课后限时练13 带电粒子在立体空间中的运动
1．(多选)半导体掺杂是集成电路生产中最基础的工作。如图所示为某晶圆掺杂机的简化模型图，平行金属板A、B加上电压UAB，产生竖直方向的匀强电场；两电磁线圈间的圆柱形磁场视为匀强磁场，磁感应强度与电流I成正比。离子发生器产生的电量为＋q、质量为m的离子，以速度v0沿电场的中央轴线飞入电场，当UAB＝0、I＝0时，离子恰好打到晶圆圆心O(0，0)点。已知晶圆垂直纸面放置，晶圆面内Oxy坐标系中，x轴为水平方向、y轴为竖直方向，掺杂过程中，离子全部打在晶圆上，忽略离子的重力和空气阻力。则在掺杂过程中( )
A．UAB越大，离子穿过极板的时间越短
B．UAB越大，离子在竖直方向上的位移越小
C．当UAB＝0、I≠0时，离子打在x轴上
D．离子打在晶圆上时，其动能与电流I大小无关
2．(多选)如图所示，空间存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。t＝0时刻，质子以初速度v0从坐标原点O沿y轴正方向射出，已知质子质量为m，电荷量为e。重力不计，则( )
A．t＝时刻，质子的速度沿y轴的负方向
B．t＝时刻，质子的坐标为
C．质子可多次经过x轴，且依次经过x轴的坐标值之比为1∶4∶9∶…
D．质子运动轨迹在Oyz平面内的投影是以O点为圆心的圆
3．半导体芯片制造中，常通过离子注入进行掺杂来改变材料的导电性能。如图是离子注入的工作原理示意图，离子经电场加速后沿水平方向进入速度选择器，通过速度选择器的离子经过磁分析器和偏转系统，注入水平面内的晶圆(硅片)。速度选择器中电场强度的大小为E、方向竖直向上。速度选择器、磁分析器中的磁感应强度方向均垂直纸面向外，大小分别为B1、B2。偏转系统根据需要加合适的电场或者磁场。磁分析器截面的内外半径分别为R1和R2，入口端面竖直，出口端面水平，两端中心位置M和N处各有一个小孔；偏转系统下边缘与晶圆所在水平面平行，当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入晶圆上的O点(即图中坐标原点)。整个系统置于真空中，不计离子重力及其进入加速电场的初速度。下列说法正确的是( )
A．可以利用此系统给晶圆同时注入带正电的离子和带负电的离子
B．从磁分析器下端孔N离开的离子，其比荷为
C．如果偏转系统只加沿x轴正方向的磁场，则离子会注入x轴正方向的晶圆上
D．只增大加速电场的电压，可使同种离子注入到晶圆更深处
4．(16分)(2024·山东潍坊三模节选)如图所示的O xyz坐标系中，0l的Ⅱ区域内有沿y轴正方向的匀强电场。一带电量为＋q、质量为m的粒子从y轴上的点P(0，2l，0)以速度v0沿x轴正方向射入Ⅰ区域，从点Q进入Ⅱ区域。粒子在Ⅱ区域内，第二次经过x轴时粒子位于N点，且速度方向与x轴正方向夹角β＝。已知Ⅰ区域磁场的磁感应强度大小为B0＝，不计粒子重力。
(1)求粒子经过Q点时速度方向与x轴正方向夹角α；
(2)求匀强电场的电场强度E；
(3)求粒子从P到N所用的时间(以v0，l表示)。
5．(16分)(2025·江西上饶一模节选)如图所示的空间直角坐标系O xyz中，有一边长为L的立方体区域，该区域内(含边界)有沿y轴正方向的匀强磁场，磁感应强度B＝。质量为m、电荷量为＋q的带电粒子以初速度v0从a点沿x轴正方向进入立方体区域，不计粒子的重力。
(1)求粒子离开立方体区域时位置坐标；
(2)若在该区域再加一个沿y轴负方向的匀强电场，粒子仍从a点以初速度v0沿x轴正方向进入该区域后从Ob′之间某点离开，求所加电场的电场强度以及粒子离开立方体区域时的速度v1大小(结果不必化成小数，保留根式)。
课后限时练13
1．CD [离子穿过极板过程中，在水平方向上做匀速直线运动，则l＝vt，穿过极板的时间与板长和初速度有关，故离子穿过极板的时间不变，故A错误；离子在竖直方向上做匀加速直线运动，则y＝t2，则UAB越大，离子在竖直方向上的位移越大，故B错误；当UAB＝0、I≠0时，离子在磁场中受到洛伦兹力发生水平偏转，则打在x轴上，故C正确；由于洛伦兹力不做功，离子打在晶圆上的动能与电流I大小无关，故D正确。故选CD。]
