课时训练15 简单的线性规划问题
1.已知x,y满足则z=x+y( )
A.有最小值2,最大值3
B.有最小值2,无最大值
C.有最大值3,无最小值
D.既无最小值,也无最大值
答案:B
解析:
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作出可行域如图,由z=x+y,得y=-x
( http: / / www.21cnjy.com )+z,令z=0,作出直线y=-x,当它的平行线经过点A(2,0)时,z取得最小值,最小值为2,无最大值.
2.如果点P在平面区域上,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为( )
A.-1
B.-1
C.2-1
D.-1
答案:A
解析:由图可知不等式组确定的区域为阴影部分(
( http: / / www.21cnjy.com )包括边界),点P到点Q的最小距离为(-1,0)到(0,-2)的距离减去半径1,|PQ|min=-1=-1.
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3.若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为( )
A.-1
B.1
C.
D.2
答案:B
解析:可行域如图中阴影部分所示,由得交点P(1,2).当直线x=m经过点P时,m取到最大值1.
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4.(2016课标全国高考甲卷)若x,y满足约束条件
则z=x-2y的最小值为 .(导学号51830111)
答案:-5
解析:作出可行域,如图阴影部分所示.
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由z=x-2y,得y=x-z,故当直线y=x-z过点A时,-z最大,z最小.
由得A(3,4),
所以z的最小值为3-2×4=-5.
5.已知变量x,y满足约束条件的最大值是 .
答案:6
解析:作出图象可知,此不等式组表示的
( http: / / www.21cnjy.com )平面区域是以(1,3),(1,6)和为顶点的三角形区域(包括边界),而可表示为可行域内的点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,最大值为=6.
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6.已知实数x,y满足如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m等于 .
答案:5
解析:可行域如图中阴影所示,
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由可得A.
又∵z=x-y,∴y=x-z.
当y=x-z过点A时,z最小.
∴=-1,
∴m=5.
7.已知变量x,y满足约束条件1≤x+
( http: / / www.21cnjy.com )y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值,求a的取值范围.
解:变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.
在坐标系中画出可行域,如图为四边形ABCD,
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其中A(3,1),kAD=1,kAB=-
( http: / / www.21cnjy.com )1,目标函数z=ax+y(其中a>0)中的z表示斜率为-a的直线系中的截距的大小,若仅在点(3,1)处取得最大值,则斜率应小于kAB=-1,即-a<-1,所以a的取值范围为(1,+∞).
8.记不等式组所表示的平面区域为D,若直线y=a(x+1)与D有公共点,求a的取值范围.
解:直线y=a(x+1)恒过定点P(-1,0)且斜率为a,作出可行域后数形结合可解.
不等式组所表示的平面区域D为如图阴影部分所示(含边界),且A(1,1),B(0,4),C.
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直线y=a(x+1)恒过定点P(-1,0)且斜率为a.
由斜率公式可知kAP=,kBP=4.
若直线y=a(x+1)与区域D有公共点,数形结合可得≤a≤4.
9.若实数x,y满足且x2+y2的最大值为34,求正实数a的值.(导学号51830112)
解:在平面直角坐标系中画出约束条件
( http: / / www.21cnjy.com )所表示的可行域如图(形状不定),其中直线ax-y-a=0的位置不确定,但它经过定点A(1,0),斜率为a.又由于x2+y2=()2,且x2+y2的最大值等于34,所以可行域中的点与原点距离的最大值等于.
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解方程组得M的坐标为,
解方程组
得P的坐标为.
又∵OM=,
∴点P到原点距离最大.
∴+9=34,又a>0,故解得:a=.
10.某厂用甲、乙两种原料生产A,B
( http: / / www.21cnjy.com )两种产品,已知生产1
t
A产品,1
t
B产品分别需要的甲、乙原料数,可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示.问:在现有原料下,A,B产品应各生产多少才能使利润总额最大 列产品和原料关系表如下:
产品 所需原料原料
A产品(1
t)
B产品(1
t)
总原料(t)
甲原料(t)
2
5
10
乙原料(t)
6
3
18
利润(万元)
4
3
解:设生产A,B两种产品分别为x
t,y
t,其利润总额为z万元,
根据题意,可得约束条件为
作出可行域如图:
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目标函数z=4x+3y,
作直线l0:4x+3y=0,再作一组平行于l0的直线l:4x+3y=z,
当直线l经过P点时z=4x+3y取得最大值,
由解得:交点P,
所以有zmax=4×+3×1=13(万元).
