2025级高一第一学期期末考试数学科试卷参考答案
2 3 3 3 4
BACAB DBD ABC ACD ACD ; ;
5
,
3 4 5
π
15.【答案】(1) A = (2) 6 3
3
1）由正弦定理得 3sinBcosA = sin AsinB，
因为B (0,π)，所以sin B 0，
故 3cosA = sin A，即 tan A = 3 ，
π
因为 A (0,π)，所以 A = ；
3
π
（2）a = 2 7,b+c =10， A = ，
3
b2 +c2
2
a2 (b+c) 2bc a2由余弦定理得 1cos A= = = ，
2bc 2bc 2
102 2bc 28 1
故 = ，解得bc =24，
2bc 2
1 1 3
故 S ABC = bcsin A= 24 = 6 3 .
2 2 2
16.解：(1)因为 ( )是定义在 上的奇函数，
所以 (0) = 0，可得 = 0①，
2
2 2
由其图象经过点(1, )，可得 (1) = = ②，
3 6 3
联立①②，解得 = 1， = 2，
2 5 1
所以 ( ) = 1 = ，经检验， ( )是奇函数，
5 +1 5 +1
5 1
所以 ( )的解析式为 ( ) = ．
5 +1
(2)证明：设任意 1， 2 ∈ 且 1 < 2，
2 2 2(5 1 5 2)
则 ( 1) ( 2) = 1 (1 ) = ， 5 1 +1 5 2+1 (5 1+1)(5 2+1)
因为 < ，所以5 1 < 5 21 2 ，所以5
1 5 2 < 0，5 1 + 1 > 0，5 2 + 1 > 0，
所以 ( 1) ( 2) < 0， ( 1) < ( 2)，
所以 ( )为 上的增函数，
2 12
( )在[ 1,2]上单调递增， ( 1) = ， (2) = ，
3 13
2 12
所以 ( )在[ 1,2]上的值域为[ , ].
3 13
5 2
17．解：(1)由图象知 = 2， = ( ) = ，∴ = ，即 = 2．
2 12 12 2
5
由图象过点( , 2)，代入函数 ( )，
12
5 2
即 + = + 2 , ∈ ，因为0 < < ，则 = ，
6 2 3
2
所以 ( ) = 2sin (2 + )；
3
2
(2)令2 ≤ 2 + ≤ 2 + ， ∈ ，
2 3 2
7
解得 ≤ ≤ ， ∈ ，
12 12
7
故函数 ( )的单调递增区间为[ , ]， ∈ ；
12 12
2 5 5 2 1
(3)因为 ∈ [ , ]，所以2 + ∈ [ , ]，则sin (2 + ) ∈ [ 1, ]，
12 2 3 6 3 3 2
2
2sin (2 + ) ∈ [ 2,1]，所以 ( )的值域为[ 2,1]．
3
18．（1）由题意可知， A+ B = 82，B A= 2，则 A = 40，B = 42，
2π π
又易知T =18，所以 =18，得 = ，
9
又当 t = 0时， y = Asin + B = 40sin + 42 = 2，则sin = 1，
π
因 π，则 = ，
2
所以 ( ) = 40sin ( ) + 42，化简得 ( ) = 40cos ( ) + 42,0 ≤ ≤ 18. 9 2 9
（2）由题意易知，所谓“震撼时刻”，即要求 ( ) ≥ 62，
π 1
化简得cos t ，
9 2
π 2π π 4π
因0 t 18，则0 t 2π，故 t ，则6 t 12，
9 3 9 3
故第六分钟到第十二分钟为“震撼时刻”.
（3）设乙的座舱高度与时间 t函数为 y2 ，
π
同（1）可求得 y2 = 40sin t +42,0 t 18，
9
因为甲乙离地面高度相等，即 y = y2，
π π π
可得： 40cos t +42 = 40sin t +42，即 tan t = 1，
9 9 9
π π 9
可解得 t = kπ ,k Z，即 t = 9k ,k Z，
9 4 4
27
故 k =1时， t有最小值 ，
4
27
即当 t = min时，甲乙首次高度相等.
