江苏省扬州市2015-2016学年高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版）

2015-2016学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷（文科）
　
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．已知集合A={x|x≥0}，B={x|x＜1}，则A∩B=　　．
2．复数（2+i）i的虚部为　　．
3．命题：“若a≠0，则a2＞0”的否命题是“　　”．
4．若函数f（x）=2cosx，则f′（x）=　　．
5．lg+2lg2+（）0=　　．
6．幂函数f（x）=xα（α∈R）过点（2，），则f（16）=　　．
7．直线l过点（1，1），且与直线x+2y+2016=0平行，则直线l的方程为　　．（答案写成一般式方程形式）
8．将函数y=sinx的图象向右至少平移　　个单位可得到函数y=cosx的图象．
9．“a＜0”是方程“ax2+2x+1=0至少有一个负数根”的　　条件．
10．已知f（x）=3x|x|，且f（1﹣a）+f（2a）＜0，则实数a的取值范围是　　．
11．已知sin2α=，则cos2（α+）=　　．
12．过直线y=2x上的一点P作⊙M：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1的两条切线l1，l2，A，B两点为切点．若直线l1，l2关于直线y=2x对称，则四边形PAMB的面积为　　．
13．考察下列等式：
cosθ+isinθ=a1+b1i，
（cosθ+isinθ）2=a2+b2i，
（cosθ+isinθ）3=a3+b3i，
…
（cosθ+isinθ）n=an+bni，
其中i为虚数单位，an，bn（n∈N
）均为实数．由归纳可得，当θ=时，a2016+b2016的值为　　．
14．已知函数f（x）=（+）（2﹣1），若关于x的方程f（x）=m有实数解，则实数m的取值范围为　　．
　
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知复数z=1﹣i．
（1）设w=z（1+i）﹣1﹣3i，求|w|；
（2）如果=i，求实数a，b的值．
16．定义在实数集上的函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）=x2+ax+a．
（1）求f（x）、g（x）的解析式；
（2）命题p： x∈[1，2]，f（x）≥1，命题q： x∈[﹣1，2]，g（x）≤﹣1，若p∨q为真，求a的范围．
17．已知函数f（x）=sinx﹣2cos2．
（1）求f（）的值；
（2）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的值域；
（3）若直线x=x0是函数y=f（4x）图象的对称轴，且x0∈[0，]，求x0的值．
18．在平面直角坐标系xOy中，⊙C经过二次函数f（x）=（x2+2x﹣3）与两坐标轴的三个交点．
（1）求⊙C的标准方程；
（2）设点A（﹣2，0），点B（2，0），试探究⊙C上是否存在点P满足PA=PB，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
19．定义在[a，b]上的函数f（x），若存在x0∈（a，b）使得f（x）在[a，x0]上单调递增，在[x0，b]上单调递减，则称f（x）为[a，b]上的单峰函数，x0为峰点．
（1）若f（x）=﹣x3+3x，则f（x）是否为[0，2]上的单峰函数，若是，求出峰点；若不是，说明理由；
（2）若g（x）=m 4x+2x在[﹣1，1]上不是单峰函数，求实数m的取值范围；
（3）若h（x）=|x2﹣1|+n|x﹣1|在[﹣2，2]上为单峰函数，求负数n的取值范围．
20．已知函数f（x）=x2﹣2alnx（a∈R），g（x）=2ax．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若a＞0，函数h（x）=f（x）﹣g（x）有且只有一个零点，求实数a的值；
（3）若0＜a＜1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求a的取值范围．
　
2015-2016学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．已知集合A={x|x≥0}，B={x|x＜1}，则A∩B=　[0，1）　．
【考点】交集及其运算．
【分析】借助于数轴直接利用交集的运算求解．
【解答】解：如图，
因为集合A={x|x≥0}，B={x|x＜1}，
所以，A∩B={x|x≥0}∩{x|x＜1}=[0，1）．
故答案为[0，1）．
　
2．复数（2+i）i的虚部为　2　．
【考点】复数的基本概念．
【分析】先由复数的乘法求出复数，再由复数的概念求解．
【解答】解：（2+i）i=﹣1+2i
由复数的概念可得：
虚部为2
故答案为：2
　
3．命题：“若a≠0，则a2＞0”的否命题是“　若a=0，则a2≤0　”．
【考点】四种命题．
【分析】写出命题的条件与结论，再根据否命题的定义求解．
【解答】解：命题的条件是：a≠0，结论是：a2＞0．
∴否命题是：若a=0，则a2≤0．
故答案为：若a=0，则a2≤0．
　
4．若函数f（x）=2cosx，则f′（x）=　﹣2sinx　．
