华东师大版数学八（下）第15章 分式 单元测试提升卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
1． 若 ， ， ，则正确的为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九下·岳麓开学考）某公司运用技术，下载一个的文件大约需要秒，将数字用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八上·江汉期末）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025七上·舟山期中）在解决问题“小喜在A、B两地间进行骑车训练，去时每小时行18千米，用了2.5小时；返回时用了3小时，每小时行多少千米 ”时有四种方案，其中错误的方案是 ( ).
方案-： 18×2.5÷3
方案二： 2.5÷3×18
方案三： 设每小时行x千米.18×2.5=3x
方案四：设每小时行x千米.
A．方案- B．方案二 C．方案三 D．方案四
5．（2025·合江模拟）若关于的一元一次不等式组无解，且使关于的分式方程有整数解，则所有符合题意的整数的值的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2022·衢州模拟）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．15
7．（2025八上·纳溪期末）若分式方程有增根，则的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
8．下列等式一定成立的是（ ）
A． B．= C． D．
9． 某工厂生产质量为1g，5g，10g，25 g四种规格的球，现从中取x个球装到一个空箱子里，这时箱子里球的平均质量为20 g，若再放入一个25 g的球，此时箱子里球的平均质量变为21g，则x的值为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如M={1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫作集合M的元素.集合中的元素具有确定性(如x必然存在)，互异性(如x≠1，x≠2)，无序性(即改变元素的顺序，集合不变).若集合N={x，1，2}，我们说M=N.已知集合A={1，0，a}，集合B=若A=B，则b-a的值是( ).
A．-1 B．0 C．1 D．2
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。
11．（2022八下·溧阳期末）若 ，则 ＝ .
12．（2022八上·蓬莱期中）已知，则代数式的值为 ．
13．（2025八上·江汉期末）若关于x的方程无解，则m的值是 ．
14．（2025·江西）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可列分式方程为 .
15．（2025·上城模拟）把电阻值分别为，的两电阻并联后接入某电路中，其并联总电阻值R（单位：Ω）满足。当时， 。
16．（2025八上·海曙期中）若关于x的不等式组 至少有2个整数解，且关于y的分式方程 的解为非负数，则a的取值范围为 .
三、解答题：本大题共10个小题，共102分。
17．（2024·福建）解方程：．
18．（2024八上·安化期末）化简：．
19．（2025八上·泊头期末）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚．
（1）她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
20．（2025八上·海淀期末）柿子在中国文化中具有丰富的寓意，常被视为吉祥的象征.近年来，某村成立合作社，新增柿子的种植面积300亩.已知该村成立合作社前柿子年产量为90万千克，在亩产量不变的情况下，成立合作社后年产量达到135万千克.求该村成立合作社前柿子的种植面积.（列分式方程解答)
21．（2025九下·乐陵开学考）新春佳节，大红灯笼高高挂．某超市购进甲、乙两种畅销的灯笼，已知购进甲种灯笼的金额是2400元，购进乙种灯笼的金额是1600元，购进甲种灯笼的数量比乙种灯笼少50个，甲种灯笼的单价是乙种灯笼的2倍．
（1）甲、乙两种灯笼的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，在甲、乙两种灯笼单价不变的条件下，该超市准备再次购进甲、乙两种灯笼共100个，且总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种灯笼？
22．（2025·岳阳模拟）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．已知种植1亩甲作物所需学生比种植1亩乙作物所需学生多1人，且25名学生种植甲作物的亩数与20名学生种植乙作物的亩数相等．根据以上信息，解答下列问题：
（1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？
（2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过44人，最多种植甲作物多少亩？
23．（2025九上·遵义期末）在数学课上，老师展示两道习题的解答过程：
习题1：计算：
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
习题2：解方程：
解：方程两边同乘，得
……第一步
……第二步
经检验，是分式方程的解……第三步
（1）解答过程中，习题1从第 步开始出现错误，习题2从第 步开始出现错误；
（2）任选一个习题写出正确的解答过程．
24．（2025八上·湘西期末）列分式方程解应用题
“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格．
（1）某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整：
型号 总价（元） 单价（元/套） 购买套数
型
型 3000
（2）请你完整解答本题．
25．（2025八上·唐县期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．我们有如下两个约定：
（）方程的整数解称之为“暖根”；
（）若两个方程存在一个相同的解，则称这两个方程为“同源方程”．
已知一元一次方程①与分式方程②：
（1）方程①有“暖根”吗？
（2）方程②有“暖根”吗？
（3）它们是“同源方程”吗？填 （是或不是）
26．（2026八上·临海期末）在教科书中，我们将不等式 趣称为“糖水不等式”.