4
19．(1) 1,1 ， 2,2
2
2,a
2
1 2 1
(2) g (a) = a , a
2a 2 2
1
a+ 2, a 0
2
(3) ( , 2 2,+ ) 0
【详解】（1）由1+ x 0且1 x 0，得 1 x 1．
则函数 f (x)的定义域为 1,1 ．
f 2 (x) = 2+2 1 x2 , 1 x2 0,1 , f 2 (x) 2,4 ，且 f (x) 0，
得 f (x) 2,2 f x ，则函数 ( )的值域为
2,2
．
a
F (x) = f 2 (x) 2 + f (x) = a 1 x2（2） + 1+ x + 1 x， 2
令 t = f (x) = 1+ x + 1 x，
1
1 x2 = t2则 1， t 2,2
2
，
2 1 1
所以a 1 x + 1+ x + 1 x = a t
2 1 + t = at2 + t a，
2 2
1 1
令 (t ) = at2 + t a， t 2,2 ，则 g (a)
2
为函数 (t ) = at + t a， t 2,2
2 2
的最大
值．
1 2 1
易得函数 y = at + t a的图象是开口向下的抛物线，且其对称轴为直线 t = ．
2 a
1 2
①若 t = (0, 2 ，即a ，则 g (a) = ( 2 ) = 2； a 2
1 2 1 1 1
②若 t = ( 2,2)，即 a ，则 g (a) = = a ；
a 2 2 a 2a
1 1
③若 t = 2,+ )，即 a 0，则 g (a) = (2) = a+ 2．
a 2
2
2,a
2
1 2 1
综上可得 g (a) = a , a ．
2a 2 2
1
a+ 2, a 0
2
（3）由（2）易得 g (a) = 2．
min
m2要使 +2nm+ 2 g (a)在n 1,1 2上恒成立，即使 m +2nm+ 2 g (a) = 2在
min
n 1,1 恒成立，
所以m2 2nm 0在n 1,1 上恒成立．
令h(n) =m2 2nm，n 1,1 ，
若m = 0，则h(n) = 0 0对任意n 1,1 恒成立；
h( 1) 0 m2 +2m 0
若m 0，则有 ，即 ，
h(1) 0 m
2 2m 0
解得m≥2或m 2．
综上，实数 m的取值范围是 ( , 2 2,+ ) 0 ．2025级高一第一学期期末考试数学科试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1.已知集合 = {0,1,2,3}， = {1,2}，则 =( )
A. {1,2} B. {0,3} C. {0,1} D. {0,1,2,3}
2.已知 ∈ ，则 > 6是 2 > 36的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4π
3.已知圆心角为 的扇形半径是 3，则该扇形的面积为（ ）
3
3π
A． B．3π C． 6π D．12π
2
x
4.函数 f (x) = 的图象大致为（ ）
x2 +1
A． B．
C． D．
π
5.若函数 y = sin πx 在 0,m 上单调递增，则m的最大值为（ ）
6
1 2
A． B． C．1 D．2
3 3
π 3 π 5π
6.已知cos + = ，且 0, ，则sin + 的值是（ ）
6 5 3 12
2 3 2 3 7 2 7 2
A． B． C． D．
5 5 10 10
π π
7.将函数 f (x) = sin 2 x + ( 0)的图象向右平移 个单位长度后与函数 g(x) = cos(2 x)的
3 6
图象重合，则 的最小值为（ ）
9 11 13 15
A． B． C． D．
2 2 2 2
试卷第 1 页，共 4 页
8. 已知2 = 5，3 = 10，4 = 17，则 ， ， 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多项选择题：本题共 3 小题，毎小题 6 分，共 18 分．
9.下列选项正确的是（ ）
4 1 24
A．若角 的终边经过点 ( 3,4)，则 sin = B．已知sin cos = ，则sin 2 =
5 5 25
π
C．若 tan = 2，则 tan + = 3 D． 15° √3 15° = √2
4
10. 设 > 0， > 0，且 + 2 = 2，则( )
1
A. 的最大值为 B. + 的最小值为1
2
2 2 4 +2 9C. + 的最小值为 D. 的最小值为
5 2
11．已知函数 ( )满足：① , ∈ ，则有 ( + ) = ( ) + ( ) 1，②当 > 0时， ( ) <
1，③ (1) = 2，则以下说法中正确的是( )
A. (0) = 1
B. (4 ) = 4 ( ) 4
C. ( )在[ 3,3]上的最大值是10
2
D. 不等式 (3 2) 2 ( ) > (3 ) + 4的解集为{ | < < 1}
3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12.在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为a,b,c，若a = 2, A = ，则 ABC 外接圆半径为 ．
3
13.已知 tan = 3，则sin 2 = .
π π 5π
14.已知函数 f (x) = cos4 x 1( 0)在区间 , 上单调递增，且在区间 0, 上恰有3个
3 2 2
零点，则 的取值范围是 .
试卷第 2 页，共 4 页
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分．
15.(本题 13 分)在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为a,b,c，已知 3bcosA = asinB .
(1)求角 A的大小；
(2)若a = 2 7,b+c =10，求 ABC 的面积.
16.(本题 15 分)设 ， 为实数，已知定义在 上的函数 ( ) = 为奇函数，且其图象
5 +1
2
经过点(1, )．
3
(1)求 ( )的解析式；
(2)用定义证明 ( )为 上的增函数，并求 ( )在[ 1,2]上的值域．
17.(本题 15分) 函数 ( ) = sin( + )( > 0, > 0,0 < < )在一个周期内的图象如图
所示．
(1)求函数解析式；
(2)求 ( )的单调递增区间；
(3)当 ∈ [ , ]时，求 ( )的值域．
12 2
18.(本题 17 分)摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地
往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点 距离地面高度 为82m，转盘
直径为80 ，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置 进舱，
转一周需要18min .
试卷第 3 页，共 4 页
以轴心 为原点，与地面平行的直线为 轴， PQ所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，游
客甲坐上摩天轮的座舱，在开始运行一周的过程中，开始转动 后距离地面的高度为
( )，设 ( ) = sin( + ) + ， > 0，| | ≤
(1) 求 ( )的解析式；
(2) 当座舱距离地面的高度不低于62m时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼
时刻”，求游客在开始运行一周的过程中，处于“震撼时刻”的时间段；
(3)若游客甲在 P点进入座舱时，游客乙此时恰好在 B处（ 轴与圆的交点），在运行一周的
过程中，运行 两人首次距离地面的高度相等，求时间 。
19.(本题 17 分)已知函数 f (x) = 1+ x + 1 x ．
(1)求函数 f (x)的定义域和值域；
a
(2)设F (x) = 2 f (x) 2 + f (x)(a 0)，求F (x)的最大值 g (a)； 2
g (a) m2(3)对于（2）中的 ，若 +2nm+ 2 g (a)在n 1,1 上恒成立，求实数 m的取值范
围．
试卷第 4 页，共 4 页
