人教版高中数学必修第一册第1章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件1.4.2充要条件课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
第一章　集合与常用逻辑用语
1.4　充分条件与必要条件
1.4.2　充要条件
　　如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 p q，又有q p，就记作p q.
记一记：（1）p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立， 则q一定不成立”.
（2）要判断p是不是q的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出 q，二是看q能否推出p.若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要 条件，否则，就不能说p是q的充要条件.
预习教材新知
　
充分
必要　
充要　
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：两个三角形相似 两个三角形的三边成比例，即p q，故p是q的充 要条件.
C
课堂互动探究
　充要条件的判断
A. A∩B＝A B. （ UA）∩B＝
C. （ UA） （ UB） D. A∪ UB＝U
解析：由Venn图可知，B，C，D都是B A的充要条件.
BCD
A. p：xy＞0，q：x＞0，y＞0
B. p：A∪B＝A，q：B A
C. p：三角形是等腰三角形，q：三角形存在两角相等
D. p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分
BC
解析：对于A，由xy＞0，得x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，故p不是q的充要 条件，故A错误；对于B，由A∪B＝A，则B A，若B A，则A∪B＝ A，故p是q的充要条件，故B正确；对于C，三角形是等腰三角形 三角形 存在两角相等，故p是q的充要条件，故C正确；对于D，四边形的对角线互 相垂直且平分 四边形为菱形，故p不是q的充要条件，故D错误.
3. 下列结论，可作为“两条直线平行”的充要条件的是 .
①同位角相等； ②内错角相等；
③同旁内角互补； ④同旁内角相等.
解析：由①②③均可推出“两条直线平行”的结论，由“两条直线平行”也 可以推出①②③均成立；由④不能推出“两条直线平行”的结论.所以可作 为“两条直线平行”的充要条件的是①②③.
①②③　
充要条件判断的两种方法
（1）要判断一个条件p是不是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方 向进行，即判断两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.
（2）在判断的过程中也可以转化为集合的思想来判断，判断p与q的解集是 相同的，判断前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪 些结论.
　充要条件的证明
1. 证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是 ac＜0.
总结：充要条件的证明思路
（1）在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两 个方面来证明.在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么 “充分性”是q p，“必要性”是p q；若证明“p是q的充要条件”， 则与之相反.
（2）证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题 都成立.若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加 以证明.
注意：证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向.
【例2】（2024·海南期中）已知命题p：A＝{x｜2a－1＜x＜3a＋1}，命 题q：B＝{x｜－1＜x＜4}.是否存在实数a，使得p是q的充要条件？若存 在，求a的值；若不存在，请说明理由.
　充要条件的探求与应用
A. m＝－2 B. m＝1 C. m＝－1 D. m＝0
A
总结： 探求一个命题成立的充要条件的两种方法
（1）等价转化法：将原命题进行等价变形或转化，直至获得使原命题成立 的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是 等价的，所以此时不需要再分开证明充分性和必要性.
（2）非等价转化法：先探求出该命题成立的必要条件，然后务必证明该条 件也是该命题成立的充分条件，方可得出该命题成立的充要条件.
1. 知识链：（1）充要条件的概念；（2）充要条件的证明；（3）充分不必 要、必要不充分、充要条件的应用.
2. 方法链：等价转化.
3. 警示牌：证明充要条件时，条件和结论辨别不清.
参考答案
预习教材新知
　充分必要　充要
基础试练
C　解析：两个三角形相似 两个三角形的三边成比例，即p q，故p是q 的充要条件.
课堂互动探究
题型一　充要条件的判断
练一练
1. BCD　解析：由Venn图可知，B，C，D都是B A的充要条件.
2. BC　解析：对于A，由xy＞0，得x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，故p不是q 的充要条件，故A错误；对于B，由A∪B＝A，则B A，若B A，则 A∪B＝A，故p是q的充要条件，故B正确；对于C，三角形是等腰三角形 三角形存在两角相等，故p是q的充要条件，故C正确；对于D，四边形的 对角线互相垂直且平分 四边形为菱形，故p不是q的充要条件，故D错误.
3. ①②③　解析：由①②③均可推出“两条直线平行”的结论，由“两条直线平 行”也可以推出①②③均成立；由④不能推出“两条直线平行”的结论.所以可 作为“两条直线平行”的充要条件的是①②③.
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根.
设方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1，x2，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根.
必要性：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根，
故一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac＜0.