（1）【模型推广】
“如果那么它可以看作两种浓度不同的溶液，取质量按a：c进行混合，混合溶液的浓度高于低浓度的溶液，低于高浓度的溶液.
由可判断bc ad(填写“>”或“<”)， 请证明不等式 成立.
（2）【应用模型】
某饮料公司生产混合果汁，使用两种基础果汁原料：
果汁A：糖的浓度为8%；()
果汁B：糖的浓度为24%.
①若取相同质量的果汁A 和果汁B进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为．
②饮料公司需要生产一批320kg 的混合果汁，果汁A 和果汁B 的利润分别为5元/kg和12元/kg，要求混合果汁的糖的浓度不高于16%，如何生产能获得最大利润 最大利润是多少
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵.b=.c=..
∴.
故答案为： D.
【分析】根据相关运算法则先化简各个式子，再比较大小，即可作答.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义可求解.
3．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： 设绫布有x尺，
∵ 绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，
∴绫布出售1尺收入，罗布出售1尺收入，
∵ 绫布和罗布各出售1尺共收入120文
∴，
故选：B．
【分析】根据等量关系式：绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，列方程即可求解．
4．【答案】D
【知识点】列分式方程；有理数混合运算的实际应用；列一元一次方程
【解析】【解答】解：已知小喜在A、B两地间进行骑车训练，去时每小时行18千米，用了2.5小时；返回时用了3小时，
则求每小时的速度列式为18×2.5÷3，
那么方案一，方案二均正确，
设每小时行x千米，
则18×2.5＝3x，
那么方案三正确，方案四错误，
故答案为：D .
【分析】根据题意列式，或设得未知数列方程，然后进行判断即可．
5．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得：，
解不等式得，
∵一元一次不等式组无解，
∴，
解得，
解分式方程，得，
∵关于的分式方程有整数解，
∴或，
∴或或或，
时，，原分式方程无解，故将舍去，
∴符合条件的所有整数的个数为3，
故答案为：B．
【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，根据无解确定出的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有非负整数解，确定出满足条件的值，即可解答．
6．【答案】B
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，
不等式组的解集为：
解分式方程得
整理得，
则
分式方程的解是正整数，
，且是2的倍数，
，且是2的倍数，
整数a的值为-1， 1， 3， 5，
故答案为：b.
【分析】分别解出两个关于未知数x的不等式，根据不等式组的解集为，可得，求出a＜7；解分式方程得，结合分式方程的解是正整数，可得且，据此求出整数a的值，再相加即可.
7．【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：若关于的方程有增根，则为增根．
把方程去分母可得，
把代入可得，
解得．
故答案为：A．
【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此可求解．
8．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A：根据分式的基本性质，不一定成立，所以A不符合题意；
B：根据分式的基本性质，=不一定成立，所以B不符合题意；
C：，c≠0时才成立，所以C不一定成立；
D：成立，所以D符合题意。
故答案为：D.
【分析】根据分式的基本性质，逐项进行判断即可得出答案。
9．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，得=21，
解得x=4.
经检验，x=4是所列分式方程的解，且符合题意.
故答案为：B.
【分析】先根据平均值等于21列出方程，再求出解，检验可得答案.
10．【答案】C
【知识点】有理数的倒数；分式的值为零的条件；绝对值的概念与意义；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵ A=B，
∴两个集合内的元素相同，
∵a≠0，
∴都不可能等于0，
∴，
∴b=0，
当时：a=1，，不符合题意，
∴，=1，且
解得：a=-1，
∴b-a=0-（-1）=1.
故答案为：C。
【分析】首先根据A=B，可得出b=0，进而根据集合元素的互异性，可得出a=-1，进一步即可得出b-a=0-（-1）=1.
11．【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴设a=3k，b=2k，
将a=3k，b=2k代入 ，得 ，
故答案为： .
【分析】由已知条件可设a=3k，b=2k，然后代入中化简即可.
12．【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：
＝
＝
＝
＝
＝．
，
移项得，
左边提取公因式得，
两边同除以2得，
∴原式＝．
故答案为：．
【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简，再将代入计算即可。
13．【答案】0或
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：，
去分母，得
∵原方程无解，
∴，
解得：或，
当时，将代入，
得，
所以，
当时，将代入，
得，
所以，
∴的值是0或．
故答案为：0或．
【分析】先把分式方程化为整式方程，再根据原方程无解，可得或，然后把的值代入整式方程，即可求出的值．
14．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为元，列方程得，
故答案为：.
【分析】设纯电汽车每百公里的耗电费为元，根据“ 燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元 ”列方程即可.
15．【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】把 代入计算可得，然后求出比值即可解题.