【考点】导数的运算．
【分析】根据函数的导数公式进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）=2cosx，
∴f′（x）=﹣2sinx，
故答案为：﹣2sinx
　
5．lg+2lg2+（）0=　2　．
【考点】对数的运算性质．
【分析】利用对数、指数性质、运算法则求解．
【解答】解：lg+2lg2+（）0
=lg+1
=lg（）+1
=lg10+1
=2．
故答案为：2．
　
6．幂函数f（x）=xα（α∈R）过点（2，），则f（16）=　4　．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】根据幂函数过点（2，），代入求出函数的解析式即可．
【解答】解：∵幂函数f（x）=xα（α∈R）过点（2，），
∴f（2）=2α=，则α=，
即f（x）==，
则f（16）==4，
故答案为：4．
　
7．直线l过点（1，1），且与直线x+2y+2016=0平行，则直线l的方程为　x+2y﹣3=0　．（答案写成一般式方程形式）
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】设直线l过点（1，1），且与直线x+2y+2016=0平行的直线方程为x+2y+c=0，把点A（1，1）代入，能求出直线方程
【解答】解：设直线l过点（1，1），且与直线x+2y+2016=0平行的直线方程为x+2y+c=0，
把点A（1，1）代入，得：
1+2+c=0，
解得c=﹣3，
∴所求直线方程为：x+2y﹣1=0．
故答案为：x+2y﹣3=0．
　
8．将函数y=sinx的图象向右至少平移　　个单位可得到函数y=cosx的图象．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：将函数y=sinx的图象向右至少平移个单位可得到函数y=sin（x﹣）=cosx的图象，
故答案为：．
　
9．“a＜0”是方程“ax2+2x+1=0至少有一个负数根”的　充分不必要　条件．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；元素与集合关系的判断．
【分析】我们先判断“a＜0”时，方程“ax2+2x+1=0至少有一个负数根”是否成立，再判断方程“ax2+2x+1=0至少有一个负数根”时，“a＜0”是否成立，然后结合充要条件的定义，即可得到答案．
【解答】解：当a＜0时，△=4﹣4a＞0，
由韦达定理知x1 x2=＜0，
故此一元二次方程有一个正根和一个负根，符合题意；
当ax2+2x+1=0至少有一个负数根时，a可以为0，
因为当a=0时，该方程仅有一根为﹣，
所以a不一定小于0．
由上述推理可知，“a＜0”是方程“ax2+2x+1=0至少有一个负数根”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要
　
10．已知f（x）=3x|x|，且f（1﹣a）+f（2a）＜0，则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣1）　．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据条件判断函数f（x）是增函数同时也是奇函数，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．
【解答】解：当x≥0时，f（x）=3x2，此时函数为增函数且f（x）≥0，
当x＜0时，f（x）=﹣3x2，此时函数为增函数且f（x）＜0，
综上函数f（x）在R上是增函数，
∵f（﹣x）=﹣3x|x|=﹣f（x），
∴f（x）是奇函数，
则不等式f（1﹣a）+f（2a）＜0等价为f（2a）＜﹣f（1﹣a）=f（a﹣1），
则2a＜a﹣1，
得a＜﹣1，
即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1），
故答案为：（﹣∞，﹣1）．
　
11．已知sin2α=，则cos2（α+）=　　．
【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦．
【分析】用二倍角的余弦公式化简后代入已知即可．
【解答】解：∵sin2α=，
∴cos2（α+）====．
故答案为：．
　
12．过直线y=2x上的一点P作⊙M：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1的两条切线l1，l2，A，B两点为切点．若直线l1，l2关于直线y=2x对称，则四边形PAMB的面积为　　．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】本题考查了直线和圆的有关问题，结合对称性，可以判断出MP和直线y=2x对称，利用切线长相等，可以求出两个全等的三角形的面积．
【解答】解：直线l1，l2关于直线y=2x对称，
所以PM与直线y=2x垂直，
由点到直线的距离公式可得PM==，
因为切线长相等，△PAM≌△PBM，
所以四边形的面积为：
2×．
故答案为：．
　
13．考察下列等式：
cosθ+isinθ=a1+b1i，
（cosθ+isinθ）2=a2+b2i，
（cosθ+isinθ）3=a3+b3i，
…
（cosθ+isinθ）n=an+bni，
其中i为虚数单位，an，bn（n∈N
