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专题04 二元一次方程组单元过关（培优版）
考试范围：第10章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．下列方程中，是二元一次方程的为（ ）
A． B． C． D．
2．如果方程与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程是（ ）
A． B． C． D．
3．若是关于x和y的二元一次方程的解，则a的值等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（ ）
a b c
10 d
e
A． B．0 C．2 D．4
5．爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：
时刻 9：00 10：00 11：30
里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与9：00所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0
则10：00时看到里程碑上的数是（ ）
A．15 B．24 C．42 D．51
6．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．七（1）班全体同学进行了一次转盘得分活动．如图，将转盘等分成8格，每人转动一次，指针指向的数字就是获得的得分，指针落在边界则重新转动一次．根据小红、小明两位同学的对话，可得七（1）班共有学生（ ）人．
A．38 B．40 C．42 D．45
10．中国减贫方案和减贫成就是史无前例的人类奇迹，联合国秘书长古特雷斯表示，“精准扶贫”方略帮助贫困人口实现2030年可持续发展议程设定的宏伟目标的唯一途径，中国的经验可以为其他发展中国家提供有益借鉴，为了加大“精准扶贫”力度，某单位将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，则分组方案有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．30种
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．若是关于x，y的二元一次方程，则 ．
12．已知关于x，y的方程组与有相同的解，求的值 ．
13．如图是一个正方体的展开图，标注了字母a的面是正方体的正面．如果该正方体相对两个面上的代数式的值相等，那么 ， ．
14．小文在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小成看见了，说：“我也来试一试．”结果小成七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个面积为的小正方形缺口，则每个小长方形的周长为 ．
15．盒子里有三种球，分别标有数字和，贝贝从中摸出个球，它们的数字之和是，贝贝摸出了 个标有数字的球．
16．若有理数、使得，，，这四个数中的三个数相等，则 ．
17．已知关于x，y的方程组，给出以下结论：①是方程组的一个解；②当时，x，y的值互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④x，y之间的数量关系是．其中，正确的是 （填序号）．
评卷人得分
三、解答题
18．已知关于的二元一次方程组的解是，求的值．
19．若关于，的方程，，有公共解，求k的值．
20．《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝，尤其是方程思想
(1)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，求： 表示的方程
(2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？”
21．甲、乙两人同时解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了②中的，解得．求原方程组的正确解．
22．数学思想·整体思想 综合与实践
【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
【观察发现】
（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____；
【探索猜想】
（2）运用上述方法解下列方程
组：．
23．如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨 千米），铁路运价为1.2元/（吨 千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元，请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
(1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：
甲：
乙：
根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，然后在等式右边的方框内补全甲、乙两名同学所列方程组．
甲：x表示 ，y表示
乙：x表示 ，y表示
(2)甲同学根据他所列方程组解得，请你帮他解出y的值，并解决该实际问题．
24．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背______张和坐垫______张． 方法三：裁切靠背______张和坐垫______张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．
25．阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足，，求和的值．本题常规思路是将①，②联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组，则______，______；
(2)试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变；
(3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？
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专题04 二元一次方程组单元过关（培优版）
考试范围：第10章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．下列方程中，是二元一次方程的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的定义
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义判断即可，含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程是二元一次方程．
【详解】解：A．只有一个未知数，故A选项不符合题意；
B．，B选项符合题意；
C．不是方程，故C选项不符合题意；
D．的次数是2，故D选项不符合题意．
故选：B．
2．如果方程与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】判断是否是二元一次方程组的解、已知二元一次方程组的解求参数