16．【答案】5≤a≤8且a≠7
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解第一个不等式得：x<4，
解第二个不等式得：
∵原不等式组至少有2个整数解，
∴必有2个整数解为3，2，
解得：a≤8，
原方程去分母得：a-1=2y-2+6，
解得：
∵原分式方程的解为非负数，
且
解得：a≥5且a≠7，
综上，5≤a≤8且a≠7，
故答案为：5≤a≤8且a≠7.
【分析】解不等式组中的各不等式，然后结合已知条件求得a的取值范围，再解分式方程并根据题意求得a的取值范围，然后求得它们的公共部分即可.
17．【答案】解：原方程两边都乘（x+2）（x-2），
去分母得：3（x-2）+（x+2）（x-2）=x（x+2），
整理得：3x-10=2x，
解得：x=10，
检验：当x=10时，（x+2）（x-2）≠0，
故原方程的解为x=10.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以(x+2)(x-2)约去分母将原方程化为整式方程，再解整式方程求出x的值，最后检验即可.
18．【答案】解：原式
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】分式的混合运算，先对括号内的异分母分式通分再做减法运算，再化除法为乘法，再分别对分子分母分解因式，再约分化结果为最简分式或整式即可．
19．【答案】（1）解：，
方程两边同时乘得，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
（2）解：设？为m，则分式方程为，方程两边同时乘得
整理得，
由于原分式方程无解，所以原分式方程有增根，即
所以把代入得，解得，
所以，原分式方程中“？”代表的数是．
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；分式方程的无解问题
【解析】【分析】(1) 本题考察分式方程的解法，核心是将分式方程转化为整式方程求解并验根。把“ ”替换为-3，方程变为；方程两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程；解这个整式方程，得；检验：将代入，因此是原分式方程的解。
(2) 本题考察分式方程无解的条件，分式方程无解通常是因为存在增根（使分母为0的根）。设“ ”为，原方程变为；方程两边乘得，整理得；因为原分式方程无解，所以存在增根（使）；将代入，得，解得，因此“ ”代表的数是-4。
（1）解：，
方程两边同时乘得，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
（2）解：设？为m，则分式方程为，
方程两边同时乘得
整理得，
由于原分式方程无解，所以原分式方程有增根，即
所以把代入得，解得，
所以，原分式方程中“？”代表的数是．
20．【答案】解：设该村成立合作社前柿子种植面积为x亩，则成立合作社后柿子种植面积为(x+300)亩.
根据亩产量不变，得
方程两边乘x(x+300)， 得
90(x+300)=135x.
解得
x=600.
检验： 当x=600时， x(x+300)≠0.
所以，原分式方程的解为x=600.
答：该村成立合作社前柿子种植面积为600亩.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题考查分式方程在实际问题中的应用，涉及亩产量、种植面积和总产量之间的关系。首先明确亩产量的计算公式为亩产量 = 总产量 ÷ 种植面积，题目中说明亩产量不变，因此可根据这一等量关系列方程；设成立合作社前的种植面积为x亩，那么成立后的种植面积为 亩，前的亩产量为 万千克/亩，后的亩产量为 万千克/亩；根据亩产量不变列出分式方程 ；解方程时，先交叉相乘化为整式方程 ，展开后移项、合并同类项，求出x的值；最后需要检验所求的x值是否为原分式方程的解，且是否符合实际意义，即种植面积不能为负数，确认后得出成立合作社前的种植面积。
21．【答案】（1）解：设乙种灯笼的单价为x元，则甲种灯笼的单价为2x元，由题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：乙种灯笼的单价为8元，则甲种灯笼的单价为16元；
（2）解：设购进m个甲种灯笼，则购进乙种灯笼为个，由（1）及题意得：
，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的最大值为43；
答：最多购进43个甲种灯笼．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设乙种灯笼的单价为x元，则甲种灯笼的单价为元，然后根据“购进甲种灯笼的金额是2400元，购进乙种灯笼的金额是1600元，购进甲种灯笼的数量比乙种灯笼的数量少50个”建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进m个甲种灯笼，则购进乙种灯笼为个，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设乙种灯笼的单价为x元，则甲种灯笼的单价为2x元，由题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：乙种灯笼的单价为8元，则甲种灯笼的单价为16元；
（2）解：设购进m个甲种灯笼，则购进乙种灯笼为个，由（1）及题意得：
，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的最大值为43；
答：最多购进43个甲种灯笼．
22．【答案】（1）解：设种植1亩甲作物需要学生名，则种植1亩乙作物需要学生名，
根据题意，得
解得
经检验，是原方程的解，且符合题意．
则（名）
答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、4名学生；
（2）解：设种植甲作物亩，则种植乙作物亩，
根据题意，得：
解得，
答：最多种植甲作物4亩．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】
