上海市理工附中等七校2016届高三（下）3月联考数学试卷（文科）（解析版）

2015-2016学年上海市理工附中等七校高三（下）3月联考数学试卷（文科）
　
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.
1．方程4x=2x+1﹣1的解是　　．
2．行列式中元素3的代数余子式的值为　　．
3．在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是　　．（用数字作答）
4．若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=　　．
5．若，则它的反函数是f﹣1（x）=　　．
6．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与双曲线的焦点重合，则p的值为　　．
7．已知数列，则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=　　．
8．已知函数f（x）=则使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为　　．
9．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=　　．
10．若等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足﹣1，则（a1+a3+…+a2n﹣1）=　　．
11．若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为　　．
12．从边长为1的正方体12条棱中任取两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是　　．（用数值表示结果）
13．在北纬60°圈上有A，B两地，它们在此纬度圈上的弧长等于（R是地球的半径），则A，B两地的球面距离为　　．
14．设数列{an}是首项为0的递增数列，函数fn（x）=|sin（x﹣an）|，x∈[an，an﹣1]满足：对于任意的实数m∈[0，1），fn（x）=m总有两个不同的根，则{an}的通项公式是an=　　．
　
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.
15．若f（x）和g（x）都是定义在R上的函数，则“f（x）与g（x）同是奇函数”是“f（x） g（x）是偶函数”的（　　）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
16．若a和b均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．
17．数列{an}满足，，则的整数部分是（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
18．在直角坐标系中，如果不同的两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）都在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作同一组），函数g（x）=，关于原点的中心对称点的组数为（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
　
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
19．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．
（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
20．设在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F依次为C1C，BC的中点．
（1）求异面直线A1B、EF所成角θ的大小（用反三角函数值表示）；
（2）求点B1到平面AEF的距离．
21．已知函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（x＞0），a∈R．
（1）若，求y=f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件．
22．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．
23．设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N
，点都在函数的图象上．
（Ⅰ）求a1，a2，a3及数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）将数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，求b5+b100的值；
（Ⅲ）令（n∈N
），求证：2≤g（n）＜3．
　
2015-2016学年上海市理工附中等七校高三（下）3月联考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.
1．方程4x=2x+1﹣1的解是　x=0　．
【考点】有理数指数幂的化简求值．
【分析】由已知得（2x）2﹣2×2x+1=0，由此能求出原方程的解．
【解答】解：∵4x=2x+1﹣1，
∴（2x）2﹣2×2x+1=0，
解得2x=1，∴x=0．
故答案为：x=0．
　
2．行列式中元素3的代数余子式的值为　5　．
【考点】三阶矩阵．
【分析】根据行列式的展开A21=﹣=﹣[4×（﹣2）﹣（﹣3）×1]=5．
【解答】解：行列式中元素3的代数余子式的A21=﹣=﹣[4×（﹣2）﹣（﹣3）×1]=5，
故答案为：5．
　
3．在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是　15　．（用数字作答）
【考点】二项式系数的性质．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2，即可求解含x3的项的系数
【解答】解：（1+）6展开式的通项为Tr+1=C6r（）r=C6r，
