课后限时练12 带电粒子在交变场中的运动及磁聚焦(发散)
1．带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一。磁聚焦原理如图，真空中半径为r的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一束宽度为2r、沿x轴正方向运动的电子流射入该磁场后聚焦于坐标原点O。已知电子的质量为m、电荷量为e、进入磁场的速度均为v，不计粒子间的相互作用力，则磁感应强度的大小为( )
A． B．
C． D．
2．(2025·湖北荆州12月调研)如图所示，在边长为L的正方形ABCD阴影区域内存在垂直纸面的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q(q<0)的带电粒子以大小为v0的速度沿纸面垂直AB边射入正方形，若粒子从AB边上任意点垂直射入，都只能从C点射出磁场，不计粒子的重力影响，下列说法正确的是( )
A．此匀强磁场的方向可能垂直纸面向外
B．此匀强磁场的磁感应强度大小为
C．此匀强磁场区域的面积为
D．此匀强磁场区域的面积为
3．(12分)图示为芯片制造过程中离子注入工作原理简化示意图。虚线圆Ⅱ与半径为R1的虚线圆Ⅰ相切于P点，内部存在方向垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小相等，方向相反。从离子源发出大量的某种带正电离子在电场加速后均以大小为v的速度沿直线通过速度选择器，进入区域Ⅰ后均通过P点再进入区域Ⅱ，最后都垂直打在硅片上，完成离子注入。已知速度选择器中磁感应强度的大小为B1，离子质量为m，电荷量为q，ab与cd间的距离为d。整个系统置于真空中，离子重力及相互作用均不计。求：
(1)ab与cd间的电压U；
(2)区域Ⅰ中的磁感应强度大小B2；
(3)虚线圆Ⅱ的半径R2。
4．(16分)(2025·福建漳州二模)如图甲为实验室中利用磁场偏转的粒子收集装置原理图，在空间直角坐标系O xyz中，有一个边长为l的正方形荧光屏abcd可沿x轴移动，荧光屏平行于Oyz平面，cd在Oxz平面内，d点在x轴上。在该空间加沿x轴负方向的磁场Bx和沿y轴正方向的磁场By，磁感应强度Bx、By的大小随时间t周期性变化的规律如图乙所示。t＝0时刻，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，以初速度v0从A点(0，l，0)沿x轴正方向进入该空间。
(1)求粒子在磁场中的运动半径；
(2)若经过时间，该粒子恰好到达荧光屏，求荧光屏位置的x轴坐标和粒子打在屏幕上的坐标；
(3)若粒子到达荧光屏时的速度方向与屏幕的夹角为60°，求荧光屏位置的x轴坐标的可能取值。
5．(16分)如图甲所示，在平面直角坐标系Oxy中，第二象限内存在水平向右的匀强电场，第一、第四象限内交替存在竖直方向的周期性变化电场和垂直纸面的周期性变化磁场，交变电场的电场强度大小和交变磁场的磁感应强度大小按图乙规律变化(其中电场方向沿y轴负向为正方向，磁场方向垂直纸面向里为正方向)。一质量为m、电荷量为q的微粒，以大小为v0的速度从x轴负半轴的P(－L，0)点垂直于x轴进入第二象限，t＝0时刻，以速度大小2v0垂直于y轴方向进入第一象限。已知交变电场和交变磁场的周期均为T＝，重力加速度为g。求：
(1)第二象限匀强电场的电场强度的大小(结果不得含有L)；
(2)自t＝0时刻起微粒再次打到x轴上时的位置(结果用L表示)和经过的时间；
课后限时练12
1．C [由题可知，从左侧任选一束电子流A经磁场偏转后，通过坐标原点O，如图所示，由于电子沿水平方向射入磁场，半径与速度方向垂直，可知AO2∥O1O，由几何关系可知，平行四边形AO2OO1为菱形，因此电子在磁场中运动的轨道半径R＝r，又由于evB＝，可知磁感应强度的大小为B＝，故选C。]
2．D [若保证所有的粒子均从C点离开此区域，则由左手定则可判断匀强磁场的方向应垂直纸面向里，故A错误；由A点射入磁场的粒子从C点离开磁场，由磁聚焦模型规律可知该粒子的轨迹半径应为R＝L，则由洛伦兹力提供向心力可得qBv0＝m，可解得B＝，故B错误；由几何关系可知匀强磁场区域的面积为S＝2×，故C错误，D正确。]
3．解析：(1)离子在速度选择器内做直线运动，受到的静电力与洛伦兹力平衡，则有qE＝qvB1，而E＝，解得U＝B1dv。
(2)离子在区域Ⅰ内做匀速圆周运动，则有qvB2＝m
离子以相同的速度射入圆形磁场区域Ⅰ后聚焦于P点射出磁场，则在圆形磁场区域Ⅰ内做匀速圆周运动的轨迹半径等于圆形磁场区域Ⅰ的半径，即r1＝R1，解得B2＝。
(3)离子在区域Ⅱ内做匀速圆周运动，则有qvB2＝m