（1）设种植1亩甲作物需要学生名，则种植1亩乙作物需要学生名，根据相等关系“25名学生种植甲作物的亩数与20名学生种植乙作物的亩数相等”列分式方程并求解即可；
（2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，根据不等关系“所需学生人数不超过44人”列不等式并求解即可．
（1）解：设种植1亩甲作物需要学生名，则种植1亩乙作物需要学生名，
根据题意，得
解得
经检验，是原方程的解，且符合题意．
则（名）
答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、4名学生；
（2）解：设种植甲作物亩，则种植乙作物亩，
根据题意，得：
解得，
答：最多种植甲作物4亩．
23．【答案】（1）二；一
（2）解：习题1：原式
；
习题2：方程两边同乘，得
，
∴，
解得：；
当时，，
∴是原方程的解．
【知识点】解分式方程；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】（1）解：习题1的第二步去掉了分母，出现错误；习题2，第一步去分母时，常数项没有乘最简公分母，出现错误；
故答案为：二，一
【分析】(1)本题考察分式加减运算和分式方程求解的易错点辨析，习题1是分式加法运算，分式运算的核心是通分后分子相加，不能直接去掉分母，因此习题1从第二步开始出现错误；习题2是解分式方程，去分母时需给方程两边的每一项都乘以最简公分母，而该解答中常数项1没有乘，因此习题2从第一步开始出现错误。
(2)若选习题1，正确解答需先对分母因式分解，，然后约分得到，再与进行同分母分式加法，分子相加、分母不变，得出结果1；若选习题2，正确解答需给方程两边同乘，得到，整理后求解得，最后检验，确认是原方程的解。
（1）解：习题1的第二步去掉了分母，出现错误；习题2，第一步去分母时，常数项没有乘最简公分母，出现错误；
故答案为：二，一
（2）习题1：原式
；
习题2：方程两边同乘，得
，
∴，
解得：；
当时，，
∴是原方程的解．
24．【答案】（1）1300；；
（2）解：由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴每套B型号的“文房四宝”的价格为100元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得，型号的“文房四宝”花费元，
∵每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，
∴每套型号的“文房四宝”的价格为元，
∴购买型号的“文房四宝”套，
故答案为：1300；；；
【分析】（1）先求出型号的“文房四宝”花费，再根据每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高得到每套型号的“文房四宝”的价格为元，据此可求出购买型号的“文房四宝”套；
（2）根据（1）所求结合一共购买40套“文房四宝”列出方程：，求解即可．
（1）解：由题意得，型号的“文房四宝”花费元，
∵每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，
∴每套型号的“文房四宝”的价格为元，
∴购买型号的“文房四宝”套，
故答案为：1300；；；
（2）解：由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴每套B型号的“文房四宝”的价格为100元．
25．【答案】（1）解：，去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
∴方程方程①有“暖根”；
（2）解：，方程两边乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解，
∴方程②没有“暖根”；
（3）不是
【知识点】解分式方程；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】（3）解：因为方程①的解x=1不是方程②的解（方程②无解），所以它们不是“同源方程”。
故答案为：不是．
【分析】（）按照常规的去括号、移项、合并同类项等步骤求解求出方程①的解，再根据“暖根”的定义，若解为整数则有“暖根”即可判断；
（）先去分母化为整式方程求解，再进行检验，求出方程②的解，再根据“暖根”的定义，若解为整数则有“暖根”即可判断；
（）判断两个方程是否为“同源方程”，在求出两个方程的解后，看是否存在相同的解，若存在则是“同源方程”，否则不是。
（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
∴方程方程①有“暖根”；
（2）解：，
方程两边乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解，
∴方程②没有“暖根”；
（3）解：由（）、（）可知，方程①②不是“同源方程”，
故答案为：不是．
26．【答案】（1）解：<；
证明：
因为 bc-ad<0， a(a+c)>0，
所以
则
（2）解：①100+100， 16%
②设：果汁A 使用 xkg， 果汁B 使用 (320-x) kg。
解得x≥160，
因为果汁B的利润较高，所以当x=160时，生产的混合果汁能获得最大利润.最大利润=160×12+160×5=2720元.
【知识点】分式的加减法；不等式的概念；一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【解答】解：(1)
证明：
因为 bc-ad<0， a(a+c)>0，
所以
则
(2)①
②设：果汁A 使用 xkg， 果汁B 使用 (320-x) kg。
解得x≥160，
因为果汁B的利润较高，所以当x=160时，生产的混合果汁能获得最大利润.最大利润=160×12+160×5=2720元.
【分析】(1)作差，通分可化简，即可判断符号，即得不等式方向；
(2)①分母填空糖水总质量即可得混合之后的浓度；
②由题意列出不等式，求解不等式即得A果汁的质量，由此可得其最大利润.