令r=4得含x2的项的系数是C64=15，
∴在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是：15．
故答案为：15
　
4．若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=　　．
【考点】一元二次不等式的应用．
【分析】由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（
m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根．根据韦达定理便可分别求出m和a的值．
【解答】解：由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（
m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根由韦达定理得：
，解得：m=，a=1．
　
5．若，则它的反函数是f﹣1（x）=　　．
【考点】反函数．
【分析】由已知函数解析式求解x，然后把x，y互换得答案．
【解答】解：由y=，得x2+2=2y，
∴x2=2y﹣2，
∵x≥0，∴x=，y≥1，
把x，y互换得：y=（x≥1）．
∴原函数的反函数是f﹣1（x）=（x≥1）．
故答案为：（x≥1）．
　
6．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与双曲线的焦点重合，则p的值为　4　．
【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．
【分析】求得双曲线的a，b，可得c=2，即有上焦点，求出抛物线的焦点，解p的方程即可得到所求值．
【解答】解：双曲线的a=，b=1，
可得c==2，
即有上焦点为（0，2），
抛物线x2=2py的焦点为（0，），
由题意可得=2，
解得p=4．
故答案为：4．
　
7．已知数列，则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=　5000　．
【考点】数列的求和．
【分析】由已知条件可得数列的奇数项是以0为首项，以2为公差的等差数列、偶数项以2为首项，2为公差的等差数列，分别代入等差数列的前n项和公式计算．
【解答】解：a1+a2+a3+a4+…+a99+a100
=（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a100）
=（0+2+4+…+98）+（2+4+…+100）
=49×50+51×50=5000
故答案为5000．
　
8．已知函数f（x）=则使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为　{x|0≤x≤1，或x=2}　．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】结合函数的图象可得，若f[f（x）]=2，则f（x）=2
或
0≤f（x）≤1．若f（x）=2，由函数f（x）的图象求得x得范围；若
0≤f（x）≤1，则由f（x）的图象可得x的范围，再把这2个x的范围取并集，即得所求．
【解答】解：画出函数f（x）=
的图象，
如图所示：故函数的值域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．
由f[f（x）]=2
可得
f（x）=2
或
0≤f（x）≤1．
若f（x）=2，由函数f（x）的图象可得
0≤x≤1，或
x=2．
若
0≤f（x）≤1，则由f（x）的图象可得x∈ ．
综上可得，使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为{x|0≤x≤1，或x=2}，
故答案为
{x|0≤x≤1，或x=2}．
　
9．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=　4　．
【考点】程序框图．
【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．
【解答】解：根据流程图所示的顺序，
该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．
当n=2时，
当n=3时，，
此时n+1=4．
故答案为：4
　
10．若等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足﹣1，则（a1+a3+…+a2n﹣1）=　﹣　．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】根据等比数列{an}的前n项和﹣1推知a1和q，然后根据求和公式进行计算并求极限．
【解答】解：∵a1=﹣1=﹣，a2=S2﹣a1=﹣1﹣（﹣）=﹣，
∴q==，
∴a1+a2+a3+…+a2n﹣1===﹣×[1﹣（）n]，
∴（a1+a3+…+a2n﹣1）=﹣．
故答案是：﹣．
　
11．若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为　　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】求出外接圆圆心，建立平面直角坐标系，将表示成θ的三角函数，求出最大值
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴三角形的外接圆半径为2，
以外接圆圆心O为原点建立平面直角坐标系，设A（2，0），B（﹣，3）．
设M（2cosθ，2sinθ），
∴=（﹣3，3），=（2cosθ，2sinθ），
∴=﹣18cosθ+6sinθ=12sin（θ﹣），
∵﹣1≤sin（θ﹣）≤1，
∴﹣12≤12sin（θ﹣）≤12，
故的最大值为12，
故答案为：12
　
12．从边长为1的正方体12条棱中任取两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是　　．（用数值表示结果）
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】12条棱中任选一条，剩下11条，在这11条中，有3条与这条平行，有4条与这条垂直，只有4条与选中的这条异面．由此能求出这两条棱所在直线为异面直线的概率．
