，进行计算即可解答；
（3）利用的结论可得，然后按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【详解】（1）解；由题意得：
，
得：
，
得：
，
把代入中得：
，
解得：，
原方程组的解为：，
，；
（2）解：，
的值为；
（3）角：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：m．
【点睛】本题考查了新定义，解一元一次不等式，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．综合与探究
对实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b为常数）．例如：，．已知，．
(1)a＝ ，b＝ ．
(2)已知x，y为非负整数，求关于x，y的方程的解．
(3)若关于x，y的方程组的解满足，且m为非负整数，求m的值．
(4)若关于x的不等式恰好有3个正整数解，求n的取值范围．
【答案】(1)2；1
(2)或
(3)m的值为0或1或2
(4)
【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数、由不等式组解集的情况求参数、不等式组和方程组结合的问题
【分析】（1）根据题目定义的新运算，结合，即可得出答案；
（2）根据（1）中求解的a、b的值，结合、x，y为非负整数即可解出答案；
（3）根据得出，将其两式相加，结合即可得到m的取值范围，再结合m为非负整数即可求解；
（4）根据求解得到x的取值范围，再根据恰好有3个正整数解即可得到n的范围；
【详解】（1）解：，
解得：；
（2）解：由（1）知，，
则．
∵x，y为非负整数，
∴或．
（3）解：依题意，
①＋②化简得．
∵，即
解得．
又∵m为非负整数，
∴m的值为0或1或2．
（4）解：依题意得，解得．
∵此不等式有3个正整数解，
∴，
解得．
【点睛】该题主要考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，理解题意，掌握二元一次方程组和一元一次不等式组解法是解题的关键；还需注意二元一次方程解答时有多个结果；一元一次不等式组整数解问题也是比较容易出错．
22．某加工厂用52500元购进A、B两种原料共40吨，其中原料A每吨1500元，原料B每吨1000元．由于原料容易变质，该加工厂需尽快将这批原料运往有保质条件的仓库储存．经市场调查获得以下信息：
①将原料运往仓库有公路运输与铁路运输两种方式可供选择，其中公路全程120千米，铁路全程150千米；
②两种运输方式的运输单价不同（单价：每吨每千米所收的运输费）；
③公路运输时，每吨每千米还需加收1元的燃油附加费；
④运输还需支付原料装卸费：公路运输时，每吨装卸费100元；铁路运输时，每吨装卸费220元．
（1）加工厂购进A、B两种原料各多少吨？
（2）由于每种运输方式的运输能力有限，都无法单独承担这批原料的运输任务．加工厂为了尽快将这批原料运往仓库，决定将A原料选一种方式运输，B原料用另一种方式运输，哪种方案运输总花费较少？请说明理由．
【答案】（1）加工厂购进A种原料25吨，B种原料15吨；（2）当m﹣n＜0，即a＜b时，方案一运输总花费少，当m﹣n＝0，即a＝b时，两种运输总花费相等，当m﹣n＞0，即a＞b时，方案二运输总花费少，见解析
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】（1）设加工厂购进种原料吨，种原料吨，由题意：某加工厂用52500元购进、两种原料共40吨，其中原料每吨1500元，原料每吨1000元．列方程组，解方程组即可；
（2）设公路运输的单价为元，铁路运输的单价为元，有两种方案，方案一：原料公路运输，原料铁路运输；方案二：原料铁路运输，原料公路运输；设方案一的运输总花费为元，方案二的运输总花费为元，分别求出、，再分情况讨论即可．
【详解】解：（1）设加工厂购进种原料吨，种原料吨，
由题意得：，
解得：，
答：加工厂购进种原料25吨，种原料15吨；
（2）设公路运输的单价为元，铁路运输的单价为元，
根据题意，有两种方案，
方案一：原料公路运输，原料铁路运输；
方案二：原料铁路运输，原料公路运输；
设方案一的运输总花费为元，方案二的运输总花费为元，
则，
，
，
当，即时，方案一运输总花费少，即原料公路运输，原料铁路运输，总花费少；
当，即时，两种运输总花费相等；
当，即时，方案二运输总花费少，即原料铁路运输，原料公路运输，总花费少．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用等知识；解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式或一元一次方程．
23．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为．所以称方程为不等式组，的“相伴方程”．
(1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_______；（填序号）
①；②；③
(2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围；
(3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，则m的取值范围是________（直接写答案）．
【答案】(1)①②
(2)3＜k≤4；
(3)2＜m≤3
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、求不等式组的解集
【分析】（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可；
（2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出＜≤3，再去解不等式组的解集即可；
（3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当m＜2时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当m＞2时，求出不等式组的解集，再判断即可．
【详解】（1）解：解不等式组得-1＜x＜2，
解方程x-1=0得：x=1；
解方程2x+1=0得：x=-；
解方程-2x-2=0得：x=-1，
∵-1＜1＜2，-1＜-＜2，-1=-1，
∴①②是不等式组的“相伴方程”，
故答案为：①②；
