华师大八下18.2.2菱形的判定 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 华师大八下18.2.2菱形的判定 同步练习（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 585.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-05 00:00:00 | ||
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文档简介
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18.2. 2. 菱形的判定
一、单选题
1．已知正多边形的一个内角等于一个外角的3倍，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为菱形的是（ ）
A．AB=CD B．AB=BC C．AC平分∠BAD D．AC⊥BD
3．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．
根据两人的作法可判断（ ）
A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
4．如图，四边形ABCD的四边相等，且其面积为 ，对角线 ，则对角线BD的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，则下列条件能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A． B．，
C． D．
6．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16m，则线段AB的长为（ ）
A．9.6cm B．10cm C．20cm D．12cm
7．按如下步骤作四边形ABCD：如图，①画∠EAF；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，DC，BD.若∠A＝40°，则∠BDC的度数是( )
A．64° B．66° C．68° D．70°
8．如图，是一张平行四边形纸片，利用所学知识作出一个菱形，小明和小亮两位同学的作法如下：
小明：连接，作的中垂线交于E，F，则四边形是菱形．
小亮：分别作与的平分线，分别交于点E，交于点F，则四边形是菱形．
则关于两人的作法，下列判断正确的为（ ）
A．小明正确 B．小亮正确
C．小明和小亮均错误 D．小明和小亮均正确
9．如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，△ABC中，AC＝BC＝3，AB=2，将它沿AB翻折180°得到△ABD，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的动点，则PE+PF的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，分别交CD、AB于点E、F，连接AE、CF，则四边形AECF的周长是 ．
12．中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线交两对边于E、F，则的长为 cm．
13．如图，在 中，按如下步骤操作：①以点 为圆心， 长为半径画弧交 于点 ；②再分别以点 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于一点 ；③连接 并延长交 于点 ，连接 .若 ， ，则 的长为 .
14．如图，在 ABCD中，AB=BC=5，对角线BD=8，则 ABCD的面积为 .
15．如图，平行四边形 的两条对角线 相交于点 ， ， ， ，则四边形 的形状是 .
三、解答题
16．如图，点O是的中点，过点O作，若，连接．求证：四边形是菱形．
17．如图，四边形是边长为的菱形，其中对角线长．则菱形的面积为．
18．已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE，AC平分∠BAD．
求证：四边形ABCD为菱形．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别与BC、CD交于E、F，EH⊥AB于H，连结FH.求证：四边形CFHE是菱形.
20．如图，在菱形中，将对角线分别向两端延长到点和，使得．连接．求证：四边形是菱形．
21．（1）【阅读理解】对于任意正实数a、b．
，
，
，（只有当时，．）
结论：在（a、b均为正实数）中，若ab为定值，则，
只有当时，有最小值，根据上述内容，回答下列问题：
问题1：若时，有最小值为__________；
问题2：若，求y的最小值为__________．
（2）【探索应用】如图，已知、，P为双曲线上的任意一点，过点P作轴于点C，轴于点D，求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状．
22．综合与实践
在矩形中，，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
【初步思考】
（1）若点P落在矩形的边上（如图①）．
①当点P与点A重合时， ；②当点E与点A重合时， ．
【深入探究】
（2）当点E在上，点F在上时（如图②），
①求证：四边形为菱形；
②当时，求的长．
【拓展延伸】
（3）若点F与点C重合，点E在边上，射线与射线交于点M（如图③）．在各种不同的折叠位置中，是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由．
23．问题呈现：对于任意正实数x、y，由于，所以有，于是，只有当时，才成立．也就是说，若为定值p，则当时，有最小值．若，则只有当______时，有最小值______．
数学思考：现有面积为1的矩形，直接写出其周长的最小值______．
拓展运用：如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P为第一象限内一动点，过P分别向坐标轴作垂线，分别交x、y轴于C、D两点，矩形的面积始终为12，当四边形的面积最小时，试判断四边形为何种特殊形状的平行四边形，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
2．【答案】A
【知识点】菱形的判定
3．【答案】C
【知识点】菱形的判定
4．【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质
5．【答案】B
【知识点】菱形的判定
6．【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；菱形的判定与性质
8．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；菱形的判定
9．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；菱形的判定
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
