课时训练9 等比数列的概念
2.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d.若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于( )
A.2
B.4
C.6
D.8
答案:B
解析:由题意得an=(n+8)d,=a1a2k,
则(k+8)2d2=9d(2k+8)d,
解得:k=4(k=-2不合题意,舍去).
3.若等比数列{an}满足anan+1=16n,则公比q为( )
A.2
B.4
C.8
D.16
答案:B
解析:∵anan+1=16n,∴a1a2=16,a2a3=162.
两式相除得=16,即q2=16.∴q=±4.
∵anan+1=16n>0,∴an,an+1同号,即q>0,
∴q=4.
4.一个各项均为正数的等比数列,其任何项都等于后面两项之和,则其公比是 .
答案:
解析:由题不妨设a1=a2+a3=1,
∴1=q+q2,解得:q=-(舍)或q=.
5.等比数列{an}中,a1+a2=162,a3+a4=18,则a4+a5= .
答案:±6
解析:.
∴q2=,∴q=±.
∴a4+a5=(a3+a4)·q=±6.
6.已知{an}为等比数列,
(1)数列{}为等比数列;
(2)数列{anan+1}为等比数列;
(3)数列{an+an+1}为等比数列.
以上说法正确的个数为 .
答案:2
解析:设{an}的公式为q,易知数列{
( http: / / www.21cnjy.com )}是首项为,公比为q2的等比数列;{anan+1}是首项为a1a2,公比为q2的等比数列;{an+an+1}则不一定为等比数列,当q=-1时,a1+a2=0,a3+a4=0,而等比数列中没有为0的项,所以第(3)种说法是错误的.
7.已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数.
解:由题意可以设这三个数分别为,a,aq,得
∴9q4-82q2+9=0,即得q2=9或q2=,
∴q=±3或q=±,
故该三数为:1,3,9或-1,3,-9或9,3,1或-9,3,-1.
8.设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明数列{cn}不是等比数列.
证明:假设数列{cn}是等比数列,
设{an},{bn}的公比分别为p,q(p≠q),
由=c1·c3,
即(a1p+b1q)2=(a1+b1)(a1p2+b1q2),
得(p-q)2=0.
∴p=q.这与p≠q矛盾,故数列{cn}不是等比数列.
9.设二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.
(1)试运用an表示an+1;
(2)求证:是等比数列.(导学号51830097)
解:(1)根据根与系数的关系,有关系式代入题设条件6(α+β)-2αβ=3,得=3,∴an+1=an+.
(2)证明:由(1)知an+1=an+.
∴an+1-
=an-.
即.
∴数列是等比数列.课时训练5 数列
1.已知数列的通项公式an=则a2a3等于( )
A.70
B.28
C.20
D.8
答案:C
解析:由an=
得a2a3=2×10=20.故选C.
2.数列-,-,…的通项公式为( )
A.an=(-1)n+1
B.an=(-1)n+1
C.an=(-1)n
D.an=(-1)n
答案:D
解析:观察式子的分子为1,2,3,4,…,
( http: / / www.21cnjy.com )n,…,分母为3×5,5×7,7×9,…,(2n+1)(2n+3),…,而且正、负间隔.故通项公式为an=(-1)n.
3.下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( )
A.1,,…
B.sin,sin,sin,…
C.-1,-,-,-,…
D.1,,…,
答案:C
解析:A中数列是递减数列,B中数列不是单调数列,D中数列是有穷数列,C中数列符合条件.
4.数列{an}的通项公式为an=3n2-28n,则数列{an}各项中最小项是第 项.
答案:5
解析:当n=时an最小.
又n∈N
,故n=5时,an=3n2-28n最小.
5.黑白两种颜色的正六边形地面砖按下图的规律拼成若干个图案,则第n个图案中有白色地面砖 块.
答案:4n+2
解析:第1个图案有白色地面砖6块,第2个图案有10块,第3个图案有14块,可以看出每个图案较前一个图案多4块白色的地面砖.
∴第n个图案有6+4(n-1)=4n+2(块).
6.在数列{an}中,an=2n-100n,则此数列中的最小项等于 .(导学号51830089)
答案:-572
解析:an+1-an=2n+1-100(n+1)-2n+100n=2n-100.
令2n-100>0,得n>6.