【分析】把代入各选项的方程，看左边是否等于右边即可．本题考查了二元一次方程组的解，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即：将解代入原方程组，这是解题的关键．
【详解】解：A选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项符合题意；
B选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意；
C选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意；
D选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意；
故选：．
3．若是关于x和y的二元一次方程的解，则a的值等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题考查了二元一次方程解的定义，解决本题的关键是将二元一次方程的解代入方程进行求解即可．将代入求解即可．
【详解】解：将代入可得：
，
解得：，
故选：A．
4．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（ ）
a b c
10 d
e
A． B．0 C．2 D．4
【答案】D
【知识点】三元一次方程组的应用
【分析】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等列出方程组即可解得答案．
【详解】解：根据题意得：，
，
；
故选：D．
5．爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：
时刻 9：00 10：00 11：30
里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与9：00所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0
则10：00时看到里程碑上的数是（ ）
A．15 B．24 C．42 D．51
【答案】D
【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)
【分析】解：设小明9:00看到的两位数，十位数为x，个位数为y，根据车的速度不变和12:00时看到的两位数字之和为6，即可列出二元一次方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：设小明9:00看到的两位数，十位数为x，个位数为y，由题意列方程组得：，
解得：，
∴9：00时看到的两位数是15．
10：00时看到里程碑上的数是
故选：D
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．
6．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】判断是否是二元一次方程组
【分析】根据二元一次方程组的基本形式及特点进行判断，即①含有两个二元一次方程，②方程都为整式方程，③未知数的最高次数都为一次．
【详解】解：A、该方程组中的第二个方程的最高次数为2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B、该方程组的第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意；
D、该方程组中含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点．
7．已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键．先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得．
【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，
所以这个方程组的解为．
A、将代入得：，则此项不符合题意；
B、将代入得：，则此项不符合题意；
C、将代入得：，则此项不符合题意；
D、将代入得：，则此项符合题意；
故选：D．
8．已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】方程组相同解问题、加减消元法
【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，、的方程组和有相同的解，列出方程组求出、的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可．
【详解】解：由题意，得，
解得，
因为两方程有相同的解，
所以将代入，
得，
解得，
所以．
故选：B．
9．七（1）班全体同学进行了一次转盘得分活动．如图，将转盘等分成8格，每人转动一次，指针指向的数字就是获得的得分，指针落在边界则重新转动一次．根据小红、小明两位同学的对话，可得七（1）班共有学生（ ）人．
A．38 B．40 C．42 D．45
【答案】A
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组
【分析】根据题意，分别假设未知数，再根据对话内容列出方程组，即可求解答案．
【详解】解：设得3分，4分，5分和6分的共有x人，它们平均得分为y分，分两种情况：
（1）得分不足7分的平均得分为3分，
xy+3×2+5×1＝3（x+5+3），
xy﹣3x＝13①，
（2）得3分及以上的人平均得分为4.5分，
xy+3×7+4×8＝4.5（x+3+4），
4.5x﹣xy＝21.5②，
①+②得1.5x＝34.5，
解得x＝2.3，
故七（1）班共有学生23+5+3+3+4＝38（人）．
故选：A．
【点睛】考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是了解题意，根据数量关系列出方程组，即可求出结果．
10．中国减贫方案和减贫成就是史无前例的人类奇迹，联合国秘书长古特雷斯表示，“精准扶贫”方略帮助贫困人口实现2030年可持续发展议程设定的宏伟目标的唯一途径，中国的经验可以为其他发展中国家提供有益借鉴，为了加大“精准扶贫”力度，某单位将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，则分组方案有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．30种
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解、其他问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设甲组有名干部，乙组有名干部，则丙组有名干部，根据将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，列二元一次方程，求解即可．
【详解】设甲组有名干部，乙组有名干部，则丙组有名干部，由题意得
，
化简得，
∴，
∴当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部，
当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部，
当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部，
当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部，
当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部，