11．【答案】15
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
12．【答案】9.6
【知识点】三角形的面积；菱形的判定与性质
13．【答案】8
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
14．【答案】24
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
15．【答案】菱形
【知识点】菱形的判定
16．【答案】证明：∵点O是的中点，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定
17．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
18．【答案】证明：∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC，∴∠AEB=∠CFD，在△AEB和△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（ASA），∴AB=CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAF，∵∠BAE=∠DCF，∴∠DAF=∠DCF，∴AD=CD，∴四边形ABCD是菱形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定
19．【答案】证明：∵∠ACB=90°，AE平分∠BAC，EH⊥AB，
∴CE=EH，
在Rt△ACE和Rt△AHE中，AE=AE，CE=EH，由勾股定理得：AC=AH，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAF=∠HAF，
在△CAF和△HAF中
∴△CAF≌△HAF（SAS），
∴∠ACD=∠AHF，
∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠CDA=∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B=∠AHF，
∴FH//CE，
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴CF//EH，
∴四边形CFHE是平行四边形，
∵CE=EH，
∴四边形CFHE是菱形.
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-SAS
20．【答案】证明：连接BD，交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
【知识点】菱形的判定与性质
21．【答案】（1）问题1：4；问题2：；（2）12，四边形ABCD是菱形
【知识点】菱形的判定；不等式的性质
22．【答案】解：（1）①3；②4
（2）①证明：如图，与交于点O，
∵是的中垂线，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴为菱形，
②解：当时，设菱形的边长为x，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴当时，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）或
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
23．【答案】解：问题呈现：2，4；
数学思考：4；
拓展运用：
设，
四边形为矩形，且面积始终为12，
，
，
，，
，，
，，
，
，
当，即时，有最小值为12，
点P为第一象限内一动点，
当时，四边形的面积最小，最小值为24，
此时，，
，，，
四边形是菱形．
【知识点】完全平方公式及运用；坐标与图形性质；菱形的判定；几何图形的面积计算-割补法
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18.2. 2. 菱形的判定
一、单选题
1．已知正多边形的一个内角等于一个外角的3倍，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为菱形的是（ ）
A．AB=CD B．AB=BC C．AC平分∠BAD D．AC⊥BD
3．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．
根据两人的作法可判断（ ）
A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
4．如图，四边形ABCD的四边相等，且其面积为 ，对角线 ，则对角线BD的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，则下列条件能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A． B．，
C． D．
6．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16m，则线段AB的长为（ ）
A．9.6cm B．10cm C．20cm D．12cm
7．按如下步骤作四边形ABCD：如图，①画∠EAF；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，DC，BD.若∠A＝40°，则∠BDC的度数是( )
A．64° B．66° C．68° D．70°
8．如图，是一张平行四边形纸片，利用所学知识作出一个菱形，小明和小亮两位同学的作法如下：
小明：连接，作的中垂线交于E，F，则四边形是菱形．
小亮：分别作与的平分线，分别交于点E，交于点F，则四边形是菱形．
则关于两人的作法，下列判断正确的为（ ）
A．小明正确 B．小亮正确
C．小明和小亮均错误 D．小明和小亮均正确
9．如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，△ABC中，AC＝BC＝3，AB=2，将它沿AB翻折180°得到△ABD，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的动点，则PE+PF的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，分别交CD、AB于点E、F，连接AE、CF，则四边形AECF的周长是 ．
12．中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线交两对边于E、F，则的长为 cm．
13．如图，在 中，按如下步骤操作：①以点 为圆心， 长为半径画弧交 于点 ；②再分别以点 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于一点 ；③连接 并延长交 于点 ，连接 .若 ， ，则 的长为 .
14．如图，在 ABCD中，AB=BC=5，对角线BD=8，则 ABCD的面积为 .
15．如图，平行四边形 的两条对角线 相交于点 ， ， ， ，则四边形 的形状是 .