离子在圆形磁场区域Ⅱ内做匀速圆周运动的轨迹半径等于圆形磁场区域Ⅱ的半径，即r2＝R2，联立解得R2＝R1。
答案：(1)B1dv (2) (3)R1
4．解析：(1)粒子所受的洛伦兹力充当向心力，qv0B0＝，可解得R＝。
(2)大小为B0的磁场内，粒子的周期为T＝，解得T＝，所以题图中每段磁场持续的时间为t'＝T，因此在第1、4个的时间内，粒子向x轴正方向移动了2R的距离，在第2、3个的时间内，粒子向y轴负方向移动了2R的距离，故荧光屏在x轴上的位置应为。
(3)由粒子的轨迹易知：当粒子的速度与z轴正方向的夹角为60°时，x＝＋2nR，同时满足粒子不飞出荧光屏，则l≥2n，得n≤，且n取非负整数。当粒子的速度与z轴负方向的夹角为60°时，x＝＋2nR，同时满足粒子不飞出荧光屏，则l≥2(n＋1)，得n≤－1，且n取非负整数。
答案：(1) (2) (3)见解析
5．解析：(1)微粒在第二象限中的运动可分解为水平方向匀加速，竖直方向匀减速，水平方向Eq＝ma，2v0＝at，竖直方向v0＝gt，联立可得E＝。
(2)微粒进入第二象限内时，水平方向位移x＝＝L，竖直方向位移y＝，微粒进入第一象限后，0~时间内，F洛＝2Bqv0＝mg，合力为零，微粒沿水平方向做匀速直线运动，~时间内，F合＝E1q＋mg＝2mg＝ma1，a1＝2g，方向沿y轴负向，~T时间内，F合＝E2q－mg＝2mg＝ma2，a2＝2g，方向沿y轴正向，~T时间内，沿y轴方向的位移大小y＝2××2g，
可得，微粒经过两个周期，正好再次到达x轴上，运动轨迹如图所示，故微粒再次打到x轴上时的位置x＝2v0·2T＝4L，经过的时间t＝2T＝2。
答案：(1) (2)4L 2
4/4第12课时 带电粒子在交变场中的运动及磁聚焦(发散)(思维进阶课)
【备考指南】
1．关注带电粒子在交变电、磁场中运动问题的分析方法，掌握带电粒子运动的常见模型。
2．运用动态思维，对磁聚焦、磁发散问题根据题设条件画好轨迹、定好圆心、建立几何关系，充分利用数学工具解决物理问题。
进阶点一 带电粒子在交变电、磁场中的运动
解决带电粒子在交变电、磁场中运动的基本思路
[典例1] [电场具有周期性](2024·广东卷)如图甲所示。两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为U0、周期为t0的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场。磁感应强度大小为B。一带电粒子在t＝0时刻从左侧电场某处由静止释放，在t＝t0时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在t＝2t0时刻第一次离开金属板间的电场，水平向右进入磁场，并在t＝3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。
(1)判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q；
(2)求金属板的板间距离D和带电粒子在t＝t0时刻的速度大小v；
(3)求从t＝0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，静电力对粒子做的功W。
[听课记录]
常见交变电、磁场几种类型分析
方式 情境图示 情境解读
磁场恒定，电场周期变化 粒子的入射时刻为t＝0 y＝sin θ＝电场恒定，磁场周期变化 粒子的入射时刻为t＝0 x＝4r y＝0
电场与磁场交替出现 粒子的入射时刻为t＝0 v＝at＝＝ x＝＝
进阶点二 磁聚焦和磁发散模型
磁聚焦与磁发散模型
磁聚焦与磁发散 成立条件：磁场区域圆的半径等于轨迹圆的半径r＝ 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹圆半径与磁场区域圆半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射速度方向平行
带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹圆半径与磁场区域圆半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行
[典例2] [磁聚焦、磁发散模型](多选)利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图所示，宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B0，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为r0的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是( )