所以生产A产品2.5
t,B产品1
t时,总利润最大,为13万元.课时训练13 一元二次不等式
1.设f(x)=x2+bx+1,且f(-1)=f(3),则f(x)>0的解集是( )
A.(-∞,-1)∪(3,+∞)
B.R
C.{x|x≠1}
D.{x|x=1}
答案:C
解析:由f(-1)=f(3),得b=-2,
∴f(x)=x2-2x+1,
∴f(x)>0的解集是{x|x≠1}.
2.函数y=的定义域为( )
A.{x|x≥0}
B.{x|x≥1}
C.{x|x≥1}∪{0}
D.{x|0≤x≤1}
答案:C
解析:要使函数有意义,自变量x的取值需满足解得:x≥1或x=0.
3.若关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式>0的解集为( )
A.(-1,2)
B.(-∞,-1)∪(2,+∞)
C.(1,2)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
答案:B
解析:因为关于x的不等式ax-b>0的
( http: / / www.21cnjy.com )解集为(1,+∞),所以a>0,且=1,即a=b,所以关于x的不等式>0可化为>0,其解集是(-∞,-1)∪(2,+∞).
4.不等式-1<<1的解集为 .
答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:-1<<1 x<-1或x>1.
5.关于x的不等式x2-mx+5≤4的解集只有一个元素,则实数m= .
答案:±2
解析:不等式变为x2-mx+1≤0,由于其解集只有一个元素,所以Δ=m2-4=0,解得:m=±2.
6.如果A={x|ax2-ax+1<0}= ,则实数a的取值范围是 .
答案:[0,4]
解析:由题意知
∴0
当a=0时,A={x|1<0}= ,符合题意.
7.解:下列不等式:(1)-x2+
( http: / / www.21cnjy.com )7x>6;(2)3x2+5x-2>0;(3)x2-2x+3<0;(4)ax2-(a+1)x+1<0(a为常数且a<1).
解:(1)不等式两边同乘-1,原不
( http: / / www.21cnjy.com )等式可化为x2-7x+6<0.方程x2-7x+6=0的解为x1=1,x2=6.根据函数y=x2-7x+6的图象,如图(1),可得原不等式-x2+7x>6的解集是{x|1(2)方程3x2+5x-2=0的两解是x1=
( http: / / www.21cnjy.com )-2,x2=,根据函数y=3x2+5x-2的图象,如图(2),可得原不等式3x2+5x-2>0的解集为.
(3)∵Δ=(-2)2-4
( http: / / www.21cnjy.com )×1×3=-8<0,∴方程x2-2x+3=0无实数解,根据函数y=x2-2x+3的图象,如图(3),可得原不等式x2-2x+3<0的解集为 .
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(4)①若a=0,则原不等式可化为-x+1<0,即x>1.
②若a<0,则原不等式化为(x-1)>0,即x<或x>1.
③若0综上所述:当a<0时,解集为;
当a=0时,解集为{x|x>1};
当08.要使函数y=mx2+(m-1)x+(m-1)的值恒为负数,求实数m的取值范围.(导学号51830107)
解:(1)当m=0时,函数即为y=-x-1,其值不恒为负数,故m≠0.
(2)当m≠0时,所给函数是x的二次函数,要使其值恒为负数,必须且只需m满足
即
即故得m<-.
综上所述,实数m的取值范围是.
9.某蛋糕厂生产某种蛋糕
( http: / / www.21cnjy.com )的成本为40元/个,出厂价为60元/个,日销售量为1
000个,为适应市场需求,计划提高蛋糕档次,适度增加成本.若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0(1)写出y与x的关系式;
(2)为使日利润有所增加,求x的取值范围.
解:(1)由题意,得
y=[60×(1+0.5x)-40×(1+x)]×1
000×(1+0.8x)=2
000(-4x2+3x+10)(0(2)要保证日利润有所增加,
则
解得:0所以为保证日利润有所增加,x的取值范围是.
10.解:关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R).(导学号51830108)
解:原不等式可化为(x-a)(x-a2)>0.
当a<0时,aa2};
当a=0时,a2=a,原不等式的解集为{x|x≠0};
当0a};
当a=1时,a2=a,原不等式的解集为{x|x≠1};
当a>1时,aa2}.
综上可知,
当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|xa2};
当0a};
当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠1};
当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠0}.
