课时训练1 正弦定理
1.在△ABC中,a∶b∶c=2∶5∶6,则sin
A∶sin
B∶sin
C等于( )
A.2∶5∶6
B.6∶5∶2
C.6∶2∶5
D.不确定
答案:A
解析:由正弦定理,知sin
A∶sin
B∶sin
C=a∶b∶c=2∶5∶6.
2.在△ABC中,已知=2,则其外接圆的直径为( )
A.1
B.2
C.0
D.4
答案:B
解析:根据正弦定理,得=2R(其中R为外接圆的半径),故由已知得2R=2.
3.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin
Asin
B+bcos2A=a,则等于( )
A.2
B.2
C.
D.
答案:D
解析:由正弦定理,得sin2Asin
B+sin
Bcos2A=sin
A,即sin
B(sin2A+cos2A)=sin
A.
所以sin
B=sin
A,故.
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,a=,b=1,则c= .
答案:2
解析:由正弦定理得sin
B=·sin
A=,
又∵b=1
而0由勾股定理得c==2.
5.在△ABC中,A=60°,B=45°,a=,则△ABC的面积等于 .
答案:
解析:∵,
∴b=.
∵C=180°-A-B=75°,
∴S△ABC=absin
C
=sin(30°+45°)=.
6.(2016课标全国高考甲卷)△ABC
( http: / / www.21cnjy.com )的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos
A=,cos
C=,a=1,则b= .(导学号51830079)
答案:
解析:因为cos
A=,cos
C=,且A,C为△ABC的内角,所以sin
A=,sin
C=,
sin
B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)
=sin
Acos
C+cos
Asin
C=.
又因为,
所以b=.
7.在△ABC中,a=3,c=3,A=30°,求B,C及b.
解:已知在△ABC中,a=3,c=3,A=30°,由正弦定理,得,
∴sin
C=.
∵c>a,∴C>A,且0°若C=60°,则B=90°,即△ABC为直角三角形,
∴b==6.
若C=120°,则B=30°,即△ABC为等腰三角形,
∴b=a=3.
8.某海轮以30海里/时的速度航行,在A点
( http: / / www.21cnjy.com )测得海面上油井P在南偏东60°,向北航行40分钟后到达B点,测得油井P在南偏东30°,海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点.求P,C间的距离.
解:如右图,在△ABP中,
AB=30×=20(海里),∠APB=30°,∠BAP=120°.
由正弦定理,得
,
即,
解得:BP=20(海里).
在△BPC中,BC=30×=40(海里).
由已知得∠PBC=90°,
∴PC=
=20(海里).
即P、C间的距离为20海里.
9.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且b=acos
C,且△ABC的最大边长为12,最小角的正弦值为.
(1)判断三角形的形状;
(2)求△ABC的面积.
解:(1)因为b=acos
C,所以由正弦定理得sin
B=sin
Acos
C,从而sin(A+C)=sin
Acos
C,
所以sin
Acos
C+cos
Asin
C=sin
Acos
C,
所以cos
Asin
C=0.
由于sin
C≠0,所以cos
A=0,
所以A=,所以△ABC为直角三角形.
(2)因为斜边a=12,不妨设C最小,
则=12,且sin
C=,
所以c=4,从而b==8,
所以S△ABC=bc=16.
10.已知△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos
C+c=b.
(1)求角A的大小;
(2)若a=1,b=,求c的值.
解:(1)由acos
C+c=b和正弦定理,得sin
Acos
C+sin
C=sin
B.
∵sin
B=sin(A+C)=sin
Acos
C+cos
Asin
C,
∴sin
C=cos
Asin
C.
∵sin
C≠0,∴cos
A=.
∵0(2)由正弦定理,得sin
B=.∴B=.
①当B=时,由A=,得C=,∴c=2.
②当B=时,由A=,得C=,∴c=a=1.
综上可得c=1或2.
11.在△ABC中,已知,且2sin
Asin
B=2sin2C.
(1)试判断△ABC的形状;
(2)求的取值范围.(导学号51830080)
解:(1)由已知及正弦定理,得,∴b2-a2=ab.①
又2sin
Asin
B=2sin2C,由正弦定理,得2ab=2c2.②
由①②得b2=a2+c2.
∴△ABC是以B为直角顶点的直角三角形.
(2)由正弦定理,得=sin
A+sin
C=sin
A+cos
A=sin.
∵0∴1.(2016课标全国高考乙卷)△
( http: / / www.21cnjy.com )ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos
A=,则b=( )(导学号51830081)
A.
B.