A．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0，方向垂直纸面向里
B．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直纸面向里
C．正方形区域中匀强磁场的最小面积为
D．正方形区域中匀强磁场的最小面积为
[听课记录]
1．[类平抛运动＋极值问题](2025·河南周口重点高中开学考试)如图甲所示，长为8d、间距为d的平行金属板水平放置，O点有一粒子源，能持续水平向右发射初速度为v0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子。两板间存在如图乙所示的交变电场，已知OO′连线与金属板平行，取竖直向下为正方向，不计粒子重力及粒子间相互作用，以下判断正确的是( )
A．粒子在电场中运动的最短时间为
B．射出粒子的最大动能为
C．t＝时刻进入电场的粒子，从O′点射出
D．t＝时刻进入电场的粒子，从O′点射出
2．[带电粒子在交变磁场中的运动]如图甲所示，平面直角坐标系xOy的第一象限(含坐标轴)内有垂直于平面周期性变化的均匀磁场(未画出)，规定垂直于xOy平面向里的磁场方向为正，磁场变化规律如图乙，已知磁感应强度大小为B0，不计粒子重力及磁场变化影响。某一带负电的粒子质量为m、电荷量为q，在t＝0时从坐标原点沿y轴正向射入磁场中，将磁场变化周期记为T0，要使粒子在t＝T0时距y轴最远，sin 53°＝0.8，sin 37°＝0.6，则T0的值为( )
A． B．
C． D．
3．[磁聚焦模型](多选)(2025·湖北黄冈10月诊断)如图所示，在一个半径为R的圆形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，O为磁场区域的圆心。现有一质量为m、电荷量为q的带负电粒子从距直径MON为的P点平行于直径MON射入磁场，其运动轨迹通过磁场圆的圆心O。不计粒子重力，则下列说法正确的是( )
A．粒子运动的轨迹半径为R
B．粒子射入磁场的速度大小为
C．粒子在磁场中的运动时间为
D．粒子会从O点正下方射出磁场
第12课时 带电粒子在交变场中的运动及磁聚焦(发散)(思维进阶课)
进阶点一
典例1 解析：(1)根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹结合左手定则可知，粒子带正电；粒子在磁场中运动的周期为T＝2t0
根据T＝
则粒子所带的电荷量q＝。
(2)若金属板的板间距离为D，则板长为＝vt0
出电场时竖直速度为0，则竖直方向y＝2×(0.5t0)2
在磁场中时qvB＝m
其中的y＝2r＝
联立解得v＝π，D＝。
(3)带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图。
由(2)的计算可知金属板的板间距离D＝3r
粒子在3t0时刻再次进入中间的偏转电场，在4t0时刻进入左侧的电场做减速运动，速度为0后反向加速，在6t0时刻再次进入中间的偏转电场，6.5t0时刻碰到上极板，因粒子在偏转电场中运动时，在时间t0内静电力做功为0，在左侧电场中运动时，往返一次静电力做功也为0，可知整个过程中只有从左侧电场静止释放到t0时刻将要进入金属板间的电场时静电力做功和最后0.5t0时间内静电力做功，则
W＝mv2＋。
答案：(1)正电 (2) π (3)
进阶点二
典例2 BC [根据磁聚焦原理，粒子在半径为r0的圆形磁场区域中运动，粒子运动的轨迹半径为r0，有qB0v＝m，解得B0＝，要使汇聚到O点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，作出轨迹如图所示，由几何关系可知粒子的轨迹半径2r0，正方形中磁场区域内应该为圆形磁场的一部分，有qB1v＝m，解得B1＝，比较可得B1＝B0，由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A错误，B正确；如图，磁场区域的最小面积为S2＝2(π－2)，C正确，D错误。 故选BC。]
随堂练——研高考·测风向
1．D [由题图乙可知，电场的电场强度大小为E＝，由牛顿第二定律可知粒子在电场中的加速度大小为a＝a，解得tmin＝，选项A错误；能从板间射出的粒子在板间运动的时间均为t＝