2．BC [沿x轴方向，质子在静电力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，根据左手定则，洛伦兹力初始时刻沿z轴负方向，可判断质子在Oyz平面做匀速圆周运动，故质子运动轨迹在Oyz平面内的投影是经过O点的圆，质子在Oyz平面做圆周运动的周期为T＝，t＝时刻，在Oyz平面质子分速度方向沿y轴负方向，沿x轴方向分速度为沿x轴正方向，故质子的合速度方向不沿y轴负方向，故A、D错误；t＝时刻，质子的坐标为(x'，y'，z')，沿x轴方向上有Ee＝ma，位移即x坐标为x'＝at2＝，在Oyz平面内，正好经过半个周期，则y'＝0，z'＝－2r＝－，故B正确；质子每经过一个周期可经过一次x轴，沿x轴方向在静电力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，根据xn＝a(nT)2，可知依次经过x轴的坐标值之比为1∶4∶9∶…，故C正确。]
3．B []
4．解析：根据题意绘出粒子从P到N的运动轨迹如图所示。
(1)粒子在Ⅰ区域做匀速圆周运动，有qv0B0＝m，根据几何关系有sin α＝，解得α＝60°。
(2)由几何关系可知，Q、N两点沿电场方向的距离为l，粒子由Q到N过程沿x轴方向做匀速直线运动，有vNx ＝ vQx ＝ v0cos α，cos β＝，由动能定理有－qEl＝mm，解得E＝。
(3)粒子由P到Q过程，设时间为t1，有t1＝，粒子由Q到N过程，先沿y轴负方向匀减速后反向匀加速，设时间分别为t2、t3，有v0sin α＝t2，vNsin β＝t3，其中t＝ t1＋t2＋t3，联立解得t＝。
答案：(1)60° (2) (3)
5．解析：(1)设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力提供向心力可得qv0B＝，解得r＝。
(2)加电场后，粒子在复合场中运动，可分解为沿y轴负方向的匀加速直线运动和沿平行于Oxz平面的匀速圆周运动，粒子沿y轴负方向的加速度为ay，由牛顿第二定律有qE＝may，设运动时间为t，则有L＝ayt2，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T＝，由粒子从Ob'之间某点离开知，粒子在平行Oxz平面内的运动轨迹为二分之一个圆周，则有t＝，联立解得E＝，由于洛伦兹力不做功，对粒子，由动能定理可得qEL＝mm，解得v1＝v0。
答案：(1) (2) v0
4/4第13课时 带电粒子在立体空间中的运动(思维进阶课)
【备考指南】
1．立足基础，夯实基本功，注重物理知识的学习和物理过程的推导。
2．针对三维空间问题，会分析带电粒子的受力、运动情况，转换视图角度，充分利用分解的思想降维处理相关问题。
3．结合已有的物理知识，借助数学工具解决立体空间的组合场、叠加场问题。
进阶点 带电粒子在立体空间电、磁场中的运动
1．模型特征：空间中电场或磁场的分布是三维的，带电粒子受到静电力、磁场力的作用，在立体空间中呈现出不同的轨迹和运动方式。
2．方法规律：应用受力分析、运动分析、转换视图角度等方法，利用运动的合成与分解等思想进行求解。如：旋线运动将粒子的运动分解为一个轴方向上的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴的所在面内的圆周运动。
3．模型图解
常见类型 立体图 三视图
等距螺旋 线运动
磁场进 磁场
电场进 磁场
磁场进 电场
[典例1] [空间螺旋线运动](2025·广东广州11月联考)如图所示，两水平放置的足够大金属板间存在着方向均竖直向下的匀强电场和匀强磁场，紧靠金属板左侧空间存在水平向右的匀强电场，PQ所在竖直平面为两匀强电场的分界面，该平面与左侧电场方向垂直，OO′为过两金属板水平中线的直线。t＝0时刻，将质量为m、电荷量为q的带正电粒子从OO′上距PQ左侧l处由静止释放，已知PQ左侧匀强电场的电场强度大小为E，金属板间匀强电场的电场强度大小也为E，匀强磁场的磁感应强度大小为B＝，不计粒子的重力，不考虑场的边缘效应。
(1)求粒子第一次进入金属板间的速度大小v；
(2)求粒子由释放到第二次经过PQ所在竖直平面所用的时间t。
[听课记录]