所以a1>a2>…>a6>a7,且a7
所以此数列中的最小项是a7=-572.
7.根据下面各数列的前几项,写出数列的一个通项公式.
(1)1,-,-,…;
(2),-,….
解:(1)原数列可写成,-,-,…,
∴数列的一个通项公式为an=(-1)n+1·.
(2)各项的分母分别为21,22,23
( http: / / www.21cnjy.com ),24,…容易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3,因此把第1项变为-,至此原数列即为-,-,…,∴an=(-1)n.
8.数列{an}中,已知an=(n∈N
).
(1)写出a10,an+1;
(2)79是否是数列中的项 如果是,是第几项
解:(1)a10=,
an+1=.
(2)令an==79,则n=15,
所以是第15项.
9.设函数f(x)=log2x-logx2(0).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)判断数列{an}的单调性.
解:(1)由f(x)=log2x-logx2,可得f()=an-=2n.∴-2nan-1=0.解得:an=n±.
∵0故an=n-.
(2)
=<1.
∵an<0,∴an+1>an.故数列{an}是递增数列.
10.已知在数列{an}中,an=.
(1)求数列的第7项;
(2)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内;
(3)区间内有没有数列中的项 若有,有几项 (导学号51830090)
(1)解:a7=.
(2)证明:∵an==1-,
∴0(3)解:令,则,
故n=1,即在区间内有且只有一项a1.课时训练11 等比数列的前n项和
1.设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q等于( )
A.3
B.4
C.5
D.6
答案:B
解析:由题意,得3S3-3S2=(a4-2)-(a3-2),
则3a3=a4-a3,即a4=4a3,故q==4.
2.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则等于( )
A.11
B.5
C.-8
D.-11
答案:D
解析:设{an}的公比为q.
∵{an}为等比数列,且8a2+a5=0,
∴8a2+a2q3=0.
∵a2≠0,∴q3=-8.∴q=-2,
=-11.
4.在等比数列{an}中,若a1=,a4=-4,则公比q= ;|a1|+|a2|+…+|an|= .
答案:-2 2n-1-
解析:∵a4=q3=-4,
∴q=-2.∴an=×(-2)n-1.
∴|an|=2n-2.
∴|a1|+|a2|+…+|an|==2n-1-.
5.已知Sn为等比数列{an}的前n项和,a2=3,a6=243,Sn=364,则n= .
答案:6
解析:
解得:
当a1=1,q=3时,Sn==364,解得:n=6;
当a1=-1,q=-3时,Sn==364,无整数解.
综上n=6.
6.已知等比数列{an}中,a1=3,a4=81.若数列{bn}满足bn=log3an,则数列的前2
013项的和为 .
答案:
解析:=q3=27,∴q=3.
∴an=a1·qn-1=3×3n-1=3n.
∴bn=log3an=n.
∴.
∴数列的前2
013项的和为:
+…+=1-.
7.设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设{bn}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{an+bn}的前n项和Sn.
解:(1)设q为等比数列{an}的公比,则由a1=2,a3=a2+4,得2q2=2q+4,即q2-q-2=0.
解得:q=2或q=-1(舍去),
∴q=2.
∴{an}的通项公式an=2·2n-1=2n(n∈N
).
(2)Sn=+n×1+×2=2n+1+n2-2.
8.(2016课标全国高考乙卷)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求{bn}的前n项和.(导学号51830100)
解:(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2.
所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.
(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=,
因此{bn}是首项为1,公比为的等比数列.
记{bn}的前n项和为Sn,
则Sn=.
9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,数列{bn}中,b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)记Tn=a1b1+a2b2+…+anbn,求Tn.
解:(1)由Sn=2an-2得Sn-1=2an-1-2(n≥2),
两式相减得an=2an-2an-1,
即=2(n≥2),
又a1=2a1-2,
∴a1=2,
∴{an}是以2为首项,以2为公比的等比数列,
∴an=2n.
∵点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上,
∴bn-bn+1+2=0,即bn+1-bn=2,
∴{bn}是等差数列.
∵b1=1,
∴bn=2n-1.
(2)∵Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,①
∴2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1.②
①-②得:-Tn=1×2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)·2n+1=2+2·-(2n-1)2n+1
=2+4·2n-8-(2n-1)2n+1
=(3-2n)·2n+1-6.
∴Tn=(2n-3)·2n+1+6.