【解答】解：12条棱中任选一条，剩下11条，
在这11条中，有3条与这条平行，有4条与这条垂直，
只有4条与选中的这条异面．
∴从边长为1的正方体12条棱中任取两条，
则这两条棱所在直线为异面直线的概率是．
故答案为：．
　
13．在北纬60°圈上有A，B两地，它们在此纬度圈上的弧长等于（R是地球的半径），则A，B两地的球面距离为　　．
【考点】弧长公式．
【分析】先求北纬60°圈的纬圆半径，再求A、B距离，然后求出球心角，可求A，B两地的球面距离．
【解答】解：北纬60°圈的纬圆半径：，A，B两地，它们在此纬度圈上的弧长等于，
所以纬圆圆心角是π，|AB|=R，所以球心角为．
则A，B两地的球面距离为：．
故答案为：．
　
14．设数列{an}是首项为0的递增数列，函数fn（x）=|sin（x﹣an）|，x∈[an，an﹣1]满足：对于任意的实数m∈[0，1），fn（x）=m总有两个不同的根，则{an}的通项公式是an=　　．
【考点】数列递推式．
【分析】利用三角函数的图象与性质、诱导公式、数列的递推关系可得an+1﹣an=nπ，再利用“累加求和”方法、等差数列的求和公式即可得出．
【解答】解：∵a1=0，当n=1时，f1（x）=|sin（x﹣a1）|=|sinx|，x∈[0，a2]，
又∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a2=π，
∴f1（x）=sinx，x∈[0，π]，a2=π，
又f2（x）=|sin（x﹣a2）|=|sin（x﹣π）|=|cos|，x∈[π，a3]，
∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a3=3π，
又f3（x）=|sin（x﹣a3）|=|sin（x﹣3π）|=|sinπ|，x∈[3π，a4]，
∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a4=6π，
由此可得an+1﹣an=nπ，
∴an=a1+（a2﹣a1）+…+（an﹣an﹣1）=0+π+…+（n﹣1）π=π，an=π．
故答案为：π．
　
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.
15．若f（x）和g（x）都是定义在R上的函数，则“f（x）与g（x）同是奇函数”是“f（x） g（x）是偶函数”的（　　）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】利用偶函数的判定方法、简易逻辑的判定方法即可得出．
【解答】解：由“f（x）与g（x）同是奇函数”可得：“f（x） g（x）是偶函数”；反之不成立，例如可能f（x）与g（x）同是偶函数．
因此“f（x）与g（x）同是奇函数”是“f（x） g（x）是偶函数”的充分不必要条件．
故选：A．
　
16．若a和b均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】基本不等式．
【分析】当a=1，b=﹣1时，选项A、B、C中的不等式都不成立，只有D成立，从而得出结论．
【解答】解：当a=1，b=﹣1时，选项A、B、C中的不等式都不成立，只有D成立，
故选：D．
　
17．数列{an}满足，，则的整数部分是（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
【考点】数列的求和．
【分析】由题意可知，an+1﹣1=an（an﹣1）从而得到，通过累加得：m=+…+=﹣=2﹣，an+1﹣an=≥0，an+1≥an，可得：a2017≥a2016≥a3≥2，，1＜m＜2，故可求得m的整数部分．
【解答】解：由题意可知，an+1﹣1=an（an﹣1），
，
∴m=+…+=﹣═2﹣，
an+1﹣an=≥0，an+1≥an，
∴a2017≥a2016≥a3≥2，
，
1＜m＜2，故可求得m的整数部分1．
故答案选：B．
　
18．在直角坐标系中，如果不同的两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）都在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作同一组），函数g（x）=，关于原点的中心对称点的组数为（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
【考点】分段函数的应用．
【分析】利用定义，只要求出g（x）=sin，x≤0，关于原点对称的函数h（x）=sin，x＞0，观察h（x）与g（x）=log2（x+1），x＞0的交点个数，即为中心对称点的组数．
【解答】解：由题意可知g（x）=sin，x≤0，则函数g（x）=sin，x≤0，
关于原点对称的函数为h（x）=sin，x＞0，
则坐标系中分别作出函数h（x）=sin，x＞0，g（x）=log2（x+1），x＞0的图象如图，
由图象可知，两个图象的交点个数有1个，
所以函数g（x）=关于原点的中心对称点的组数为1组．
故选：B
　
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
19．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．
（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．
【分析】（1）利用同角三角函数关系求得cosα的值，分别代入函数解析式即可求得f（α）的值．
（2）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间．
【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，
∴cosα=，
∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣，
=×（+）﹣
=．
（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．
=sinxcosx+cos2x﹣
=sin2x+cos2x