m，选项B错误；t＝T＝>tmin，可知粒子打在金属板上，选项C错误；t＝T时刻进入电场的粒子，沿电场方向的运动规律为先向下加速T，后向下减速T速度到零，然后向上加速T，再向上减速T速度到零……如此反复，则最后粒子射出电场时沿电场方向的位移为零，故粒子将从O'点射出，选项D正确。]
2．A [粒子在磁场中做匀速圆周运动，0~T0时间内，有qv0B0＝m，解得r1＝，周期为T1＝T0~T0时间内，有qv0×B0＝m，解得r2＝＝1.5r1，周期为T2＝＝1.5T1，
要求在T0时，粒子距y轴最远，做出粒子运动轨迹如图，根据几何关系，可得sin θ＝＝0.6，解得θ＝37°，则0~T0时间内圆周运动转过的圆心角为π－θ＝143°，可得T0＝T1，联立，解得T0＝。故选A。]
3．AD [作出粒子的运动轨迹如图所示，由几何关系可知，cos∠O1PO＝，可得∠O1PO＝60°，由几何关系可得粒子运动的轨迹半径为r＝R，故粒子将从O点正下方射出磁场，选项A、D正确；由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，可得粒子射入磁场的速度大小为v＝，选项B错误；由几何关系可知，粒子在磁场中轨迹所对的圆心角为θ＝π，故粒子在磁场中的运动时间为t＝T＝，选项C错误。]
6/6(共40张PPT)
第12课时 带电粒子在交变场中的运动及磁聚焦
(发散)(思维进阶课)
专题三 电场与磁场
【备考指南】
1．关注带电粒子在交变电、磁场中运动问题的分析方法，掌握带电粒子运动的常见模型。
2．运用动态思维，对磁聚焦、磁发散问题根据题设条件画好轨迹、定好圆心、建立几何关系，充分利用数学工具解决物理问题。
进阶点一 带电粒子在交变电、磁场中的运动
解决带电粒子在交变电、磁场中运动的基本思路
[典例1] [电场具有周期性](2024·广东卷)如图甲所示。两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为U0、周期为t0的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场。磁感应强度大小为B。一带电粒子在t＝0时刻从左侧电场某处由静止释放，在t＝t0时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在t＝2t0时刻第一次离开金属板间的电场，水平向右进入磁场，并在t＝3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。
(1)判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q；
(2)求金属板的板间距离D和带电粒子在t＝t0时刻的速度大小v；
(3)求从t＝0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，静电力对粒子做的功W。
[解析] (1)根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹结合左手定则可知，粒子带正电；粒子在磁场中运动的周期为T＝2t0
根据T＝
则粒子所带的电荷量q＝。
(2)若金属板的板间距离为D，则板长为，粒子在板间运动时＝vt0
出电场时竖直速度为0，则竖直方向y＝2×(0.5t0)2
在磁场中时qvB＝m
其中的y＝2r＝
联立解得v＝π，D＝。
(3)带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图。
由(2)的计算可知金属板的板间距离D＝3r
粒子在3t0时刻再次进入中间的偏转电场，在
4t0时刻进入左侧的电场做减速运动，速度为0后反向加速，在6t0时刻再次进入中间的偏转电场，6.5t0时刻碰到上极板，因粒子在偏转电场中运动时，在时间t0内静电力做功为0，在左侧电场中运动时，往返一次静电力做功也为0，可知整个过程中只有从左侧电场静止释放到t0时刻将要进入金属板间的电场时静电力做功和最后0.5t0时间内静电力做功，则
W＝mv2＋＝＝。
[答案] (1)正电 (2) π (3)
模型图析 常见交变电、磁场几种类型分析
方式 情境图示 情境解读
磁场恒定，电场周期变化 粒子的入射时刻为t＝0
y＝sin θ＝＝2n(n＝1，2，3…)
方式 情境图示 情境解读
电场恒定，磁场周期变化 粒子的入射时刻为t＝0
x＝4r y＝0
方式 情境图示 情境解读
电场与磁场交替出现 粒子的入射时刻为t＝0
v＝at＝＝
x＝＝
进阶点二 磁聚焦和磁发散模型
磁聚焦与磁发散模型
磁聚焦与磁发散 成立条件：磁场区域圆的半径等于轨迹圆的半径r＝ 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹圆半径与磁场区域圆半
