华师大八下18.3 正方形 同步练习（含答案）

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18.3 正方形
一、单选题
1．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且CE=1，连结AE，点F在边AD上，连结BF，把沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论：①AE=BF；②AD=3DF；③；④GE=0.2，其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①③
2．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为 ，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外做正方形，其面积标记为 ，…，按照此规律继续下去，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图所示，四边形ABCD是菱形，添加一个条件仍不能使它成为正方形的是（　　）
A．∠BAD=90° B．AC=BD C．∠BAD=∠ABC D．AD=BD
4．如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，E.F分别是AB，BC的中点，若沿左下图中的虚线剪开，拼成如下图所示的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．10
5．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形，一定能拼成的图形是（　　）
A．①④⑤ B．②⑤⑥ C．①②③ D．①②⑤
6．如图，平行四边形 ABCD 中， E为 BC 边上一点，以 AE 为边作正方形AEFG，若 ， ，则 的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在正方形 中， 是 上的一点，且 ，则 的度数是（　　）
A．20度 B．22.5度 C．30度 D．45度
8．如图，在正方形ABCD中，AB=1，连接AC，以AC为边作第一个正方形ACC1D1，连接AC1，以AC1为边作第二个正方形AC1C2D2，则第10个正方形边长为（　　）
A．8 B．16 C．32 D．64
9．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E.若∠CBF＝20°，则∠DEF的度数是（　　）
A．25° B．40° C．45° D．50°
10．如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点O在坐标原点，点B的坐标为 ，点A在第二象限，反比例函数 的图象经过点A，则k的值是（　　）
A．－2 B．－3 C．－4 D．4
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为　 　．
12．如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+PF的最小值等于　 　．
13．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为　 　．
14．如图，直线过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直E的距离分别是1和2，则正方形ABCD面积是　 　.
15．如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE；②BE∶BC= ∶2；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD.其中正确的序号是　 　.
三、解答题
16．如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．若图2中阴影小正方形的面积为49．则a的值为．
17．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在CD、AD、BC上，FG⊥BE，垂足为O，OB=OE，BC=8，EC=3．求AF的长．
18．如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE=1，求EF的长.
19．在正方形ABCD中，E为BC的中点，F是CD上一点，且FC= 试说明：AE⊥EF.
20．如图，在正方形ABCD中，E，F分别BC，CD边上的一点，且BE＝2EC，FC＝ DC，连接AE，AF，EF，求证：△AEF是直角三角形.
21．如图所示， 是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且 .要修建两条路 和 ，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
22．已知：如图，在正方形ABCD中，E为DC上一点，AF平分∠BAE且交BC于点F.
求证：BF+DE=AE.
23．正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD， 垂足为F，求证：EF＝AP
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；探索图形规律；直角三角形的性质
3．【答案】D
【知识点】正方形的判定
4．【答案】B
【知识点】正方形的性质
5．【答案】D
【知识点】正方形的性质
6．【答案】A
【知识点】正方形的性质
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质
8．【答案】C
【知识点】正方形的性质
9．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；直角三角形的性质
10．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；余角、补角及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
11．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
12．【答案】
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
13．【答案】7
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
14．【答案】5.
【知识点】正方形的性质
15．【答案】①②③④
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
16．【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质
17．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
18．【答案】解：折叠得到，
.
.
折叠得到，
.
.
正方形边长为 3，
.
，
.
设，则.
，.
在中，，
.
.
.
.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
19．【答案】证明：连接AF，
设FC=a，则DC=DA=AB=BC=4a
所以DF=3a，CE=EB=2a．
由勾股定理得AF=5a，
EF= a，AE=2 a从而由
（ a）2+（2 a）2=（5a）2
即EF2+AE2=AF2
∴△AEF为直角三角形，斜边为AF，
故∠AEF=90°，
即AE⊥EF．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质
20．【答案】证明：设FC＝2a，则DC＝9a，DF＝7a.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝9a， .
∵BE＝2CE，
∴BE＝6a，EC＝3a.
在Rt△ECF中，EF2＝EC2＋FC2＝（3a）2＋（2a）2＝13a2.
在Rt△ADF中，AF2＝AD2＋DF2＝（9a）2＋（7a）2＝130a2.
在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2＝（9a）2＋（6a）2＝117a2.
∵13a2＋117a2＝130a2，
∴EF2＋AE2＝AF2.
∴△AEF是以∠AEF为直角的直角三角形.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质
21．【答案】解：BE=AF，BE⊥AF；
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，DE=CF，
∴AE=DF，
又∠BAE=∠D=90°，AB=AD，
∴△BAE≌△ADF
∴BE=AF，∠ABE=∠FAD，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠FAD+∠AEB=90°，
∴BE⊥AF.
故BE=AF，BE⊥AF.
【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
22．【答案】解：证明：∵ABCD是正方形，
∴△ABF以点A为中心顺时针旋转90°，AB必与AD重合，设点F的对应点为F′，得△ADF′，且有△ABF≌△ADF′，如图所示.
∵∠ADF′+∠ADE=180°，
∴F′，D，E，C四点共线.
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB.
又∵∠3=∠2=∠1，
∴∠F′AE=∠DAF=∠AFB.
而∠AF′D=∠AFB，
∴∠AF′D=∠F′AE，
∴AE=EF′=DF′+DE.
∵DF′=BF，
∴BF+DE=AE.
【知识点】平行线的性质；正方形的性质；旋转的性质
23．【答案】证明：分别延长FP、EP交AB于F'，AD于E'，可知四边形BEPF'和FPE′D是正方形，∴PE=PF'=AE'，PF=PE'．且∠AE'P=∠EPF．∴△APE'≌△EFP．∴AP=EF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
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