C.2
D.3
答案:D
解析:由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos
A,
即5=b2+4-4b×,即3b2-8b-3=0,
又b>0,解得:b=3,故选D.
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若<0,则△ABC( )
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.是锐角或直角三角形
D.一定是钝角三角形
答案:D
解析:cos
C=<0,则3.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为( )
A.8-4
B.1
C.
D.
答案:C
解析:∵C=60°,∴c2=a2+b2-2abcos
60°,
即c2=a2+b2-ab.①
又∵(a+b)2-c2=4,∴c2=a2+b2+2ab-4.②
由①②知-ab=2ab-4,∴ab=.
4.在△ABC中,若sin
A∶sin
B∶sin
C=7∶8∶13,则角C= .
答案:120°
解析:∵a∶b∶c=sin
A∶sin
B∶sin
C=7∶8∶13,
∴可以令a=7k,b=8k,c=13k,
∴cos
C==-,∴C=120°.
5.已知△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则的值为 .
答案:-19
解析:由余弦定理,得cos
B=
=.
∴=||·||·cos(π-B)
=-7×5×=-19.
6.在△ABC中,cos2,c=5,则△ABC的内切圆半径为 .(导学号51830082)
答案:1
解析:cos2,
∴cos
A=.
由余弦定理得cos
A=,
整理得a2+b2=c2.
∴△ABC为直角三角形,即C=90°.
∵c=5,,∴b=4,a=3.
∴用等面积法易求得△ABC的内切圆半径为1.
7.在△ABC中,acos
A+bcos
B=ccos
C,试判断△ABC的形状.
解:由余弦定理cos
A=,cos
B=,cos
C=,
代入已知条件得
a·+b·-c·=0,去分母,得
a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)+c2(c2-a2-b2)=0,展开整理,得
a4+b4-2a2b2=c4,即(a2-b2)2=c4,
∴a2-b2=±c2,即a2=b2+c2或b2=a2+c2.
根据勾股定理逆定理知△ABC是直角三角形.
8.在△ABC中,三边的长为连续自然数,且最大角是钝角,求这个三角形三边的长.
解:设△ABC三边长分别为x-1,x,x+1.
则最大角的余弦值为
cos
α=
=,
∵最大角为钝角,∴cos
α=<0.
∴即1当x=2时,三边长分别为1,2,3,不能构成三角形,故应舍去;
当x=3时,三边长分别为2,3,4,满足条件.
∴△ABC的三边长分别为2,3,4.
9.在△ABC中,A=60°,B>C,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且b,c是方程x2-2x+m=0的两个实数根,△ABC的面积为.
(1)求m的值;
(2)求△ABC的边长.
解:(1)S△ABC=bcsin
A=bcsin
60°=bc.
∵S△ABC=,b,c是方程x2-2x+m=0的两根,
∴bc=m,b+c=2.∴m=,∴m=2.
(2)∵B>C,∴b>c,由
得b=+1,c=-1.
∴a=
=
=.
∴a=,b=+1,c=-1.
10.在△ABC中,C=2A,a+c=10,cos
A=,求b.
解:由正弦定理,得=2cos
A,
∴.又∵a+c=10,∴a=4,c=6.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos
A,得,
解得:b=4或b=5.
当b=4时,∵a=4,∴A=B.
又C=2A,且A+B+C=π,
∴A=,与已知cos
A=矛盾,不合题意,舍去.
当b=5时,满足题意,故b=5.
11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2b·cos
A=c·cos
A+a·cos
C.
(1)求角A的大小;
(2)若a=,b+c=4,求bc的值.(导学号51830083)
解:(1)根据正弦定理,得2b·c
( http: / / www.21cnjy.com )os
A=c·cos
A+a·cos
C可化为2cos
Asin
B=sin
Ccos
A+sin
Acos
C=sin(A+C)=sin
B.
∵sin
B≠0,∴cos
A=.
∵0°(2)由余弦定理,得7=a2=b2+c2-2bc·cos
60°=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,把b+c=4代入上式得bc=3.课时训练4 高度与角度问题
1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B在观察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10°
B.北偏西10°
C.南偏东10°
D.南偏西10°
答案:B
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解析:如图,由题意知AC=BC,∠ACB=80°,
∴∠CBA=50°,α+∠CBA=60°.
∴α=10°,即灯塔A在灯塔B的北偏西10°.
2.如图,为测一棵树的高度,在地面上
( http: / / www.21cnjy.com )选取A,B两点(点A,B与树根部在同一直线上),从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60
m,则树的高度为( )
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A.(30+30)m
B.(30+15)m
C.(15+30)m
D.(15+3)m
答案:A
解析:设树高为h
m,由题意得h-h=60,则h==30(+1)=30+30.