径相等，则粒子从磁场边界
上同一点射出，该点切线与
入射速度方向平行
磁聚焦与磁发散 成立条件：磁场区域圆的半径等于轨迹圆的半径r＝ 带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹圆半径与磁场区域圆半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行
[典例2] [磁聚焦、磁发散模型](多选)利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图所示，宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B0，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为r0的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的
匀强磁场区域，使汇聚到O点的粒子经过该磁
场区域后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射
出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，
下列说法正确的是( )
A．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0，方向垂直纸面向里
B．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直纸面向里
C．正方形区域中匀强磁场的最小面积为
D．正方形区域中匀强磁场的最小面积为
√
√
BC [根据磁聚焦原理，粒子在半径为r0的圆形磁场区域中运动，粒子运动的轨迹半径为r0，有qB0v＝m，解得B0＝，要使汇聚到O点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，作出轨迹如图所示，由几何关系可知粒子的轨迹半径2r0，正方形中磁场区域内应该为圆形磁场的一部分，有qB1v＝m，解得B1＝，比较可得B1＝B0，由左手定则可知，方向垂直纸面向里，
A错误，B正确；如图，磁场区域的最小面积为S2
＝，C正确，D错误。 故选BC。]
1．[类平抛运动＋极值问题](2025·河南周口重点高中开学考试)如图甲所示，长为8d、间距为d的平行金属板水平放置，O点有一粒子源，能持续水平向右发射初速度为v0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子。两板间存在如图乙所示的交变电场，已知OO′连线与金属板平行，取竖直向下为正方向，不计粒子重力及粒子间相互作用，以下判断正确的是( )
A．粒子在电场中运动的最短时间为
B．射出粒子的最大动能为
C．t＝时刻进入电场的粒子，从O′点射出
D．t＝时刻进入电场的粒子，从O′点射出
√
D [由题图乙可知，电场的电场强度大小为E＝，由牛顿第二定律可知粒子在电场中的加速度大小为a＝＝，则粒子在电场中运动的最短时间应满足＝，解得tmin＝，选项A错误；能从板间射出的粒子在板间运动的时间均为t＝，则任意能射出电场的粒子，射出电场时沿电场方向的速度均为零，可知射出电场时粒子的动能
均为，选项B错误；t＝＝时刻射入的粒子，先向下加速，因T＝>tmin，可知粒子打在金属板上，选项C错误；t＝＝T时刻进入电场的粒子，沿电场方向的运动规律为先向下加速T，后向下减速T速度到零，然后向上加速T，再向上减速T速度到零……如此反复，则最后粒子射出电场时沿电场方向的位移为零，故粒子将从O′点射出，选项D正确。]
2．[带电粒子在交变磁场中的运动]如图甲所示，平面直角坐标系xOy的第一象限(含坐标轴)内有垂直于平面周期性变化的均匀磁场(未画出)，规定垂直于xOy平面向里的磁场方向为正，磁场变化规律如图乙，已知磁感应强度大小为B0，不计粒子重力及磁场变化影响。某一带负电的粒子质量为m、电荷量为q，在t＝0时从坐标原点沿y轴正向射入磁场中，将磁场变化周期记为T0，要使粒子在t＝T0时距y轴最远，sin 53°＝0.8，sin 37°＝0.6，则T0的值为( )
A． B．
C． D．
√
A [粒子在磁场中做匀速圆周运动，0～T0时间内，有qv0B0＝，解得r1＝，周期为T1＝＝T0～T0时间内，有qv0×B0＝，解得r2＝＝1.5r1，周期为T2＝＝＝1.5T1，要求在T0时，粒子距y轴最远，做出粒子运动轨迹如图，根据几何关系，可得sin θ＝＝0.6，解得θ＝37°，则0～T0时间内圆周运动转过的圆心角为π－θ＝143°，可得T0＝T1，