（2）解：解不等式组得：＜x≤3，
解方程2x-k=2得：x=，
∵关于x的方程2x-k=2是不等式组的“相伴方程”，
∴＜≤3，
解得：3＜k≤4，
即k的取值范围是3＜k≤4；
（3）解：解方程2x+4=0得x=-2，
解方程得x=-1，
∵方程2x+4=0，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，m≠2，
所以分为两种情况：
①当m＜2时，不等式组为，
此时不等式组的解集是x＞1，不符合题意，舍去；
②当m＞2时，不等式组的解集是m-5≤x＜1，
所以根据题意得，
解得：2＜m≤3，
所以m的取值范围是2＜m≤3，
故答案为：2＜m≤3．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键．
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专题05 不等式与不等式组单元过关（培优版）
考试范围：第9章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．下列各式中：①；②；③；④；⑤，其中不等式的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如果，那么下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各数，不是不等式：﹣x+1＞x﹣3的解的是（ ）
A．3 B．0 C．﹣ D．﹣5
4．若关于x的一元一次方程的解为正整数，且a的值在不等式的解集内，则满足条件的所有整数a的值的和是（ ）
A． B． C．0 D．3
5．一次智力测验，有20道选择题．评分标准为：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．李明有2道题未答，若他的总分不低于60分，则他至少要答对______道题（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
6．不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
7．若为实数，则表示不大于的最大整数，例如等．是大于的最小整数，则方程的解是（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．已知关于x的不等式只有两个负整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知非负数 x，y，z 满足，设 W = 3x－2y + z，则 W 的最大值与最小值的和为（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-6
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．不等式组的整数解为
12．若关于x和y的二元一次方程组，满足，那么整数m的最大值是 ．
13．某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价 元．
14．关于的不等式组，的解集中任意一个的值都不在的范围内，则的取值范围是 ．
15．运行程序如图所示,规定:从“输入一个值x"”到“结果是否为一次程序如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是
评卷人得分
三、解答题
16．解不等式组，并在数轴上把它的解集表示出来．
17．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
(1)不等式 （选填“是”或“不是”的“云不等式”)．
(2)若关于x的不等式与不等式互为“云不等式”且有2个公共的整数解，求a的取值范围．
18．（1）已知关于x方程的解是非负数，求k的取值范围．
（2）若关于x、y的方程组的解满足，求m的最大整数值．
19．先阅读，再解答:写出关于的不等式的解集，
解:利用不等式的性质，不等式两边都除以，
因不知的符号，所以应分情况讨论:
当即时，
当即时，；
当，即时，此不等式为无解．
请根据以上解不等式的思想方法，解关于的不等式．
20．对于、定义一种新运算“◎”：，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：，．
(1)求、的值；
(2)求5◎（－3）的值；
(3)不等式的解集是______．
21．综合与探究
对实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b为常数）．例如：，．已知，．
(1)a＝ ，b＝ ．
(2)已知x，y为非负整数，求关于x，y的方程的解．
(3)若关于x，y的方程组的解满足，且m为非负整数，求m的值．
(4)若关于x的不等式恰好有3个正整数解，求n的取值范围．
22．某加工厂用52500元购进A、B两种原料共40吨，其中原料A每吨1500元，原料B每吨1000元．由于原料容易变质，该加工厂需尽快将这批原料运往有保质条件的仓库储存．经市场调查获得以下信息：
①将原料运往仓库有公路运输与铁路运输两种方式可供选择，其中公路全程120千米，铁路全程150千米；
②两种运输方式的运输单价不同（单价：每吨每千米所收的运输费）；
③公路运输时，每吨每千米还需加收1元的燃油附加费；
④运输还需支付原料装卸费：公路运输时，每吨装卸费100元；铁路运输时，每吨装卸费220元．
（1）加工厂购进A、B两种原料各多少吨？
（2）由于每种运输方式的运输能力有限，都无法单独承担这批原料的运输任务．加工厂为了尽快将这批原料运往仓库，决定将A原料选一种方式运输，B原料用另一种方式运输，哪种方案运输总花费较少？请说明理由．
23．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为．所以称方程为不等式组，的“相伴方程”．
(1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_______；（填序号）
①；②；③
(2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围；
(3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，则m的取值范围是________（直接写答案）．
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