11.已知不等式x2+px+1>2x+p.
(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立,求x的取值范围;
(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立,求p的取值范围.(导学号51830109)
解:(1)不等式化为(x-1)p+x2-2x+1>0.
令f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,
则f(p)的图象是一条直线.
∵|p|≤2,∴-2≤p≤2.于是得
即
即解得:x>3或x<-1.
故x的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).
(2)不等式可化为(x-1)p>-x2+2x-1.
∵2≤x≤4,
∴x-1>0.
∴p>=1-x.
令f(x)=1-x,
则f(x)在x∈[2,4]上单调递减.
∴f(x)max=f(2)=-1.
∴p>-1.
故p的取值范围是(-1,+∞).课时训练14 二元一次不等式表示的平面区域
二元一次不等式组表示的平面区域
1.不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在坐标平面内表示的区域(阴影部分)是下列图形中的( )
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答案:C
解析:∵(x-2y+1)(x+y-3)≤0,
∴故选C.
2.在平面直角坐标系中,若不等式组表示的平面区域的面积为4,则实数t的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:B
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解析:如图,S=×[t+2-(2-t)]×t=4,所以t=2(t=-2舍去).
3.若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则正数a的取值范围是( )
A.
B.(0,1]
C.
D.(0,1]∪
答案:D
解析:
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画出前三个不等式表示的平面区域为图中△
( http: / / www.21cnjy.com )OAB,当直线l:x+y=a在l0与l1之间(包括l1)时不等式组表示的平面区域为三角形;当l在l2的位置或从l2向右移动时,不等式组表示的平面区域是三角形,又l在l1,l2的位置时,a的值分别为1,.所以04.表示满足(x-y)(x+2y-2)≥0的点(x,y)所在的区域应为下列区域中的 .
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答案:④
解析:(x-y)(x+2y-2)≥0 画出其表示的区域可知选④.
5.直线l:x+y-4=0与线段AB有公共点,其中点A(a+2,3),点B(1,2a),则a的取值范围为 .
答案:-1≤a≤
解析:因为A,B两点在直线l的两侧或其上,
所以(a+2+3-4)(1+2a-4)≤0,
即(a+1)(2a-3)≤0,
解得:-1≤a≤.
6.在平面直角坐标系中,若不等式组
(a为常数)所表示的平面区域内的面积等于2,则a的值为 .
答案:3
解析:如图阴影部分即为满足的平
( http: / / www.21cnjy.com )面区域,而ax-y+1=0的直线恒过(0,1),故看作直线绕点(0,1)旋转,由于平面区域内的面积为2,且直线x-1=0与直线ax-y+1=0交点的横坐标为1,所以直线ax-y+1=0过点(1,4),即a-4+1=0,a=3.
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7.画出不等式组表示的平面区域.
解:不等式x<3表示直线x=3左侧点的集合;
不等式2y≥x,即x-2y≤0表示直线x-2y=0上及其左上方点的集合;
不等式3x+2y-6≥0表示直线3x+2y-6=0上及其右上方点的集合;
不等式3y0表示直线x-3y+9=0右下方点的集合.
综上可得,不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分.
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8.用不等式组表示图中的阴影部分.
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解:利用两点式求得
AB:x+y+15=0,
BC:x-2y-4=0,
CD:3x+2y-12=0,
DA:3x-17y+45=0.
取特殊点(0,0)代入x+y+15,得0+0+15>0,
所以阴影部分在不等式x+y+15≥0所表示平面区域内.
同理可知它分别在不等式x-2y-4≤0,3x+2y-12≤0,3x-17y+45≥0所表示的平面区域内.
故所求的不等式组为
9.在坐标平面上,求不等式组所表示的平面区域的面积.
解:原不等式组可化为
画出上述不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,则△ABC的面积即为所求.
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S△ABC=S△ADC+S△ADB=×2×1+×2×.
10.投资生产A产品时,每生产100吨
( http: / / www.21cnjy.com )需要资金200万元,需场地200平方米;投资生产B产品时,每生产100米需要资金300万元,需场地100平方米.现某单位可使用资金1
400万元,场地900平方米,用数学关系式和图形表示上述要求.
解:先将已知数据列成表,如下所示:
消耗量产品
资金/百万元
场地/百平方米
A产品/百吨
2
2
B产品/百米
3
1
然后根据此表设未知数,列出限制条件,最后作图即可.设生产A产品x百吨,生产B产品y百米,
则用图形表示以上限制条件,得其表示的平面区域如图中阴影部分所示.