10.已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R),且成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对n∈N
,试比较+…+的大小.(导学号51830101)
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意可知,
即(a1+d)2=a1(a1+3d),
从而a1d=d2,
因为d≠0,∴d=a1=a.
故通项公式an=na.
(2)记Tn=+…+,
因为=2na,
所以Tn=
=.
从而,当a>0时,Tn<;
当a<0时,Tn>.课时训练6 等差数列的概念
1.在△ABC中,三内角A,B,C成等差数列,则角B等于
( )
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
答案:B
解析:∵A,B,C成等差数列,∴2B=A+C.
又A+B+C=180°,∴B=60°.
2.已知数列{an}为等差数列,且a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( )
A.40
B.42
C.43
D.45
答案:B
解析:设公差为d,则a1+d+a1+2
( http: / / www.21cnjy.com )d=2a1+3d=4+3d=13,解得:d=3,所以a4+a5+a6=(a1+3d)+(a1+4d)+(a1+5d)=3a1+12d=42.
3.设x是a与b的等差中项,x2是a2与-b2的等差中项,则a,b的关系是( )
A.a=-b
B.a=3b
C.a=-b或a=3b
D.a=b=0
答案:C
解析:由等差中项的定义知:x=,x2=,
∴,即a2-2ab-3b2=0.
故a=-b或a=3b.
4.已知:1,x,y,10构成等差数列,则x,y的值分别为 .
答案:4,7
解析:由已知,x是1和y的等差中项,即2x=1+y,
①
y是x和10的等差中项,即2y=x+10,
②
由①,②可解得:x=4,y=7.
5.在等差数列{an}中,若a2=2,a8=6,则a5等于 .
答案:4
解析:设公差为d,则
相加得2(a1+4d)=8,即a5=4.
6.在如下的两个数之间,填上一个数后,使这三个数成为等差数列.
(1)2, ,4;(2)-1, 5;(3)-12, ,0;(4)0, ,0.
答案:(1)3 (2)2 (3)-6 (4)0
解析:根据等差中项的定义求解.
7.在数列{an}中,an=4n-1,求证:数列{an}是等差数列.
证明:∵an+1-an=[4(n+1)-1]-(4n-1)=4,
∴数列{an}是等差数列.
8.已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,数列{bn}中,bn=3an+4,问:数列{bn}是否为等差数列 并说明理由.
解:数列{bn}是等差数列.
理由:∵数列{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,
∴an+1-an=d(n∈N
).
∴bn+1-bn=(3an+1+4)-(3an+4)=3(an+1-an)=3d.
∴根据等差数列的定义,数列{bn}是等差数列.
9.已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足an+1=,n∈N
.设bn+1=1+,n∈N
,求证:数列是等差数列.
(导学号51830091)
证明:由题设知an+1=,所以,
从而=1(n∈N
),
所以数列是以1为公差的等差数列.
10.数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n- )an(n=1,2,…),胧浅Ｊ .
(1)当a2=-1时,求爰°a3的值;
(2)是否存在实数胧故?衶an}为等差数列 若存在,求出爰笆?衶an}的通项公式;若不存在,请说明理由.
(导学号51830092)
解:(1)由于an+1=(n2+n- )an(n=1,2,…),且a1=1,
所以当a2=-1时,得-1=2- ,故 =3.
从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.
(2)数列{an}不可能为等差数列,
证明如下:由a1=1,an+1=(n2+n- )an,
得a2=2- ,a3=(6- )(2- ),a4=(12- )(6- )(2- ).
若存在 ,使{an}为等差数列,
则a3-a2=a2-a1,
即(5- )(2- )=1- ,解得: =3.
于是a2-a1=1- =-2,
a4-a3=(11- )(6- )(2- )=-24.
这与{an}为等差数列矛盾.
所以,不存在胧箋an}是等差数列.课时训练10 等比数列的通项公式
1.已知等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于( )
A.2
B.4
C.8
D.16
答案:C
解析:等比数列{an}中,a3a11==4a7,解得:a7=4,
等差数列{bn}中,b5+b9=2b7=2a7=8.
2.等比数列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则an=( )
A.(-2)n-1
B.-(-2)n-1
C.(-2)n
D.-(-2)n
答案:A
解析:∵|a1|=1,∴a1=1或a1=-1.
