人教版高中数学必修第一册第1章集合与常用逻辑用语1.5全称量词与存在量词1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
第一章　集合与常用逻辑用语
1.5　全称量词与存在量词
1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定
一、命题的否定
一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为 原命题的否定.
预习教材新知
二、含有一个量词的命题的否定
1. 全称量词命题： x∈M，p（x），它的否定： .
2. 存在量词命题： x∈M，p（x），它的否定： .
记一记：（1）存在量词命题的否定是全称量词命题，全称量词命题的否定 是存在量词命题.
（2）有些全称量词命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成 “是”或“不是”.
（3）否定命题时，要注意特殊的词，如“全”“都”等.
x∈M， ┐ p（x）
x∈M， ┐p（x）
A. α≤45°， sin α＞ cos α B. α≤45°， sin α≤ cos α
C. α＞45°， sin α＞ cos α D. α＞45°， sin α≤ cos α
解析：命题p： α＞45°， sin α＞ cos α是全称量词命题，故其否定为： α ＞45°， sin α≤ cos α.
D
A. x≥0，x2＋2x－m≤0 B. x≥0，x2＋2x－m≤0
C. x＜0，x2＋2x－m≤0 D. x＜0，x2＋2x－m≤0
解析：由题意知，命题“ x＜0，x2＋2x－m＞0”的否定是“ x＜0，x2 ＋2x－m≤0”.
C
3. 已知a，b，c，d是实数，命题“若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d” 的否定为 .
解析：由题可知，该命题的否定为“若a＝b，c＝d，则a＋c≠b＋d.”
解析：由题意得命题“在△ABC中，若A＞B，则a＞b”的否定形式是 “在△ABC中，若A＞B，则a≤b”.
若a＝b，c＝d，则a＋c≠b＋d　
在△ABC中，
若A＞B，则a≤b　
　命题的否定
课堂互动探究
A. 任意一个无理数，它的平方不是有理数
B. 存在一个无理数，它的平方不是有理数
C. 任意一个无理数，它的平方是有理数
D. 存在一个无理数，它的平方是无理数
解析：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以綈p为：任意一个无 理数，它的平方不是有理数.
A
A. 若x2－2x－3≠0，则x≠3或x≠－1
B. 若x2－2x－3≠0，则x≠3且x≠－1
C. 若x2－2x－3＝0，则x≠3或x≠－1
D. 若x2－2x－3＝0，则x≠3且x≠－1
解析：因为结论为“x＝3或x＝－1”，其否定为“x≠3且x≠－1”，所以 原命题的否定是“若x2－2x－3＝0，则x≠3且x≠－1”.
D
A. x R，x2≠x B. x∈R，x2＝x
C. x R，x2≠x D. x∈R，x2＝x
解析：原命题的否定为 x∈R，x2＝x.
D
关键词的否定
p是对命题p的全盘否定，其命题的真假与原命题相反，对一些词语的正确 否定是写 p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多有两个”的反面是 “至少有三个”等.
　全称量词命题与存在量词命题的否定
A. x＞0，x2－2ax－3＜0 B. x＞0，x2－2ax－3≤0
C. x≤0，x2－2ax－3≤0 D. x＞0，x2－2ax－3＜0
解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，改变量词，否定结论，得命题 的否定： x＞0，x2－2ax－3≤0.
B
A. x∈R，1＜f（x）≤2
B. x0 R，1＜f（x0）≤2
C. x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2
D. x0∈R，f（x0）≤1或f（x0）＞2
解析：由于存在量词命题的否定是全称量词命题，故命题“ x0∈R，1＜f（x0）≤2”的否定是“ x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2”.
C
A. 每一个圆的内接四边形是矩形
B. 有的圆的内接四边形不是矩形
C. 所有圆的内接四边形不是矩形
D. 存在一个圆的内接四边形是矩形
解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，需要将全称量词换为存在量 词，选项AC不符合题意，同时对结论进行否定，所以只有B符合要求.
B
求全称（存在）量词命题的否定的思路
（1）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称 量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称 量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论.
（2）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的 完整形式，再依据规则来写出命题的否定.
　利用全称量词命题与存在量词命题的否定求参
【典例】（一题多法）已知命题p：“ x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命 题，求实数m的取值范围.
解：法一　p： x∈R，x2－2x＋m＞0是真命题，即m＞－x2＋2x＝－ （x－1）2＋1，x∈R恒成立，设函数y＝－（x－1）2＋1，由二次函数的性 质知，当x＝1时，ymax＝1，
∴m＞ymax＝1，即实数m的取值范围是{m｜m＞1}.