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11.在平面直角坐标系xOy中,已知平面区
( http: / / www.21cnjy.com )域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0},求平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积.(导学号51830110)
解:设
∵(x,y)∈A,∴
即
得
画出平面区域B(图略),求出面积为1.课时训练16 基本不等式的证明
1.设x,y满足x+y=40,且x,y都是正数,则xy的最大值是( )
A.400
B.100
C.40
D.20
答案:A
解析:xy≤=400,当且仅当x=y=20时,等号成立.
2.在下列函数中,最小值为2的是( )
A.y=x+
B.y=3x+3-x
C.y=lg
x+(0D.y=sin
x+
答案:B
解析:选项A中,由于x可能为
( http: / / www.21cnjy.com )负,因此y=x+最小值不是2;选项B中,3x,3-x都大于零,且3x+3-x≥2=2,当且仅当3x=3-x,即x=0时,等号成立,故B正确;选项C中,lg
x<0,因此最小值不是2;选项D中,由于sin
x∈(0,1),因此sin
x+取不到最小值2.
3.若a>b>1,P=,Q=,R=lg,则下列结论正确的是( )(导学号51830113)
A.RB.PC.QD.P答案:B
解析:∵a>b>1,∴lg
a>lg
b>0.
∴R=lg>lglg(ab)==Q>=P.
4.已知a>b>c,则的大小关系是 .
答案:
解析:∵a>b>c,
∴a-b>0,b-c>0,
∴,
当且仅当a-b=b-c,
即2b=a+c时,取“=”.
5.设x>0,y>0,不等式≥0恒成立,则实数m的最小值是 .
答案:-4
解析:原问题等价于≥-恒成立,
∵x>0,y>0,∴等价于m≥-(x+y)的最大值,
而-(x+y)=-2-≤-2-2=-4,
当且仅当x=y时取“=”,故m≥-4.
6.已知a,b∈(0,+∞),则下列各式中不成立的是 .
①a+b+≥2 ②(a+b)·≥4
③≥2 ④
答案:④
解析:a+b+≥2
≥2=2,所以①正确.
(a+b)≥2·2=4,所以②正确.
=2,所以③正确.
a+b≥2,∴,故④错误.
7.已知a,b,c,d∈(0,+∞),求证:≥4.
证明:.
∵a,b,c,d∈(0,+∞),
∴≥2=2,
≥2=2.
∴≥2+2=4,
当且仅当a=b且c=d时取“=”.
8.已知a,b,c均为正数,a,b,c不全相等.求证:>a+b+c.(导学号51830114)
证明:∵a>0,b>0,c>0,
∴≥2=2c,
≥2=2a,
≥2=2b.
∵a,b,c不全相等,故上述等号至少有一个不成立.
∴>a+b+c.
9.已知a>b>0,全集I=R;M=,N={x|解:由0又 RN={x|x≤或x≥a},如图所示.
∴M∩( RN)={x|b10.求函数f(x)=+x的值域.(导学号51830116)
解:f(x)=+x=+x-2+2.
若x>2,则x-2>0,
∴f(x)=+x-2+2
≥2+2=4.
当且仅当=x-2,即x=3时取“=”.
若x<2,则2-x>0,
-f(x)=-+2-x-2,
∴-f(x)=+2-x-2
≥2-2=0.
∴f(x)≤0.
当且仅当=2-x,即x=1时取“=”.
∴f(x)=+x的值域为(-∞,0]∪[4,+∞).课时训练12 不等关系
1.若a>b>c且a+b+c=0,则下列不等式中正确的是( )
A.ab>ac
B.ac>bc
C.a|b|>c|b|
D.a2>b2>c2
答案:A
解析:由a>b>c及a+b+c=0知a>0,c<0.
∵a>0,b>c,∴ab>ac.
2.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是( )
A.f(x)>g(x)
B.f(x)=g(x)
C.f(x)D.随x值变化而变化
答案:A
解析:∵f(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,∴f(x)>g(x).
4.若x∈R,则的大小关系为 .
答案:
解析:∵≤0,
∴.
5.若8答案:(2,5)
解析:∵2∵86.已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b的取值范围为 .
答案:(-∞,-1)
解析:若a>0,由ab2>a>ab得b2>1>b,∴b<-1;若a<0,由ab2>a>ab得b2<11,∴b2>1.