综上，有5种方案，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，准确理解题意，熟练掌握解二元一次方程的方法是解题的关键．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．若是关于x，y的二元一次方程，则 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程的定义、利用平方根解方程
【分析】考查了二元一次方程的定义，利用平方根求解方程，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程，根据二元一次方程的定义得，解答即可得出结果．
【详解】解：是关于x，y的二元一次方程，
，解得：，
故答案为：．
12．已知关于x，y的方程组与有相同的解，求的值 ．
【答案】
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把只含x，y的两个方程联立，求出x，y的值是解题的关键．把只含x，y的两个方程联立，求出x，y的值，代入其余的两个方程，得到关于a，b的方程组，解方程组求得a，b的值，代入代数式求值即可．
【详解】解：联立，解得．
把代入其余的两个方程得，
解得，
∴．
故答案为：．
13．如图是一个正方体的展开图，标注了字母a的面是正方体的正面．如果该正方体相对两个面上的代数式的值相等，那么 ， ．
【答案】 3 1
【知识点】代入消元法、正方体相对两面上的字
【分析】本题考查正方体相对面上的字，解二元一次方程组，根据正方体相对面上的代数式的值相等得出二元一次方程组是解题的关键．
根据正方体相对面上的代数式的值相等得出二元一次方程组再用代入法求解即可．
【详解】解：根据题意，得
解得
故答案为：3；1．
14．小文在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小成看见了，说：“我也来试一试．”结果小成七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个面积为的小正方形缺口，则每个小长方形的周长为 ．
【答案】
【知识点】根据几何图形列二元一次方程组
【分析】设每个小长方形的长为，宽为，根据小明和小红拼的图形，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再根据长方形的周长公式即可得出结论．
【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：，
．
答：每个小长方形的周长为，
故答案为：32．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及长方形的面积，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15．盒子里有三种球，分别标有数字和，贝贝从中摸出个球，它们的数字之和是，贝贝摸出了 个标有数字的球．
【答案】
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题考查了二元一次方程的正整数解，设标有数字和球的个数分别为个，个，则标有数字的球有个，根据题意列出，然后出正整数解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：设摸出标有数字和球的个数分别为个，个，则标有数字的球有个，
∴，整理得：，
∵，为正整数，
∴，
∴标有数字的球有个，
故答案为：．
16．若有理数、使得，，，这四个数中的三个数相等，则 ．
【答案】
【知识点】利用平方根解方程、已知字母的值 ，求代数式的值、化简绝对值
【分析】根据中分母不为零，得到，从而 ，分两类讨论：①；②，求出有理数、，代入代数式求解即可得到答案．
【详解】解： 中分母不为零，
，
，
分两种情况：
①，即，
两个方程相乘得到，即或者
当时，，不合题意，舍去；
当时，，代入，得到，解得，；
②，即，
两个方程相乘得到，即或者
当时，，不合题意，舍去；
当时，，代入，得到，
解得，；
，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数求值，涉及分数分母不为零、解方程、求绝对值等知识，根据题意求出有理数、是解决问题的关键．
17．已知关于x，y的方程组，给出以下结论：①是方程组的一个解；②当时，x，y的值互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④x，y之间的数量关系是．其中，正确的是 （填序号）．
【答案】①②③
【知识点】二元一次方程的解、加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
将代入方程组，可得，据此判断即可；
当时，解方程组，由加减消元法解得，据此判断即可；
③当时，方程组为，由加减消元法解得，再将解代入方程中，据此判断即可；
由加减消元法解方程组得，则，据此判断即可．
【详解】解：①将代入方程组，可得，
故①符合题意；
②当时，方程组为，
①②得，，
将代入①得，，
、互为相反数，
故②符合题意；
③当时，方程组为，
①②得，，
将代入②得，，
方程组的解为，
将满足方程，
故③符合题意；
④，
①②得，，
将代入②得，，
，
④不符合题意；
故答案为①②③．
评卷人得分
三、解答题
18．已知关于的二元一次方程组的解是，求的值．
【答案】
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查了二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组的两个方程的未知数的值叫二元一次方程组的解．把代入方程组求得a、b的值，即可求得的值．
【详解】解：把代入二元一次方程组得，，
解得，
∴．
19．若关于，的方程，，有公共解，求k的值．
【答案】．
【知识点】二元一次方程的解、加减消元法
【分析】本题考查了方程的解，解二元一次方程组．先将和组成二元一次方程组，解得x、y的值后代入即可得到答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
把代入得：
，
解得．
20．《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝，尤其是方程思想
(1)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，求： 表示的方程
(2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？”
【答案】(1)
(2)共有7人；物品的价格为53元
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)、古代问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程以及二元一次方程的实际应用．
（1）根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示x，y的系数与等式后面的数字，即可列方程，然后组成方程组；
（2）根据总钱数不变列式求解即可得到答案．
【详解】（1）
解：表示的方程是；
（2）解：设有人，则物品的价格为钱，由题意可得，
，
解得：，
∴，
答：共有7人；物品的价格为53元．
21．甲、乙两人同时解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了②中的，解得．求原方程组的正确解．
【答案】原方程组的正确解是
【知识点】代入消元法、加减消元法