1 / 1华东师大版数学八（下）第15章 分式 单元测试提升卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
1． 若 ， ， ，则正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵.b=.c=..
∴.
故答案为： D.
【分析】根据相关运算法则先化简各个式子，再比较大小，即可作答.
2．（2025九下·岳麓开学考）某公司运用技术，下载一个的文件大约需要秒，将数字用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义可求解.
3．（2025八上·江汉期末）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： 设绫布有x尺，
∵ 绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，
∴绫布出售1尺收入，罗布出售1尺收入，
∵ 绫布和罗布各出售1尺共收入120文
∴，
故选：B．
【分析】根据等量关系式：绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，列方程即可求解．
4．（2025七上·舟山期中）在解决问题“小喜在A、B两地间进行骑车训练，去时每小时行18千米，用了2.5小时；返回时用了3小时，每小时行多少千米 ”时有四种方案，其中错误的方案是 ( ).
方案-： 18×2.5÷3
方案二： 2.5÷3×18
方案三： 设每小时行x千米.18×2.5=3x
方案四：设每小时行x千米.
A．方案- B．方案二 C．方案三 D．方案四
【答案】D
【知识点】列分式方程；有理数混合运算的实际应用；列一元一次方程
【解析】【解答】解：已知小喜在A、B两地间进行骑车训练，去时每小时行18千米，用了2.5小时；返回时用了3小时，
则求每小时的速度列式为18×2.5÷3，
那么方案一，方案二均正确，
设每小时行x千米，
则18×2.5＝3x，
那么方案三正确，方案四错误，
故答案为：D .
【分析】根据题意列式，或设得未知数列方程，然后进行判断即可．
5．（2025·合江模拟）若关于的一元一次不等式组无解，且使关于的分式方程有整数解，则所有符合题意的整数的值的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得：，
解不等式得，
∵一元一次不等式组无解，
∴，
解得，
解分式方程，得，
∵关于的分式方程有整数解，
∴或，
∴或或或，
时，，原分式方程无解，故将舍去，
∴符合条件的所有整数的个数为3，
故答案为：B．
【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，根据无解确定出的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有非负整数解，确定出满足条件的值，即可解答．
6．（2022·衢州模拟）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．15
【答案】B
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，
不等式组的解集为：
解分式方程得
整理得，
则
分式方程的解是正整数，
，且是2的倍数，
，且是2的倍数，
整数a的值为-1， 1， 3， 5，
故答案为：b.
【分析】分别解出两个关于未知数x的不等式，根据不等式组的解集为，可得，求出a＜7；解分式方程得，结合分式方程的解是正整数，可得且，据此求出整数a的值，再相加即可.
7．（2025八上·纳溪期末）若分式方程有增根，则的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：若关于的方程有增根，则为增根．
把方程去分母可得，
把代入可得，
解得．
故答案为：A．
【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此可求解．
8．下列等式一定成立的是（ ）
A． B．= C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A：根据分式的基本性质，不一定成立，所以A不符合题意；
B：根据分式的基本性质，=不一定成立，所以B不符合题意；
C：，c≠0时才成立，所以C不一定成立；
D：成立，所以D符合题意。
故答案为：D.
【分析】根据分式的基本性质，逐项进行判断即可得出答案。
9． 某工厂生产质量为1g，5g，10g，25 g四种规格的球，现从中取x个球装到一个空箱子里，这时箱子里球的平均质量为20 g，若再放入一个25 g的球，此时箱子里球的平均质量变为21g，则x的值为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，得=21，
解得x=4.
经检验，x=4是所列分式方程的解，且符合题意.
故答案为：B.
【分析】先根据平均值等于21列出方程，再求出解，检验可得答案.
10．如M={1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫作集合M的元素.集合中的元素具有确定性(如x必然存在)，互异性(如x≠1，x≠2)，无序性(即改变元素的顺序，集合不变).若集合N={x，1，2}，我们说M=N.已知集合A={1，0，a}，集合B=若A=B，则b-a的值是( ).
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】有理数的倒数；分式的值为零的条件；绝对值的概念与意义；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵ A=B，
∴两个集合内的元素相同，
∵a≠0，
∴都不可能等于0，
∴，
∴b=0，
当时：a=1，，不符合题意，
∴，=1，且
解得：a=-1，
∴b-a=0-（-1）=1.
故答案为：C。
【分析】首先根据A=B，可得出b=0，进而根据集合元素的互异性，可得出a=-1，进一步即可得出b-a=0-（-1）=1.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。
11．（2022八下·溧阳期末）若 ，则 ＝ .