三、解答题
16．如图，点O是的中点，过点O作，若，连接．求证：四边形是菱形．
17．如图，四边形是边长为的菱形，其中对角线长．则菱形的面积为．
18．已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE，AC平分∠BAD．
求证：四边形ABCD为菱形．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别与BC、CD交于E、F，EH⊥AB于H，连结FH.求证：四边形CFHE是菱形.
20．如图，在菱形中，将对角线分别向两端延长到点和，使得．连接．求证：四边形是菱形．
21．（1）【阅读理解】对于任意正实数a、b．
，
，
，（只有当时，．）
结论：在（a、b均为正实数）中，若ab为定值，则，
只有当时，有最小值，根据上述内容，回答下列问题：
问题1：若时，有最小值为__________；
问题2：若，求y的最小值为__________．
（2）【探索应用】如图，已知、，P为双曲线上的任意一点，过点P作轴于点C，轴于点D，求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状．
22．综合与实践
在矩形中，，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
【初步思考】
（1）若点P落在矩形的边上（如图①）．
①当点P与点A重合时， ；②当点E与点A重合时， ．
【深入探究】
（2）当点E在上，点F在上时（如图②），
①求证：四边形为菱形；
②当时，求的长．
【拓展延伸】
（3）若点F与点C重合，点E在边上，射线与射线交于点M（如图③）．在各种不同的折叠位置中，是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由．
23．问题呈现：对于任意正实数x、y，由于，所以有，于是，只有当时，才成立．也就是说，若为定值p，则当时，有最小值．若，则只有当______时，有最小值______．
数学思考：现有面积为1的矩形，直接写出其周长的最小值______．
拓展运用：如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P为第一象限内一动点，过P分别向坐标轴作垂线，分别交x、y轴于C、D两点，矩形的面积始终为12，当四边形的面积最小时，试判断四边形为何种特殊形状的平行四边形，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
2．【答案】A
【知识点】菱形的判定
3．【答案】C
【知识点】菱形的判定
4．【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质
5．【答案】B
【知识点】菱形的判定
6．【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；菱形的判定与性质
8．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；菱形的判定
9．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；菱形的判定
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
11．【答案】15
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
12．【答案】9.6
【知识点】三角形的面积；菱形的判定与性质
13．【答案】8
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
14．【答案】24
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
15．【答案】菱形
【知识点】菱形的判定
16．【答案】证明：∵点O是的中点，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定
17．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
18．【答案】证明：∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC，∴∠AEB=∠CFD，在△AEB和△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（ASA），∴AB=CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAF，∵∠BAE=∠DCF，∴∠DAF=∠DCF，∴AD=CD，∴四边形ABCD是菱形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定
19．【答案】证明：∵∠ACB=90°，AE平分∠BAC，EH⊥AB，
∴CE=EH，
在Rt△ACE和Rt△AHE中，AE=AE，CE=EH，由勾股定理得：AC=AH，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAF=∠HAF，
在△CAF和△HAF中
∴△CAF≌△HAF（SAS），
∴∠ACD=∠AHF，
∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠CDA=∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B=∠AHF，
∴FH//CE，
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴CF//EH，
∴四边形CFHE是平行四边形，
∵CE=EH，
∴四边形CFHE是菱形.
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-SAS
20．【答案】证明：连接BD，交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
【知识点】菱形的判定与性质
21．【答案】（1）问题1：4；问题2：；（2）12，四边形ABCD是菱形
【知识点】菱形的判定；不等式的性质
22．【答案】解：（1）①3；②4
（2）①证明：如图，与交于点O，
∵是的中垂线，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴为菱形，
②解：当时，设菱形的边长为x，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴当时，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）或
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
23．【答案】解：问题呈现：2，4；
数学思考：4；
拓展运用：
设，
四边形为矩形，且面积始终为12，
，
，
，，
，，
，，
，
，
当，即时，有最小值为12，
点P为第一象限内一动点，
当时，四边形的面积最小，最小值为24，
此时，，
，，，
四边形是菱形．
【知识点】完全平方公式及运用；坐标与图形性质；菱形的判定；几何图形的面积计算-割补法
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