[典例2] 如图所示，立方体abcd－a′b′c′d′区域内有竖直向上的匀强电场，立方体cdef－c′d′e′f′区域内有竖直向下的匀强磁场，两个立方体棱长均为L。一质量为m、电荷量为＋q的粒子以速率v0从a′点沿a′d′方向进入电场，经电场偏转通过dd′上的P点进入磁场区域。忽略粒子重力，不考虑场边界对粒子的影响。
(1)若粒子从c点离开磁场，求磁感应强度大小B1；
(2)若粒子从c点离开磁场，求电场强度大小E1；
(3)若粒子从ab边的中点离开电场，求磁感应强度大小B2。
[听课记录]
[电磁场在现代科技中的应用](2024·甘肃卷)质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，加速电压为U；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为E1，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为B1，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为B2，方向垂直纸面向里。从S点释放初速度为零的带电粒子(不计重力)，加速后进入速度选择器做直线运动，再由O点进入分离器做圆周运动，最后打到照相底片的P点处，运动轨迹如图中虚线所示。
(1)粒子带正电还是负电？求粒子的比荷；
(2)求O点到P点的距离；
(3)若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为E2(E2略大于E1)，方向不变，粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的O′点上。求粒子打在O′点的速度大小。
第13课时 带电粒子在立体空间中的运动(思维进阶课)
进阶点
典例1 解析：(1)根据动能定理可得qEl＝mv2，解得v＝。
(2)粒子在PQ左侧匀强电场中，根据牛顿第二定律可得qE＝ma，解得a＝
根据运动学公式有l＝a，解得t1＝
第二次经过PQ所在竖直平面，粒子正好转过半个圆周，设水平圆周运动的周期为T，根据牛顿第二定律可得qvB＝m，又T＝，则粒子在金属板间运动时间为t2＝＝π
粒子由释放到第二次经过PQ所在竖直平面所用的时间t＝t1＋t2＝(π＋1)。
答案：(1) (2)(π＋1)
典例2 解析：(1)根据题意可知，粒子在匀强磁场区域水平面内做匀速圆周运动，则qv0B1＝m，根据几何关系可知r1＝，联立可得B1＝。
(2)粒子进入匀强电场后，做类平抛运动，则t1＝，a1＝
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T＝
粒子在匀强磁场中运动的时间t2＝，竖直方向上有L＝a1＋a1t1t2
联立解得E1＝。
(3)根据几何关系可知，粒子在匀强磁场区域水平面内做匀速圆周运动的轨迹半径r2＝，可得B2＝。
答案：(1) (2) (3)
随堂练——研高考·测风向
解析：(1)粒子在Ⅲ区域磁场中向上偏转，根据左手定则可知，粒子带正电
粒子在Ⅱ区域中做直线运动，必是匀速直线运动，则有qv0B1＝qE1
粒子在Ⅰ区域中，根据动能定理有qU＝m
联立解得。
(2)粒子在Ⅲ区域磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有qv0B2＝m
根据几何关系有dOP＝2r
结合(1)问解得dOP＝。
(3)将粒子进入速度选择器时的速度v0分解为水平向右的速度大小为v1＝和水平向左的速度大小为v2＝－v0，则粒子在速度选择器中的运动就分解为了以速度v1向右的匀速直线运动和以速率v2逆时针的匀速圆周运动
由于粒子垂直打在O'点，则粒子在O'点的速度v＝v1＋v2＝－v0＝。
答案：(1)正电 (2) (3)
4/4(共58张PPT)
第13课时 带电粒子在立体空间中的运动(思维进阶课)
专题三 电场与磁场
【备考指南】
1．立足基础，夯实基本功，注重物理知识的学习和物理过程的推导。
2．针对三维空间问题，会分析带电粒子的受力、运动情况，转换视图角度，充分利用分解的思想降维处理相关问题。
3．结合已有的物理知识，借助数学工具解决立体空间的组合场、叠加场问题。
进阶点 带电粒子在立体空间电、磁场中的运动
1．模型特征：空间中电场或磁场的分布是三维的，带电粒子受到静电力、磁场力的作用，在立体空间中呈现出不同的轨迹和运动方式。