3.
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如图,地平面上有一根旗杆OP,为了测得
( http: / / www.21cnjy.com )它的高度h,在地面上取一基线AB,AB=20
m,在A处测得点P的仰角∠OAP=30°,在B处测得点P的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,则旗杆的高度为( )
A.20()
m
B.
m
C.
m
D.10()
m
答案:C
解析:由已知得AO=h,BO=h,则在△ABO中,由余弦定理,得AB2=AO2+BO2-2AO·BO·cos
60°,
∴400=3h2+h2-h2,∴h2=,
∴h=(m).
4.平面内三个力F1,F2,
( http: / / www.21cnjy.com )F3作用于同一个点且处于平衡状态,已知F1,F2的大小分别为1
N、
N,F1与F2的夹角为45°,则F3与F1的夹角是 .
答案:150°
解析:如图,设三力作用于点O,F1与F2的合力为F,由共点力平衡,得|F|=|F3|,令=F1,=F2,=F,=F3.
∵∠AOB=45°,∴∠CAO=135°.
在△OCA中,由余弦定理,得
OC2=OA2+AC2-2OA·AC·cos
135°=4+2,
∴OC=+1,即|F3|=+1.
又由正弦定理,得sin∠AOC=,
∴∠AOC=30°.∴∠AOD=150°.
∴F3与F1的夹角为150°.
5.如图所示,在地面上共线
( http: / / www.21cnjy.com )的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60
m,则建筑物的高度为 m.
( http: / / www.21cnjy.com )
答案:30
解析:设建筑物的高度为h,由题图知,PA=2h,PB=h,PC=h,
∴在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理,得cos∠PBA=,①
cos∠PBC=.②
∵∠PBA+∠PBC=180°,
∴cos∠PBA+cos∠PBC=0.③
由①②③,解得:h=30(m)或h=-30(m)(舍去),即建筑物的高度为30
m.
6.如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与
( http: / / www.21cnjy.com )塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,则塔高AB= .
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答案:
解析:在△BCD中,,
∴BC=.
在△ABC中,=tan
θ
AB=BC·tan
θ=.
( http: / / www.21cnjy.com )
7.如图所示,在地面上有一旗杆OP,为测得它
( http: / / www.21cnjy.com )的高度h,在地面上取一基线AB,AB=20
m,在A处测得P点的仰角∠OAP=30°,在B处测得P点的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,求旗杆的高度h.(精确到0.1
m)
解:在Rt△PAO中,AO=h.
在Rt△PBO中,BO==h.
又在△ABO中,由余弦定理,得
202=(h)2+h2-2h·hcos
60°,
解得:h=≈13.3(m).
8.在平地上有A,B两点,A在山D的正东,B在山D的东南,且B在A的南偏西25°方向300米的地方,在A处测山顶C的仰角是30°,求山高.
解:A,B,C,D不在同一平面内,首先画出空间图形,如图所示.
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山高为CD,AB=300米,∠ABD=180°-(45°+65°)=70°,
AD=·AB,
在△ACD中,CD=AD·tan
30°≈230(米).
所以山高约为230米.
9.某海上养殖基地A,接到气象部门预报,位于
( http: / / www.21cnjy.com )基地南偏东60°相距20(+1)海里的海面上有一台风中心,影响半径为20海里,正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且(+1)小时后开始影响基地持续2小时.求台风移动的方向.(导学号51830085)
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解:如图所示,设预报时台风中
( http: / / www.21cnjy.com )心为B,开始影响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台风中心为D,则B,C,D在一直线上,且AD=20,AC=20.
由题意AB=20(+1),DC=20,BC=(+1)·10.
在△ADC中,∵DC2=AD2+AC2,
∴∠DAC=90°,∠ADC=45°.在△ABC中,
由余弦定理得cos∠BAC=.
∴∠BAC=30°.
又∵B位于A南偏东60°方向,
60°+30°+90°=180°,
∴D位于A的正北方向.又∵∠ADC=45°,
∴台风移动的方向为向量的方向,
即北偏西45°方向.
答:台风沿北偏西45°方向移动.第1章过关检测
(时间:90分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos
A=且bA.3
B.2
C.2
D.
答案:C
解析:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos
A,得4=b2+12-2·b·2,即b2-6b+8=0,解得:b=2或4.