∵a5=-8a2,
∴q3=-8,∴q=-2.
又a5>a2,即a2q3>a2,∴a2<0.
而a2=a1q=-2a1<0,∴a1=1.∴数列{an}是首项为1,公比为-2的等比数列.故an=1×(-2)n-1=(-2)n-1.
4.若一个项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x2+px+q=0的两个根,则此数列的各项积是 .
答案:qm
解析:由题意得,amam+1=q,此数列各项积为(amam+1)m=qm.
5.公差不为零的等差数列{an}中,2a3-+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8= .
答案:16
解析:∵2a3-+2a11=2(a3+a11)-=4a7-=0,
∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4.
∴b6b8==16.
6.已知6,a,b,48成等差数列,6,c,d,48成等比数列,则a+b+c+d= .
答案:90
解析:由6,a,b,48成等差数列,得
( http: / / www.21cnjy.com )a+b=6+48=54,由6,c,d,48成等比数列,得q3==8,q=2,故c=12,d=24,从而a+b+c+d=90.
7.(2016课标全国高考丙卷)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.(导学号51830098)
解:(1)由题意得a2=,a3=.
(2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0得
2an+1(an+1)=an(an+1).
因为{an}的各项都为正数,所以.
故{an}是首项为1,公比为的等比数列,
因此an=.
8.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn与an满足关系Sn=2-an(n∈N
).
(1)求an+1与an的关系式,并求a1的值;
(2)证明:数列是等比数列,并求{an}的通项公式.
解:(1)∵Sn=2-an,①
∴Sn+1=2-an+1.②
②-①得an+1=an-an+1,
即an+1=an,
即an+1=an.
而a1=2-a1,∴a1=.
(2)由(1)知,
而,
∴是以为首项,以为公比的等比数列,
∴,
∴an=.
9.已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.
(1)若a=1,求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}唯一,求a的值.
解:(1)设{an}的公比为q,
则b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2.
由b1,b2,b3成等比数列,得(2+q)2=2(3+q2),
即q2-4q+2=0,
解得:q1=2+,q2=2-.
∴{an}的通项公式为an=(2+)n-1或an=(2-)n-1.
(2)设{an}的公比为q,
则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),
得aq2-4aq+3a-1=0(
).
由a>0得Δ=a2+a>0,
故方程(
)有两个不同的实根.
由{an}唯一,知方程(
)必有一根为0,
代入(
)得a=.
10.等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1),且a1=b1,a4=b4,a10=b10.
(1)求实数a1和d的值.
(2)b16是不是{an}中的项 如果是,是第几项 如果不是,请说明理由.(导学号51830099)
解:(1)设数列{an},{bn}的通项公式分别为an=a1+(n-1)d,bn=b1qn-1=a1dn-1.
由
即3d=a1(d3-1),9d=a1(d9-1).
以上两式相除,整理得d6+d3-2=0.
解得:d3=1或d3=-2.
∵d≠1,
∴d3=-2.
∴d=-.
代入原方程中,解得:a1=.
故a1=,d=-.
(2)由(1)得,数列{an},{bn}通项公式分别为an=(2-n)·,bn=-(-)n.
故b16=-(-)16=-32.
由(2-n)=-32,解得:n=34.
故b16为an的第34项.第2章过关检测
(时间:90分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
2.已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )
A.21
B.42
C.63
D.84
答案:B
解析:由题意知=1+q2+q4==7,解得:q2=2(负值舍去).则a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=21×2=42.
4.若a,b是函数f(x)=
( http: / / www.21cnjy.com )x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于( )
A.6
B.7
C.8
D.9
答案:D
解析:由题意得不妨设a5.数列{an}满足an-an+1=an·an+1(n∈N
),数列{bn}满足bn=,且b1+b2+…+b9=90,则b4·b6( )
A.最大值为99
B.为定值99
C.最大值为100
D.最大值为200
答案:B
解析:将an-an+1=anan+1两
( http: / / www.21cnjy.com )边同时除以anan+1,可得=1,即bn+1-bn=1,所以数列{bn}是公差为1的等差数列,其前9项和为=90,所以b1+b9=20,将b9=b1+8d=b1+8,代入得b1=6,所以b4=9,b6=11,所以b4b6=99,选B.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
7.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{an}的公比为 .