2．方法规律：应用受力分析、运动分析、转换视图角度等方法，利用运动的合成与分解等思想进行求解。如：旋线运动将粒子的运动分解为一个轴方向上的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴的所在面内的圆周运动。
3．模型图解
常见类型 立体图 三视图
等距螺旋 线运动
常见类型 立体图 三视图
磁场进 磁场
常见类型 立体图 三视图
电场进 磁场
常见类型 立体图 三视图
磁场进 电场
[典例1] [空间螺旋线运动](2025·广东广州11月联考)如图所示，两水平放置的足够大金属板间存在着方向均竖直向下的匀强电场和匀强磁场，紧靠金属板左侧空间存在水平向右的匀强电场，PQ所在竖直平面为两匀强电场的分界面，该平面与左侧电场方向垂直，OO′为过两金属板水平中线的直线。t＝0时刻，将质量为m、电荷量为q的带正电粒子从OO′上距PQ左侧l处由静止释放，已知PQ左侧匀强电场的电场强度大小为E，金属板间匀强电场的电场强度大小也为E，匀强磁场的磁感应强度大小为B＝，
不计粒子的重力，不考虑场的边缘效应。
(1)求粒子第一次进入金属板间的速度大小v；
(2)求粒子由释放到第二次经过PQ所在竖直平面所用的时间t。
[解析] (1)根据动能定理可得qEl＝mv2，解得v＝。
(2)粒子在PQ左侧匀强电场中，根据牛顿第二定律可得qE＝ma，解得a＝
根据运动学公式有l＝，解得t1＝
第二次经过PQ所在竖直平面，粒子正好转过半个圆周，设水平圆周运动的周期为T，根据牛顿第二定律可得qvB＝m，又T＝＝，则粒子在金属板间运动时间为t2＝＝＝π
粒子由释放到第二次经过PQ所在竖直平面所用的时间t＝t1＋t2＝(π＋1)。
[答案] (1) (2)(π＋1)
【教师备选资源】
[三维空间电磁组合场问题]如图所示的足够大的长方体空间被两竖直的平面分成三个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，其中区域Ⅰ、Ⅲ中分别存在水平向右和水平向左的匀强电场，电场强度的大小均为E，区域Ⅱ中存在竖直向上的匀强磁场。O点为区域Ⅰ内的点，O点到右侧第一竖直平面的距离为d，两竖直平面之间的距离为d，一比荷为k的带正电的粒子由O点静止释放，依次经过两平面上的两点，两点之间的
距离为2d，忽略粒子的重力。求：
(1)区域Ⅱ中磁感应强度的大小；
(2)粒子第一次、第二次通过O点右侧第一竖直平面时，两点之间的距离；
(3)若粒子的释放点O向左平移2d后由静止释放，粒子第一次、第二次通过O点右侧第一竖直平面的时间间隔。
[解析] 本题为立体空间电磁场，解决该类问题的关键就是采用降维法，把粒子的空间运动转化为平面运动。
(1)结合题意作出粒子的运动轨迹，俯视图如图甲所示，粒子在区域Ⅰ中运动时，由动能定理得qEd＝，解得v1＝
又由AC＝2d以及两平面之间的距离为d可知，
△ACO1为正三角形，所以粒子在区域Ⅱ中运动
的轨道半径为R1＝2d
又qv1B＝，解得B＝。
(2)粒子进入区域Ⅲ后做类斜抛运动，粒子在C点平行电场方向的分速度为vx＝v1sin 30°，沿CD方向匀速直线运动的分速度为vy＝v1cos 30°
又由牛顿第二定律有qE＝ma
则粒子由C到D的时间为t＝，又xCD＝vyt，解得xCD＝d
由类斜抛运动的对称性可知，粒子在D点的速度大小仍为v1＝，则粒子再次回到区域Ⅱ的轨道半径仍为R1＝2d，故粒子第一次、第二次通过O点右侧第一竖直平面时，两点之间的距离为s＝2R1cos 60°＋xCD，解得s＝(2＋)d。
(3)若粒子的释放点O向左平移2d后由静止释放，粒子在区域Ⅰ中运动时，由动能定理得qE·3d＝，解得v2＝
粒子在区域Ⅱ中，运动轨迹的俯视图如图乙所示，由qv2B＝，得R2＝2d
由几何关系可知粒子在区域Ⅱ中的轨迹所
对应的圆心角满足sin θ＝，则θ＝
粒子由A到P的时间为t1＝
结合(2)的解析可知粒子在区域Ⅲ中的运动时间为t2＝
又v′x＝v2sin 60°，由对称性可知，粒子由Q到M的时间为t3＝t1＝，又T＝
所以粒子第一次、第二次通过右侧第一竖直平面的时间间隔为t＝t1＋t2＋t3
由以上解得t＝＋3＝。
[答案] (1) (2)(2＋)d (3)