=sin（2x+），
∴T==π，
由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
　
20．设在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F依次为C1C，BC的中点．
（1）求异面直线A1B、EF所成角θ的大小（用反三角函数值表示）；
（2）求点B1到平面AEF的距离．
【考点】异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．
【分析】（1）连接C1B，因为C1B∥EF，异面直线A1B、EF所成角与C1B、A1B所成角相等．
（2）利用平面AEF的一个法向量，建立空间坐标系，求出求点B1到平面AEF的距离．
【解答】解：以A为原点建立如图空间坐标系，
则各点坐标为A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0）
（1），，
∴
（2）设平面AEF的一个法向量为，
∵，
由得令a=1可得
∵，∴
∴点B1到平面AEF的距离为．
　
21．已知函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（x＞0），a∈R．
（1）若，求y=f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件．
【考点】函数的单调性及单调区间；根的存在性及根的个数判断．
【分析】（1）将a=代入，结合正比例函数和反比例函数的图象和性质，可得函数的单调区间；
（2）利用导数法，分类讨论，不同情况下y=f（x）的单调性，进而求出满足条件的实数a，t的范围．
【解答】解：（1），
（0，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，最大值为f（1）=1．
（2）当a≤1时，f（x）在（0，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，不符合题意．
当a＞1时，f（x）在单调递减，单调递增；
在单调递减，单调递增；
，
所以实数a，t应满足的条件为，．
　
22．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意可得a=2b，b=1，解得a=2，进而得到椭圆方程；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l的方程和椭圆方程，运用韦达定理，可得Q的坐标，由点B在以PQ为直径圆内，得∠PBQ为钝角或平角，即有，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：（1）由题意知，a=2b，b=1，解得a=2，
可得椭圆的标准方程为：；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）
联立，消去y，得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0，（
）
依题意：直线l：y=k（x+2）恒过点（﹣2，0），
此点为椭圆的左顶点，所以x1=﹣2，y1=0
①，
由（
）式，
②，
得y1+y2=k（x1+x2）+4k③，
由①②③，可得，
由点B在以PQ为直径圆内，得∠PBQ为钝角或平角，
即．
．即，
整理得20k2﹣4k﹣3＜0，解得．
　
23．设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N
，点都在函数的图象上．
（Ⅰ）求a1，a2，a3及数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）将数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，求b5+b100的值；
（Ⅲ）令（n∈N
），求证：2≤g（n）＜3．
【考点】数列与函数的综合；数列递推式；数学归纳法．
【分析】（I）由题意因为点在函数的图象上，所以可以求出，由此猜想：an=2n，利用数学归纳法即可求证；
（II）因为an=2n（n∈N
），所以数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20，同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20，利用等差数列的通项公式即可；
（III）由（I）中知an=2n，∴，当n=1时，f（1）=2∈[2，3）；n≥2时，，利用二项式定理进行适当放缩即可得证．
【解答】解：（I）因为点在函数的图象上，
故，所以．令n=1，得，所以a1=2；
令n=2，得，a2=4；令n=3，得，a3=6．
由此猜想：an=2n．
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，有上面的求解知，猜想成立．
②假设n=k（k≥1，k∈N
）时猜想成立，即ak=2k成立，
则当n=k+1时，注意到（n∈N
），
故，．
两式相减，得，所以ak+1=4k+2﹣ak．
由归纳假设得，ak=2k，故ak+1=4k+2﹣ak=4k+2﹣2k=2（k+1）．
这说明n=k+1时，猜想也成立．
由①②知，对一切n∈N
，an=2n成立．
（II）因为an=2n（n∈N
），所以数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），．
每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．
同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．
故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．
注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，
所以b100=68+24×80=1988．又b5=22，所以b5+b100=2010；
（III）有（I）中知an=2n，∴，
当n=1时，f（1）=2∈[2，3）；
当n≥2时，
显然
而（k≥2）．
　
2016年11月1日