法二　p： x∈R，x2－2x＋m＞0，是真命题，设函数y＝x2－2x＋m， 由二次函数的图象和性质知，只需方程x2－2x＋m＝0的根的判别式Δ＜0， 即4－4m＜0，得m＞1，即实数m的取值范围是{m｜m＞1}.
若命题“ x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是假命题，则实数a的取值范围 是 .
{a｜－2＜a＜1}　
解析：因为命题“ x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是假命题，所以 x∈R， x2＋2ax＋2－a≠0恒成立，
需Δ＝4a2－4（2－a）＝4a2＋4a－8＜0，
∴a2＋a－2＜0，
∴－2＜a＜1.
母题探究：若命题“ x∈R，使得x2－2x＋m＝0”为真命题，则实数m的 取值范围是 .
{m｜m≤1}　
解析： x∈R，使得x2－2x＋m＝0，即关于x的方程x2－2x＋m＝0有实 根，
∴Δ＝4－4m≥0，解得m≤1.
1. 已知全称量词命题的真假求参的问题，常以一次函数、二次函数等为载体 进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语.解决此类问题时，可构 造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围.
2. 已知存在量词命题的真假求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对 于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围， 若能求出参数范围，则假设成立；反之，假设不成立.解决此类问题时，应 尽量分离参数.
总结：解决已知全称（存在）量词命题的真假求参数问题的思路
1. 知识链：（1）全称量词命题、存在量词命题的否定；（2）命题真假的判 断；（3）全称量词命题与存在量词命题的应用.
2. 方法链：转化法.
3. 警示牌：命题与其否定的真假性相反.
参考答案
预习教材新知
二、含有一个量词的命题的否定
1. x∈M， ┐ p（x）
2. x∈M， ┐ p（x）
基础试练
1. D　解析：命题p： α＞45°， sin α＞ cos α是全称量词命题，故其否定 为： α＞45°， sin α≤ cos α.
2. C　解析：由题意知，命题“ x＜0，x2＋2x－m＞0”的否定是“ x＜0， x2＋2x－m≤0”.
4. 在△ABC中，若A＞B，则a≤b
解析：由题意得命题“在△ABC中，若A＞B，则a＞b”的否定形式是“在 △ABC中，若A＞B，则a≤b”.
课堂互动探究
3. 若a＝b，c＝d，则a＋c≠b＋d
解析：由题可知，该命题的否定为“若a＝b，c＝d，则a＋c≠b＋d.”
题型一　命题的否定
练一练
1. A　解析：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以綈p为：任意一 个无理数，它的平方不是有理数.
2. D　解析：因为结论为“x＝3或x＝－1”，其否定为“x≠3且x≠－1”，所以 原命题的否定是“若x2－2x－3＝0，则x≠3且x≠－1”.
3. D　解析：原命题的否定为 x∈R，x2＝x.
题型二　全称量词命题与存在量词命题的否定
练一练
4. B　解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，改变量词，否定结论， 得命题的否定： x＞0，x2－2ax－3≤0.
5. C　解析：由于存在量词命题的否定是全称量词命题，故命题“ x0∈R，1 ＜f（x0）≤2”的否定是“ x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2”.
6. B　解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，需要将全称量词换为存 在量词，选项AC不符合题意，同时对结论进行否定，所以只有B符合要求.
题型三　利用全称量词命题与存在量词命题的否定求参
【典例】解：法一　 ┐p： x∈R，x2－2x＋m＞0是真命题，即m＞－x2＋ 2x＝－（x－1）2＋1，x∈R恒成立，设函数y＝－（x－1）2＋1，由二次 函数的性质知，当x＝1时，ymax＝1，∴m＞ymax＝1，即实数m的取值范围 是{m｜m＞1}.
法二　 ┐ p： x∈R，x2－2x＋m＞0，是真命题，设函数y＝x2－2x＋m， 由二次函数的图象和性质知，只需方程x2－2x＋m＝0的根的判别式Δ＜0， 即4－4m＜0，得m＞1，即实数m的取值范围是{m｜m＞1}.
母题探究：{m｜m≤1}　解析： x∈R，使得x2－2x＋m＝0，即关于x的 方程x2－2x＋m＝0有实根，∴Δ＝4－4m≥0，解得m≤1.
练一练
{a｜－2＜a＜1}　解析：因为命题“ x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是假命 题，所以 x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0恒成立，
需Δ＝4a2－4（2－a）＝4a2＋4a－8＜0，
∴a2＋a－2＜0，∴－2＜a＜1.