【教师备选资源】 (2025·广东汕头二模)现代科技中常常利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，某控制装置如图所示，区域Ⅰ是圆弧形均匀辐向电场，半径为R的中心线O′O处的电场强度大小处处相等，且大小为E1，方向指向圆心O1；在空间坐标系O-xyz中，区域Ⅱ是边长为L的正方体空间，该空间内充满沿y轴正方向的匀强电场E2(大小未知)；区域Ⅲ也是边长为L的正方体空间，空间内充满平行于xOy平面、与x轴负方向成45°夹角的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在区域Ⅲ的上表面是一粒子收集板；一群
比荷不同的带正电粒子以不同的速率先后从O′沿切线方向
进入辐向电场，所有粒子都能通过辐向电场从坐标原点O
沿x轴正方向进入区域Ⅱ，不计带电粒子所受重力和粒子
之间的相互作用，收集板和磁场均不包含边界。
(1)若某一粒子进入辐向电场的速率为v0，该粒子通过区域Ⅱ后刚好从P点进入区域Ⅲ中，已知P点坐标为，求该粒子的比荷和区域Ⅱ中电场强度E2的大小；
(2)保持(1)问中E2不变，为了使粒子能够在区域Ⅲ中直接打到粒子收集板上，求粒子的比荷需要满足的条件。
[审题指导]
关键表述 关键表述解读
半径为R的中心线O′O处的电场强度大小处处相等，且大小为E1，方向指向圆心O1 当电荷量为q的粒子经O′点进入区域Ⅰ，受到辐向电场的静电力，大小恒定，方向指向圆心O1。粒子在静电力的作用下将做半径为R的圆周运动
关键表述 关键表述解读
区域Ⅱ是边长为L的正方体空间，该空间内充满沿y轴正方向的匀强电场E2(大小未知) 进入区域Ⅱ的粒子速度指向x轴正方向，静电力指向y轴正方向，所以粒子x轴方向做匀速直线运动，y轴方向做匀加速直线运动
该粒子通过区域Ⅱ后刚好从P点进入区域Ⅲ中，已知P点坐标为 粒子在x轴方向的位移为L，满足L＝v0t
y轴方向位移为，满足＝at2
关键表述 关键表述解读
保持(1)问中E2不变，为了使粒子能够在区域Ⅲ中直接打到粒子收集板上 保持(1)问中E2不变，粒子在区域Ⅱ中的运动轨迹不变，仍然从P点进入区域Ⅲ中，速度方向和区域Ⅲ中的磁场垂直，在区域Ⅲ中做匀速圆周运动。如图所示
[解析] (1)由静电力提供向心力可得
q0E1＝ ①
得＝ ②
区域Ⅱ中x轴方向有L＝v0t ③
y轴方向有a＝ ④
＝at2 ⑤
联立②③④⑤式得E2＝。 ⑥
(2)设粒子进入辐向电场的速率为v，
在辐向电场中有qE1＝m ⑦
得v＝ ⑧
区域Ⅱ中沿x轴方向有L＝vt1 ⑨
y轴方向有a1＝ ⑩
y＝
vy＝a1t1
联立⑥⑧⑨⑩ 式得y＝
vy＝
区域Ⅲ中粒子速度方向与x轴正方向的夹角为θ，
则tan θ＝＝1
粒子进入区域Ⅲ的速度v′＝，
方向与区域Ⅲ中磁场方向垂直
由qv′B＝m
联立 式得r＝
为了保证粒子能够打到粒子收集板上，粒子轨迹如图所示，
由几何关系可知粒子在磁场中的半径需要满足
L联立 式得<<。
[答案] (2)<<
[典例2] 如图所示，立方体abcd－a′b′c′d′区域内有竖直向上的匀强电场，立方体cdef－c′d′e′f′区域内有竖直向下的匀强磁场，两个立方体棱长均为L。一质量为m、电荷量为＋q的粒子以速率v0从a′点沿a′d′方向进入电场，经电场偏转通过dd′上的P点进入磁场区域。忽略粒子重力，不考虑场边界对粒子的影响。
(1)若粒子从c点离开磁场，求磁感应强度大小B1；
(2)若粒子从c点离开磁场，求电场强度大小E1；
(3)若粒子从ab边的中点离开电场，求磁感应强度大小B2。
[解析] (1)根据题意可知，粒子在匀强磁场区域水平面内做匀速圆周运动，则qv0B1＝，根据几何关系可知r1＝，联立可得B1＝。
(2)粒子进入匀强电场后，做类平抛运动，则t1＝，a1＝
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T＝＝
粒子在匀强磁场中运动的时间t2＝＝，竖直方向上有L＝＋a1t1t2
联立解得E1＝。
(3)根据几何关系可知，粒子在匀强磁场区域水平面内做匀速圆周运动的轨迹半径r2＝，可得B2＝。
[答案] (1) (3)