答案:
解析:∵S1,2S2,3S3成等差数列,
∴4S2=S1+3S3,∴4a1(1+q)=a1+3a1(1+q+q2),∴3q2-q=0,得q=.
8.已知an=2n-1(n∈N
),把
( http: / / www.21cnjy.com )数列{an}的各项排成如图所示的三角数阵,记S(m,n)表示该数阵中第m行中从左到右的第n个数,则S(10,6)对应数阵中的数是 .
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
……
答案:101
解析:设S(10,6)是数列{an}中的第M个数,则M=1+2+3+…+9+6=+6=51,
∴S(10,6)=a51=2×51-1=101.
9.数列{an}的前20项由如图所示的流程图依次输出的a值构成,则数列{an}的一个通项公式an= .
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答案:(n∈N
,n≤20)
解析:由流程图知a1=0+1=1,a2=a1+2=1+2,a3=a2+3=1+2+3,…,an=an-1+n(n∈N
,n≤20),
即an=1+2+3+…+(n-1)+n=.
10.小正方形按照下图的规律排列:
( http: / / www.21cnjy.com )
每个图中的小正方形的个数构成一个数列{an},有以下结论:
①a5=15;②数列{an}是一个等差数列;③数列{an}是一个等比数列;④数列的递推公式为an=an-1+n;⑤数列的通项公式为an=.
其中正确结论的序号是 .
答案:①④⑤
解析:a1=1,a2=1+2=3,a3=
( http: / / www.21cnjy.com )1+2+3=6,a4=1+2+3+4=10,a5=1+2+3+4+5=15,…,an=1+2+3+…+n=.
三、解:答题(本大题共4小题,共50分)
11.(本小题满分12分)(2016课标全国高考丙卷)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明:{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)若S5=,求λ.(导学号51830103)
解:(1)由题意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=,a1≠0.
由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,
即an+1(λ-1)=λan.
由a1≠0,λ≠0得an≠0,
所以.
因此{an}是首项为,公比为的等比数列,
于是an=.
(2)由(1)得Sn=1-.
由S5=得1-,即.
解得:λ=-1.
12.(本小题满分12分)已知数列{an}是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.
(1)求{an}的通项an和前n项和Sn;
(2)设cn=,bn=,证明数列{bn}是等比数列.
解:(1)设{an}的公差为d,
由已知条件得,
解得:a1=3,d=-2,
所以an=a1+(n-1)d=-2n+5,
Sn=na1+d=-n2+4n.
(2)∵an=-2n+5,
∴cn==n.
∴bn==2n.
∵=2(常数),
∴数列{bn}是等比数列.
13.(本小题满分12分)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.
(1)设bn=,证明数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
(1)证明:∵an+1=2an+2n,
∴+1.
∴bn+1=bn+1,bn+1-bn=1(常数).
又b1=a1=1,
∴{bn}是首项为1,公差为1的等差数列.
(2)解:∵b1==a1=1,且由(1)知,bn==b1+(n-1)d=n,
∴an=n·2n-1.
∴Sn=1·20+2·21+3·22+…+(n-1)·2n-2+n·2n-1,①
2Sn=1·21+2·22+3·23+…+(n-1)2n-1+n·2n.②
由②-①,得Sn=n·2n-20-21-22-…-2n-1=n·2n-=n·2n-2n+1=(n-1)2n+1.
即数列{an}的前n项和Sn=(n-1)2n+1.
14.(本小题满分14分)已知数列{an}各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足4Sn=(an+1)2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn的最小值.(导学号51830104)
解:(1)因为(an+1)2=4Sn,
所以Sn=,Sn+1=.
所以Sn+1-Sn=an+1
=,
即4an+1=+2an+1-2an,
∴2(an+1+an)=(an+1+an)(an+1-an).
因为an+1+an≠0,所以an+1-an=2,
即{an}为公差等于2的等差数列.
由(a1+1)2=4a1,解得:a1=1,所以an=2n-1.
(2)由(1)知bn=
=,
∴Tn=b1+b2+…+bn
=
=.
∵Tn+1-Tn=
=>0,
∴Tn+1>Tn.
∴数列{Tn}为递增数列.
∴Tn的最小值为T1=.课时训练7 等差数列的通项公式
1.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则a101的值为( )
A.49
B.50
C.51
D.52
答案:D
解析:∵2an+1=2an+1,∴an+1-an=,
∴数列{an}是公差为的等差数列,
又∵a1=2,∴a101=2+(101-1)×=52.