【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴设a=3k，b=2k，
将a=3k，b=2k代入 ，得 ，
故答案为： .
【分析】由已知条件可设a=3k，b=2k，然后代入中化简即可.
12．（2022八上·蓬莱期中）已知，则代数式的值为 ．
【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：
＝
＝
＝
＝
＝．
，
移项得，
左边提取公因式得，
两边同除以2得，
∴原式＝．
故答案为：．
【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简，再将代入计算即可。
13．（2025八上·江汉期末）若关于x的方程无解，则m的值是 ．
【答案】0或
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：，
去分母，得
∵原方程无解，
∴，
解得：或，
当时，将代入，
得，
所以，
当时，将代入，
得，
所以，
∴的值是0或．
故答案为：0或．
【分析】先把分式方程化为整式方程，再根据原方程无解，可得或，然后把的值代入整式方程，即可求出的值．
14．（2025·江西）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可列分式方程为 .
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为元，列方程得，
故答案为：.
【分析】设纯电汽车每百公里的耗电费为元，根据“ 燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元 ”列方程即可.
15．（2025·上城模拟）把电阻值分别为，的两电阻并联后接入某电路中，其并联总电阻值R（单位：Ω）满足。当时， 。
【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】把 代入计算可得，然后求出比值即可解题.
16．（2025八上·海曙期中）若关于x的不等式组 至少有2个整数解，且关于y的分式方程 的解为非负数，则a的取值范围为 .
【答案】5≤a≤8且a≠7
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解第一个不等式得：x<4，
解第二个不等式得：
∵原不等式组至少有2个整数解，
∴必有2个整数解为3，2，
解得：a≤8，
原方程去分母得：a-1=2y-2+6，
解得：
∵原分式方程的解为非负数，
且
解得：a≥5且a≠7，
综上，5≤a≤8且a≠7，
故答案为：5≤a≤8且a≠7.
【分析】解不等式组中的各不等式，然后结合已知条件求得a的取值范围，再解分式方程并根据题意求得a的取值范围，然后求得它们的公共部分即可.
三、解答题：本大题共10个小题，共102分。
17．（2024·福建）解方程：．
【答案】解：原方程两边都乘（x+2）（x-2），
去分母得：3（x-2）+（x+2）（x-2）=x（x+2），
整理得：3x-10=2x，
解得：x=10，
检验：当x=10时，（x+2）（x-2）≠0，
故原方程的解为x=10.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以(x+2)(x-2)约去分母将原方程化为整式方程，再解整式方程求出x的值，最后检验即可.
18．（2024八上·安化期末）化简：．
【答案】解：原式
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】分式的混合运算，先对括号内的异分母分式通分再做减法运算，再化除法为乘法，再分别对分子分母分解因式，再约分化结果为最简分式或整式即可．
19．（2025八上·泊头期末）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚．
（1）她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【答案】（1）解：，
方程两边同时乘得，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
（2）解：设？为m，则分式方程为，方程两边同时乘得
整理得，
由于原分式方程无解，所以原分式方程有增根，即
所以把代入得，解得，
所以，原分式方程中“？”代表的数是．
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；分式方程的无解问题
【解析】【分析】(1) 本题考察分式方程的解法，核心是将分式方程转化为整式方程求解并验根。把“ ”替换为-3，方程变为；方程两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程；解这个整式方程，得；检验：将代入，因此是原分式方程的解。
(2) 本题考察分式方程无解的条件，分式方程无解通常是因为存在增根（使分母为0的根）。设“ ”为，原方程变为；方程两边乘得，整理得；因为原分式方程无解，所以存在增根（使）；将代入，得，解得，因此“ ”代表的数是-4。
（1）解：，
方程两边同时乘得，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
（2）解：设？为m，则分式方程为，
方程两边同时乘得
整理得，
由于原分式方程无解，所以原分式方程有增根，即
所以把代入得，解得，
所以，原分式方程中“？”代表的数是．
20．（2025八上·海淀期末）柿子在中国文化中具有丰富的寓意，常被视为吉祥的象征.近年来，某村成立合作社，新增柿子的种植面积300亩.已知该村成立合作社前柿子年产量为90万千克，在亩产量不变的情况下，成立合作社后年产量达到135万千克.求该村成立合作社前柿子的种植面积.（列分式方程解答)
【答案】解：设该村成立合作社前柿子种植面积为x亩，则成立合作社后柿子种植面积为(x+300)亩.
根据亩产量不变，得
方程两边乘x(x+300)， 得
90(x+300)=135x.
解得
x=600.
检验： 当x=600时， x(x+300)≠0.
所以，原分式方程的解为x=600.