【教师备选资源】 [带电粒子在三维空间交变场中的运动](2025·山东模拟预测)如图甲所示，空间直角坐标系O-xyz中，界面M、N均与xOy平面平行，界面M、N将空间分为区域Ⅰ、区域Ⅱ两部分，界面M与xOy平面和界面N间的距离均为l，z轴与界面M相交于O1，与界面N相交于O2。区域Ⅰ中在y>0的
范围内存在着沿y轴负方向的匀强电场，在y<0的
范围内存在着沿y轴正方向的匀强电场，两个电
场强度大小相等；区域Ⅱ中，在0≤x<2l的区域里
(包含界面)有垂直xOz平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，如图乙所示，B随时间t的变化规律如图丙所示(B0和T0均未知)，规定磁场方向沿y轴负方向为正。有一质量为m、电荷量为＋q的粒子，初速度为零，经加速器加速后获得大小为v0的速度，然后从y轴上的P(0，－y0，0)点沿z轴正方向进入区域Ⅰ，之后经过z轴后从Q点垂直穿过界面M进入区域Ⅱ。不考虑粒子的重力，求：
(1)加速器的加速电压；
(2)区域Ⅰ中匀强电场的电场强度大小；
(3)若粒子从t＝0时刻射入区域Ⅱ，在t<的某时刻从x′Qz′平面的点(以Q点为坐标原点)射出磁场，求B0的大小；
(4)若粒子的比荷为k，B0＝，粒子在0≤t≤的任一时刻射入区域Ⅱ时，粒子离开磁场时的位置都不在x′轴上，求T0的取值范围。
[解析] (1)粒子经加速器加速，由动能定理得qU0＝
解得U0＝。
(2)设粒子在区域Ⅰ中运动时间为t1，区域Ⅰ中匀强电场的电场强度大小为E，根据题意得
水平方向l＝v0t1
竖直方向y0＝a且qE＝ma
解得E＝。
(3)粒子进入区域Ⅱ，在x′Qz′平面内做匀速圆周运动，轨迹如图1所示
洛伦兹力提供向心力，有qv0B0＝
由几何关系可得r2＝l 2＋
联立解得B0＝。
(4)由题意可得粒子运动的轨迹半径为R＝＝，临界情况为粒子从t＝0时刻入射，并且轨迹恰好与x′轴相切，此时刻进入的粒子不从x′轴射出，其他情况粒子都不会从x′轴射出，轨迹如图2所示
该情况下根据洛伦兹力提供向心力可得圆周运动的周期为T＝
由几何关系可得，t＝内，粒子转过的圆心角为，
对应运动时间为t1＝T＝T
故要使粒子离开磁场时的位置都不在x′轴上，应满足t1≥
联立可得T0≤。
[答案] (3) (4)T0≤
[电磁场在现代科技中的应用](2024·甘肃卷)质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，加速电压为U；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为E1，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为B1，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为B2，方向垂直纸面向里。从S点释放初速度为零的带电粒子(不计重力)，加速后进入速度选择器做直线运动，再由O点进入分离器做圆周运动，最后打到照相底片的P点处，运动轨迹如图中虚线所示。
(1)粒子带正电还是负电？求粒子的比荷；
(2)求O点到P点的距离；
(3)若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为E2(E2略大于E1)，方向不变，粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的O′点上。求粒子打在O′点的速度大小。
[解析] (1)粒子在Ⅲ区域磁场中向上偏转，根据左手定则可知，粒子带正电
粒子在Ⅱ区域中做直线运动，必是匀速直线运动，则有qv0B1＝qE1
粒子在Ⅰ区域中，根据动能定理有qU＝
联立解得＝。
(2)粒子在Ⅲ区域磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有qv0B2＝
根据几何关系有dOP＝2r
结合(1)问解得dOP＝。
(3)将粒子进入速度选择器时的速度v0分解为水平向右的速度大小为v1＝和水平向左的速度大小为v2＝－v0，则粒子在速度选择器中的运动就分解为了以速度v1向右的匀速直线运动和以速率v2逆时针的匀速圆周运动
由于粒子垂直打在O′点，则粒子在O′点的速度v＝v1＋v2＝－v0＝。
[答案] (1)正电 (2) (3)
说明：单选题每小题4分，多选题每小题6分，本试卷总分48分