联立，解得T0＝。故选A。]
3．[磁聚焦模型](多选)(2025·湖北黄冈10月诊断)如图所示，在一个半径为R的圆形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，O为磁场区域的圆心。现有一质量为m、电荷量为q的带负电粒子从距直径MON为的P点平行于直径MON射入磁场，其运动轨迹通过磁场圆的圆心O。不计粒子重力，则下列说法正确的是( )
A．粒子运动的轨迹半径为R
B．粒子射入磁场的速度大小为
C．粒子在磁场中的运动时间为
D．粒子会从O点正下方射出磁场
√
√
AD [作出粒子的运动轨迹如图所示，由几何关系可知，cos ∠O1PO＝＝，可得∠O1PO＝60°，由几何关系可得粒子运动的轨迹半径为r＝R，故粒子将从O点正下方射出磁场，选项A、D正确；由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，可得粒子射入磁场的速度大小为v＝，选项B错误；由几何关系可知，粒子在磁场中轨迹所对的
圆心角为θ＝π，故粒子在磁场中的运动时间为t＝
T＝，选项C错误。]
说明：单选题每小题4分，本试卷总分52分
1．带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一。磁聚焦原理如图，真空中半径为r的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一束宽度为2r、沿x轴正方向运动的电子流射入该磁场后聚焦于坐标原点O。已知电子的质量为m、电荷量为e、进入磁场的速度均为v，不计粒子间的相互作用力，则磁感应强度的大小为( )
A． B．
C． D．
课后限时练12 带电粒子在交变场中的运动及磁聚焦
(发散)(思维进阶课)
题号
1
3
5
2
4
√
C [由题可知，从左侧任选一束电子流A经磁场偏转后，通过坐标原点O，如图所示，由于电子沿水平方向射入磁场，半径与速度方向垂直，可知AO2∥O1O，由几何关系可知，平行四边形AO2OO1为菱形，因此电子在磁场中运动的轨道半径R＝r，又由于evB＝，可知磁感应强度的大小为B＝，故选C。]
题号
1
3
5
2
4
题号
2
1
3
4
5
2．(2025·湖北荆州12月调研)如图所示，在边长为L的正方形ABCD阴影区域内存在垂直纸面的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q(q<0)的带电粒子以大小为v0的速度沿纸面垂直AB边射入正方形，若粒子从AB边上任意点垂直射入，都只能从C点射出磁场，不计粒子的重力影响，下列说法正确的是( )
A．此匀强磁场的方向可能垂直纸面向外
B．此匀强磁场的磁感应强度大小为
C．此匀强磁场区域的面积为
D．此匀强磁场区域的面积为
√
D [若保证所有的粒子均从C点离开此区域，则由左手定则可判断匀强磁场的方向应垂直纸面向里，故A错误；由A点射入磁场的粒子从C点离开磁场，由磁聚焦模型规律可知该粒子的轨迹半径应为R＝L，则由洛伦兹力提供向心力可得qBv0＝，可解得B＝，故B错误；由几何关系可知匀强磁场区域的面积为S＝2×＝，故C错误，D正确。]
题号
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3．(12分)图示为芯片制造过程中离子注入工作原理简化示意图。虚线圆Ⅱ与半径为R1的虚线圆Ⅰ相切于P点，内部存在方向垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小相等，方向相反。从离子源发出大量的某种带正电离子在电场加速后均以大小为v的速度沿直线通过速度选择器，进入区域Ⅰ后均通过P点再进入区域Ⅱ，最后都垂直打在硅片上，完成离子注入。已知速度选择器中磁感应强度的大小为B1，离子质量为m，电荷量为q，ab与cd间的距离为d。整个系统置于真空中，离子重力及相互作用均不计。求：
(1)ab与cd间的电压U；
(2)区域Ⅰ中的磁感应强度大小B2；
(3)虚线圆Ⅱ的半径R2。
题号
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[解析] (1)离子在速度选择器内做直线运动，受到的静电力与洛伦兹力平衡，则有qE＝qvB1，而E＝，解得U＝B1dv。
(2)离子在区域Ⅰ内做匀速圆周运动，则有qvB2＝m
离子以相同的速度射入圆形磁场区域Ⅰ后聚焦于P点射出磁场，则在圆形磁场区域Ⅰ内做匀速圆周运动的轨迹半径等于圆形磁场区域Ⅰ的半径，即r1＝R1，解得B2＝。
题号