又因为b4.已知a,b,c分别为
( http: / / www.21cnjy.com )△ABC三个内角A,B,C的对边,且(b-c)(sin
B+sin
C)=(a-c)sin
A,则角B的大小为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
答案:A
解析:由正弦定理及(b-c)(si
( http: / / www.21cnjy.com )n
B+sin
C)=(a-c)sin
A,得(b-c)(b+c)=(a-c)a,即b2-c2=a2-ac,所以a2+c2-b2=ac.
又因为cos
B=,所以B=30°.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
7.在△ABC中,若AB=2,AC=2,△ABC的面积为,则cos
B= .
答案:
解析:∵S△ABC=AB·AC·sin
A,
∴sin
A=,∴cos
A=±.
由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos
A,
∴BC=2或BC=2.
当BC=2时,B=A,∴cos
B=cos
30°=.
当BC=2时,由余弦定理cos
B=.
8.在△ABC中,若b=2a,B=A+60°,则A= .
答案:30°
解析:∵b=2a,∴sin
B=2sin
A,
∴sin(A+60°)=2sin
A,
∴sin
A+cos
A=2sin
A,
∴tan
A=,∴A=30°.
9.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则= ,AC的取值范围为 .
答案:2 ()
解析:由正弦定理得.
∵B=2A,BC=1,∴.∴=2.
∵△ABC是锐角三角形,
∴0°<2A<90°且A+B=3A>90°,
∴30°从而<2cos
A<,即10.已知两座灯塔A,B
( http: / / www.21cnjy.com )与一岛C的距离都等于a
km,灯塔A在岛C的北偏东20°,灯塔B在岛C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为 km.
答案:a
解析:由题意,△ABC中,AC=BC=a
km,∠ACB=120°,
∴由余弦定理知
AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB
=a2+a2-2·a·a·=3a2,
∴AB=a(km).
三、解:答题(本大题共4小题,共50分)
11.(本小题满分12分)(201
( http: / / www.21cnjy.com )6课标全国高考乙卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos
C(acos
B+bcos
A)=c.
(1)求C;
(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.(导学号51830087)
解:(1)由已知及正弦定理得,
2cos
C(sin
Acos
B+sin
Bcos
A)=sin
C,
即2cos
Csin(A+B)=sin
C.
故2sin
Ccos
C=sin
C.
可得cos
C=,所以C=.
(2)由已知,absin
C=.
又C=,所以ab=6.
由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos
C=7.
故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.
所以△ABC的周长为5+.
12.(本小题满分12分)在△A
( http: / / www.21cnjy.com )BC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin
A+sin
C=psin
B(p∈R),且ac=b2.
(1)当p=,b=1时,求a,c的值;
(2)若角B为锐角,求p的取值范围.
解:(1)由已知及正弦定理,得
解得:
(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos
B=(a+c)2-2ac-2accos
B=p2b2-b2-b2cos
B,
即p2=cos
B,
∵0B<1,∴p2∈.由题设知p>0,
∴13.(本小题满分12分)一缉私艇
( http: / / www.21cnjy.com )发现在北偏东45°方向,距离12
n
mile的海面上有一走私船正以10
n
mile/h的速度沿东偏南15°方向逃窜.缉私艇的速度为14
n
mile/h,若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东45°+α的方向去追.求追缉所需的时间和α角的正弦值.
( http: / / www.21cnjy.com )
解:设A,C分别表示缉私艇
( http: / / www.21cnjy.com ),走私船的位置,设经过x小时后在B处追上,则有AB=14x
n
mile,BC=10x
n
mile,∠ACB=120°.
∴(14x)2=122+(10x)2-240xcos
120°,
整理得,4x2-5x-6=0,
∴x=2,AB=28
n
mile,BC=20
n
mile,
在△ABC中,由正弦定理得,
sin
α=.
答:追缉所需时间为2小时,α角的正弦值为.
14.(本小题满分14分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.
(1)求的值;
(2)若cos
B=,b=2,求△ABC的面积.
(导学号51830088)
解:(1)由正弦定理,设=k,
则,
∴,
∴(cos
A-2cos
C)sin
B=cos
B(2sin
C-sin
A),
化简可得sin(A+B)=2sin(B+C).
又A+B+C=π,∴sin
C=2sin
A.
∴=2.
(2)由=2,得c=2a,由余弦定理b2=a2+c2-2accos
B及cos
B=,b=2,知4=a2+4a2-4a2×,
∴a2=1.∴a=1,c=2.
又∵cos
B=,0∴sin
B=.
∴S△ABC=acsin
B=×1×2×.课时训练3 距离问题
1.
( http: / / www.21cnjy.com )
如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者
( http: / / www.21cnjy.com )在A的同侧河岸选定一点C,测出A,C的距离为50
m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点间的距离为( )
A.50
m
B.50
m
C.25
m
D.
m
答案:B
解析:∵∠ACB=45°,∠CAB=105°,
∴∠ABC=30°,根据正弦定理可知,,即,解得:AB=50
m,故选B.