1．(多选)半导体掺杂是集成电路生产中最基础的工作。如图所示为某晶圆掺杂机的简化模型图，平行金属板A、B加上电压UAB，产生竖直方向的匀强电场；两电磁线圈间的圆柱形磁场视为匀强磁场，磁感应强度与电流I成正比。离子发生器产生的电量为＋q、质量为m的离子，以速度v0沿电场的中央轴线飞入电场，当UAB＝0、I＝0时，离子恰好打到晶圆圆心O(0，0)点。已知晶圆垂直纸面放置，晶圆面内Oxy坐标系中，x轴为水平方向、y轴为竖直方向，掺杂过程中，离子全部打在晶圆上，忽略离子的重力和空气阻力。则在掺杂过程中( )
课后限时练13 带电粒子在立体空间中的运动(思维进阶课)
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A．UAB越大，离子穿过极板的时间越短
B．UAB越大，离子在竖直方向上的位移越小
C．当UAB＝0、I≠0时，离子打在x轴上
D．离子打在晶圆上时，其动能与电流I大小无关
√
√
CD [离子穿过极板过程中，在水平方向上做匀速直线运动，则l＝vt，穿过极板的时间与板长和初速度有关，故离子穿过极板的时间不变，故A错误；离子在竖直方向上做匀加速直线运动，则y＝t2，则UAB越大，离子在竖直方向上的位移越大，故B错误；当UAB＝0、I≠0时，离子在磁场中受到洛伦兹力发生水平偏转，则打在x轴上，故C正确；由于洛伦兹力不做功，离子打在晶圆上的动能与电流I大小无关，故D正确。故选CD。]
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2．(多选)如图所示，空间存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。t＝0时刻，质子以初速度v0从坐标原点O沿y轴正方向射出，已知质子质量为m，电荷量为e。重力不计，则( )
A．t＝时刻，质子的速度沿y轴的负方向
B．t＝时刻，质子的坐标为
C．质子可多次经过x轴，且依次经过x轴的坐标值之比为1∶4∶9∶…
D．质子运动轨迹在Oyz平面内的投影是以O点为圆心的圆
√
√
BC [沿x轴方向，质子在静电力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，根据左手定则，洛伦兹力初始时刻沿z轴负方向，可判断质子在Oyz平面做匀速圆周运动，故质子运动轨迹在Oyz平面内的投影是经过O点的圆，质子在Oyz平面做圆周运动的周期为T＝，t＝时刻，在Oyz平面质子分速度方向沿y轴负方向，沿x轴方向分速度为沿x轴正方向，故质子的合速度方向不沿y轴负方向，故A、D错误；t＝时刻，质子的坐标为(x′，y′，z′)，沿x轴方向上有Ee＝ma，位移即x坐标为x′＝＝，在Oyz平面内，正好经过半个
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周期，则y′＝0，z′＝－2r＝－，质子的坐标为，故B正确；质子每经过一个周期可经过一次x轴，沿x轴方向在静电力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，根据xn＝a(nT )2，可知依次经过x轴的坐标值之比为1∶4∶9∶…，故C正确。]
3．半导体芯片制造中，常通过离子注入进行掺杂来改变材料的导电性能。如图是离子注入的工作原理示意图，离子经电场加速后沿水平方向进入速度选择器，通过速度选择器的离子经过磁分析器和偏转系统，注入水平面内的晶圆(硅片)。速度选择器中电场强度的大小为E、方向竖直向上。速度选择器、磁分析器中的磁感应强度方向均垂直纸面向外，大小分别为B1、B2。偏转系统根据需要加合适的电场或者磁场。磁分析器截面的内外半径分别为R1和R2，入口端面竖直，出口端面水平，两端中心位置M和N处各有一个小孔；
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偏转系统下边缘与晶圆所在水平面平行，当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入晶圆上的O点(即图中坐标原点)。整个系统置于真空中，不计离子重力及其进入加速电场的初速度。下列说法正确的是( )