答：该村成立合作社前柿子种植面积为600亩.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题考查分式方程在实际问题中的应用，涉及亩产量、种植面积和总产量之间的关系。首先明确亩产量的计算公式为亩产量 = 总产量 ÷ 种植面积，题目中说明亩产量不变，因此可根据这一等量关系列方程；设成立合作社前的种植面积为x亩，那么成立后的种植面积为 亩，前的亩产量为 万千克/亩，后的亩产量为 万千克/亩；根据亩产量不变列出分式方程 ；解方程时，先交叉相乘化为整式方程 ，展开后移项、合并同类项，求出x的值；最后需要检验所求的x值是否为原分式方程的解，且是否符合实际意义，即种植面积不能为负数，确认后得出成立合作社前的种植面积。
21．（2025九下·乐陵开学考）新春佳节，大红灯笼高高挂．某超市购进甲、乙两种畅销的灯笼，已知购进甲种灯笼的金额是2400元，购进乙种灯笼的金额是1600元，购进甲种灯笼的数量比乙种灯笼少50个，甲种灯笼的单价是乙种灯笼的2倍．
（1）甲、乙两种灯笼的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，在甲、乙两种灯笼单价不变的条件下，该超市准备再次购进甲、乙两种灯笼共100个，且总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种灯笼？
【答案】（1）解：设乙种灯笼的单价为x元，则甲种灯笼的单价为2x元，由题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：乙种灯笼的单价为8元，则甲种灯笼的单价为16元；
（2）解：设购进m个甲种灯笼，则购进乙种灯笼为个，由（1）及题意得：
，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的最大值为43；
答：最多购进43个甲种灯笼．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设乙种灯笼的单价为x元，则甲种灯笼的单价为元，然后根据“购进甲种灯笼的金额是2400元，购进乙种灯笼的金额是1600元，购进甲种灯笼的数量比乙种灯笼的数量少50个”建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进m个甲种灯笼，则购进乙种灯笼为个，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设乙种灯笼的单价为x元，则甲种灯笼的单价为2x元，由题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：乙种灯笼的单价为8元，则甲种灯笼的单价为16元；
（2）解：设购进m个甲种灯笼，则购进乙种灯笼为个，由（1）及题意得：
，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的最大值为43；
答：最多购进43个甲种灯笼．
22．（2025·岳阳模拟）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．已知种植1亩甲作物所需学生比种植1亩乙作物所需学生多1人，且25名学生种植甲作物的亩数与20名学生种植乙作物的亩数相等．根据以上信息，解答下列问题：
（1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？
（2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过44人，最多种植甲作物多少亩？
【答案】（1）解：设种植1亩甲作物需要学生名，则种植1亩乙作物需要学生名，
根据题意，得
解得
经检验，是原方程的解，且符合题意．
则（名）
答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、4名学生；
（2）解：设种植甲作物亩，则种植乙作物亩，
根据题意，得：
解得，
答：最多种植甲作物4亩．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】
（1）设种植1亩甲作物需要学生名，则种植1亩乙作物需要学生名，根据相等关系“25名学生种植甲作物的亩数与20名学生种植乙作物的亩数相等”列分式方程并求解即可；
（2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，根据不等关系“所需学生人数不超过44人”列不等式并求解即可．
（1）解：设种植1亩甲作物需要学生名，则种植1亩乙作物需要学生名，
根据题意，得
解得
经检验，是原方程的解，且符合题意．
则（名）
答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、4名学生；
（2）解：设种植甲作物亩，则种植乙作物亩，
根据题意，得：
解得，
答：最多种植甲作物4亩．
23．（2025九上·遵义期末）在数学课上，老师展示两道习题的解答过程：
习题1：计算：
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
习题2：解方程：
解：方程两边同乘，得
……第一步
……第二步
经检验，是分式方程的解……第三步
（1）解答过程中，习题1从第 步开始出现错误，习题2从第 步开始出现错误；
（2）任选一个习题写出正确的解答过程．
【答案】（1）二；一
（2）解：习题1：原式
；
习题2：方程两边同乘，得
，
∴，
解得：；
当时，，
∴是原方程的解．
【知识点】解分式方程；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】（1）解：习题1的第二步去掉了分母，出现错误；习题2，第一步去分母时，常数项没有乘最简公分母，出现错误；
故答案为：二，一
【分析】(1)本题考察分式加减运算和分式方程求解的易错点辨析，习题1是分式加法运算，分式运算的核心是通分后分子相加，不能直接去掉分母，因此习题1从第二步开始出现错误；习题2是解分式方程，去分母时需给方程两边的每一项都乘以最简公分母，而该解答中常数项1没有乘，因此习题2从第一步开始出现错误。