所以上式不成立.
所以b的取值范围是(-∞,-1).
7.某市环保局为增加城市的绿地面积,提出
( http: / / www.21cnjy.com )两个投资方案:方案A为一次性投资500万元;方案B为第一年投资5万元,以后每年都比前一年增加10
万元.列出不等式表示“经n年之后,方案B的投入不少于方案A的投入”.
解:经过n年后,方案B的投入为5n+×10.
由题意知5n+×10≥500.
8.已知a>b(ab≠0),试比较的大小.
解:方法一:,
而b-a<0,故当ab<0,即a>0>b时,>0,
∴;
当ab>0,即a>b>0或0>a>b时,<0,
∴.
方法二:当ab>0时,,即;
当ab<0时,,即.
9.某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少
( http: / / www.21cnjy.com )运送180吨救援物资的任务.该公司有8辆载重为6吨的A型卡车与4辆载重为10吨的B型卡车,有10名驾驶员,每辆卡车每天往返的次数是A型卡车为4次,B型卡车为3次.为了完成任务,A型卡车与B型卡车的派出数量应满足怎样的不等关系 用不等式的形式写出来.
解:设每天从该公司调出A型卡车x辆,B型卡车y辆,则由题意,得
10.设a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2.(导学号51830106)
证明:3a3+2b3-(3a2b+2ab2)
=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b).
因为a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>0,
所以(3a2-2b2)(a-b)≥0,
即3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
11.设x,y为实数,满足3≤xy2≤8,4≤≤9,求的最大值.
解:由4≤≤9,得16≤≤81.
∵3≤xy2≤8,∴,∴2≤≤27.
∵x=3,y=1满足条件,这时=27,
∴的最大值是27.课时训练17 基本不等式的应用
1.已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值等于( )
A.10
B.9
C.8
D.7
答案:B
解析:∵a>0,b>0,∴2a+b>0,
∴要使恒成立,
只需m≤(2a+b)·恒成立,
而(2a+b)·=4++1≥5+4=9,
当且仅当a=b时,等号成立,故m≤9.
2.建造一个容积为8
m3,深为2
m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为180元和80元,那么水池的最低总造价为( )
A.1
000元
B.2
000元
C.2
720元
D.4
720元
答案:B
解析:设水池底面一边长为x
m,则另一边为
m,
总造价y=4×180+×80
=320+720≥1
280+720=2
000,
当且仅当x=,即x=2时,等号成立.
3.设a>0,b>0,若是3a与3b的等比中项,则的最小值为( )
A.
B.1
C.2
D.4
答案:D
解析:∵是3a与3b的等比中项,
∴3a·3b=3,即3a+b=3,有a+b=1.
∵a>0,b>0,∴,即ab≤.
∴=4.
当且仅当a=b=时,等号成立.
4.已知函数y=+9x,
(1)若x∈(0,+∞),当x= 时,函数有最小值为 ;
(2)若x∈,当x= 时,函数有最小值为 ;
(3)若x∈[4,+∞),当x= 时,函数有最小值为 .
答案:(1) 12 (2) (3)4 37
解析:(1)∵x>0,∴y=+9x≥12.
当且仅当=9x,即x=时,取到等号.
故当x=时,函数y=+9x有最小值12.
(2)∵y=+9x在上单调递减,在上单调递增,∴x=时,ymin=.
故若x∈,当x=时,函数y=+9x有最小值为.
(3)∵y=+9x在上单调递增,
∴当x=4时,ymin=37.
故若x∈[4,+∞),当x=4时,函数y=+9x有最小值为37.
5.已知关于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为 .
答案:
解析:∵x>a,∴x-a>0,
∴2x+=2(x-a)++2a≥4+2a,当且仅当x=a+1时取“=”.
由题意知,4+2a≥7,故a≥.
6.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是 .
答案:
解析:∵x2+y2+xy=1,
∴(x+y)2=xy+1.
又∵xy≤,
∴(x+y)2≤+1,
即(x+y)2≤1.
∴(x+y)2≤.
∴-≤x+y≤.
∴x+y的最大值为.
7.如图所示的某水泥渠道,横断面为等腰梯形
( http: / / www.21cnjy.com ),为保证额定流量,面积不得小于S.若两侧面的倾角均为60°,为使水泥用料最省,则腰长a与底宽b之比是多少
解:梯形面积S=a=a(a+2b).