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A．可以利用此系统给晶圆同时注入带正电的离子和带负电的离子
B．从磁分析器下端孔N离开的离子，其比荷为
C．如果偏转系统只加沿x轴正方向的磁场，则离子会注入x轴正方向的晶圆上
D．只增大加速电场的电压，可使同种离子注入到晶圆更深处
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√
B [
]
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4．(16分)(2024·山东潍坊三模节选)如图所示的O-xyz坐标系中，0l的Ⅱ区域内有沿y轴正方向的匀强电场。一带电量为＋q、质量为m的粒子从y轴上的点P(0，2l，0)以速度v0沿x轴正方向射入Ⅰ区域，从点Q进入Ⅱ区域。粒子在Ⅱ区域内，第二次经过x轴时粒子位于N点，且速度方向与x轴正方向夹角β＝。已知Ⅰ区域磁场的磁感应强度大小为B0＝，不计粒子重力。
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(1)求粒子经过Q点时速度方向与x轴正方向夹角α；
(2)求匀强电场的电场强度E；
(3)求粒子从P到N所用的时间(以v0，l表示)。
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[解析] 根据题意绘出粒子从P到N的运动轨迹如图所示。
(1)粒子在Ⅰ区域做匀速圆周运动，有qv0B0＝，根据几何关系有sin α＝，解得α＝60°。
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(2)由几何关系可知，Q、N两点沿电场方向的距离为l，粒子由Q到N过程沿x轴方向做匀速直线运动，有vNx ＝ vQx ＝ v0cos α，cos β＝，由动能定理有
－qEl＝，解得E＝。
(3)粒子由P到Q过程，设时间为t1，有t1＝，粒子由Q到N过程，先沿y轴负方向匀减速后反向匀加速，设时间分别为t2、t3，有v0sin α＝t2，vN sin β＝t3，其中t＝ t1＋t2＋t3，联立解得t＝。
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[答案] (1)60° (3)
5．(16分)(2025·江西上饶一模节选)如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，有一边长为L的立方体区域，该区域内(含边界)有沿y轴正方向的匀强磁场，磁感应强度B＝。质量为m、电荷量为＋q的带电粒子以初速度v0从a点沿x轴正方向进入立方体区域，不计粒子的重力。
(1)求粒子离开立方体区域时位置坐标；
(2)若在该区域再加一个沿y轴负方向的匀强电场，粒子仍
从a点以初速度v0沿x轴正方向进入该区域后从Ob′之间某
点离开，求所加电场的电场强度以及粒子离开立方体区
域时的速度v1大小(结果不必化成小数，保留根式)。
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[解析] (1)设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力提供向心力可得qv0B＝，解得r＝＝，粒子离开立方体区域时位置坐标为。
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(2)加电场后，粒子在复合场中运动，可分解为沿y轴负方向的匀加速直线运动和沿平行于Oxz平面的匀速圆周运动，粒子沿y轴负方向的加速度为ay，由牛顿第二定律有qE＝may，设运动时间为t，则有L＝ayt2，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T＝＝，由粒子从Ob′之间某点离开知，粒子在平行Oxz平面内的运动轨迹为二分之一个圆周，则有t＝，联立解得E＝，由于洛伦兹力不做功，对粒子，由动能定理可得qEL＝，解得v1＝v0。
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[答案] (1) v0
谢 谢！