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(3)离子在区域Ⅱ内做匀速圆周运动，则有qvB2＝m
离子在圆形磁场区域Ⅱ内做匀速圆周运动的轨迹半径等于圆形磁场区域Ⅱ的半径，即r2＝R2，联立解得R2＝R1。
题号
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[答案] (1)B1dv (2) (3)R1
4．(16分)(2025·福建漳州二模)如图甲为实验室中利用磁场偏转的粒子收集装置原理图，在空间直角坐标系O-xyz中，有一个边长为l的正方形荧光屏abcd可沿x轴移动，荧光屏平行于Oyz平面，cd在Oxz平面内，d点在x轴上。在该空间加沿x轴负方向的磁场Bx和沿y轴正方向的磁场By，磁感应强度Bx、By的大小随时间t周期性变化的规律如图乙所示。t＝0时刻，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，以初速度v0从A点(0，l，0)沿x轴正方向进入该空间。
题号
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(1)求粒子在磁场中的运动半径；
(2)若经过时间，该粒子恰好到达荧光屏，求荧光屏位置的x轴坐标和粒子打在屏幕上的坐标；
(3)若粒子到达荧光屏时的速度方向与屏幕的夹角为60°，求荧光屏位置的x轴坐标的可能取值。
题号
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[解析] (1)粒子所受的洛伦兹力充当向心力，qv0B0＝，可解得R＝。
(2)大小为B0的磁场内，粒子的周期为T＝，解得T＝，所以题图中每段磁场持续的时间为t′＝＝T，因此在第1、4个的时间内，粒子向x轴正方向移动了2R的距离，在第2、3个的时间内，粒子向y轴负方向移动了2R的距离，故荧光屏在x轴上的位置应为，粒子打在屏幕上的坐标为。
题号
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(3)由粒子的轨迹易知：当粒子的速度与z轴正方向的夹角为60°时，x＝＋2nR，同时满足粒子不飞出荧光屏，则l≥2n，得n≤，且n取非负整数。当粒子的速度与z轴负方向的夹角为60°时，x＝＋2nR，同时满足粒子不飞出荧光屏，则l≥2(n＋1)，得n≤－1，且n取非负整数。
题号
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[答案] (1) (2) (3)见解析
5．(16分)如图甲所示，在平面直角坐标系Oxy中，第二象限内存在水平向右的匀强电场，第一、第四象限内交替存在竖直方向的周期性变化电场和垂直纸面的周期性变化磁场，交变电场的电场强度大小和交变磁场的磁感应强度大小按图乙规律变化(其中电场方向沿y轴负向为正方向，磁场方向垂直纸面向里为正方向)。一质量为m、电荷量为q的微粒，以大小为v0的速度从x轴负半轴的P(－L，0)点垂直于x轴进入第二象限，t＝0时刻，以速度大小2v0垂直于y轴方向进入第一象限。已知交变电场和交变磁场的周期均为T＝，重力加速度为g。求：
题号
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(1)第二象限匀强电场的电场强度的大小(结果不得含有L)；
(2)自t＝0时刻起微粒再次打到x轴上时的位置(结果用L表示)和经过的时间；
题号
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[解析] (1)微粒在第二象限中的运动可分解为水平方向匀加速，竖直方向匀减速，水平方向Eq＝ma，2v0＝at，竖直方向v0＝gt，联立可得E＝。
(2)微粒进入第二象限内时，水平方向位移x＝＝L，竖直方向位移y＝＝，微粒进入第一象限后，0～时间内，F洛＝2Bqv0＝mg，合力为零，微粒沿水平方向做匀速直线运动，～时间内，F合＝E1q＋mg＝2mg＝ma1，a1＝2g，方向沿y轴负向，～T时间内，F合＝E2q－mg＝2mg＝ma2，a2＝2g，方向沿y轴正向，～T时间内，沿y轴方向的位移大小y＝2××2g＝，
题号
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可得，微粒经过两个周期，正好再次到达x轴上，运动轨迹如图所示，故微粒再次打到x轴上时的位置x＝2v0·2T＝4L，经过的时间t＝2T＝2。
题号
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[答案] (1) (2)4L 2
谢 谢！