∵S为定值,
∴a(a+2b)为定值.
设周长l=2a+b,
∵3a(a+2b)≤=l2,
又3a(a+2b)=4S(定值),
∴当3a=a+2b时,l=2a+b有最小值,此时a=b.
∴a∶b=1∶1.
8.某种汽车,购车费用是10万元,每年
( http: / / www.21cnjy.com )使用的保险费、汽油费等约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元.问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少
解:设使用x年时年平均费用为y万元.
由于“年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元”,可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项,0.2万元为公差的等差数列.
因此,汽车使用x年总的维修费为·x万元.
则y=
=1+≥1+2=3.
当且仅当,即x=10时,y取最小值.
答:汽车使用10年时年平均费用最少.
9.已知a,b是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞).
(1)求证:,指出等号成立的条件;
(2)利用(1)的结论求函数f(x)=的最小值,指出取最小值时x的值.(导学号51830117)
解:(1)(x+y)=a2+b2+a2+b2≥a2+b2+2=(a+b)2,
故.
当且仅当a2=b2,即时上式取等号.
(2)由(1)得f(x)==25.当且仅当,
即x=时,上式取等号,即[f(x)]min=25.
10.如图,建立平面直角坐标系xO
( http: / / www.21cnjy.com )y,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1)求炮的最大射程;
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它 请说明理由.
解:(1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x>0,k>0,
故x==10,当且仅当k=1时取等号.
所以炮的最大射程为10千米.
(2)因为a>0,所以炮弹可击中
( http: / / www.21cnjy.com )目标 存在k>0,使3.2=ka-(1+k2)a2成立 关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根 判别式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0 a≤6.
所以当a不超过6(千米)时,可击中目标.
11.某厂家拟在2016年举行促销活动
( http: / / www.21cnjy.com ),经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(单位:万元)(m≥0)满足x=3-(k为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销售量只能是1万件.已知2016年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每年产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).
(1)将2016年该产品的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m(单位:万元)的函数;
(2)该厂家2016年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大 并求出最大利润.
解:(1)由题意知,当m=0时,x=1,
∴1=3-,即k=2.∴x=3-.
∵每件产品的销售价格为元,
∴2016年的利润y=x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8-m=-+29(m≥0).
(2)当m≥0时,+(m+1)≥2=8,
则y≤-8+29=21,当且仅当=m+1(m≥0),即m=3时,ymax=21.
即该厂家2016年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,最大利润为21万元.第3章过关检测
(时间:90分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
2.若直线=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于( )
A.2
B.3
C.4
D.5
答案:C
解析:∵直线=1过点(1,1),
∴=1.
又a,b均大于0,∴a+b=(a+b)=1+1+≥2+2=2+2=4,故选C.
3.有三个房间需要粉刷,粉刷方案
( http: / / www.21cnjy.com )要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且xA.ax+by+cz
B.az+by+cx
C.ay+bz+cx
D.ay+bx+cz
答案:B
解析:不妨设x=1,y=2,z=3,a=4,b=5,c=6,
选项A,ax+by+cz=4+10+18=32;
选项B,az+by+cx=12+10+6=28;
选项C,ay+bz+cx=8+15+6=29;
选项D,ay+bx+cz=8+5+18=31,故选B.
4.已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a=( )
A.3
B.2
C.-2
D.-3
答案:B
解析:由约束条件画出可行域,如图阴影部分所示.
( http: / / www.21cnjy.com )
线性目标函数z=ax+y,即y=-ax+z.
设直线l0:ax+y=0.
当-a≥1,即a≤-1时,l0过O(0,0)时,z取得最大值,zmax=0+0=0,不合题意;
当0≤-a<1,即-1当-1<-a<0时,即0当-a≤-1,即a≥1时,l0过A(2,0)时,z取得最大值,zmax=2a+0=4,∴a=2.综上,a=2符合题意.
5.设f(x)=ln
x,0A.q=rB.p=rC.q=r>p
D.p=r>q
答案:B
解析:因为0又因为f(x)=ln
x在(0,+∞)上单调递增,
所以f>f(),即p而r=(f(a)+f(b))=(ln
a+ln
b)
=ln(ab)=ln,
所以r=p,故p=r6.若实数a,b满足,则ab的最小值为( )
A.
B.2
C.2
D.4
答案:C
解析:由已知,可知a,b同号,且均大于0.由≥2,得ab≥2.