2.在某船上开始看见灯塔在南偏东30°方向,后来船沿南偏东60°方向航行45海里后,看见灯塔在正西方向,则此时船与灯塔相距( )
A.15海里
B.15海里
C.15海里
D.30海里
答案:C
解析:
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如图,B为灯塔,船由A航行45海里到达C,则∠BAC=30°,∠ABC=120°.由正弦定理,得.所以BC==15(海里),故选C.
3.一货轮航行到M处时,测得灯塔S
( http: / / www.21cnjy.com )在货轮的北偏东15°方向,与灯塔S相距20
n
mile,随后货轮按北偏西30°方向航行3
h后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为( )
A.)n
mile/h
B.)n
mile/h
C.)n
mile/h
D.)n
mile/h
答案:B
解析:
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如图,设货轮航行到了点A,可利用正弦定理
( http: / / www.21cnjy.com )解△AMS.设货轮速度为x
n
mile/h,则AM=3x
n
mile.在△AMS中,由正弦定理,得,即,解得:x=).
4.测定河的宽度,在一岸边选定两点A
( http: / / www.21cnjy.com ),B,使AB=120
m,从A,B望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,则河宽为 m.
答案:60
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解析:∵∠CAB=30°,∠CBA=75°,
∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-30°-75°=75°,
∴AC=AB=120
m.
∴河宽CD=AC=60
m.
5.一船向正北方向匀速行驶,看见正西方
( http: / / www.21cnjy.com )两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上,继续航行半小时后,看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上,另一座灯塔在南偏西75°方向上,则该船的速度是 海里/时.
答案:10
解析:如图所示,船从点A出发沿正北方向匀速行驶到D,B和C是两座灯塔,
则BC=10海里,∠BDA=60°,∠CDA=75°,
则∠CDB=15°,
所以C=15°,∠CBD=150°.
所以BD=BC=10海里.
所以AD=BDcos
60°=5海里.
所以船的速度是=10(海里/时).
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6.CD是京九铁路线上的一条穿
( http: / / www.21cnjy.com )山隧道,开凿前,在CD所在水平面上的山体外取点A,B,并测得四边形ABCD中,∠ABC=,∠BAD=,AB=BC=400米,AD=250米,则应开凿的隧道CD的长为 .
答案:350米
解析:在△ABC中,AB=BC=400米,∠ABC=,
∴AC=AB=400米,∠BAC=.
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=.
∴在△CAD中,由余弦定理,得
CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD=4002+2502-2·400·250·cos=122
500,
∴CD=350米.
7.如图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的
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n
mile,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°,距离为8
n
mile,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在北偏东120°.求:
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(1)A处与D处的距离;
(2)灯塔C与D处的距离.
解:(1)在△ABD中,∠ADB=60°,B=45°,
由正弦定理得AD=
==24(n
mile).
(2)在△ADC中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos
30°,
解得:CD=8(n
mile).
即A处与D处的距离为24
n
mile,灯塔C与D处的距离为8
n
mile.
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8.如图,为测量河对岸A,B两点的距离,在
( http: / / www.21cnjy.com )河的这边测出CD的长为
km,∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,求A,B两点间的距离.
解:在△BCD中,∠CBD=180°-30°-105°=45°,
由正弦定理得,
则BC=(km).
在△ACD中,∠CAD=180°-60°-60°=60°,
∴△ACD为正三角形.
∴AC=CD=(km).
在△ABC中,由余弦定理得
AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos
45°=-2×,∴AB=(km).
∴河对岸A,B两点间距离为
km.
9.某观测站C在A城的南偏西
( http: / / www.21cnjy.com )20°的方向,由A城出发有一条公路,公路走向是南偏东40°,在公路上测得距离C
31
km的B处,有一人正沿公路向A城走去,走了20
km后到达D处,此时C,D之间相距21
km,问此人还要走多远才能到达A城 (导学号51830084)
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解:如图,∠CAB=60°,BD=20
km,CB=31
km,CD=21
km.
在△BCD中,由余弦定理,得
cos∠BDC==-,则sin∠BDC=.
在△ACD中,∠ACD=∠BDC-∠CAD=∠BDC-60°.
由正弦定理,可得AD=.
∵sin∠ACD=sin(∠BDC-60°)
=sin∠BDCcos
60°-cos∠BDCsin
60°=,
∴AD==15(km).
∴此人还要走15
km才能到达A城.