2.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m等于( )
A.8
B.4
C.6
D.12
答案:A
解析:因为a3+a6+a10+a13=4a8=32,
所以a8=8,即m=8.
3.设数列{an},{bn}都是等差数列
( http: / / www.21cnjy.com ),且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么由an+bn所组成的数列的第37项的值为( )
A.0
B.37
C.100
D.-37
答案:C
解析:设cn=an+bn,{cn}也是等差数列,设其公差为d,
则c1=a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100.
故d=c2-c1=0.故cn=100(n∈N
).
从而c37=100.
4.已知等差数列{an}的前三项依次为a-1,-a,3,则该数列中第一次出现负值的项为第 项.
答案:10
解析:∵a-1,-a,3是等差数列{an}的前三项,
∴(a-1)+3=2,
∴a=5,a1=4,a2=,
∴ an=-n+.
令an<0,则-n+<0,∴n>9.
5.设数列{an}是等差数列,a1+a5+a9=39,a2+a6+a10=48,则a7+a11+a15= .
答案:93
解析:设bn=an+an+4+an+8,
则b1=39,b2=48,
∵{an}是等差数列,
∴{bn}是等差数列,公差d=b2-b1=9.
∴a7+a11+a15=b7=b1+6d=39+54=93.
6.已知△ABC中三边a,b,c成等差数列,也成等差数列,则△ABC的形状为 .
答案:等边三角形
解析:由a,b,c成等差数列得a+c=2b,①
由成等差数列得=2,②
②2-①得2=2b,
即b2=ac,①平方得a2+2ac+c2=4b2,
将b2=ac代入得a2+2ac+c2=4ac,
即(a-c)2=0,∴a=c.
又∵a+c=2b,
∴2a=2b.
∴a=b,∴a=b=c,即△ABC是等边三角形.
7.成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数.
解:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,
由题意得
解得:
∴这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
8.等差数列{an}中,a1=23,公差d为整数,若a6>0,a7<0.
(1)求公差d的值;
(2)求通项an.
解:(1)因为{an}是等差数列,a1=23,a6>0,a7<0,
所以解得:-又公差d为整数,所以d=-4.
(2)因为等差数列{an}的首项为23,公差为-4,
所以通项an=23-4(n-1)=-4n+27.
9.某公司经销一种数码产品,第1年可获利2
( http: / / www.21cnjy.com )00万元.从第2年起,由于市场竞争等方面的原因,其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损
解:由题设可知第1年获利200万元,第2年
( http: / / www.21cnjy.com )获利180万元,第3年获利160万元,…,每年获利构成等差数列{an},且当an<0时,该公司会出现亏损.
设从第1年起,第n年的利润为an,则a1=200,an-an-1=-20(n≥2,n∈N
),
所以每年的利润an可构成一个等差数列{an},且公差d=-20,从而an=a1+(n-1)d=220-20n.
若an<0,则该公司经销这一产品将亏损,
所以由an=220-20n<0,得n>11,
即从第12年起,该公司经销此产品将亏损.
10.已知数列{an},a1=,an·an-1+1=2an-1(n≥2,n∈N
),
(1)证明数列是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式an.(导学号51830093)
解:(1)证明:
=
=
==1.
故数列是等差数列.
(2)由(1)知数列是以=-为首项,1为公差的等差数列.
∴=-+(n-1)·1=n-.
∴an-1=,
∴an=+1=.课时训练8 等差数列的前n项和
1.(2016课标全国高考乙卷)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=( )(导学号51830094)
A.100
B.99
C.98
D.97
答案:C
解析:(方法一)设等差数列{an}的公差为d,
则由题意得,
解得:a1=-1,d=1,
故a100=a1+99d=-1+99=98.
(方法二)因为S9==27,a1+a9=2a5,所以a5=3.
又因为a10=8,所以d==1.
故a100=a10+(100-10)×1=98.
2.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5A.9
B.8
C.7
D.6
答案:B
解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2-9n)-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10;
当n=1时,a1=S1=-8,满足上式.
所以an=2n-10(n∈N
).
由5又k∈N
,因此k=8.