）均为实数．由归纳可得，当θ=时，a2016+b2016的值为　1　．
【考点】归纳推理．
【分析】由题意，（cosθ+isinθ）2016=a2016+b2016i，结合θ=及复数的运算，即可得出结论．
【解答】解：由题意，（cosθ+isinθ）2016=a2016+b2016i，
∴cos2016θ+isin2016θ=a2016+b2016i，
θ=时，cos1008π+isin1008π=a2016+b2016i，
∴a2016+b2016i=1，
∴a2016+b2016=1
故答案为：1．
　
14．已知函数f（x）=（+）（2﹣1），若关于x的方程f（x）=m有实数解，则实数m的取值范围为　﹣≤m≤2　．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】构造函数令t=+，
（+）2=2+2=t2，通过求导，判断函数的单调性，求出函数的最值，得出m的取值范围．
【解答】解：令t=+，
（+）2=2+2=t2，
∴2﹣1=t2﹣3，
∴﹣1≤t2﹣3≤1，
∴≤t≤2，
∴f（x）=（+）（2﹣1）
=t3﹣3t，
y'=3t2﹣3，
∴定义域内递增，
∴﹣≤f（x）≤2，
∵关于x的方程f（x）=m有实数解，
∴﹣≤m≤2，
故答案为﹣≤m≤2，
　
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知复数z=1﹣i．
（1）设w=z（1+i）﹣1﹣3i，求|w|；
（2）如果=i，求实数a，b的值．
【考点】复数代数形式的混合运算；复数代数形式的乘除运算．
【分析】（1）利用复数的运算化简w，求模；
（2）首先化简分子、分母，利用复数相等求a，b．
【解答】解（1）因为z=1﹣i，所以w=z（1+i）﹣1﹣3i=1﹣3i
…
∴|w|=；…
（2）由题意得：
z2+az+b=（1﹣i）2+a（1﹣i）+b=a+b﹣（2+a）i；
（1+i）i=﹣1+i
所以，…
解得．…
　
16．定义在实数集上的函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）=x2+ax+a．
（1）求f（x）、g（x）的解析式；
（2）命题p： x∈[1，2]，f（x）≥1，命题q： x∈[﹣1，2]，g（x）≤﹣1，若p∨q为真，求a的范围．
【考点】复合命题的真假；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）根据函数的奇偶性，联立方程组，解出函数的解析式即可；
（2）分别求出f（x），g（x）的最小值，根据复合命题的真假，求出a的范围即可．
【解答】解：（1）由f（x）+g（x）=x2+ax+a．①，
得f（﹣x）+g（﹣x）=x2﹣ax+a．
因为f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
所以f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），…
所以﹣f（x）+g（x）=x2﹣ax+a②，
①②联立得f（x）=ax，g（x）=x2+a．…
（2）若p真，则fmin（x）≥1，得a≥1，…
若q真，则gmin（x）≤﹣1，得a≤﹣1，…
因为p∨q为真，
所以a≥1或a≤﹣1．…
　
17．已知函数f（x）=sinx﹣2cos2．
（1）求f（）的值；
（2）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的值域；
（3）若直线x=x0是函数y=f（4x）图象的对称轴，且x0∈[0，]，求x0的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（1）用二倍角的余弦公式变形、两角和的正弦公式化简解析式，求出f（）的值；
（2）由x的范围和正弦函数的图象与性质求出f（x）的值域；
（3）由（1）求出f（4x）的解析式，由正弦函数的对称轴方程列出方程化简，由x0∈[0，]求出x0的值．
【解答】解：（1）由题意得，f（x）=sinx﹣cosx﹣1=，
所以f（）==﹣1；
…
（2）由（1）得，f（x）=…
由x∈[0，π]得x﹣∈[﹣，]，则…
则
所以值域为[﹣2，]…
（3）由（1）得，y=f（4x）=，…
令得，…
解得，
由（k∈Z）得k=0…
因此…
　
18．在平面直角坐标系xOy中，⊙C经过二次函数f（x）=（x2+2x﹣3）与两坐标轴的三个交点．
（1）求⊙C的标准方程；
（2）设点A（﹣2，0），点B（2，0），试探究⊙C上是否存在点P满足PA=PB，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
【考点】二次函数的性质．
【分析】（1）设出圆的方程，分别令x=0，y=0，求出D、E、F的值，从而求出圆的标准方程即可；
（2）假设存在点P（x，y）满足题意，得到关于x，y的方程组，求出P的坐标即可．
【解答】解：（1）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
令y=0
得x2+Dx+F=0，这与x2+2x﹣3=0是同一个方程，故D=2，F=﹣3，…
令x=0
得y2+Ey=F=0，此方程有一个根为﹣3，代入得E=0，…
所以圆C
的标准方程为（x+1）2+y2=4．…
（Ⅱ）假设存在点P（x，y）满足题意，
则PA2=2PB2，于是（x+2）2+y2=2（x﹣2）2+2y2，