(2)若选习题1，正确解答需先对分母因式分解，，然后约分得到，再与进行同分母分式加法，分子相加、分母不变，得出结果1；若选习题2，正确解答需给方程两边同乘，得到，整理后求解得，最后检验，确认是原方程的解。
（1）解：习题1的第二步去掉了分母，出现错误；习题2，第一步去分母时，常数项没有乘最简公分母，出现错误；
故答案为：二，一
（2）习题1：原式
；
习题2：方程两边同乘，得
，
∴，
解得：；
当时，，
∴是原方程的解．
24．（2025八上·湘西期末）列分式方程解应用题
“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格．
（1）某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整：
型号 总价（元） 单价（元/套） 购买套数
型
型 3000
（2）请你完整解答本题．
【答案】（1）1300；；
（2）解：由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴每套B型号的“文房四宝”的价格为100元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得，型号的“文房四宝”花费元，
∵每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，
∴每套型号的“文房四宝”的价格为元，
∴购买型号的“文房四宝”套，
故答案为：1300；；；
【分析】（1）先求出型号的“文房四宝”花费，再根据每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高得到每套型号的“文房四宝”的价格为元，据此可求出购买型号的“文房四宝”套；
（2）根据（1）所求结合一共购买40套“文房四宝”列出方程：，求解即可．
（1）解：由题意得，型号的“文房四宝”花费元，
∵每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，
∴每套型号的“文房四宝”的价格为元，
∴购买型号的“文房四宝”套，
故答案为：1300；；；
（2）解：由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴每套B型号的“文房四宝”的价格为100元．
25．（2025八上·唐县期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．我们有如下两个约定：
（）方程的整数解称之为“暖根”；
（）若两个方程存在一个相同的解，则称这两个方程为“同源方程”．
已知一元一次方程①与分式方程②：
（1）方程①有“暖根”吗？
（2）方程②有“暖根”吗？
（3）它们是“同源方程”吗？填 （是或不是）
【答案】（1）解：，去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
∴方程方程①有“暖根”；
（2）解：，方程两边乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解，
∴方程②没有“暖根”；
（3）不是
【知识点】解分式方程；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】（3）解：因为方程①的解x=1不是方程②的解（方程②无解），所以它们不是“同源方程”。
故答案为：不是．
【分析】（）按照常规的去括号、移项、合并同类项等步骤求解求出方程①的解，再根据“暖根”的定义，若解为整数则有“暖根”即可判断；
（）先去分母化为整式方程求解，再进行检验，求出方程②的解，再根据“暖根”的定义，若解为整数则有“暖根”即可判断；
（）判断两个方程是否为“同源方程”，在求出两个方程的解后，看是否存在相同的解，若存在则是“同源方程”，否则不是。
（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
∴方程方程①有“暖根”；
（2）解：，
方程两边乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解，
∴方程②没有“暖根”；
（3）解：由（）、（）可知，方程①②不是“同源方程”，
故答案为：不是．
26．（2026八上·临海期末）在教科书中，我们将不等式 趣称为“糖水不等式”.
（1）【模型推广】
“如果那么它可以看作两种浓度不同的溶液，取质量按a：c进行混合，混合溶液的浓度高于低浓度的溶液，低于高浓度的溶液.
由可判断bc ad(填写“>”或“<”)， 请证明不等式 成立.
（2）【应用模型】
某饮料公司生产混合果汁，使用两种基础果汁原料：
果汁A：糖的浓度为8%；()
果汁B：糖的浓度为24%.
①若取相同质量的果汁A 和果汁B进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为．
②饮料公司需要生产一批320kg 的混合果汁，果汁A 和果汁B 的利润分别为5元/kg和12元/kg，要求混合果汁的糖的浓度不高于16%，如何生产能获得最大利润 最大利润是多少
【答案】（1）解：<；
证明：
因为 bc-ad<0， a(a+c)>0，
所以
则
（2）解：①100+100， 16%
②设：果汁A 使用 xkg， 果汁B 使用 (320-x) kg。
解得x≥160，
因为果汁B的利润较高，所以当x=160时，生产的混合果汁能获得最大利润.最大利润=160×12+160×5=2720元.
【知识点】分式的加减法；不等式的概念；一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【解答】解：(1)
证明：
因为 bc-ad<0， a(a+c)>0，
所以
则
(2)①
②设：果汁A 使用 xkg， 果汁B 使用 (320-x) kg。
解得x≥160，
因为果汁B的利润较高，所以当x=160时，生产的混合果汁能获得最大利润.最大利润=160×12+160×5=2720元.
【分析】(1)作差，通分可化简，即可判断符号，即得不等式方向；
(2)①分母填空糖水总质量即可得混合之后的浓度；
②由题意列出不等式，求解不等式即得A果汁的质量，由此可得其最大利润.
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