【分析】把代入②，把代入①，求出a和b的值，再把a和b的值代入原方程组求解即可．
【详解】解：把代入②，把代入①，
可得，解得，
，
由②可得：
4x-10y=-2③，
①+③，得
-x=13，
x=-13，
把x=-13代入①，得
65+10y=15，
y=-5，
原方程组的正确解是．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
22．数学思想·整体思想 综合与实践
【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
【观察发现】
（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____；
【探索猜想】
（2）运用上述方法解下列方程
组：．
【答案】（1），；（2）
【知识点】二元一次方程组的特殊解法、加减消元法
【分析】本题考查了解二元一次方程组．
（1）根据换元法和加减消元法可得答案；
（2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案；
【详解】解：（1）设，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
∴，
解方程组，得，
故答案为：，；
（2）设，，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
∴，
解方程组，得．
23．如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨 千米），铁路运价为1.2元/（吨 千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元，请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
(1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：
甲：
乙：
根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，然后在等式右边的方框内补全甲、乙两名同学所列方程组．
甲：x表示 ，y表示
乙：x表示 ，y表示
(2)甲同学根据他所列方程组解得，请你帮他解出y的值，并解决该实际问题．
【答案】(1)产品的重量，原料的重量，产品销售额，原料费；15000，97200，15000，97200
(2)；见详解
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）仔细分析题意，根据题目中的两个方程确定，的意义并补全方程组即可；
（2）将的值代入求解值，然后根据题意列代数式求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，甲：表示产品的重量，表示原料的重量，
乙：表示产品销售额，表示原料费，
∴甲：，乙：，,
故答案为：产品的重量，原料的重量，产品销售额，原料费，15000，97200，15000，97200．
（2）解：将代入得，，
解得，
产品销售额为（元），原料费为（元），运费为（元），
∵（元）；
∴这批产品的销售额比原料费和运费的和多1887800元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是从题目中找到等量关系并正确的列方程组．
24．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背______张和坐垫______张． 方法三：裁切靠背______张和坐垫______张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．
【答案】任务一：8，3；0，6；任务二：480张学生椅；任务三：需要购买该型号板材1615张，用其中86张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用73张板材裁切靠背0张和坐垫6张．
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、方案问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(二元一次方程组的应用)
【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，根据每张靠背宽15 ，每张坐垫宽40 ，每张板材长240 ，列二元一次方程，根据m、n都是自然数，赋值解答，得到，或，或，还有两种方法；
任务二：根据110张板材的总长除以每张椅子的靠背与坐垫的总宽即得；
任务三：设用张板材，每张裁切靠背8张和坐垫3张；用张板材，每张裁切靠背0张和坐垫6张．根据现有4张座垫和12张靠背，列二元一次方程组解答．
【详解】解：任务一：
设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，根据题意得：
，
，
，为非负整数，
，或，或，
方法二：裁切靠背8张和坐垫3张；
方法三：裁切靠背0张和坐垫6张；
故答案为：8，3；0，6；
任务二：
（张），
该工厂购进110张该型号板材，能制作成480张学生椅；
任务三：设用其中张板材，每张裁切靠背8张和坐垫3张，用张板材，每张裁切靠背0张和坐垫6张，
根据题意得，，
解得，
∵（张），
∴需要购买该型号板材159张，用其中86张板材，每张裁切靠背8张和坐垫3张，用73张板材，每张裁切靠背0张和坐垫6张（方法不唯一）．
【点睛】本题主要考查了配套问题，熟练掌握运用配比列二元一次方程或二元一次方程组，根据未知数是自然数赋值解二元一次方程，是解决问题的关键．任务三可以分别计算688张靠背需要的板材张数，696张坐垫需要的板材张数，方法更简便（方法不唯一）．
25．阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足，，求和的值．本题常规思路是将①，②联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组，则______，______；
(2)试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变；
(3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？
【答案】(1)－1；3
(2)见解析
(3)购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元
【知识点】三元一次方程组的应用、二元一次方程组的特殊解法
【分析】（1）①－②可求出，可求出；
（2）证明为定值即可；
（3）设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，根据题意列方程组，利用整体思想求出即可．
【详解】（1）解：
①－②得：，
得：，
等式两边同时除以3得：，
故答案为：－1；3．
（2）证明：
得：，
等式两边同时除以2得：，
得：，
等式两边同时除以2得：，
因此不论a取什么实数，的值始终不变．
（3）解：设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，
由题意得，
得：，
等式两边同时乘以2得：，
得：，
故，
即购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元．
【点睛】本题考查利用整体思想解方程组，读懂题意，熟练掌握并灵活运用整体思想是解题的关键．
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