化简得（x﹣6）2+y2=32①．…
又因为点P在⊙C上，故满足（x+1）2+y2=4②．
①②联立解得点P的坐标为（，），（，﹣）．…
所以存在点P满足题意，其坐标为（，），（，﹣）．…
　
19．定义在[a，b]上的函数f（x），若存在x0∈（a，b）使得f（x）在[a，x0]上单调递增，在[x0，b]上单调递减，则称f（x）为[a，b]上的单峰函数，x0为峰点．
（1）若f（x）=﹣x3+3x，则f（x）是否为[0，2]上的单峰函数，若是，求出峰点；若不是，说明理由；
（2）若g（x）=m 4x+2x在[﹣1，1]上不是单峰函数，求实数m的取值范围；
（3）若h（x）=|x2﹣1|+n|x﹣1|在[﹣2，2]上为单峰函数，求负数n的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明．
【分析】（1）若f（x）=﹣x3+3x，利用导数法分析f（x）在区间[0，2]上的单调性，根据单峰函数的定义，可得答案；
（2）先求出g（x）=m 4x+2x在[﹣1，1]上是单峰函数的实数m的取值范围，进而可得答案；
（3）根据单峰函数的定义，对负数n的取值进行分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案．
【解答】解：（1）若f（x）=﹣x3+3x，则f′（x）=﹣3x2+3，
令f′（x）=0，解得x=±1，
当x∈[0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，2]时，f′（x）＜0，
故f（x）在[0，1）上单调递增，在（1，2]上单调递减，…
所以f（x）是为[0，2]上单峰函数，峰点为1．…
（2）先考虑g（x）=m 4x+2x在[﹣1，1]上是单峰函数，…
令t=2x（x∈[﹣1，1]），则t∈[，2]，
问题转化为p（t）=mt2+t在[，2]是单峰函数，
所以，
解得m∈（﹣1，﹣）．…
所以实数m的范围是（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）．…
（注本题如正面分类讨论也可，酌情给分）
（3）h（x）=|x2﹣1|+n|x﹣1|=
①若≤﹣2，即n≤﹣4，则﹣≥2，
所以，h（x）在[﹣2，﹣1]上递增，在（﹣1，1）上递增，在[1，2]上递减，
即h（x）在[﹣2，1]上递增，在[1，2]上递减，
所以h（x）是单峰函数，峰点为1；
…
②若﹣2＜＜﹣1，即﹣4＜n＜﹣2，则1＜﹣＜2，
所以，h（x）在[﹣2，]递减，在（，﹣1）上递增，
在（﹣1，1）上递增，（1，﹣）上递减，在[﹣，2]上递增，
所以h（x）不为单峰函数．
…
③若﹣1≤＜0，即﹣2≤n＜0，则0＜﹣≤1，
所以，h（x）在[﹣2，﹣1]上递减，在（﹣1，﹣）上递增，
在（﹣，1）上递减，在[1，2]上递增，
所以h（x）不为单峰函数．
…
综上，n≤﹣4．
…
　
20．已知函数f（x）=x2﹣2alnx（a∈R），g（x）=2ax．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若a＞0，函数h（x）=f（x）﹣g（x）有且只有一个零点，求实数a的值；
（3）若0＜a＜1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而判断函数的极值问题；
（2）求出h（x）的导数，求出h（x）的单调区间，求出极小值，得到函数m（x）=2lnx+x﹣1，根据函数的单调性求出a的值即可；
（3）问题转化为h（x）在[1，2]递增，求出函数的导数，分离参数得到a≤在[1，2]恒成立，令t=x+1∈[2，3]，从而求出a的范围即可．
【解答】解：（1）f′（x）=，
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，f（x）无极值，
当a＞0时，x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
∴f（x）有极小值f（）=a﹣alna，
综上：a≤0时，f（x）无极值，
a＞0时，f（x）极小值=a﹣alna，无极大值；
（2）令h（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，则h′（x）=，
∵a＞0，令h′（x）=0，解得x0=，
∴h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，
∴h（x）在x0处取得极小值h（x0）=0，
∴﹣2alnx0﹣2ax0=0且2﹣2ax0﹣2a=0，
联立可得：2lnx0+x0﹣1=0，
令m（x）=2lnx+x﹣1得m′（x）=+1＞0，
故m（x）在（0，+∞）递增又m（1）=0，x0=1，
即=1，解得：a=；
（3）不妨令1≤x1＜x2≤2，
则由（1）得f（x1）＜f（x2）
∴|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）
f（x2）﹣f（x1）＞g（x2）﹣g（x1）
f（x2）﹣g（x2）＞f（x1）﹣g（x1），
则h（x）在[1，2]递增，
∴h′（x）=≥0在[1，2]恒成立，
即2x2﹣2ax﹣2a≥0在[1，2]恒成立，
∴a≤在[1，2]恒成立，
令t=x+1∈[2，3]，则=t+﹣2≥，
∴0＜a≤，
∴a的范围是（0，]．
　
2016年11月1日