3.已知{an}为等差数列,a1+
( http: / / www.21cnjy.com )a3+a5=105,a2+a4+a6=99,Sn是等差数列{an}的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是( )
A.21
B.20
C.19
D.18
答案:B
解析:设{an}的公差为d,
则
解得:d=-2,a1=39.
则Sn=39n+×(-2)
=-n2+40n=-(n-20)2+400,
所以当n=20时,Sn最大.
4.等差数列{an}中,其前n项和为100,其后的2n项和为500,则紧随其后的3n项和为 .
答案:1
500
解析:由题意有Sn=100,S3n-Sn=500.
又Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,其公差为100,
∴S6n-S3n=400+500+600=1
500.
5.在等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使前n项和Sn取得最大值时的自然数n的值为 .
答案:5或6
解析:由题意得a1+2d=-a1-8d,
∴a1=-5d>0,
∴Sn=na1+d=-5nd+d
=d.
又∵d<0,n∈N
,∴当n=5或6时,Sn取最大值.
6.等差数列{an}中,a1=-5,它的前11项的平均值为5,若从中抽取1项,余下的10项的平均值为4,则抽取的项是第 项.
答案:11
解析:S11=5×11=55=11a1+d,∴d=2.
设抽取的项为x,则S11-x=4×10=40.
∴x=15,令ak=-5+2(k-1)=15,解得:k=11.
7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m= .
答案:5
解析:∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,
∴am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,am+1=Sm+1-Sm=3-0=3.
∴d=am+1-am=3-2=1.
∵Sm=ma1+×1=0,
∴a1=-.
又∵am+1=a1+m×1=3,
∴-+m=3.∴m=5.
8.某地在抗洪抢险中接到预报,24
h后有一
( http: / / www.21cnjy.com )个超历史最高水位的洪峰到达,为保证万无一失,抗洪指挥部决定在24
h内另筑起一道堤坝作为第二道防线.经计算,如果有20辆大型翻斗车同时工作25
h,可以筑起第二道防线,但是除了现有的一辆车可以立即投入作业外,其余车辆需从各处紧急抽调,每隔20
min就有一辆车到达并投入工作,问指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作,才能保证24
h内完成第二道防堤,请说明理由.
解:设从现有的一辆车投入工作算起,各车的工作时间,依次组成数列{an},则an-an-1=-.
∴数列{an}构成首项为24,公差为-的等差数列,设还需组织(n-1)辆车,则a1+a2+…+an=24n+≥20×25,
∴n2-145n+3
000≤0,即(n-25)(n-120)≤0.
∴25≤n≤120.
∴nmin=25,此时n-1=24.
故至少还需组织24辆车陆续工作,才能保证在24
h内完成第二道防堤.
9.等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和.
解:等差数列{an}的公差d==3,
∴an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.
由an<0,得3n-63<0,即n<21.
∴数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.
设Sn,S'n分别表示数列{an},{|an|}的前n项和,
当n≤20时,S'n=-Sn=-
=-n2+n;
当n>20时,
S'n=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20
=-60n+×3-2×
=n2-n+1
260.
∴数列{|an|}的前n项和为
S'n=
10.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3·a4=117,a2+a5=22.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求Sn的最小值;
(3)若数列{bn}是等差数列,且bn=,求非零常数c的值.(导学号51830095)
解:(1)∵数列{an}为等差数列,∴a3+a4=a2+a5=22.
又a3·a4=117,∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两实根,又公差d>0,∴a3∴a3=9,a4=13,得a1=1,d=4,∴an=4n-3.
(2)由(1)知a1=1,d=4,∴Sn=na1+·d=2n2-n=2,
∴当n=1时,Sn最小,最小值为S1=a1=1.
(3)由(2)知Sn=2n2-n,∴bn=,
∴b1=,b2=,b3=.∵数列{bn}是等差数列,∴2b2=b1+b3,即×2=,得2c2+c=0,∴c=-或c=0(舍去),故c=-.
11.已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36.
(1)求d及Sn;
(2)求m,k(m,k∈N
)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65.(导学号51830096)
解:(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,
将a1=1代入上式解得:d=2或d=-5.
因为d>0,所以d=2.
从而an=2n-1,Sn=n2(n∈N
).
(2)由(1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1).
所以(2m+k-1)(k+1)=65.
由m,k∈N
知2m+k-1≥k+1>1,
故所以