即当且仅当,即b=2a时等号成立,故选C.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
7.在R上定义运算☆:a☆b=ab+2a+b,则满足x☆(x-2)<0的实数x的取值范围为 .
答案:(-2,1)
解析:根据定义得:x☆(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2<0,解得:-2所以所求的实数x的取值范围为(-2,1).
8.(2016课标全国高考丙卷)设x,y满足约束条件则z=2x+3y-5的最小值为 .(导学号51830119)
答案:-10
解析:满足已知条件的可行域为如图所示的阴影部分,其中A(1,0),B(-1,-1),C(1,3).
( http: / / www.21cnjy.com )
∵z=2x+3y-5,
∴y=-.
作直线y=-x,并在可行域内移动,当直线经过点B时,直线在y轴上的截距最小,即z最小.
故zmin=2×(-1)+3×(-1)-5=-10.
9.已知a>0,b>0,则+2的最小值是 .
答案:4
解析:因为+2≥2+2
=2≥4,当且仅当,且,即a=b=1时,取“=”.
10.(2016课标全国高考乙卷)
( http: / / www.21cnjy.com )某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5
kg,乙材料1
kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5
kg,乙材料0.3
kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2
100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150
kg,乙材料90
kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.(导学号51830120)
答案:216
000
解析:设生产产品A
x件,生产产品B
y件,
由题意得
即
目标函数z=2
100x+900y,画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分中的整数点所示),
( http: / / www.21cnjy.com )
作直线y=-x,当直线过5x+3y=600与10x+3y=900的交点时,z取最大值,
由
所以zmax=2
100×60+900×100=216
000.
三、解答题(本大题共4小题,共50分)
11.(本小题满分12分)解关于x的不等式:2x2+ax+2>0.
解:Δ=a2-4×2×2=a2-16.
(1)当Δ>0,即a<-4或a>4时,方程2x2+ax+2=0的两根为x1=,x2=,
原不等式的解集为
.
(2)当Δ=0,即a=±4时,方程2x2+ax+2=0的两根x1=x2=-,
原不等式的解集为.
(3)当Δ<0,即-412.(本小题满分12分)
( http: / / www.21cnjy.com )如图,某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室,在温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道,沿前侧内墙保留3米宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大 最大种植面积是多少
( http: / / www.21cnjy.com )
解:设矩形的一边长为x米,
则另一边长为米,
则种植蔬菜的区域宽为(x-4)米,长为米.
由得4∴其面积为S=(x-4)
=808-
≤808-2=648,
当且仅当2x=,
即x=40∈(4,400)时取等号.
故当矩形温室的边长分别为40米,20米时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是648平方米.
13.(本小题满分12分)已知lg(3x)+lg
y=lg(x+y+1).
(1)求xy的最小值;
(2)求x+y的最小值.(导学号51830121)
解:由lg(3x)+lg
y=lg(x+y+1),
得
(1)∵x>0,y>0,
∴3xy=x+y+1≥2+1.
∴3xy-2-1≥0.
即3()2-2-1≥0.
∴(3+1)(-1)≥0.
∴≥1.∴xy≥1.
当且仅当x=y=1时,等号成立.
∴xy的最小值为1.
(2)∵x>0,y>0,
∴x+y+1=3xy≤3·.
∴3(x+y)2-4(x+y)-4≥0.
∴[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0.
∴x+y≥2.
当且仅当x=y=1时取等号.
∴x+y的最小值为2.
14.(本小题满分14分)设f(x)=mx2-mx-6+m.
(1)若对于m∈[-2,2],f(x)<0恒成立,求实数x的取值范围;
(2)若对于x∈[1,3],f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围.(导学号51830122)
解:(1)依题意,设g(m)=(x2-x+1)m-6,
则g(m)是关于m的一次函数,且一次项系数x2-x+1=>0,
∴g(m)在[-2,2]上递增.
∴欲使f(x)<0恒成立,需g(m)max=g(2)=2(x2-x+1)-6<0,
解得:x的取值范围为-1(2)方法一:∵f(x)=mm-6<0在x∈[1,3]上恒成立,
∴或m<0,
解得:m<.
方法二:要使f(x)=m(x2-x+1)-6<0在[1,3]上恒成立,
则有m<在x∈[1,3]上恒成立,
而当x∈[1,3]时,
,
∴m<,∴m<.